Đang tải... (xem toàn văn)
Khái niệm xác suất trong dạy học toán ở trường phổ thông
MỤC LỤC I MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài I Mục đích nghiên cứu I Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU II 1Sơ lược lịch sử hình thành khái niệm xác suất II 2Các cách định nghĩa khái niệm xác suất II 3Phân tích sách giáo khoa thí điểm phân ban KHTN lớp 11 II 4Thiết kế tình dạy học định nghĩa thống kê xác suất .14 KHÁI NIỆM XÁC SUẤT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG I MỞ ĐẦU I.1.Lý chọn đề tài Lý thuyết xác suất ngày trở thành ngành tốn học lớn, chiếm vị trí quan trọng mặt lý thuyết lẫn thực hành Đặc biệt lý thuyết xác suất với khoa học thống kê trở thành lĩnh vực quan trọng đời sống Ở nước ta, xác suất đưa vào chương trình tốn phân ban thí điểm lớp 11(năm 2005-2006) Đây phần mẻ lại thú vị liên quan đến thực tế sống Hơn nữa, sau vài năm dạy thí điểm trường phổ thơng, số giáo viên có ý kiến thắc mắc “Tại phải dạy định nghĩa xác suất tần suất?” Vì em chọn đề tài để nghiên cứu chương trình phục vụ cho cơng việc giảng dạy em sau để trả lời cho thắc mắc I.2.Mục đích nghiên cứu ∗ Tìm hiểu đặc trưng khoa học luận khái niệm xác suất ∗ Các cách định nghĩa xác suất Điều kiện để sử dụng định nghĩa ∗ Tìm hiểu ưu nhược điểm cách định nghĩa khái niệm xác suất góc độ tốn học thực tế dạy học Từ giải thích sách giáo khoa (thí điểm ban KHTN lớp 11 nhóm tác giả Đồn Quỳnh) lại đưa hai cách định nghĩa xác suất vào dạy học ∗ Phân tích cách trình bày định nghĩa xác suất sách giáo khoa ∗ Từ việc phân tích trên, thiết kế tình dạy học khái niệm xác suất I.3.Phương pháp nghiên cứu: ∗ Tham khảo luận văn thạc sỹ “Khái niệm xác suất dạy học trường phổ thông” Vũ Như Thư Hương ∗ Tham khảo giáo trình lý thuyết xác suất ∗ Phân tích sách giáo khoa Đại số giải tích lớp 11 dùng cho ban tự nhiên nhóm tác giả Đồn Quỳnh làm chủ biên II Nội dung nghiên cứu: II.1.Sơ lược lịch sử hình thành khái niệm xác suất: Do không đủ thời gian điều kiện để nghiên cứu lịch sử hình thành khái niệm xác suất, em tham khảo luận văn thạc sỹ Vũ Như Thư Hương tóm tắt lại số nội dung sau: Các giai đoạn nảy sinh phát triển khái niệm xác suất: II.1.1.Giai đoạn đầu (từ thời Trung đại đến nửa đầu kỷ XVII): Từ trò chơi may rủi cờ bạc hay tung súc sắc,… phổ biến vùng Lưỡng hà từ thời Ai Cập cổ đại, mà yếu tố đại số tổ hợp khai thác Điều minh chứng thơ có tựa đề De Vetul (của Richard de Fournival (1201-1260)), tu sĩ người Pháp Bài thơ mơ tả trị chơi “tung ba súc sắc đếm tổng điểm nhận được” (tức tổng số chấm xuất ba mặt ba súc sắc) Trong vài trích đoạn thơ người ta nhận thấy “tác giả sử dụng đến hốn vị nói việc tung súc sắc sinh 16 kiểu tổng điểm, ứng với 56 dạng điểm việc hoán vị dạng điểm chứng tỏ tổng cộng có đến 216 cách rơi súc sắc.” (trích theo Vũ Như Thư Hương, trang 11) hay “một trích đoạn khác khẳng định: xuất dạng điểm ứng với 16 kiểu tổng điểm không nhau.” Mặt khác, vấn đề đặt khả xảy tổng 10 hay 11 lớn khả xảy tổng hay 12? (Trích theoVũ Như Thư Hương, tr.11) Như kỷ VIII, vấn đề tính tốn hội đặt trò chơi may rủi Một chứng cho nảy sinh nhu cầu tính tốn hội toán điểm Luca Pacioli (1445-1509) đưa vào năm 1494, tác phẩm Summa de arithmetica geometric proportioniet proportionalita: “Một lữ đoàn chơi bóng quần Mỗi cú trúng 10 điểm 60 điểm xem thắng Tiền đặt cược trò chơi 10 đồng đu-ca Một tai nạn xảy buộc binh lính phải dừng ván chơi phe thứ 50 điểm phe thứ hai 20 điểm Bài toán đặt phải trả lại cho phe phần số tiền đặt cược?” (Trích theo Henry, 2004, tr.5).” “Giải pháp Pacioli chia tiền cược theo tỉ lệ thuận với số điểm hai phe Nhưng sau, tác phẩm Liber de lulo aleae, Jérôme Cardan chứng tỏ chia sai ông cho phải dựa vào số ván mà họ chơi Thế giải pháp mà Cardan đưa bị Tartaglia (1499-1557) bác bỏ Điều đáng lưu ý tính tốn minh Cardan ý đến vấn đề đồng khả năng” (Trích theo Vũ Như Thư Hương,2005, tr.12) Trở lại với trị chơi tung súc sắc, có toán Grand de Toscane đặt lại cho Galilée vào năm 1620: “Tại kinh nghiệm người chơi lại cá cược tổng 10 hay 11 có lợi tổng hay 12 (27 so với 25) trong bốn tổng có số dạng (6)?” (trích theo Henry,2004, tr.5).” (Trích theoVũ Như Thư Hương, tr.13) Galilée sử dụng phép đếm mô tả thơ De Vetula để trả lời cho câu hỏi Nghiên cứu ông M Henry đánh giá rằng: “bằng cách đề nghị người chơi trò súc sắc “đo” hội chiến thắng họ, Galilée đến gần với xác suất gang tấc, tất nhiên khơng diễn đạt nó” (Trích theo Vũ Như Thư Hương, tr.13) Như vậy, giai đoạn này, từ trò chơi may rủi làm nảy sinh nhu cầu tính tốn hội Và khái niệm xác suất lúc xuất dạng công cụ ngầm ẩn cho phép giải vấn đề tính tốn hội vài trị chơi may rủi Trong giai đoạn này, số yếu tố Đại số tổ hợp khai thác tính tốn hội Lúc này, chưa có định nghĩa xác suất đưa II.1.2.Giai đoạn thứ hai: (Nửa sau kỷ XVII ): vấn đề tính xác suất biến cố đồng khả không đồng khả Khái niệm xác suất nảy sinh phát triển với việc giải vấn đề chia tiền cược mà người khởi xướng Pascal Fermat Năm1651, Chavalier de Méré hỏi Blaise Pascal (1623-1662) vấn đề chia tiền cược sau: có lần Méré người bạn gieo đồng tiền sấp ngửa ăn tiền, họ góp người 32 đồng tiền vàng làm tiền cược quy ước Méré gieo lần tồn mặt sấp ơng tồn tiền cược, cịn bạn ơng gieo lần tồn mặt ngửa tiền cược thuộc người bạn Khi Méré gieo lần mặt sấp bạn ông lần mặt ngửa chơi phải ngừng nhà vua gọi Méré Vậy nên chia nào?” Chính tốn làm cho Pascal Fermat phải suy nghĩ Hai ông trao đổi thư từ với vào năm 1654, họ đưa lời giải Méré 3/4 tiền cược Cả hai ông giải theo cách khác Pascal sử dụng tam giác số học hệ số khai triển nhị thức (a + b) n để giải tốn Sau đó, thư gửi Fermat (ngày 24/8/1654), Pascal cịn nói đến tổ hợp tỉ lệ chia tiền cược cho hai người chơi: “… có tổ hợp làm cho người thứ thắng có cho người thứ hai chia tiền theo tỉ lệ này…” Trong đó, Fermat sử dụng phương pháp khác: ông tưởng tượng trò chơi tiếp tục với ván giả nhằm đạt đến số ván cần chơi để xác định người chiến thắng, sử dụng tổ hợp để liệt kê kết thuận lợi có người ơng chia tiền cược theo tỉ lệ Cách làm ơng giải thích sau: “…việc giả tưởng mở rộng trị chơi đến số ván nhằm làm cho qui luật dễ đi, (theo cảm tính tôi) khiến cho tất ngẫu nhiên nhau, dễ hiểu rút gọn tất phân số mẫu số” (trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.14) Theo Henry, hai ông sử dụng đến đại số tổ hợp thừa nhận giả thiết “đồng khả năng” giải tốn Mặc dù vậy, hai ơng chưa đưa thuật ngữ để tỉ số mà họ dựa vào để chia tiền cược (tỉ lệ tiền thân xác suất sau này) Do Pascal Fermat không xuất sách nói tính tốn “xác suất” nên đến năm 1657, Christian Huygens xuất sách Lý thuyết trò chơi súc sắc, người ta biết phép tính Tuy vây, thuật ngữ “xác suất” chưa xuất Huygens sử dụng từ “cơ hội” để “xác suất”: “Dù trò chơi ngẫu nhiên, kết có khơng hội mà người chơi thắng hay thua có giá trị xác định” Phải đến năm 1662, Nghệ thuật tư Antoine Arnauld Pierre Nicole (các bạn Pascal), thuật ngữ “xác suất” thật xuất lần với nghĩa biết ngày nay: “… đừng cho tốt xấu tự nó, mà cịn xác suất xảy hay khơng xảy phải ý xác vào tỉ lệ mà tất có chung…” (Trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.16) Một định nghĩa tường minh xác suất cịn tìm thấy Thử phân tích trị chơi ngẫu nhiên Pierre Raymond de Montmort, xuất năm 1708: “Sự rủi may Pierre tỉ số tất lần thuận lợi với số tât lần có thể,… Trong trị chơi cơng bằng, số tiền đặt cược hai người chơi phải tỉ số với độ xác suất khác hay kỳ vọng chiến thắng người” (trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.16) Như vậy, vòng nửa sau kỷ XVII, từ toán chia tiền cược mà khái niệm xác suất nảy sinh, để tính xác suất người ta sử dụng đại số tổ hợp tất nhiên phải thừa nhận tính đồng khả xảy biến cố II.1.3.Giai đoạn thứ ba: (từ đầu kỷ XVIII đến cuối kỷ XIX): Sự nảy sinh cách tiếp cận “thống kê” xác suất định nghĩa xác suất theo Laplace Sự nảy sinh cách tiếp cận “thống kê” xác suất phải kể đến cơng lao to lớn Jacques Bernoulli Ơng dành hai mươi năm để hoàn thành tác phẩm Thuật suy đốn (Tác phẩm người cháu ơng Nicolas Bernoulli xuất sau ông ) Trong tác phẩm Bernoulli đưa kết quan trọng Henry Coutinho tổng hợp lại sau: − Bernoulli nêu lên số định nghĩa liên quan đến xác suất: “Xác suất thực tế mức độ chắn…” “Dự đoán điều đo lường xác suất nó…” (trích theo Henry, 2004, tr.7) − Bernoulli thừa nhận định nghĩa tiên nghiệm xác suất tình đồng khả năng: “ Đặt b trường hợp mà đối số tồn tại, đặt c số trường hợp mà khơng tồn tại, (…) Nhưng cho tất trường hợp có khả nhau, hay chúng xảy nhau; (…) cho đối số chứng minh việc hay độ chắn việc”(trích theo Henry, 2004, tr.7) (trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.17) − Ông rõ điểm hạn chế cách xác định xác suất phương pháp đếm áp dụng vào tượng tự nhiên phức tạp như: xuất bệnh nhân, hay tượng thời tiết,… − Trong trường hợp đó, Bernoulli đề nghị xác định hậu nghiệm xác suất biến cố sau quan sát thực nghiệm số lớn phép thử giống qua ổn định tần suất: “Nhưng thực đây, đường khác để có mà tìm kiếm Điều khơng có tiên nghiệm tối thiểu phải nhận hậu nghiệm, nghĩa khai thác cách quan sát kết cục nhiều ví dụ tương tự;…” (Bernoulli, 1713, tr.42-44, trích theo Coutinho, 2001, tr.39) Như vậy, với “Thuật suy đoán” Bernoulli, lần việc tính xác suất biến cố chuyển từ chỗ sử dụng công cụ đại số tổ hợp sang cơng cụ giải tích Điều thực có ý nghĩa quan trọng từ áp dụng cách tính xác suất vào tượng phức tạp tự nhiên nói Song song với nghiên cứu Nicolas Bernoulli, cịn có cơng trình nghiên cứu Abraham de Moivre trình bày Học thuyết hội, công bố vào năm 1718 “Tác phẩm xử lý toán học, thực vận dụng giải tích vào lý thuyết xác suất” (trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.19) Với tác phẩm này, Moivre tu chỉnh định lý Bernoulli mà đưa dạng mà ngày ta gọi định lý giới hạn trung tâm Hơn nữa, ơng cịn đưa khái niệm có liên quan khái niệm hàm sinh, khái niệm độc lập khái niệm xác suất có điều kiện Một vấn đề mà Bernoulli chưa làm sáng tỏ việc tối ưu hố số thí nghiệm cần thiết để đoán xác suất Moivre sau Laplace giải vấn đề Henry ghi nhận lại kết hai ông sau: “Định lý Moivre-Laplace cho phép đưa giá trị tương đương với xác suất P(F-ε < p < F+ε) nên cho phép tính số lý tưởng thí nghiệm cần thực để có độ xác ε độ tin cậy 1-α cho trước Cũng với độ xác 3% độ tin cậy 95% (α = 5%) điều tra thơng thường đốn xác suất với kích thước mẫu thử vào khoảng 1000”(trích theo Henry, 2004, tr.8) (trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.19) Liên quan đến cách tiếp cận này, Buffon người tiến hành thực nghiệm với việc tung đồng xu nhiều lần Năm 1812, Pierre Simon Marquis de Laplace cơng bố Chun luận giải tích xác suất Với chuyên luận này, Laplace thức đưa định nghĩa xác suất nguyên lý thứ nhất: “Nguyên lý thứ định nghĩa xác suất, biết, tỉ số số trường hợp thuận lợi với số tất trường hợp xảy ra” (trích theo Thư Hương, 2005, tr.20) Ơng cịn nhấn mạnh điều kiện sử dụng cho định nghĩa trên: “Lý thuyết ngẫu nhiên dựa việc rút gọn tất biến cố loại số trường hợp đồng khả năng… xác định số trường hợp thuận lợi cho biến cố mà ta tính xác suất.” (trích theo Thư Hương, 2005, tr.20) Tuy vậy, ông nhận thấy hạn chế định nghĩa lúc đưa trường hợp đồng khả năng, nên nguyên lý thứ hai ông viết: “Nếu chúng không đồng khả năng, trước hết ta phải xác định khả riêng chúng mà việc ước lượng khả điểm khó lý thuyết ngẫu nhiên Khi đó, xác suất tổng xác suất trường hợp thuận lợi” (trích theo Thư Hương, 2005, tr.20-21) Định nghĩa trình bày cách tiếp cận Pascal, Fermat, Huygens Monmort nên gọi định nghĩa cổ điển xác suất II.1.4.Giai đoạn thứ tư (Thế kỷ XX): Vấn đề tiên đề hoá lý thuyết xác suất Cuối kỷ XIX đầu kỷ XIX, nhiều thành tựu cơng cụ giải tích đem lại cho lý thuyết xác suất nhiều màu sắc Trong có phép biến đổi Fourier, cho phép thay hàm sinh hàm số đặc trưng Đặc biệt phát triển lý thuyết tập hợp số, lý thuyết độ đo, lý thuyết tích phân Borel Lebesgue đầu kỷ XIX dẫn đến xu hướng xây dựng lý thuyết xác suất theo phương phương pháp tiên đề Hilbert Năm 1933, nhà toán học người Nga Andrei Kolmogorov phác thảo hệ tiên đề làm tảng cho lý thuyết xác suất đại Theo lý thuyết này, Ω tập hợp biểu thị kết phép thử ngẫu nhiên, Ω định nghĩa độ đo bị chăn µ thoả tiên đề: Tiên đề Với biến cố A, ≤ µ(A) ≤ Tiên đề µ(Ω) = Tiên đề Với dãy biến cố đơi rời A1, A2,…, µ(A1 ∪ A2 ∪…) = ∑ µ(Ai) Khi xác suất biến cố phép thử ngẫu nhiên độ đo µ tập hợp mơ tả biến cố Đó số thực, ghi µ(A) “Hệ tiên đề chấp nhận cách hài hoà khái niệm biến ngẫu nhiên qui luật (sự chuyển từ Ω µ lĩnh vực số)” (Trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.23) Ý tưởng chọn lọc lại phần ngày lý thuyết xác suất thống kê trở thành nghành toán ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực: vật lí, học, sinh học, y học kinh tế, địa lý, giáo dục xã hội học,… II.2.Các cách định nghĩa khái niệm xác suất: Từ tham khảo lịch sử nảy sinh phát triển khái niệm xác suất giáo trình Lý thuyết xác suất bậc đại học, khái niệm xác suất tiếp cận theo cách sau: • Cách tiếp cận cổ điển: Còn gọi cách tiếp cận theo Laplace khái niệm xác suất định nghĩa theo Laplace: “xác suất biến cố tỉ số số trường hợp thuận lợi với tất trường hợp xảy ra” Cách tiếp cận có ưu điểm đơn giản, trực quan dễ sử dụng Điểm hạn chế cách tiếp cận phạm vi áp dụng Nó áp dụng cho lớp thí nghiệm có đặc trưng sau: − Số kết cục xảy (hay khơng gian mẫu) hữu hạn − Khả xảy kết cục ta tiến hành thí nghiệm (tính chất gọi tính đồng khả hay đồng xác suất) Những thí nghiệm có đặc trưng thường trò chơi may rủi, phép lấy ngẫu nhiên khơng tính tốn,… Theo cách tiếp cận việc tính xác suất biến cố đưa phép đếm để tính số trường hợp thuận lợi số trường hợp xảy Vì vậy, cách tiếp cận Đại số tổ hợp có vai trị tính tốn xác suất • Cách tiếp cận theo quan điểm thống kê: Theo cách tiếp cận này, tần suất biến cố ln thay đổi có tính chất “tương đối ổn định”, nghĩa tần suất biến cố dao động quanh giá trị ta thực số lượng lớn phép thử Giá trị xác suất biến cố Như vậy, xác suất biến cố xem xấp xĩ với tần suất xuất biến cố phép thử đủ lớn Xác suất tính theo quan điểm cịn gọi “xác suất khách quan” xác suất biết sau thực nghiệm Cách tiếp cận khắc phục hạn chế định nghĩa Laplace tính đồng khả kết cục Ở góc độ tốn học thực tế, cách tiếp cận theo quan điểm thống kê giải tốn tìm xác suất trường hợp mà định nghĩa Laplace khơng sử dụng (ví dụ tính xác suất để đinh nhũ rơi ngẫu nhiên chạm đất mũi nhọn hay đầu) Nhưng, đứng góc độ dạy học, Parzysz cho cách tiếp cận gây khó khăn sau: − Trước hết, dựa “hội tụ” tần suất (sự hội tụ theo xác suất) hội tụ tuý theo dãy số mà học sinh thường gặp giải tích − Hơn nữa, cách tiếp cận cịn dẫn đến nguy “học sinh khơng thực bước nhảy khái niệm mà lại đồng hố tần suất với xác suất” (Trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.26) • Cách tiếp cận theo quan điểm hình học: Khắc phục điểm hạn chế định nghĩa xác số cổ điển địi hỏi khơng gian mẫu hữu hạn đồng thời giữ giả thiết kết cục đồng khả năng, người ta đưa định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học: Xét phép thử có vơ hạn kết cục đồng khả Giả sử ta biểu diễn tập hợp kết cục miền G (đoạn thẳng, miền phẳng, mảnh mặt cong hay khối không gian) kết cục thuận lợi cho biến cố A xuất miền hình học g thuộc G Khi xác suất biến cố A tỷ số kích thước miền g với kích thước miền G (Trong kích thước hiểu độ dài, diện tích hay thể tích) Việc xác định miền biểu diễn tính diện tích miền đơi lúc gặp nhiều khó khăn khơng phải lúc làm được, cách tiếp cận sử dụng bậc đại học Mặc dù cách tiếp cận theo quan điểm có ứng dụng thực tế Một số tốn đưa dạng này: gọi điện thoại tổng đài bị bận (hai lần gọi gặp nhau), đài quan sát nhận hai tín hiệu khoảng thời gian không phân ly được, công nhân đứng nhiều máy gặp tình trạng hai máy hỏng đồng thời, • Cách tiếp cận theo quan điểm tiên đề: Xác suất định nghĩa “một độ đo không âm bị chặn xác định tập hợp trừu tượng mơ hình hố kết cục phép thử ngẫu nhiên” thoả mãn hệ tiên đề Cách tiếp cận xây dựng dựa lý thuyết độ đo, lý thuyết tốn học cao cấp nên q khó hiểu học sinh THPT Vì cách cung cấp bậc đại học • Từ phân tích cho thấy trường THPT dùng định nghĩa xác suất theo Laplace đơn giản dễ sử dụng học sinh Nhưng dạy định nghĩa xác suất theo Laplace học sinh khó sử dụng kiến thức học vào thực tế Bởi vì, thực tế ta thường gặp phép thử có khơng gian mẫu vơ hạn biến cố không đồng khả xảy Hơn mục tiêu giáo dục nước ta đào tạo lớp người có khả thích ứng với biến đổi khơng ngừng thực tiễn, có lực giải vấn đề nảy sinh sống Có lẽ mà sách giáo khoa đưa định nghĩa thống kê xác suất vào chương trình Em nghĩ lời giải đáp cho thắc mắc số giáo viên Với lựa chọn đưa định nghĩa cổ điển định nghĩa thống kê xác suất vào chương trình phổ thơng, sách giáo khoa trình bày hai định nghĩa lý thuyết tập? II.3.Phân tích sách giáo khoa thí điểm phân ban KHTN lớp 11 Trong phần này, em phân tích sách giáo khoa cho chương trình thí điểm phân ban ban KHTN lớp 11 tác giả Đoàn Quỳnh làm tổng chủ biên II.3.1.Phần lý thuyết Về số khái niệm liên quan đến khái niệm xác suất a) Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu: Trước đưa định nghĩa, SGK đưa ví dụ mơ hình quen thuộc gieo súc sắc: “Khi gieo súc sắc, số chấm mặt xuất coi kết việc gieo súc sắc Ta nhận thấy khó dự đốn trước kết lần gieo Nó số tập hợp {1,2,3,4,5,6} Ta gọi việc gieo súc sắc nói phép thử ngẫu nhiên”.(trích SGK, tr.79) Trong ví dụ này, SGK nêu số đặc điểm hành động “gieo súc sắc” Và hành động “gieo súc sắc” gọi phép thử ngẫu nhiên Như vậy, với ví dụ SGK nêu số thuộc tính chất khái niệm, hình thành biểu tượng khái niệm, từ phác thảo định nghĩa phép thử ngẫu nhiên Qua đó, SGK đưa định nghĩa sau: Một phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) thí nghiệm hay hành động mà: − Có thể lặp lặp lại nhiều lần điều kiện giống nhau; − Kết khơng dự đốn trước được; − Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử Phép thử thường kí hiệu chữ T Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử ký hiệu chữ Ω (đọc ô-mê-ga) Sau SGK đưa ví dụ kèm lời giải hoạt động H1 với yêu cầu tìm khơng gian mẫu phép thử “gieo ba đồng xu phân biệt” Đây dạng hoạt động để củng cố khái niệm không gian mẫu Như khái niệm phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu đưa vào theo tiến trình→cơng cụ đối tượng đường qui nạp b) Biến cố liên quan đến phép thử SGK sử dụng thuật ngữ “biến cố” ví dụ để dẫn dắt đến khái niệm biến cố liên quan đến phép thử “Giả sử T phép thử “gieo súc sắc” Xét biến cố A: “Số chấm mặt xuất số chẵn” Ta thấy việc xảy hay không xảy biến cố A tuỳ thuộc vào kết T Biến cố A xảy kết T 2, 4, Do biến cố A mơ tả tập hợp Ω A = { 2,4,6} Biến cố A gọi biến cố liên quan đến phép thử T (trích SGK, tr.81) Cũng phần trên, ví dụ nêu đặc điểm biến cố A liên quan đến phép thử T (phần gạch dưới) Sau đó, SGK đưa tên gọi cho A “biến cố liên quan đến phép thử T” Tiếp theo SGK đưa hoạt động H2: “Xét biến cố B: “Số chấm mặt xuất số lẻ” biến cố C: “Số chấm mặt xuất số nguyên tố” Hãy viết tập hợp ΩB, ΩC mô tả biến cố B,C.” (trích SGK, tr.81) Việc đưa hoạt động có tính chất luyện tập theo ví dụ mẫu Sau đó, SGK tổng quát lên thành định nghĩa: “Một biến cố A liên quan đến phép thử T mô tả tập ΩA khơng gian mẫu Ω phép thử Biến A xảy kết T thuộc tập ΩA Mỗi phần tử ΩA gọi kết thuận lợi cho A” (trích SGK, tr.81) Như vậy, SGK sử dụng tiến trình đối tượng→ công cụ đường qui nạp để đưa vào khái niệm biến cố SGK không đồng biến cố A với “tập hợp mơ tả” mà có phân biệt cách thận trọng (tham khảo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.32) Theo nghiên cứu Vũ Như Thư Hương, sách giáo viên có giải thích điều rằng: “Về mặt tốn học, ta đồng biến cố A với tập ΩA mơ tả nó” Nhưng, “Định nghĩa hình thức, có tính “hàn lâm”, làm tính trực quan sinh động vốn có khái niệm biến cố” Về định nghĩa khái niệm xác suất Cấu trúc tiến trình đưa vào khái niệm xác suất SGK là: Đại số tổ hợp Xác suất theo định nghĩa cổ điển Xác suất theo định nghĩa thống kê 10 Trình tự hợp lí tn theo lịch sử hình thành khái niệm xác suất SGK sử dụng thuật ngữ “khả năng” lúc đặt vấn đề đến khái niệm xác suất sau: “Trong sống hàng ngày, nói biến cố ta thường nói biến cố có khả xảy biến cố Tốn học định lượng hóa khả cách gán cho biến cố số không âm, nhỏ hay gọi xác suất (phần chắc) biến cố Xác suất biến cố A ký hiệu P(A) Nó đo lường khả khách quan xuất biến cố A Biến cố chắc (biến cố luôn xảy thực phép thử T) có xác suất Biến cố khơng thể (biến cố không xảy thực phép thử T) có xác suất 0” (SGK, tr.81) Ở đây, xác suất có nghĩa “khả xảy ra”, có dạng “một số khơng âm nhỏ hay 1” Điều trùng với nội dung tiên đề thứ định nghĩa tiên đề Kolmogorov (tham khảo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.33) a) Định nghĩa cổ điển xác suất Sau đó, SGK đưa ví dụ (đã lược bỏ bảng liệt kê kết phép thử): “Giả sử T phép thử “Gieo hai súc sắc” Kết T cặp số (x,y), đo x y tương ứng kết việc gieo súc sắc thứ thứ thứ hai… Xét biến cố A: “Tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc 7” Tập ΩA Ω mô tả A gồm phần tử là: ΩA = { (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1)} Khi tỉ số = gọi xác suất A” 36 (SGK, tr.81-82) Trong ví dụ này, SGK đưa bảng liệt kê tất kết xảy phép thử, phân tích điều kiện không gian mẫu hữu hạn kết đồng khả xuất hiện: “Phép thử T có 36 kết Nếu súc sắc chế tạo cân đối mặt súc sắc có khả xuất Ta nói 36 kết T đồng khả năng” Xác suất biến cố A ví dụ tỉ số (chính tỉ số 36 số kết thuận lợi cho biến cố A với tất kết xảy ra) Sau ví dụ dẫn dắt trên, SGK đưa định nghĩa “định nghĩa cổ điển xác suất” sau: “Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω hữu hạn kết T đồng khả Nếu A biến cố liên quan tới phép thử T ΩA tập hợp kết mơ tả A xác suất A số, kí hiệu P(A), 11 xác định công thức: P( A) = ΩA Ω , Ω A Ω số phần tử tập ΩA Ω” Sau đó, SGK có đưa hai ví dụ củng cố có kèm theo lời giải ∗ Nhưng có điều đáng lưu ý là, định nghĩa có nêu rõ điều kiện sử dụng lời giải ví dụ SGK hồn tồn khơng có bước kiểm tra điều kiện Hơn nữa, SGK khơng nói đến việc giả thiết kết đồng khả Điều theo nghiên cứu Vũ Như Thư Hương (trong luận văn thạc sỹ, 2005, tr.35), sách giáo viên có viết: “Thơng thường mà ta khơng có lý để xem kết có khả xảy nhiều kết Chẳng hạn như: gieo súc sắc chế tạo cách cân đối mặt có khả xuất nhau; ta gieo đồng tiền cân đối khả lật mặt sấp mặt ngửa nhau; ta chọn ngẫu nhiên người nhóm người cách vơ tư, khơng thiên vị khả chọn người nhau; ta chia cỗ tú lơ khơ cỗ phải tráo thật kỹ kết đồng khả năng.” Vậy là, qua số ví dụ, sách giáo viên nêu lên cách nhận biết xem phép thử kết đồng khả hay không Nhưng theo Thư Hương (luận văn thạc sỹ, 2005, tr.36) sách giáo viên khơng nói việc giáo viên phải u cầu học sinh kiểm tra điều kiện định nghĩa cổ điển ∗ Với cách trình bày trên, SGK đưa định nghĩa cổ điển xác suất vào theo tiến trình đối tượng→cơng cụ đường qui nạp b) Định nghĩa thống kê xác suất: SGK đưa định nghĩa sau: “Xét phép thử T biến cố A liên quan đến phép thử Ta tiến hành lặp lặp lại N lần phép thử T thống kê xem biến cố A xuất lần Số lần xuất biến cố A gọi tần số A N lần thực phép thử T Tỉ số tần số A với số N gọi tần suất A N lần thực phép thử T Người ta chứng minh số lần thử N lớn tần suất A gần với số cố định, số gọi xác suất A theo nghĩa thống kê (số P(A) định nghĩa cổ điển xác suất)” Ngay sau định nghĩa, SGK có nêu lên mối quan hệ tần suất xác suất: “Như vậy, tần suất xem giá trị gần xác suất Trong khoa học thực nghiệm, người ta thường lấy tần suất làm xác suất Vì tần suất gọi xác suất thực nghiệm” 12 Để minh hoạ cho định nghĩa thống kê xác suất, sách giáo khoa có đưa ví dụ sau: “Ví dụ 7: Nếu ta gieo đồng xu cân đối xác suất xuất mặt ngửa 0,5 Bp-phơng (Buffon), nhà tốn học ngườ Pháp kỉ XVIII, thí nghiệm việc gieo đồng xu nhiều lần thu kết sau: Số lần gieo Tần số xuất mặt ngửa Tần suất xuất mặt ngửa 4040 2048 0,5070 12000 6019 0,5016 24000 12012 0,5005 Đây lại vídụ liên quan đến thực nghiệm mà không gian mẫu hữu hạn biến cố đồng khả xuất Ví dụ cho thấy rõ số phép thử lớn tần suất gần với với xác suất (điều kiểm chứng xác suất trường hợp tính theo định nghĩa cổ điển 0,5) Nhưng lại khơng cho học sinh thấy cần thiết việc sử dụng định nghĩa thống kê xác suất Do học sinh chưa biết cách sử dụng định nghĩa thống kê vào giải vấn đề thực tế Sau ví dụ SGK có đưa hai hoạt động H3 H4 Trong đó: H3 hoạt động củng cố định nghĩa thống kê xác suất tính tần suất dựa số liệu cho hoạt động thực nghiệm Hoạt động H4 hoạt động liên quan đến thống kê: “gieo súc sắc 100 lần Ghi lại kết việc gieo tính tần suất xuất mặt 1, 2, 3, 4, 5, chấm” Số chấm xuất Tần số Tần suất Rất tiếc hoạt động dừng lại mức độ cho học sinh lặp lại phép thử nhiều lần tính tần số tần suất xuất hiện, mà chưa tiến xa để tiếp cận khái niệm xác suất theo đường thực nghiệm (tham khảo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.39) ∗ SGK đưa định nghĩa thống kê xác suất vào theo tiến trình đối tượng → cơng cụ đường suy diễn Tóm lại, từ phân tích cho thấy: − SGK đặt trọng tâm vào việc vận dụng kiến thức đại số tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển Việc trình bày định nghĩa thống kê xác suất không trọng mức Khái niệm xác suất không 13 học sinh tiếp cận qua đường thực nghiệm mà SGK “chỉ giới thiệu định nghĩa thống kê xác suất, xem kết xác suất thực nghiệm qua thống kê chứng minh thực tế có tính thuyết phục cho giá trị xác suất tìm theo định nghĩa cổ điển” (trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.39) − SGK mối quan hệ xác suất tần suất “tần suất xem giá trị gần xác suất”, mối quan hệ thống kê xác suất dường không thiết lập lý thuyết II.3.2.Phần tập Trong phần em tìm hiểu kiểu nhiệm vụ toán xác suất SGK định nghĩa khái niệm xác suất có sử dụng vào giải vấn đề hay khơng? Các tập xác suất SGK có kiểu nhiệm vụ sau: − Mơ tả không gian mẫu − Liệt kê kết thuận lợi cho biến cố − Tính xác suất biến cố (kiểu nhiệm vụ chiếm hầu hết lượng tập chương xác suất) Trong nhiệm vụ có dạng: + Tính xác suất biến cố A + Tính xác suất biến cố A, với A hợp giao biến cố + Tính xác suất có điều kiện Hầu hết tập yêu cầu tính xác suất nêu tình có khơng gian mẫu hữu hạn, kết đồng khả xuất Chỉ có nêu tình kết không đồng khả xảy việc tính xác suất biến cố cần sử dụng cơng thức tính xác suất giải (bài 26, 27 tr 92; 36 tr.97) Tóm lại, lý thuyết có trình bày hai định nghĩa phần tập khơng có tập sử dụng định nghĩa thống kê xác suất để giải Phần lớn tập sử dụng định nghĩa cổ điển để tính xác suất Như vậy, lần khẳng định việc giới thiệu định nghĩa thống kê không trọng, nhiều cịn mang tính hình thức II.4.Thiết kế tình dạy học định nghĩa thống kê xác suất Dựa phân tích trên, em thiết kế tình dạy học định nghĩa thống kê xác suất II.4.1.Mục đích − Tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận định nghĩa thống kê xác suất đường thực nghiệm để học sinh thấy mối quan hệ thống kê xác suất − Phân biệt khác xác suất tần suất 14 − Cho học sinh thấy cần thiết phải dụng định nghĩa thống kê xác suất − Học sinh biết số ứng dụng định nghĩa thống kê xác suất thực tế II.4.2.Các bước tiến hành − Tình 1: Hai bạn A B chơi trò gieo đồng xu 500 đoán số lần xuất mặt 500 Bạn A nói rằng: “Do xác suất biến cố xuất mặt 500 ½ nên gieo 100 lần xuất 50 lần.” Theo em, liệu có bạn A chiến thắng trị chơi khơng? • Để biết bạn A có thắng hay khơng, tiến hành thực nghiệm “gieo đồng xu 500” 100 lần + Cho học sinh chia thành nhóm, nhóm hai người, tiến hành gieo đồng xu 500, học sinh gieo 100 lần, người cịn lại nhóm đếm số lần xuất mặt 500, tính tần suất tương ứng ghi vào phiếu số 1(do giáo viên chuẩn bị) + Giáo viên tổng hợp kết lại điền vào bảng + Tích lũy số lần gieo, cộng tần số xuất mặt 500 (trong bảng 1) điền vào bảng Học sinh Tần số xuất mặt 500 (ni) Tần suất xuất mặt 500 Ký hiệu (fi) … 45 n1 n2 n3 f1 f2 f3 … … … … Bảng Số lần gieo (N) Tần số xuất mặt 500 n1 100 n1 + n2 200 300 n1 + n2 + n3 … … 4600 … Tần suất xuất mặt 500 15 Bảng • Học sinh trả lời câu hỏi: Bạn A có thắng khơng? Vì sao? → Câu trả lời mong đợi: Bạn A khơng thắng Vì em gieo 100 lần có… (kết học sinh đưa ra) lần xuất mặt 500 • Giáo viên đặt câu hỏi: Vậy theo em, bạn A có hội thắng? Giáo viên gợi ý: Các em có nhận xét thay đổi tần suất xuất mặt 500 số lần gieo lớn? → Câu trả lời mong đợi: số lần gieo lớn tần suất gần xác suất biến cố xuất mặt 500 (xác suất tính định nghĩa cổ điển) Giáo viên: Yêu cầu học sinh vẽ đồ thị tần suất bảng ứng với số lần gieo để thấy rõ nhận xét Giáo viên nêu lại câu hỏi: Vậy bạn A có hội thắng? Vì sao? → Câu trả lời mong đợi: số lần gieo đủ lớn Vì tần suất gần xác suất ½ nên số lần xuất mặt 500 gần nửa số lần gieo ∗ Từ giáo viên kết luận: số phép thử lớn tần suất tiến gần đến giá trị người ta lấy giá trị làm giá trị gần cho xác suất Tần suất xác suất − Tình 2: Dán đồng tiền xu 500 5000 lại với tạo thành đồng tiền ghép có hai mặt mặt 500 mặt 5000 Bạn A nói rằng: “khi tung ngẫu nhiên đồng tiền xác suất để xuất mặt 500 ½” Em có đồng ý với bạn A khơng? Tại sao? • Giáo viên hỏi: Có cách để tính xác suất xuất mặt 500 tung ngẫu nhiên đồng tiền ghép này? → Câu trả lời mong đợi: Chỉ có cách tính định nghĩa thống kê Vì đồng tiền ghép khơng đồng chất (kích thước, trọng lượng,… đồng xu 500 5000 khác nhau) định nghĩa cổ điển khơng sử dụng • Giáo viên: Vậy tiến hành thực nghiệm với bước tương tự tình ghi kết vào bảng 2’ Khi lấy giá trị f46000 làm giá trị gần thay cho xác suất − Hoạt động nhà: Giáo viên yêu cầu học sinh tìm hiểu xem định nghĩa thống kê sử dụng trường hợp thực tế 16 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Luận văn thạc sỹ Khái niệm xác suất dạy học toán THPT, Vũ Như Thư Hương, 2005 [2] Cơ sở lý thuyết xác suất, Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến [3] Lý thuyết xác suất thống kê toán học, PGS TS Nguyễn Quang Báu [4] Lý thuyết xác suất thống kê, Đinh Văn Gắng [5] Giáo trình lý thuyết xác suất thống kê tốn học, Trần Tuấn Điệp, Lý Hồng Tú [6] Đại số giải tích 11 (Sách giáo khoa thí điểm Ban KHTN), Đoàn Quỳnh (chủ biên) 18 ...KHÁI NIỆM XÁC SUẤT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG I MỞ ĐẦU I.1.Lý chọn đề tài Lý thuyết xác suất ngày trở thành ngành tốn học lớn, chiếm vị trí quan trọng... học, … II.2.Các cách định nghĩa khái niệm xác suất: Từ tham khảo lịch sử nảy sinh phát triển khái niệm xác suất giáo trình Lý thuyết xác suất bậc đại học, khái niệm xác suất tiếp cận theo cách sau:... trưng khoa học luận khái niệm xác suất ∗ Các cách định nghĩa xác suất Điều kiện để sử dụng định nghĩa ∗ Tìm hiểu ưu nhược điểm cách định nghĩa khái niệm xác suất góc độ tốn học thực tế dạy học Từ