ĐỀ TÀI NHĨM BÀI TỐN CÂY KHUNG NHỎ NHẤT Danh sách nhóm: -Hà Xuân Tùng -Lê Thị Quỳnh Nga -Vi Đình Diệm -Hà Thị Thu Trang GIỚI THIỆU VỀ CÂY VÀ CÂY KHUNG CÂY VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa 1.2 Các tính chất CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ 2.1 Định nghĩa 2.2 Bài tốn tìm khung ngắn 2.3 Thuật toán Kruskal 2.4 Thuật toán Prim Cây tính chất - Cây dạng đồ thị nhà toán học Anh, Arthur Cayley, phát biểu sử dụng từ năm 1857 cho việc xác định cấu trúc hợp chất hóa học isobutan Arthur Cayley (1821-1895) Cây tính chất Định nghĩa Cây: Cho G=(V,E) đồ thị vô hướng G gọi Cây (tree) G liên thơng khơng có chu trình đơn 1 Cây tính chất Ví dụ: a b c d e f G1 a b c d f e G2 a b c d f e G3 G1, G2 cây; G3, G4 a b c d f e G4 Cây tính chất * Các tính chất bản: - Với T có n đỉnh, phát biểu tương đương: 1- T liên thông có n-1 cạnh 2- T khơng có chu trình đơn có n-1 cạnh 3- Giữa hai đỉnh có đường đơn 4- T liên thông cạnh cầu 2 Cây khung đồ thị Cách tạo khung đồ thị: - Thực loại bỏ cạnh nằm chu trình đóĐịnh tạo đồCho thị G' cóthị tínhvơliên thơng nghĩa: G đồ hướng liên thông Ta gọi đồ thị T -của G làhiện tiếp khung bỏ T thỏa điềuchu kiện:trình Thực việc loại mãn cạnhhai khác cho-Tđến cây; đồ thị T khơng chu trình liên thông - Tập đỉnh T tập đỉnh => Chúng ta thu nối tất đỉnh G - gọi khung đồ thị 2 Cây khung đồ thị Ví dụ: Cho đồ thị G hình đây, thực tìm khung đồ thị G B B A D D A C C F E E F G G H H Bài toán tìm khung nhỏ nhất: Cho G=(V,E) đồ thị vơ hướng, liên thơng có trọng số Giả sử H=(V,T) khung đồ thị G Độ dài c(H) khung H tổng trọng số cạnh cây: Bài toán: Trong số tất khung đồ thị G, tìm khung có độ dài nhỏ Các tốn thực tế: 1- Bài tốn nối mạng máy tính: 2tốnmáy xây dựng hệ thống đường VớiBài mạng tính gồm n máy Biết sắt: chi phí nối máy i với Chúng muốn(chi xây phí dựng hệ thống đường sắt nối cần n sử máy j làtam(i,j) phụ thuộc vào độ dài cáp thành hành khách thành có chi thể bất dụng).phố Hãyđểtìm cách nối từ mạng chophố tổng phíđến nhỏ kỳ thành phố lại u cầu thiết kế để chi phí xây dựng hệ thống đường nhỏ 1 Thuật toán Kruskal (năm 1956) - Đồ thị G=(V,E), liên thơng, có trọng số - Cây khung H=(V,T), với T  E Thuật tốn Kruscal tìm khung ngắn B0: T = ø; B1: Sắp xếp cạnh G theo thứ tự tăng dần trọng số B2: Xuất phát từ tập cạnh T = ø; Lần lượt duyệt danh sách cạnh xếp từ nhỏ đến lớn để tìm cạnh bổ sung vào T mà khơng tạo thành chu trình Until |T|=n-1 kết thúc Giả mã thuật toán Kruskal    Void Kruskal ( void ) { T= ø; While( |T| < (n-1) && (E ≠ ø)) { E=E\ {e}; if ( T : khơng tạo nên chu trình ) T=T } if (|T| < n-1) Đồ thị không liên thông; } 2.4 Thuật tốn Kruskal Ví dụ: Tìm khung ngắn đồ thị G hình bên Giải: Đặt tập T=ø (T-là tập cạnh khung ngắn nhất) Sắp xếp cạnh đồ thị G theo trọng số tăng dần: {(v3, v5), (v4, v6), (v4, v5), (v5, v6), (v3, v4), (v1, v3), (v2, v3), (v2, v4), (v1, v2)} Thêm vào cạnh (v3, v5) vào T; |T|=1 Xét lực lượng T, |T| c[u, v] ) { d[v] = c[u,v]; Near[v] = u;} } } Ví dụ 1: Tìm khung ngắn đồ thị G hình 9 A B 5 C 4 D Lời giải:  Chọn A làm đỉnh xuất phát Xét có [A,B] = 9,[A,D]= 5,[A,C] = 2;  Chọn đỉnh C (nạp [A,C] = )  Từ C A làm đỉnh xét  Xét [C,B] = , [C,D] = , [A,B] = 9, [A,D] = => Chọn đỉnh D (nạp [C,D] = )  Lấy D,C,A đỉnh xét  Xét [D,B] = ,[C,B] = 7, [A,B] = => chọn đỉnh B (nạp [C,B] = 5)  Số cạnh lúc = 4-1 Kết thúc thuật toán Ví dụ 2: Tìm khung ngắn đồ thị G hình Lời giải: a b c d f e Lấy đỉnh a làm đỉnh xuất phát Nhận xét: - Thuật toán Kruskal khơng đạt hiệu cao việc tìm khung ngắn cho đồ thị số bước thực tính theo số cạnh đồ thị - Thuật tốn Prim đánh giá có hiệu với đồ thị có số cạnh m > n(n-1)/2  ... VỀ CÂY VÀ CÂY KHUNG CÂY VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa 1.2 Các tính chất CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ 2.1 Định nghĩa 2.2 Bài tốn tìm khung ngắn 2.3 Thuật toán Kruskal 2.4 Thuật toán Prim Cây. .. G G H H Bài tốn tìm khung nhỏ nhất: Cho G=(V,E) đồ thị vơ hướng, liên thơng có trọng số Giả sử H=(V,T) khung đồ thị G Độ dài c(H) khung H tổng trọng số cạnh cây: Bài toán: Trong số tất khung đồ... Bài toán: Trong số tất khung đồ thị G, tìm khung có độ dài nhỏ Các toán thực tế: 1- Bài toán nối mạng máy tính: 2tốnmáy xây dựng hệ thống đường VớiBài mạng tính gồm n máy Biết sắt: chi phí nối