SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q A>. XÁC ĐỊNH ĐỀ TÀI: Toán học có vai trò to lớn trong lónh vực nghiên cứu khoa học nói chung và cho bộ môn khoa học tự nhiên nói riêng. Có người đã xem “Toán học là nền tảng của mọi môn khoa học” bởi tính quan trọng và phong phú của nó. Nghiên cứu, khai thác, vận dụng, làm sáng tỏ các vấn đề liên quan trong toán học là một nhiệm vụ không thể thiếu trong nhà trường ở tất cả các cấp học. Trong chương trình toán THPT, nghiên cứu về phương trình là một trong những dạng toán phổ biến và đa dạng, đa số các dạng phương trình đã được đề cập trong chương trình đều có công thức nghiệm và phương pháp giải khá chi tiết. Tuy nhiên để chứng minh một phương trình có nghiệm thì một vài dạng không thể áp dụng các công thức nghiệm bình thường mà cần áp dụng một số tính chất khác của hàm số như: Tính liên tục, tính đơn điệu để giải. Trong thực tế giảng dạy Toán tại trường THPT, bản thân tôi nhận thấy phần lớn học sinh giải quyết chưa tốt các dạng toán này. Học sinh thường lúng túng chưa nắm vững phương pháp giải khi đề bài yêu cầu chứng minh phương trình có nghiệm. Do đó thường giải sai bài toán hoặc bế tắc trong nhiều trường hợp đề bài yêu cầu phức tạp. Điều này thúc đẩy tôi lấy đề tài “Ứng dụng tính chất của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm” cho bài viết của mình. B>. NHỮNG KHÓ KHĂN HỌC SINH THƯỜNG GẶP : Trong quá trình giải một bài toán chứng minh phương trình có nghiệm, học sinh thường gặp phải những khó khăn cơ bản sau đây: • Nắm không vững kiến thức nên lúng túng, không đònh hướng được cách giải toán và chưa biết phân tích được dạng toán đề bài yêu cầu dẫn đến thường giải sai. Hiểu sai vấn đề giữa giải quyết yêu cầu Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm với việc Giải phương trình. • Chưa biết cách vận dụng liên hệ kiến thức liên quan để áp dụng vào giải toán mà chỉ rập khuôn, máy móc theo sự hiểu biết còn hạn chế của mình. Từ những khó khăn trên, tôi đưa ra hướng giải quyết vấn đề như sau: C>. HƯỚNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: Để giải một bài toán chứng minh phương trình có nghiệm trước tiên ta cần xác đònh 3 điều cơ bản sau: • Cần xem mỗi phương trình đều có thể biểu diễn dưới dạng các hàm số, từ đó có thể dùng các tính chất của hàm số để làm phương pháp giải bài toán. • Cần xác đònh lượng kiến thức cơ bản liên quan đến phương pháp đã chọn. Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 1 SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q • Cần đặt vấn đề: Theo yêu cầu của đề bài, vận dụng lượng kiến thức ấy như thế nào, khi nào ? Trên cơ sở phân tích chi tiết các yếu tố liên quan và đònh hướng phương pháp giải quyết, liên hệ đến yêu cầu của bài toán sẽ giúp cho ta có cách nhìn tổng quát bài toán hơn. Mỗi một phương pháp vận dụng cần có những lượng kiến thức khác nhau. Trong đề tài của mình, tôi nêu theo hướng như sau: + Nêu một số tính chất quan trọng của hàm số có liên quan đến việc vận dụng (Tính liên tục, tính đơn điệu, tính lồi lõm) + Đònh hướng chung để giải toán tìm điều kiện phương trình có nghiệm. + Phương pháp giải liên quan trong từng trường hợp. + Giải các bài toán minh họa. + Phân tích tìm hướng giải các dạng toán khác liên quan. PHẦN I: CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN QUAN 1>. Tính liên tục của hàm số: a/. Đònh nghóa hàm số liên tục: (SGK Đại số và Giải tích 11 – NXB GD) * Hàm số liên tục tại một điểm: Cho hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục tại điểm x 0 ∈ (a; b) nếu: )()(lim 0 0 xfxf xx = → Hay: )()(lim)(lim 0 00 xfxfxf xxxx == −+ →→ . * Hàm số liên tục trên khoảng: Cho hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy. * Hàm số liên tục trên đoạn: Cho hàm số f(x) xác đònh trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và: )()(lim);()(lim bfxfafxf bxax == −+ →→ b/. Tính chất của hàm số liên tục: Tính chất 1: Các hàm số đa thức, hàm hữu tỉ, hàm số lượng giác, hàm số mũ là hàm liên tục trên tập xác đònh của chúng. Tính chất 2 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0. Hay phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b) Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 2 SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q 2>. Một số tính chất khác của hàm số: * Tính chất của hàm số đơn điệu: (Giải tích 12) Nếu có f’(x) < 0 (hay f’(x) > 0) trong khoảng (a; b) thì đồ thò của f(x) đồng biến (nghòch biến) trong khoảng (a; b). * Tính chất của hàm số lồi lõm: (Giải tích 12) Nếu có f”(x) < 0 (hay f”(x) > 0) trong khoảng (a; b) thì đồ thò của f(x) lồi (lõm) trong khoảng (a; b)). Khai thác tính chất: Ta căn cứ vào đồ thò của hàm số đơn điệu và hàm số lồi lõm sau đây để phân tích tìm kết quả liên hệ: a>. Đồ thò hàm số đơn điệu: y y (C) (C) O x O x Đồ thò hàm số đồng biến Đồ thò hàm số nghòch biến Rõ ràng đồ thò hàm số đơn điệu luôn cắt Ox tại 1 điểm, điều này giúp ta có thể biến đổi phương trình về dạng f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm số đơn điệu thì có thể chứng minh phương trình luôn có 1 nghiệm. Kết quả trên cho ta hệ quả quan trọng sau: Nếu Hàm số y = f(x) có f’(x) < 0 hay f’(x) > 0 trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong (a; b). b>. Đồ thò hàm số lồi, lõm: y y (C) (C) O x O x Đồ thò hàm số lồi Đồ thò hàm số lõm Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 3 SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q Từ đồ thò hàm số lồi lõm, ta nhận thấy (C) cắt Ox tại không quá 2 điểm, điều này giúp ta có thể biến đổi phương trình về dạng f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm số lồi (lõm) thì có thể chứng minh phương trình có không quá 2 nghiệm. Kết quả trên cho ta hệ quả quan trọng sau: Nếu Hàm số y = f(x) có f”(x) < 0 hay f”(x) > 0 trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm trong (a; b). PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BÀI TOÁN MINH HOẠ DẠNG TOÁN CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Phương pháp 1: Vận dụng tính liên tục của hàm số. + Biến đổi phương trình đã cho về dạng f(x) = 0. +Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. + Tính f(a), f(b). +Chứng minh f(a).f(b) < 0 + Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a; b) Bài toán 1: Chứng minh phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm trong đoạn [0; 1]: a>. x 3 + 5x – 3 = 0 b>. 3 x + 4 x = 9 x . Giải: a>. Đặt f(x) = x 3 + 5x – 3. Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác đònh trên R. Ta có: ⇒    >= <−= 03)1( 03)0( f f f(0).f(1) < 0. Vậy có ít nhất một số c ∈ (0; 1) để f(c) = 0 Hay phương trình x 3 + 5x – 3 = 0 có ít nhất một nghiệm trong đoạn [0; 1]. b>. Đặt f(x) = 3 x + 4 x - 9 x . Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác đònh trên R. Ta có: ⇒    <−=−+= >=−+= 02943)1( 01111)0( f f f(0).f(1) < 0. Vậy có ít nhất một số c ∈ (0; 1) để f(c) = 0 Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 4 SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q Hay phương trình 3 x + 4 x = 9 x có ít nhất một nghiệm trong đoạn [0; 1]. Bài toán 2: Chứng minh phương trình 2x 3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trên đoạn [-2; 2]. Giải: Đặt f(x) = 2x 3 - 6x + 1. Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác đònh trên R. Ta có: ⇒    >= <−=− 01)0( 03)2( f f f(-2).f(0) < 0. ⇒    <−= <= 03)1( 01)0( f f f(0).f(1) < 0. ⇒    >= <−= 05)2( 03)1( f f f(1).f(2) < 0. Mà f(x) cũng liên tục trên các đoạn [-2; 0], [0; 1] và [1; 2]. Do đó phương trình f(x) = 0 hay phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm trên đoạn [-2; 2]. Vì phương trình f(x) = 0 là phương trình bậc ba nên nó có nhiều nhất ba nghiệm ⇒ phương trình có đúng ba nghiệm trong đoạn [-2; 2]. Bài toán 3: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm: a>. cosx + mcos2x = 0 b>. m(x -1) 3 (x + 2) + 2x + 3 = 0 Giải: a>. Đặt f(x) = cosx + mcosx. Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác đònh trên R. Ta có: ⇒        <−= >= 0 2 2 ) 4 3 ( 0 2 2 ) 4 ( π π f f f( 4 π ).f( 4 3 π ) < 0. Vậy có ít nhất một số c ∈ ( 4 π ; 4 3 π ) để f(c) = 0 ⇒ PT cosx + mcos2x = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( 4 π ; 4 3 π ). b>. Đặt f(x) = m(x -1) 3 (x + 2) + 2x + 3. Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác đònh trên R. Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 5 SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q Ta có: ⇒    <−=− >= 01)2( 05)1( f f f(1).f(-2) < 0. Vậy có ít nhất một số c ∈ (-2; 1) để f(c) = 0. Hay phương trình : m(x -1) 3 (x + 2) + 2x + 3 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; 0). Bài toán 4 : Chứng minh với 0 < a < b phương trình sau có ít nhất một nghiệm: (x – a).(x – b) + 2x 2 – a 2 – b 2 = 0. Giải : Đặt f(x) = (x -a)(x - b) + 2x 2 – a 2 – b 2 Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác đònh trên R. Ta có: ⇒      >>−= <<−= abvìabbf bavìbaaf :0)( :0)( 2 2 22 f(a).f(b) < 0. Vậy có ít nhất một số c ∈ (a; b) để f(c) = 0 Hay phương trình (x - a)(x - b) + 2x 2 – a 2 – b 2 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b). Phương pháp 2: Vận dụng tính lồi, lõm của hàm số. + Biến đổi phương trình đã cho về dạng f(x) = 0. + Tìm đạo hàm f’(x) trên khoảng (a; b). Hướng 1: + Chứng minh f’(x) < 0 hoặc f’(x) > 0 trên khoảng (a; b). + Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong khoảng (a; b) Hướng 2: + Tìm đạo hàm f”(x) trên khoảng (a; b). + Chứng minh f”(x) < 0 hoặc f”(x) > 0 trên khoảng (a; b). + Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm trong khoảng (a; b) Bài toán 1: Chứng minh rằng các phương trình sau có không quá 1 nghiệm. Tìm nghiệm đó. a>. 3 x + x = 4 (1) b>. 6 x – 2 x = 32. (2) Giải: a>. Xét hàm số: f(x) = 3 x + x – 4 Ta có: f’(x) = 3 x ln3 + 1 > 0 ; ∀x ∈ R. Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm. Mà f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm của phương trình (1). Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 6 SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q Vậy: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 1. b>. Xét hàm số: f(x) = 6 x - 2 x – 32 Ta có: f’(x) = 6 x .ln6 - 2 x .ln2 Vì 6 x – 2 x = 32 > 0 nên 6 x ln6 - 2 x ln2 > 0 hay f’(x) > 0 ; ∀x∈ R. Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm. Mà f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm của phương trình (2). Vậy: Phương trình (2) có nghiệm duy nhất là x = 2. Bài toán 2: Chứng minh rằng phương trình sau có không quá 1 nghiệm. 4 x – x.2 x + x – 1 = 0. (3) Giải: Đặt t = 2 x > 0 ⇔ t 2 – x.t + (x – 1) = 0 ⇔     −= = ⇔    −= = 12 12 1 1 x xt t x x + 2 x = 1 ⇔ x = 0 + Xét hàm số f(x) = 2 x – x + 1 ⇒ f’(x) = 2 x .ln2– 1. Ta có: x – 1 = 2 x > 0 ⇒ x > 1. ⇒ f’(x) = 2 x .ln2– 1 > 2.ln2 – 1 > 0 ; ∀x > 1. Mà f(1) = 2 > 0 ⇒ f(x) > 0 ; ∀x > 1⇒ 2 x = x – 1 vô nghiệm. Vậy (3) có nghiệm duy nhất x = 0. Bài toán 3: Chứng minh rằng phương trình sau có không quá 2 nghiệm. 3.4 x + (3x – 10).2 x + 3 – x = 0 (4) Giải: Đặt t = 2 x > 0 ⇔ 3t 2 + (3x – 10).t + (3 – x) = 0 ⇔    =−+ −= ⇔      +−= = ⇔     +−= = 032 3log 32 3 1 2 3 3 1 2 x x x xt t x x x Xét hàm số f(x) = 2 x + x – 3 ⇒ f’(x) = 2 x .ln2 + 1> 0 ; ∀x ∈ R. ⇒ f(x) = 0 có không quá một nghiệm. Ta có : f(1) = 0 ⇒ f(x) = 0 ⇔ x = 1. Vậy (4) có 2 nghiệm x = -log 2 3 ; x = 1. Bài toán 4: Chứng minh rằng phương trình sau có không quá 2 nghiệm. 3 x + 5 x = 6x +2 (5) Giải: Xét hàm số f(x) = 3 x + 5 x – 6x – 2 ⇒ f’(x) = 3 x .ln3 + 5 x .ln5 – 6 ⇒ f”(x) = 3 x .(ln3) 2 + 5 x .(ln5) 2 > 0 ; ∀x ∈ R. Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 7 SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q Suy ra (3) có không quá 2 nghiệm. Mà f(0) = 0 và f(1) = 0. Vậy (5) có 2 nghiệm x = 0 ; x = 1. Bài toán 5 : Chứng tỏ rằng, với mọi giá trò a, b phương trình sau không thể có ba nghiệm phân biệt: (x + a) 3 + (x + b) 3 - x 3 = 0 (6) Giải: Xét hàm số : f(x) = (x + a) 3 + (x + b) 3 - x 3 trên (- ∞ ; + ∞ ). Ta có hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên (- ∞ ; + ∞ ). f'(x) = 3(x + a) 2 + 3(x + b) 2 - 3x 2 Để phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số f(x) phải có cực đại, cực tiểu trái dấu. Khi đó phương trình f'(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt. Mà 3(x + a) 2 + 3(x + b) 2 - 3x 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆' > 0 ⇔ (a + b) 2 - (a 2 + b 2 ) = 2ab > 0. Mặt khác, với ab > 0 thì phương trình (1) không có nghiệm x = 0, vì thế ta giả thiết x ≠ 0. Khi đó: (6) ⇔ 111 33 =       ++       + x b x a (7) Xét hàm số g(x) = 33 11       ++       + x b x a với x ≠ 0. Ta có : g'(x) = 2 2 2 2 1 3 1 3       +−       +− x b x b x a x a Vì ab > 0 nên g'(x) > 0 hoặc g'(x) < 0 với mọi x ≠ 0. Suy ra (7) có không quá 1 nghiệm hay (6) có không quá 1 nghiệm - mâu thuẩn với giả thiết. Vậy: (6) không thể có quá 3 nghiệm phân biệt. Bài toán 5: Cho các số dương a, b, c thoả điều kiện: a 2 + b 2 = c 2 . CMRằng phương trình: a x + b x = c x (*) có duy nhất một nghiệm. Giải: Ta có pt (*) ⇔ 1 =       +       xx c b c a Xét hàm số f(x) = xx c b c a       +       trên (- ∞ ; + ∞ ). Ta có: f'(x) = xx c b c b c a c a       +       .ln.ln Từ điều kiện    =+ > 222 0,, cba cba ⇒ 10;10 <<<< c b c a . Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 8 SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q Do đó: 0ln,0ln << c b c a ⇒ f’(x) < 0, ∀x ∈ (- ∞ ; + ∞ ). Do đó phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trên (- ∞ ; + ∞ ). Mà f(2) = 0 nên x= 2 là nghiệm duy nhất của (*). D>. KẾT QUẢ GIẢNG DẠY Khi giúp học sinh tiếp xúc phần kiến thức này, với cách trình bày như trên tôi đã thu được những kết quả rất khả quan. Từ những khó khăn tưởng chừng như bế tắc, học sinh đã tự tin hơn trong việc phân tích, hình thành phương hướng giải. Đặc biệt là vận dụng các tính chất của hàm số để khai thác phương trình. Tôi hiểu được rằng việc nhận thức, tiếp thu, hiểu và vận dụng một kiến thức khoa học là điều không thể dễ dàng đối với học sinh. Tuy nhiên qua các tiết trình bày tôi nhận thấy đã tạo cho các em hứng thú, đa số học sinh đã biết nhìn bài toán theo từng dạng và áp dụng tương đối tốt các phương pháp giải. Từ các bài toán cụ thể, học sinh đã biết cách phát triển bài toán bằng cách thay đổi các dữ kiện, biến đổi bài toán để có các bài tập tương tự, và từ đó tìm tòi vận dụng một số kết quả khác làm công cụ để giải một số bài toán các dạng khác. E>. BÀI HỌC KINH NGHIỆM Muốn giải quyết tốt dạng toán chứng minh phương trình có nghiệm, cần phân loại ra theo từng dạng toán, từ đó khi gặp các bài toán tương tự, ta dễ dàng đònh hướng được cách giải nhanh chóng. Trong việc trình bày cho học sinh, người giáo viên cần tập trung rèn luyện cho học sinh phân tích kỹ bài toán, liên hệ đến các tính chất của hàm số, đặc biệt các điều kiện liên tục, các giá trò đầu mút của đoạn, để tìm các hướng giải quyết thích hợp Từ thực tiễn vận dụng vào giảng dạy cho học sinh, tôi rút ra được một số kinh nghiệm sau: + Khi hướng dẫn cho học sinh giải quyết một dạng toán trong sách giáo khoa, người giáo viên cần tìm tòi, nghiên cứu thêm để khai thác dạng toán, cung cấp thêm cho học sinh nhiều dạng để các em yên tâm, tự tin hơn trong việc khám phá những kiến thức mới và vận dụng vào giải quyết bài toán một cách chủ động. + Trước khi vận dụng một kiến thức nào đó làm cơ sở giải toán, người giáo viên cần đặt ra vấn đề cho học sinh suy nghó, tìm tòi, phát huy được khả năng sáng tạo và hiểu biết của mình, từ đó người giáo viên kòp thời bổ sung lượng kiến thức cần thiết, tạo đà cho học sinh khám phá, gây hứng thú trong học tập. + Người giáo viên cần tìm tòi nghiên cứu những kiến thức ứng dụng phù hợp với trình độ học sinh để giúp học sinh khám phá những phương pháp giải Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 9 SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q toán mới, giúp các em có thể giải quyết những bế tắc trong việc tìm hướng giải cho một bài toán một cách khoa học và chính xác. F>. KẾT LUẬN Mỗi lượng thông tin khoa học khi cung cấp cho học sinh cần đảm bảo tính chính xác và có mối liên hệ với thực tiễn. Do đó khi khai thác một dạng toán chúng ta cần vận dụng linh hoạt các bài tập trong sách giáo khoa và những bài tập liên hệ phù hợp để nâng cao khả năng tư duy của học sinh. Trên đây là một số kinh nghiệm của cá nhân tôi về một vấn đề được rút ra từ thực tiễn giảng dạy của bản thân. Hy vọng quý đồng nghiệp sẽ đồng cảm nhận với tôi trong việc trình bày đề tài này. Là kinh nghiệm của bản thân cho nên khi viết chắc chắn sẽ có nhiều hạn chế và đề cập vấn đề còn nhiều phiếm diện. Rất mong quý đồng nghiệp góp ý kiến đề bài viết của tôi hoàn thiện hơn. Hà Tiên, ngày 05 tháng 04 năm 2005 TÁC GIẢ NHẬN XÉT CỦA ĐƠN VỊ Huỳnh Ngọc Q Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 10 [...]... điệu của hàm số 3 b) Tính lồi, lõm của hàm số 3 c) Khai thác tính chất và nêu hệ quả 3 Phần II: Phương pháp giải và bài toán minh hoạ dạng toán chứng minh phương trình có nghiệm Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 11 SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q Phương pháp 1: Vận dụng tính liên tục của hàm số 4 Phương pháp 2: Vận dụng tính đơn điệu, lồi, lõm của...Huỳnh Ngọc Q SKKN năm học 2004 – 2005 MỤC LỤC Trang A> Xác đònh đề tài 1 B> Những khó khăn mà học sinh thường gặp 1 C> Hướng giải quyết vấn đề 1 Phần I : Tính chất của các hàm số liên quan . SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q A>. XÁC ĐỊNH ĐỀ TÀI: Toán học có vai trò to lớn trong lónh vực nghiên cứu khoa học nói chung và cho. Đònh hướng chung để giải toán tìm điều kiện phương trình có nghiệm. + Phương pháp giải liên quan trong từng trường hợp. + Giải các bài toán minh họa. +