Đang tải... (xem toàn văn)
Xuất phát từ nhu cầu cháy bỏng đó, bản thân tôi cũng là một giáo viên bộ môn Toán, tuy có kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm, song môi trường giáo dục học sinh giỏi cũng như môi trường bồi dưỡng học sinh giỏi Toán cũng mới chỉ ở mức độ tiếp cận về nội dung chương trình chuyên sâu, mục tiêu cũng mới chỉ đặt ra là có giải học sinh giỏi quốc gia, dù là giải khuyến khích,...
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT (Tài liệu bồi dưỡng chuyên sâu trao đổi phương pháp học tập nghiên cứu dành cho học sinh THPT.) GV Nguyễn Thị Thanh Tinh Trường THPT Chu Văn An Chun đề: Phương pháp khai thác tốn hình học phẳng kỳ thi học sinh giỏi để bồi dưỡng cho học sinh THPT tỉnh Đăk Nông A Lý chọn đề tài Nhằm mở đầu cho việc xây dựng hoạt động học tập nghiên cứu vấn đề tốn cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi cách cụ thể, kiến thức chuyên sâu mà đòi hỏi người giáo viên phải có cách nhìn nhận việc tìm kiếm vấn đề gần gũi với thời sự, nội dung nhạy cảm đề thi để hỗ trợ cho học sinh trình học tập hướng vào chất lượng hiệu quả, hướng vào việc đạt giải kỳ thi học sinh giỏi quốc gia học sinh tỉnh Đăk Nông mà nhiều năm kể từ thành lập tỉnh, kết học sinh giỏi quốc gia chưa khẳng định mơn Tốn, chưa nói đến mục tiêu học sinh giỏi tham gia đội tuyển dự thi quốc tế Đăk Nơng q xa vời… Xuất phát từ nhu cầu cháy bỏng đó, thân tơi giáo viên mơn Tốn, có kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm, song môi trường giáo dục học sinh giỏi môi trường bồi dưỡng học sinh giỏi Toán mức độ tiếp cận nội dung chương trình chuyên sâu, mục tiêu đặt có giải học sinh giỏi quốc gia, dù giải khuyến khích… Lý việc học tập kinh nghiệm giảng dạy nghiên cứu khoa học thân, thấy cần thiết phải xây dựng cho quy trình kiến thức chuyên sâu mà việc vấn đề có thực tiễn, chuyên đề này, lựa chọn tốn hình học phẳng, tốn thách thức học sinh trung học phổ thông tỉnh Đăk Nông Việc nghiên cứu thực theo quy trình sau: Bước Tìm kiềm tốn hình học gốc lời giải, vấn đề quan trọng, việc tìm kiếm phải hướng vào khai thác thông tin thời thi cử học sinh giỏi, ngồi giúp cho học sinh định hướng tốt đế vấn đề xuất kỳ thi hàng năm Bước Phân tích tốn gốc theo nhiều cách giải khác theo số quan điểm bản, tốn hình học, phân tích vấn đề theo số quan điểm ban đầu, cách giải sơ cấp tốn, xử lý tốn theo phương pháp tọa độ Đề - vng góc mặt phẳng, phân tích vấn đề hình học theo hướng đại số véc tơ… Bước Việc mở rộng toán cần thiết để giúp cho học sinh khái quát vấn đề nghiên cứu, thay đổi giả thiết vấn đề, thay đổi giả thiết cách toàn diện giữ nguyên bố cục tốn để tìm kiếm mở rộng kết với u cầu khơng có thay đổi cách thức giải vấn đề… Bước Mong muốn đưa kiến thức chuyên sâu vào để giải tốn, qua cách để dạy kiến thức học sinh giỏi Cũng tùy vào vấn đề cụ thể đặt toán để lựa chọn áp dụng kiến thức chuyên sâu phù hợp, chẳng hạn có nội dung tỷ lệ song song khai thác định lý Menelaus, định lý Ce - va, có tiếp tuyến đường tròn nên nghĩ đến định hướng hàng điểm điều hòa, có vấn đề trung điểm thi nên đưa việc ứng dụng định lý Gauss để giải toán ĐT 0903565189 Bước Phần tập quan trọng học sinh, vấn đề đưa để học sinh học tập nghiên cứu theo quan điểm cần kiến thiết từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng, từ dễ đến khó… để tạo hứng thú cho em Trong chuyên đề này, chọn tốn hình học kỳ thi Olympic lớp 10, lớp 11 tỉnh Đăk Nông năm học 2013-2014 tổ chức trường trung học phổ thông chuyên Nguyễn Chí Thanh để làm ví dụ cụ thể cho học sinh tự học tập nghiên cứu Bước Giáo dục học sinh nhìn nhận vấn đề hình học nói riêng vấn đề chuyên sâu khác nói chung theo quan điểm phân tích tốn hình học phẳng B Tầm quan trọng chun đề Hàng năm, tốn hình học phẳng đề thi học sinh giỏi chiếm tỷ lệ điểm quan trọng, thông thường từ điểm đến điểm theo thang điểm 20 cho vòng thi Bài tốn hình học phẳng ln ln xuất đề thi với yêu cầu thí sinh tu sáng tạo cách nhìn nhận giả thiết vận dụng vào cách giải phù hợp với thời gian quy đinh Nhận thức hình học chuyên sâu học sinh nói chung học sinh giỏi nói riêng vần dàn trãi, chưa có tổng hợp tồn diện kiến thức, ngun nhân để học sinh ngại va chạm vấn đề hình học phẳng theo cách nhìn nhận khác để trau dồi lý luận toán học thực tiễn Chuyên đề đặt định hướng giảng dạy kiến thức chuyên sâu hình học phẳng cho học sinh cách tự nhiên thống qua nhu cầu giải tốn đặt Cùng với tồn hệ thống toán đề thi học sinh giỏi hàng năm, tốn hình học phẳng đặt mục tiêu chiếm lĩnh kết nhanh chóng phù hợp với thời gian đề thi học sinh trung học phổ thông Đăk Nông Hơn nữa, chuyên đề giảng dạy vùng kiến thức hình học có nhiều việc định hướng hiệu giảng dạy nhiều ý kiến khác cần phải bàn, chuyên đề thân hướng đề xuất để bàn bạc trao đổi phương pháp dạy học đối tượng học sinh giỏi trung học phổ thông theo chương trình chuyên sâu Mặt nữa, dù vấn đề khái quát đến cấp độ việc xử lý sơ cấp tốn ln đặt cách cấp thiết, nhằm mục tiêu trước mắt tác động tư sáng tạo học sinh, giúp giáo viên hệ thống tồn phương pháp dạy học mơn Tốn chương trình trung học nói chung chương trình trung học phổ thơng nói riêng C Thực trạng chuyên đề Hiện chất lượng làm đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Tốn học sinh tỉnh ta nhiều yếu kém, em lúng túng bắt đầu vào việc giải vấn đề hình học phẳng Giáo viên chưa có định hướng cụ thể phương pháp dạy học loại chủ đề này, đa phần giảng dạy theo kiểu đưa tốn biết, tốn có sẵn lời giải cho để yêu cầu học sinh phát lại lối mòn mà chưa có phương pháp giảng dạy cho em phát triển tư sáng tạo Công tác học tập trao đổi kinh nghiệm nhiều hạn chế, thơng thường bị lập lại giáo viên chúng ta, thông thường bị cục hóa tổ chun mơn nhà trường, chưa có cọ xát giao lưu học tập kinh nghiệm đơn vị trường học với khơng có giao lưu kiến thức chuyên sâu ĐT 0903565189 hình học phẳng tỉnh với nhau, tỉnh ta với tỉnh có thành tích bề dày giáo dục học sinh giỏi để trao đổi học tập kinh nghiệm Việc khai thác nguồn học sinh chưa trọng mức theo sở trường vấn đề học sinh, thông thường học sinh bồi dưỡng tất chuyên đề có từ giáo viên chưa có định hướng để giúp em tiếp cận tốt vấn đề sở trường thân để làm tăng tính hiệu việc giải đề thi D Nội dung TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT Tài liệu bồi dưỡng chuyên sâu trao đổi phương pháp học tập nghiên cứu dành cho học sinh THPT Chun đề: Phương pháp khai thác tốn hình học phẳng kỳ thi học sinh giỏi để bồi dưỡng cho học sinh THPT tỉnh Đăk Nông Bố cục tài liệu I Olympic tỉnh Đăk Nông năm 2014 II DMO2014 (Đã có mở rộng) III VMO2014 IV IMO2014 (tham khảo báo THTT tháng năm 2014) Nội dung viết Phần Các vấn đề đề thi học sinh giỏi Olympic tỉnh Đăk Nông năm học 2013-2014 tổ chức trường chun Nguyễn Chí Thanh Bài tốn: Cho tam giác ABC có đường cao CH, H AB Các điểm I, K trung điểm đoạn AB CH Một đường thẳng (d) di động song song với cạnh AB, cắt AC M cạnh BC N Vẽ hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q thuộc cạnh AB Gọi J tâm hình chữ nhật MNPQ Chứng minh I, J, K thẳng hàng I Lời giải Lời giải truyền thống Gọi R, T trung điểm đoạn thẳng MN PQ C K M T m (d) N J A Q H R I P B Trong tam giác ICH, ta có RT CH song song với (vì vng góc với AB), JT IJ JR điểm I, J H thẳng hàng (tính chất trung tuyến: ) KC IK KH Nhìn theo phương pháp tọa độ mặt phẳng ĐT 0903565189 3 Sử dụng vêc tơ Khai thác yếu tố diện tích Sử dụng định lý Menelaus II Tìm kiếm liên hệ kiến thức chuyên sâu Định lý Gauss: Tứ giác ABCD có AB cắt CD N, AD cắt BC M Gọi I, J, K trung điểm đoạn thẳng BD, AC MN Khi ba điểm I J K thảng hàng Chứng minh định lý Gauss: Dành cho học sinh Áp dụng định lý Gauss để giải toán này: Dành cho học sinh III Mở rộng toán Giả thiết toán tập trung vào trung điểm I đoạn AB quan hệ vuông góc CH AB Ta mở rộng bào tốn theo hướng sau Góc CH AB Điểm I chia đoạn AB theo tỷ số k (k khác + 1) Phần hai DMO2014 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đăk Nông năm 2014 Bài hình học phẳng với cấu trúc song song dòng lập luận tương tự để tổng hợp dẫn tới kết luận Bài tốn: Cho tam giác ABC vng A, M trung điểm cạnh BC, vẽ góc vuông PMQ với P thuộc cạnh AB Q thuộc cạnh AC Chứng minh PQ2 ≥ AP.CQ + AQ.BP I Lời giải Lời giải truyền thống Các giải phù hợp với học sinh cấp THCS, mạnh học sinh lớp 10 THPT A Ta sử dụng mối liên hệ đường trung bình diện tích để xây dựng cách giải cho tốn Do M trung điểm đoạn AC nên ta có S(∆BPQ) + S(∆CPQ) = 2S(∆MPQ) P Q B M C Ở đây: 2S(∆BPQ) = PB.AQ 2S(∆CPQ) = QC.PA Và 2S(∆MPQ) = MP.MQ Như PA.QC + PB.QA = 2MP.MQ Công việc lại, ta so sánh 2MP.MQ với MP2 + MQ2 sử dụng định lí Pi-ta-go để có kết cần chứng minh Lưu ý: - Có thể phân tích thêm kết trường hợp khác điểm P đường thẳng AB (khi P trùng với A B, điểm P nằm hay nằm ngồi đoạn AB…); - Việc so sánh sử dụng bất đẳng thức Cô - si bất đẳng thức khác; - Chú ý trường hợp đẳng thức xảy ra, lúc vai trò điểm P, Q nào… Sử dụng tọa độ điểm tọa độ véc tơ Lưu ý: Thế mạnh việc sử dụng phương pháp tọa độ hạn chế trường hợp đặc biệt, trường hợp khác vị trí điểm P đường thẳng AB Biến đổi đại số véc tơ ĐT 0903565189 Đối với học sinh lớp 11 THPT, em bồi dưỡng sở lý luận véc tơ không gian, khai thác toán theo hướng véc tơ cần nên thực Sau cách nhìn nhận (góc độ Afin)… II Phân tích hướng khai thác mở rộng tốn Thay đổi vị trí điểm M đoạn BC Lưu ý: a) Ta xét riêng trường hợp điểm I trùng với điểm B C, đường thẳng PQ BC song song với nhau, điểm J nằm bên (phải trái) nằm bên đoạn thẳng BC… b) Trường hợp tổng quát điểm M chia đoạn BC theo tỷ số k (k khác – 1) ta khái quát lời giải véc tơ c) Phát biểu lại toán theo kết (*) d) Khai thác tốn theo góc hai đường thẳng MP MQ, ta có kết hay Nhằm phát triển tư sáng tạo cho học sinh, mở rộng tốn tam giác ABC (thay cho tam giác vng) Mở rộng tốn khơng gian Cơ sở tốn hình học khơng gian phân tích hình học phẳng Có nhiều cách để xây dựng vấn đề hình học khơng gian, sau ví dụ cách nhìn mở rộng theo hướng tổng qt hóa tốn không gian nào… Lưu ý: a) Hãy nghiên cứu biến đổi tích MP.MQ.MR theo diện tích tam giác PQR a) Mở rộng khơng gian với góc tam diện bất kỳ… b) Thay đổi vai trò M trọng tâm tam giác BCD ( MA MB MC ), điểm M xác định điều kiện véc tơ xMA y MB zMC … để ta có lớp tốn hay Phần ba VMO2014 Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2014 Bài toán: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC Gọi I trung điểm cung BC không chứa A Trên AC lấy điểm K khác C cho IK = IC Đường thẳng BK cắt đường tròn (O) D (D khác B) cắt đường thẳng AI E Đường thẳng DI cắt đường thẳng AC F a) Chứng minh 2.EF = BC b) Trên DI lấy điểm M cho CM song song với AD Đường thẳng KM cắt đường thẳng BC N Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt (O) P (P khác B) Chứng minh đường thẳng PK qua trung điểm đoạn thẳng AD I Phân tích câu a) Lời giải Bài hình học phẳng với cấu trúc song song dòng lập luận tương tự để tổng hợp dẫn tới kết luận Phù hợp với lực học sinh THCS ĐT 0903565189 Yêu cầu toán gợi cho ta đường trung bình Ta chứng minh E, F trung điểm KB KC xong A K O E F C B I Giả thiết IK = IC cho ta IKC = ICK Suy IKA = IBA (vì bù với IKC) Do I trung điểm cung BC không chứa A Nên IAC = CBI = BCI = IAB, nên AI phân giác BAC Như AI vng góc với BK trung điểm E đoạn thẳng BK (*1) Từ ABK = AKB, suy KCD = DKC, suy IKD = ICD Mặt nữa, IDK = ICB = IBC = IDC, nên DI phân giác CDK Từ DI cắt KC trung điểm F đoạn thẳng KC (*2) Từ (*1) (*2) ta có điều phải chứng minh Lưu ý: a) Từ kết AI phân giác BAC DI phân giác CDB, ta khai thác theo hướng phép đối xứng trục sau Gọi B1 đối xứng với B qua AI CI đối xứng với C qua DI, ta có IB = IB1 = IK, IC = IC1=IK Do K khác C, nên B1, C1 K trùng Vậy nên E trung điểm BK, F trung điểm CK b) Sử dụng biến đổi góc sau Do I trung điểm cung BC không chứa A, nên nên AI phân giác BAC DI phân giác BDC Suy AED = AFD (các góc vng), nên tứ giác ADFE nội tiếp đường tròn Từ DEF = DAF, DAF = DAC = DBC, suy DEF = DBC Từ EF BC song song với Kết hợp với E trung điểm đoạn thẳng BC để ta có điều phải chứng minh Một số cách nhìn khác theo kiến thức chuyên sâu hình học phẳng (những định lý sử dụng phổ biến chương trình chuyên sâu) 2.1 Sử dụng định lý Pascal a) Định lý Menelaus (các điểm thẳng hàng) b) Định lý Ceva (các đường thẳng đồng quy) c) Định lý Pascal Lưu ý: d) Áp dụng định lý Pascal II Phân tích câu b) Lời giải ĐT 0903565189 Chứng minh PK qua trung điểm đoạn thẳng AD Gọi G trung điểm đoạn AD T giao điểm KM IC, J điểm chung thứ hai PK với đường tròn (O) J A G D K E O F M B C N T P I Ta có K trực tâm tam giác IAD nên IK vng góc với AD (đã có đường cao DE AF) Mặt MC AD song song với nên ta có MC vng góc với IK Từ suy M trực tâm tam giác KIC (đã có đường cao IF CM), suy KT vng góc với IC Bây ta có TIP = CIP = CBP = NBP = NKP = TKP, suy TIP = TKP Từ ta có tứ giác IKTP nội tiếp, nên KPI góc vng Suy IJ đường kính (O) Như AJ KD song song với (vì vng góc với AI) Kết hợp với DJ song song với AK (vì vng góc với DI) để ta có tứ giác AJDK hình bình hành Vậy PK qua trung điểm đoạn thẳng AD Áp dụng định lý Brocard điểm Miquel Cách nhìn theo hàng điểm điều hòa Tự nghiên cứu: VMO2014, hình thứ Bài tốn: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), B, C cố định, A thay đổi (O) Trên tia AB AC lấy điểm M N cho MA = MC NA = NB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN ABC cắt P (P khác A) Đường thẳng MN cắt BC Q a) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng b) Gọi D trung điểm BC, đường tròn có tâm M, N qua A cắt K (K khác A) Đường thẳng qua A vuông góc với AK cắt BC E Đường ngoại tiếp tam giác ADE cắt (O) F (F khác A) Chứng minh đường thẳng AF qua điểm cố định Phần bốn Đề thi học sinh giỏi quốc tế năm 2014 (IMO 2014) I Bài toán gốc Cho tam giác ABC có BAC góc lớn Các điểm P, Q thuộc cạnh BC cho QAB = BCA CAP = ABC Gọi M, N điểm đối xứng A qua P, Q Chứng minh BN CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ĐT 0903565189 Lời giải Gọi R giao điểm BN CM A P B C Q R M N Ta có AB QB QAB = BCA, nên ∆ABC đồng dạng ∆QBA, suy AC QA (*1) BAC BQA Và có AB PA CAP = ABC, nên ∆ABC đồng dạng ∆PAC, suy AC PC (*2) BAC APC QB PA QB PM Từ (*1) (*2) ta có QA PC , QN PC AQB CPA BQN MPC Và ta có ∆MPC đồng dạng ∆BQN, suy MCP = BNQ Để có tứ giác QCNR nội tiếp được, suy CRN = CQN = AQB = BAC Do CRN bù với BRC BAC bù với BRC Vậy tứ giác ABRC nội tiếp, R thuộc đường tròn (ABC) Nhận xét: Ta có kết a) Tam giác APQ tam giác cân, CA tiếp tuyến đường tròn (APB) BA tiếp tuyến đường tròn (AQC) QB PM b) Tỷ lệ để có kết tốn , từ ta chứng minh tứ giác QN PC CQRN nội tiếp tứ giác BPRM nội tiếp II Mở rộng toán (Tham khảo theo báo THTT tháng 9/2014) QB PM Căn vào tỷ lệ tốn , ta thay đổi giả thiết: QN PC Căn vào việc vận dụng kết liền sau giả thiết QAB = BCA CAP = ABC, CA tiếp tuyến đường tròn (APB) BA tiếp tuyến đường tròn (AQC) ta hướng khai thác giả thiết sau: ĐT 0903565189 Tiếp tục khai thác giả thiết tam giác APQ cân có góc đáy BAC Ta mở rơng thành tốn tập hợp điểm M, N thay đổi (lần lượt tia đối tia PA QA) thỏa mãn PM.QN = QP.AQ Bài tốn phát biểu sau Còn nhiều hướng để phân tích thay đổi giả thiết để có tốn khác sở lời giải toán ban đâu Sau vài hướng tập hợp để hỗ trợ việc học tập nghiên cứu… E Giải pháp thực Không riêng kiến thức chun sâu tốn hình học phẳng đề thi học sinh giỏi mà toán khác vậy, vấn đề triển khai thực theo biện pháp chung nhất, tốn hình học có đặc thù riêng… Để thực chuyên đề này, đề xuất số giải pháp sau Tìm kiếm nhóm giáo viên quan điểm phương pháp học tập nghiên cứu để thực trao đổi học tập kinh nghiệm lẫn Thông tin báo toán học tuổi trẻ kênh quan trọng để tiếp cận với vấn đề thời sự vận động kiến thức chuyên sâu môn Nguồn thông tin phong phú cần trọng khai thác chắt lọc, mạng Internet, trang Vnmath.com, điều kiện học tập nghiên cứu khó khăn thư viện tỉnh ta địa nơi bổ ích giáo viên tốn để tìm hiểu ý tưởng bậc thầy toán học chuyên sâu, vấn đề hình học thực tế diễn Giáo viên luôn cập nhật, điều chỉnh hoàn thiện viết theo chủ đề chọn Đồng thời xây dựng nhóm giáo viên nghiên cứu chủ đề với tương tác lẫn nhóm Tranh thủ thử nghiệm ý tưởng học sinh, cần phải mạnh dạn thận trọng đề xuất để định hướng học sinh vào điều em cần khơng lãng phí thời gian vơ ích Đề xuất tổ chức diễn đàn trao đổi viết chủ đề đồng nghiệp để tìm kiếm thêm kinh nghiệm thơng tin mà ta thiếu Cơng khai viết giáo viên mơn Tốn ngành để tìm kiếm góp ý kiến xây dựng đồng thời rà sốt vấn đề người khác nghiên cứu khai thác nhằm tránh việc nghiên cứu có làm tốn thêm thời gian Tập cho học sinh định hướng kiến thức viết theo chuyên đề mà em tự chọn để em tự học tự bồi dưỡng thêm kiến thức chuyên sâu cho minh Trực tiếp cọ xát vấn đề nghiên cứu đề thi đề xuất cho đồng nghiệp, đề thi đề xuất cho học sinh giỏi Đối với giải pháp có mặt tích cực riêng nó, giáo viên tùy thuộc vào điều kiện thân học sinh để lập kế hoạch mục tiêu, nội dung, biện pháp kỹ thuật thực cho tối ưu F Tài liệu tham khảo Tư liệu đề thi chon học sinh giỏi tỉnh Đăk Nông năm học 2013-2014 Trang Vnmath.com Tư liệu đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm 2014 (VMO2014) Báo Toán học tuổi trẻ tháng năm 2014 ……………………………………Hết…………………………………… ĐT 0903565189 ... vận động kiến thức chuyên sâu môn Nguồn thông tin phong phú cần trọng khai thác chắt lọc, mạng Internet, trang Vnmath.com, điều kiện học tập nghiên cứu khó khăn thư viện tỉnh ta địa nơi bổ ích