Đang tải... (xem toàn văn)
Khai thác mối quan hệ hình học - đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Khai thác mối quan hệ hình học - đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Khai thác mối quan hệ hình học - đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Khai thác mối quan hệ hình học - đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Khai thác mối quan hệ hình học - đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Khai thác mối quan hệ hình học - đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Khai thác mối quan hệ hình học - đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Khai thác mối quan hệ hình học - đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Khai thác mối quan hệ hình học - đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Khai thác mối quan hệ hình học - đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)Khai thác mối quan hệ hình học - đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THÀNH CÔNG KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THÀNH CƠNG KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUN - 2019 ✐ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✶ ▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉ ✶ ✶ ❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ị tữ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ❍➻♥❤ ❤å❝ ✶✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✳ ✸ ✳ ✸ ✳ ✶✹ ✷ ❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ởt số t số ị tữ ❝❤✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â t❤❛♠ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✹✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✤↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✳ ✶✾ ✳ ✶✾ ✳ ✶✾ ✳ ✸✼ ✳ ✹✸ ✳ ✺✵ ✺✽ ✺✾ ✶ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ❚r♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tæ✐ ❧✉æ♥ ♥❤➟♥ ữủ sỹ ữợ ú ù P●❙✳ ❚❙✳ ❚rà♥❤ ❚❤❛♥❤ ❍↔✐✳ ❚❤➛② ❧✉æ♥ q✉❛♥ t➙♠✱ t❤❡♦ ❞ã✐ s→t s❛♦✱ ❞➔♥❤ ♥❤✐➲✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t ữợ t tỉ✐✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✤➳♥ ❚❤➛②✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❚❤➛②✱ ❈ỉ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✕ ❚✐♥ ✈➔ ♣❤á♥❣ ✣➔♦ ❚↕♦ ❝õ❛ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❍å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ❚❤➛② ❈ỉ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❦❤â❛ ❤å❝ ❝❛♦ ❤å❝ ✷✵✶✼ ✕ ✷✵✶✾ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❝❤➾ ❜↔♦ tr✉②➲♥ ✤↕t ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ t❤❡♦ ❤å❝✱ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ tỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝→♠ ỡ tợ ỗ ổ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ❧➔ ❝❤é ❞ü❛ ✈ú♥❣ ❝❤➢❝ ✈➲ ✈➟t ❝❤➜t ✈➔ t✐♥❤ t❤➛♥ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ sÿ✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✶✵ ♥➠♠ ✷✵✶✾ ❚→❝ ❣✐↔ ◆❣✉②➵♥ ❚❤➔♥❤ ổ õ ỵ t➔✐ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè ❧➔ ❤❛✐ ♥ë✐ ❞✉♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ①✉②➯♥ s✉èt ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❚❍❈❙ ✲ ❚❍P❚ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❝➜✉ t❤➔♥❤ ♥➯♥ ❜ë ♠æ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳ ❉♦ ✤â✱ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè ❧➔ ♠ët ✈➜♥ ✤➲ r➜t q t ỗ tớ tổ q õ t❛ ❝→✐ ♥❤➻♥ tê♥❣ t❤➸ ❤ì♥✱ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❣✐ó♣ ❝❤ó♥❣ t❛ ❤✐➸✉ rã ❤ì♥ ✈➲ ❚♦→♥ ❤å❝ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❣✐ó♣ ➼❝❤ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ❜ë ♠æ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳ t t ữợ ♣❤→t tr✐➸♥ tr➯♥ t❤➳ ❣✐ỵ✐ r➜t q✉❛♥ t➙♠ ❝❤ó trå♥❣ ✈✐➺❝ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ❧✐➯♥ ♠ỉ♥✿ ❣✐ú❛ ❝→❝ ♠ỉ♥ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉ ✈➔ ❣✐ú❛ ❝→❝ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ tr♦♥❣ ❝ò♥❣ ♠ët ♠ỉ♥ ❤å❝✳ ◆➲♥ ❣✐→♦ ❞ư❝ ❝õ❛ ❱✐➺t ◆❛♠ ❦❤ỉ♥❣ ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ ữợ tớ ♠➻♥❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❤å❝ ❤ä✐✱ s→♥❣ t↕♦ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ữợ ữỡ tr tr trữớ ❚❍❈❙ ✲ ❚❍P❚ ❤✐➺♥ ♥❛②✱ ❜ë ♠æ♥ ❚♦→♥ ❝❤ù❛ ❤❛✐ ♠↔♥❣ rã r➺t✿ ♣❤➛♥ ✶ ❧➔ ✣↕✐ sè✱ ♣❤➛♥ ✷ ❧➔ ❍➻♥❤ ❤å❝✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♠➦t t➼❝❤ ❝ü❝ ❧➔ ❣✐ó♣ ❤å❝ s✐♥❤ ♥❤➟♥ ❜✐➳t ♥❣❛② ✤÷đ❝ ❝➜✉ tró❝ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ t✐➳♣ t❤✉ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ♠ët ❝→❝❤ ❝â ❤➺ t❤è♥❣✳ ◆❤÷♥❣ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ♥â ❧➔♠ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❤✐➸✉ r➡♥❣ ✤➙② ❧➔ ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉✱ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ trđ q✉❛ ❧↕✐✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✈✐➺❝ ❣➢♥ ❦➳t ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ ♥➔② tr♦♥❣ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ❚❍❈❙✲ ❚❍P❚ ❧➔ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ rã r➔♥❣ ✤➛② ✤õ✳ ❚❤ü❝ t➳ q✉→ tr➻♥❤ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ❤å❝ s✐♥❤ ❤✐➸✉ ❜✐➳t ✈➲ ♠è✐ q số ỡ ỗ ✈➔ ❣➛♥ ♥❤÷ ❤✐➸✉ ✤➙② ❧➔ ✷ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ r✐➯♥❣ ❜✐➺t✱ ❣â♣ ♣❤➛♥ t↕♦ ♥➯♥ ♠æ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳ ❈→❝ ❡♠ ❤å❝ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ♥➔♦ t❤➻ ❤å❝ ✈➔ ❧➔♠ ❜➔✐ t➟♣ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ ✤â✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ❞↕② ❤å❝ t❤❡♦ t✐➳t ♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ t❤➻ ❝❤✉②➯♥ ❧➔♠ ❜➔✐ ✈➲ ❍➻♥❤ ❤å❝✱ ✣↕✐ sè t❤➻ ❝❤✉②➯♥ ❧➔♠ ❜➔✐ ✈➲ ✣↕✐ sè✱ ➼t ❤♦➦❝ ❦❤ỉ♥❣ ❤♦➦❝ ❝❤÷❛ ❝❤ó trå♥❣ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ sü ❧✐➯♥ ❦➳t ❣✐ú❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t➟♣✳ ✷ ❚❤ỉ♥❣ q✉❛ t➻♠ ❤✐➸✉ t❤ü❝ t➳✱ tæ✐ t❤➜② r➡♥❣ ✈✐➺❝ ❦❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè s➩ ❣â♣ ♣❤➛♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❣✐ó♣ ❝→❝ ❡♠ ❤✐➸✉ ❜✐➳t ❤ì♥ ✈➲ ❜ë ♠ỉ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ trđ ❣✐ó♣ ❝→❝ ❡♠ ỉ♥ t❤✐ ✈➔ t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ọ P õ ợ ữợ ✤✐ ♠ỵ✐✱ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❧í✐ ❣✐↔✐ ♠ỵ✐✱ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ❤ì♥ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ỉ♥ ❧✉②➺♥ ✈➔ t❤✐ ♠ỉ♥ ❚♦→♥✳ ỳ ỵ tr tổ qt t➔✐✿ ✧❑❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ sè ✈➔♦ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✧✳ ❚❤æ♥❣ q✉❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ä ♥➔②✱ tæ✐ ♠♦♥❣ r➡♥❣ ♠➻♥❤ s➩ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❧➔♠ rã ❤ì♥ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè✱ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ trđ ❧➝♥ ♥❤❛✉ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ❚♦→♥ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ð ❚❍❈❙✳ ✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤✱ ♥❤✐➺♠ ✈ö ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ❦❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè ❣â♣ ♣❤➛♥ t✐➳♣ ❝➟♥ ữợ t ợ t ữớ ✈➟♥ ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈ỵ✐ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✣↕✐ sè t❤ỉ♥❣ q✉❛ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✱ ❧➔ ✤➲ t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❝→❝ t➾♥❤✱ t♦➔♥ q✉è❝ ✈➔ ❦❤✉ ✈ü❝✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ s ị tữ t ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝õ❛ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ t ữủ ữ t ♠ët ❜➔✐ t♦→♥✱ ✤➲ t❤✐ ✈➲ ✣↕✐ sè✱ ❍➻♥❤ ❤å❝ s ọ ữ r ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✈➟♥ ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝õ❛ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❦❤❛✐ t❤→❝ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐ sè ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✳ ✸✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t t t s ỗ ữỡ ữỡ ✶✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐ sè ✸ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ởt số t ị tữ ữỡ ỵ tữ t t ỵ ổ tr số tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t➻♠ r❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ✈➼ ❞ư sû ❞ư♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ✤÷❛ r❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤å♥ ❧å❝ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✱ ❧➔ ✤➲ t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❝→❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ t♦➔♥ q✉è❝ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✤➲ t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❦❤✉ ✈ü❝ ❈❤➙✉ ⑩ ✲ ữỡ ởt số ữợ ỹ ổ ❹✉✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦❤➙✉ q✉❛♥ trå♥❣ ➞♥ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✈➼ ❞ö ❧➔ ✈✐➺❝ ❜✐➳♥ ✤è✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ✤➸ ❝❤ó♥❣ ❜ë❝ ❧ë ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ❝â t❤➸ ✈➟♥ ❞ư♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✈➜♥ ✤➲✱ ❝â t❤➸ t↕♠ ❣å✐ ✤➙② ❧➔ q✉→ tr➻♥❤ ✧✣↕✐ sè ❤â❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝✧ ✱ s❛✉ ✤â ❧➔ q✉→ tr➻♥❤ sû ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✣↕✐ sè ✤➸ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❜❛♥ ✤➛✉✳ ✶✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✶✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ❍➻♥❤ ❤å❝ ❳✉➜t ♣❤→t tø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❇✣❚✮ ✣↕✐ sè r➜t q✉❡♥ t❤✉ë❝ s❛✉ ✤➙②✳ ❇✣❚ ✶✳ ❱ỵ✐ ❝→❝ sè ❞÷ì♥❣ a✱ b✱ c ❝â (a + b + c) 1 + + a b c ≥ ✹ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a = b = c✳ ▲í✐ ❣✐↔✐ (a + b + c) 1 + + a b c a a b b c c + + +1+ + + +1−9 b c a c a b a b b c c a = + −2 + + −2 + + −2 b a c b a c (a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 = + + ≥ ab bc ac −9=1+ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a − b = b − c = c − a = ⇔ a = b = c✳ ❇✣❚ ✷✳ ❱ỵ✐ ❝→❝ sè ❞÷ì♥❣ a, b, c ❝â b c a + + ≥ b+c c+a a+b ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a = b = c✳ ▲í✐ ❣✐↔✐ ⑩♣ ❞ư♥❣ ❇✣❚ ✶ t❛ ❝â b c a + + = b+c c+a a+b a b c +1 + +1 + +1 −3 b+c c+a a+b 1 = (a + b + c) + + −3 b+c c+a a+b 1 1 + + −3 = [(b + c) + (c + a) + (a + b)] b+c c+a a+b ≥ −3= 2 ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ b + c = c + a = a + b ⇔ a = b = c✳ ❈â t❤➸ ✈➟♥ ❞ö♥❣ ❤❛✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✈➔♦ ❣✐↔✐ ✈➔ s→♥❣ t↕♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❤♦➦❝ t➻♠ ❝ü❝ trà ❍➻♥❤ ❤å❝✳ ❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛ ✤÷đ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ tø ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❍å❝ ✈➔ ❚✉ê✐ ❚r➫ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ABC ❝â ❝↕♥❤ ❜➡♥❣ a✳ ●å✐ ✤÷í♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ tø ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ M D, M E, M F ✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ✈à tr➼ ❝õ❛ M ✤➸✿ 1 ❛✮ + + ✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳ MD ME MF 1 ❜✮ + + ✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ MD + ME ME + MF MF + MD trà ✤â✳ ✺ ▲í✐ ❣✐↔✐ ❍➻♥❤ ✶ √ a ●å✐ h = ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ABC ✈➔ ✤➦t M D = x, M E = y, M F = z ✳ ❚❛ ❝â SABC = SM BC + SM AC + SM AB ⇔ ah = ax + ay + az ⇔ x + y + z = h ❦❤ỉ♥❣ ✤ê✐✳ ❛✮ ⑩♣ ❞ư♥❣ ❇✣❚ ✶ t❛ ❝â 1 + + (x + y + z) x y z √ 1 ≥9⇒ + + ≥ = x y z h a ❜✮ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✷ t❛ ❝â 1 + + ≥9 x+y y+z z+x √ 1 3 ⇔ + + ≥ = x+y y+z z+x 2h a ❚r♦♥❣ ❝↔ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = y = z ✱ ❧ó❝ ✤â M ❧➔ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ∆ABC ✳ (x + y + y + z + z + x) ❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✷✳ ●å✐ H ❧➔ trü❝ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ ABC õ õ ợ ữớ AA1 ; BB1 ; CC1 ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❛✮ AA1 BB1 CC1 + + ≥9 HA1 HB1 HC1 ✻ ❜✮ HA1 HB1 HC1 + + ≥ HA HB HC ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ♥➔♦❄ ▲í✐ ❣✐↔✐ ❍➻♥❤ ✷ ●å✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, HBC, HAC, HAB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ S, S1 , S2 , S3 t❤➻ S = S1 + S2 + S3 ❛✮ ❉➵ t❤➜② S1 HB1 S2 HC1 S3 HA1 = ; = ; = AA1 S BB1 S CC1 S ❉♦ ✤â HA1 HB1 HC1 + + = AA1 BB1 CC1 ⑩♣ ❞ư♥❣ ❇✣❚ ✶ ✤÷đ❝ AA1 BB1 CC1 + + ≥ HA1 HB1 HC1 ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ HA1 HB1 HC1 = = = AA1 BB1 CC1 S , ❧ó❝ ✤â H ✈ø❛ ❧➔ trü❝ t➙♠✱ ✈ø❛ ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥➯♥ ABC ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳ ⇔ S1 = S2 = S3 = ✹✺ (1 − 2a)2 a + b + c = 1✳ ❱➟② sè ❤↕♥❣ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ ✈➳ tr→✐ trð t❤➔♥❤ = (1 − a)2 + a2 2− + (1 − 2a)2 ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ✤➦t x1 = − 2a, x2 = − 2b, x3 = − 2c✱ t❤➻ x1 + x2 + x3 = 1✱ ♥❤÷♥❣ −1 < x1 , x2 , x3 < 1✳ ❚❤❡♦ x1 , x2 , x3 ✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ②➯✉ ❝➛✉ ❧➔ 1 27 + + ≤ 2 + x1 + x2 + x3 10 ú ỵ ữ tr t ú t ữỡ tr t t ợ 1 27(x + 2) f (x) = t↕✐ x = ✱ ❧➔ y = ✮✳ ❱➻ t❤➳ t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ 1+x 50 27(−x + 2) f (x) ≤ ✈ỵ✐ < x < tữỡ ữỡ ợ (3x 1)2 (4 − 50 3x) ≥ ❉♦ ✤â ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❧➔ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ −1 < x < 1✳ 27 ✈➔ rót r❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ②➯✉ ❝➛✉✳ ❱➟② t❤➻ f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) ≤ 10 ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳✹✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ a, b, c ❧➔ ❝→❝ sè ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ a+b+c = 3✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❜✐➸✉ t❤ù❝ a4 + 2b4 + 3c4 ▲í✐ ❣✐↔✐ ✣➦t fx (x) = kx4 ✱ ð ✤➙② x ∈ (0, 3), k = 1, 2, ❑❤✐ ✤â fk (x) = 12kx2 > 0✱ ð ✤➙② x > 0✱ ✈➻ t❤➳ ❝→❝ ỗ fk ỗ õ r ỗ t ú ổ ữợ t t ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ✤÷đ❝ ✈➩ t↕✐ ✤✐➸♠ xk ∈ (0, 3) ❜➜t ❦ý (k = 1, 2, 3)✳ ❈→❝ ✤✐➸♠ x1 , x2 ✈➔ x3 ✤÷đ❝ ❝❤å♥ t❤ä❛ ♠➣♥ f1 (x1 ) = f2 (x2 ) = f3 (x3 ) ✈➔ x1 + x2 + x3 = 3✳ ❈â ♥❣❤➽❛ ❧➔✱ 4x31 = 8x32 = 12x33 ✈➔ x1 + x2 + x3 = √ 336 x1 x1 √ √ , x2 = √ , x3 = √ ✈➔ ✈ỵ✐ x ∈ (0, 3) ❜➜t ❦➻✱ ❉♦ ✤â✱ x1 = √ 3 3 2+ 3+ t❛ ❝â ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (k = 1, 2, 3)✳ kx4 ≥ fk (xk ) + fk (x − k)(x − xk ).(1) ❈ë♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1) ợ x a, b c t t ữủ √ √ √ 81(6 3 + 3 + 4 4 √ √ √ a + 2b + 3c ≥ x1 (1 + √ ) + f1 (x1 )(3 − xk ) ❂ ✱ 3 232 ( + + 6) k=1 ❧➔ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✭ ✈ỵ✐ ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤ä❛ ♠➣♥ t↕✐ a = x1 , b = x2 ✈➔ c = x3 ✮✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳✺✳ ❈❤♦ a, b, c ≥ ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝ √ a2 + + √ √ b2 + + c2 + ≥ 6(a + b + c) ✹✻ ▲í✐ ❣✐↔✐ √ ●✐↔ sû r➡♥❣ S = a + b + c ✈➔ f (x) = x2 + ✈ỵ✐ x ∈ (0, S) ❚❛ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ S tr➻♥❤ t✐➳♣ t✉②➳♥ t↕✐ ✤✐➸♠ x0 = √ S S S Sx + S S2 + S +√ y = f ( ) + f ( )(x − ) = (x − ) = √ 3 3 S2 + S2 + √ Sx + (2) t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❚ø tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (0, S)✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ x2 + ≥ √ S2 + x−S ✈ỵ✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ( ) ≥ 0✱ t❛ t➻♠ t❤➜② r➡♥❣ √ √ √ √ S a2 + + b2 + + c2 + ≥ S + + √ (a + b + c − S) = 2+9 S √ √ S + ≥ 6S = 6(a + b + c) ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳✻✳ ❈❤♦ a, b, c > ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ab + bc + ca = 1✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ▲í✐ ❣✐↔✐ √ b2 c2 a2 = + ≥ b+c c+a a+b ❍➻♥❤ ✶✻❛ ❍➻♥❤ ✶✻❜ ✣➦t S = a + b + c ❚❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) t tự tữỡ ữỡ ợ (a b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ 0✳ ❚❛ t➻♠ t❤➜② √ r➡♥❣ ❙ ≥ ✹✼ x2 ✣➦t f (x) = ✈ỵ✐ x ∈ (0; S)✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❤➣② ❞ü♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✐➳♣ S−x S t✉②➳♥ t↕✐ ✤✐➸♠ x0 = ✳✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ S S S S S 5x − S y = f ( ) + f ( )(x − ) = + (x − ) = 3 4 x2 5x − S ≥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈ỵ✐ (S − 3x)2 ≥ tr➯♥ S−x ❦❤♦↔♥❣ (0, S) →♣ ❞ö♥❣ ♥â ❝❤♦ ❜❛ ❧➛♥✱ ❞ü❛ ✈➔♦ t tự ự trữợ S 3✱ t❛ t❤➜② r➡♥❣ √ a2 b2 c2 a2 b2 5(a + b + c) − 3S S + + = + + = ≥ b+c c+a a+b S−a S−b 2 ❚ø ❜➜t ✤➡♥❣ t❤ù❝ ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳✼✳ ❈❤♦ a, b ✈➔ c ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ a+2b+3c ≥ 20 ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ a + b + c + ▲í✐ ❣✐↔✐ + + ≥ 13 a 2b c ú ỵ r a = 2, b = 3, c = 4✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ trð t❤➔♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ✣➦t f (x) = ✈ỵ✐ x > 0✳ ❱➟② t f ó tr (0, +) õ ỗ t x f ổ ữợ t t ✤÷đ❝ ✈➩ t↕✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý x0 > 0✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ✤ó♥❣ ✭ ①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮ ❍➻♥❤ ✶✼ 1 a ≥ − (a − 2) = − , a 4 ✹✽ 1 b ≥ − (b − 3) = − , b 9 1 c ≥ − (c − 4) = − c 16 16 ◆❤÷ ✤➣ ❝❤♦ tr♦♥❣ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✱ t❛ t➻♠ t❤➜② r➡♥❣ a+b+c+ 3a b c + + ≥a+b+c+3− +3− +2− a 2b c 4 a + 2b + 3c 20 =8+ ≥8+ = 13 4 ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳✽✳ ❈❤♦ a, b, c ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ a2 +b2 +c2 = 3✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ▲í✐ ❣✐↔✐ 1 + + 2a 2b 2c ú ỵ r a = b = c = 1✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ trð t❤➔♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ❳➨t √ f (x) = ✈➔ g(x) = kx2 + m✱ ð ✤➙② x ∈ (0, 3) ❈→❝ sè k ✈➔ m ✤÷đ❝ 2−x ❝❤å♥ ✤➸ f (1) = g(1) ✈➔ f (1) = g (1)✳ ◆❣❤➽❛ ❧➔✱ = k + m ✈➔ = 2k ✳ ❉♦ ✤â✱ x2 + 1 x2 + k = m = ✈➔ g(x) = ứ tự tữỡ ữỡ ợ 2 2−x √ x(x − 1)2 ≥ 0✱ ♥â ❧➔ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ x ∈ (0, 3) ❜➜t ❦ý ✭ ①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ❍➻♥❤ ✶✽ ❉♦ ✤â✱ ✹✾ 1 a2 + b2 + c2 + + + ≥ = 3✳ 2−a 2−b 2−c ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳✾✳ ❈❤♦ a, b ✈➔ c ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (a5 − a2 + 3)(b5 − b2 + 3)(c5 − c2 + 3) ≥ (a + b + c)3 ú ỵ r ❦❤✐ a = b = c = 1✱ t❤➻ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ trð t❤➔♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ❳➨t f (x) = x5 − x2 + ✈➔ g(x) = kx3 + m✱ ð ✤➙② x > 0✳ ❈→❝ sè k ✈➔ m ✤÷đ❝ ❝❤å♥ ✤➸ f (1) = g(1) ✈➔ f (1) = g (1)✳ ◆❣❤➽❛ ❧➔✱ = k + m ✈➔ = 3k ✳ ❉♦ ✤â✱ k = 1, m = ✈➔ g(x) = x3 + 2✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮ ❍➻♥❤ ✶✾ x5 − x2 + ≥ x3 + (3) ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ x > ❜➜t ❦ý ❦❤✐ ✤â ♥â ❝â t ữợ (x 1)2 (x3 + 2x2 + 2x + 1) ≥ ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✸✳✶✵✳ ❈❤♦ a, b, c, d ✈➔ e ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ 1 1 + + + + = 4+a 4+b 4+c 4+d 4+e ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✺✵ b c d e a + + + + ≤ 4+a 4+b 4+c 4+d 4+e ▲í✐ ❣✐↔✐ x k ✈➔ g(x) = m + ✱ ð ✤➙② x ≥ 0✳ ❈→❝ sæ ❦ ✈➔ ♠ ✤÷đ❝ + x2 4+x ❝❤å♥ ✤➸ f (1) = g(1) ✈➔ f (1) = g (1)✳ ❉♦ ✤â k = −3 ✈➔ m = ❚ø ✤➥♥❣ t❤ù❝ x ≤ − t÷ì♥❣ ữỡ ợ (x 1) (x + 1) ✤✐➲✉ ♥➔② ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ + x2 4+x x ≥ ❜➜t ❦ý ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ❳➨t f (x) = ❍➻♥❤ ✷✵ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔②✱ t❛ ❝â b c 4 a + + + + ≤ 2 2 4+a 4+b 4+c 4+d + e2 1 1 − 3( + + + + ) = 4+a 4+b 4+c 4+d 4+e ✷✳✷✳✹✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✤↕✐ sè ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✤↕✐ sè t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ s➩ →♣ ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤↕✐ sè ♥❤÷ ❝❤å♥ ✤✐➸♠ rì✐✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✱ ❇✉♥②❛❦♦✈s❦②✱✳✳✳✱ ❝❤ó♥❣ r➜t ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✤↕✐ sè ➼t ❜✐➳♥ ❤♦➦❝ t ỏ ữợ s ợ t❤✐➺✉ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❣✐↔✐ ❞➵ ❤✐➸✉ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✺✶ ❝ü❝ trà ✤↕✐ sè ❝❤ù❛ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✳ ▼✉è♥ ❧➔♠ tèt ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ỗ t t số tr ỗ t sè t❤÷í♥❣ ❣➦♣ ❧➔✿ 1) y = ax + b õ ỗ t ữớ t 2) y = (x1 − a)2 + (x2 − b)2 , y ≥ õ ỗ t ữớ trỏ t (a, b) ❜→♥ ❦➼♥❤ y ✳ 3) y = ax2 + bx + c, a = õ ỗ t Pr 4) xy = b, b = õ ỗ t ❧➔ ✤÷í♥❣ ❍②♣❡❝❜♦❧ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t t❤÷í♥❣ ❞ò♥❣ ❧➔✿ ỗ t số y = f (x + a) t t ỗ t y = f (x) t❤❡♦ trư❝ x ♠ët ❧÷đ♥❣ ❜➡♥❣ a✳ ỗ t số y = f (x) + b t t ỗ t y = f (x) t❤❡♦ trư❝ y ♠ët ❧÷đ♥❣ b✳ ❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ tr➼❝❤ ❞➝♥ tø ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❍å❝ ✈➔ ❚✉ê✐ ❚r➫ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✹✳✶✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t ✈➔ ❜➨ ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ sè y = x1 − x2 tr➯♥ ♠✐➲♥ G✿ ▲í✐ ❣✐↔✐ (x1 − 6)2 − (x2 − 3)2 ≥ 25 x2 + (x − 4)2 ≤ 25 G= −2x1 + x2 ≤ x 0, x ỗ t❤à ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♠✐➲♥ G ❧➔ ♠✐➲♥ ❣↕❝❤ ❝❤➨♦ ð ỗ t x2 = x1 − y, y ❧➔ ❤➡♥❣ sè ♥➔♦ ✤â✱ ❧➔ t t ỗ t x2 = x1 ✱ ♠ët ❧÷đ♥❣ (−y) t❤❡♦ trư❝ x2 ✳ ●✐↔ sû tr ợ t ymax tữỡ tỹ ymin t ✤÷đ❝ t↕✐ ✤✐➸♠ ✭x1 , x2 ✮ ❝õ❛ ♠✐➲♥ G✳ ✣✐➲✉ ✤â ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❤➺ x1 − x2 = ymax 2 (x1 − 6) + (x2 − 3) ≥ 25 x21 + (x2 − 4)2 ≤ 25 −2x1 + x2 ≤ x1 ≥ 0, x2 > ❝â ➼t ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ x1 , x2 ỗ t x2 = x1 ymax õ ợ ỗ t ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♠✐➲♥ G✳ ✺✷ ❍➻♥❤ ✷✶ ◆❤÷ ✈➟② ✤➸ t➻♠ ymax ❤♦➦❝ ymin tr➯♥ G✱ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✈à tr t ủ ỗ t t t õ ợ ỗ t G tứ õ t ữủ tr ợ ♥❤➜t ❤♦➦❝ ♥❤ä ♥❤➜t ❝➛♥ t➻♠✳ ❉♦ (−ymax ) ≤ −y ≤ (−ymin ) ✈ỵ✐ y = x1 − x2 , (x1 , x2 ) ∈ G✱ ♥➯♥ ymin t÷ì♥❣ ự ợ tr ỗ t t ymax tữỡ ự ợ tr ỗ t t t tr ỗ t t t õ ợ ỗ t G tr ỗ t t q A tr ỗ t t t q B ✳ ●✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ −2x1 + x2 = x21 + (x2 − 4)2 = 25 √ √ ợ ú ỵ tồ A ữỡ t❛ ❝â tå❛ ✤ë ❝õ❛ A ❧➔ ( 5, + 5) √ √ √ ❱➟② ymin = − (4 + 5) = −4 − ✣÷í♥❣ trá♥ (x1 − 60)2 + (x2 − 3)2 = 25 ❝➢t trư❝ ❤♦➔♥❤ t↕✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ B ✈➔ C ✈ỵ✐ ❝→❝ tå❛ ✤ë t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ (2, 0) ✈➔ (10, 0)✳ ❱➟② ymax = + = ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✹✳✷✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ✈➔ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ sè F 4x1 + 6x2 ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ x1 + x2 ≤ 10 x + 4x ≥ G= ≤ x1 ≤ 0x = ỗ t G ✤÷đ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❜➡♥❣ ♠✐➲♥ ❣↕❝❤ ❝❤➨♦ tr➯♥ ❤➻♥❤ ✈➩ ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ❍➻♥❤ ✷✷ F ❍➔♠ x2 = + ợ F số õ ỗ t t t ỗ t ❝õ❛ ❤➔♠ x2 = − x1 t❤❡♦ trö❝ x2 ởt ữủ P/6 Fmin F Fmax ợ F = 4x1 + 6x2 , (x1 , x2 ) G Fmax tữỡ ự ợ tr ỗ t t ỏ Fmin tữỡ ự ợ tr ỗ t t t tr ỗ t t t✐➳♥ ❝õ❛ ∆ ♠➔ ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✈ỵ✐ ♠✐➲♥ ❣↕❝❤ ❝❤➨♦✳ ❍➺ sè ❣â❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ x2 = − x1 , x2 = −x1 + 10, x2 = − x1 + ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ tan α = , tan β = −1; tan γ = − ❱➟② ❝→❝ ❣â❝ α, β, γ ✤➲✉ tò ✈➔ β < α < γ ❞♦ ❤➔♠ y = tan(x) tø♥❣ tr♦♥❣ π ( , ) ứ õ tr ỗ t t❤➜♣ ♥❤➜t ❧➔ ✤✐ q✉❛ ✤✐➸♠ B ✳ ❉➵ ❝â tå❛ ✤ë ✤✐➸♠ A ❧➔ (5, 5)✱ tå❛ ✤ë ❝õ❛ ✤✐➸♠ B ❧➔ (0, 2)✱ ♥➯♥✿ Fmax = 4.5 + 6.5 = 50 ✈➔ Fmin = 4.0 + 6.2 = 12✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✹✳✸✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t ✈➔ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ sè y = |x1 − 1| − x2 tr➯♥ ♠✐➲♥ G✿ ✺✹ x1 + x2 ≥ G= 3x1 + 2x2 ≤ 12 x1 ≥ 0, x2 ≥ ▲í✐ ỗ t G ợ ộ y ỗ t❤à ❤➔♠ sè x2 = |x1 −1|−y ❧➔ tà♥❤ t✐➳♥ ỗ t x2 = |x1 1| t❤❡♦ trư❝ x2 ✤✐ ♠ët ❧÷đ♥❣ (−y)✳ ❉♦ (−ymax ) ≤ −y ≤ (−ymin ) ✈ỵ✐ y = |x1 − 1| − x2 , (x1 , x2 ) ∈ G ymin tữỡ ự ợ tr ỗ t t t s ợ trử x2 tr ỗ t tà♥❤ t✐➳♥ ❝õ❛ ∆ ♠➔ ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✈ỵ✐ ♠✐➲♥ tr ỗ t t q A tr ỗ t t q✉❛ ✤✐➸♠ B ✳ ❚å❛ ✤ë ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ A ✈➔ B ❞➵ ❞➔♥❣ t➻♠ ✤÷đ❝ ❧➔ (0, 6) ✈➔ (4, 0)✳ ❉♦ ✈➟② ymin = |0 − 1| − = −5 ymax = |4 − 1| − = ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✹✳✹✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà ❧ỵ♥ ♥❤➜t ✈➔ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ Z = x2 + y2✱ ✈ỵ✐ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✺✺ (x − 1)y ≤ x+y ≥4 G= 0≤x≤5 ≤ y ≤ ỗ t G ợ Z ỗ t √ x2 + y = Z ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ (0, 0) ❜→♥ ❦➼♥❤ Z ✳ ✣➸ t➻♠ Zmax ✱ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O(0; 0) ❜→♥ ❦➼♥❤ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ✈➔ ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✈ỵ✐ ♠✐➲♥ ❣↕❝❤ ❝❤➨♦✳ ❉➵ ❞➔♥❣ t❤➜② ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❤÷ t❤➳ ❧➔ ✤✐ q✉❛ ✤✐➸♠ A ❤♦➦❝ N ✳ ❍➻♥❤ ✷✹ ●✐↔✐ ❤➺ y=5 t❛ ❝â tå❛ ✤ë ❝õ❛ ✤✐➸♠ A ❧➔ (x − 1)y = , ✳ ❚÷ì♥❣ tü✱ tå❛ 1 ✤ë ❝õ❛ N ❧➔ 5, ✳ ❈â ZA = +52 = 26, 44 ✈➔ ZN = 52 + = 25 ✳ 16 ❱➟② ✤÷í♥❣ trá♥ ❝➛♥ t➻♠ ❧➔ ✤✐ q✉❛ ✤✐➸♠ A ✈➔ ❝â✿ Zmax = ZA = 26, 44✳ ✣➸ t➻♠ Zmin t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ (0; 0) ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✈ỵ✐ ♠✐➲♥ ❣↕❝❤ ❝❤➨♦ ✈➔ ❝â ❜→♥ ❦➼♥❤ ❜➨ ♥❤➜t✳ ✣➸ ①→❝ ✤à♥❤ tå❛ ✤ë ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ B ✈➔ M x+y =4 ✈ỵ✐ ❝❤ó þ ❤♦➔♥❤ ✤ë ❝õ❛ B ❜➨ ❤ì♥ t❛ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (x − 1)y = √ √ √ √ 5− 3+ 5+ 3+ ❤♦➔♥❤ ✤ë ❝õ❛ M t❛ ❝â B , ✈➔ M , ✳ ●å✐ 2 2 ✺✻ O1 ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ ❣✐ú❛ ❝õ❛ ✤♦↕♥√CQ✱ tå❛ ✤ë ❝õ❛ C ✈➔ Q ❧➔ (0; 4) ✈➔ (4; 0) ♥➯♥ 5− O1 ❝â tå❛ ✤ë ❧➔ (2, 2)✳ ❉♦ < 2✱ ♥➯♥ ✤✐➸♠ C ✈➔ B ♥➡♠ ❝ò♥❣ ♣❤➼❛ ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤✐➸♠ O1 ✳ ▲↕✐ ❞♦ ∆OCQ ❝➙♥✱ ♥➯♥ OO1 ⊥CQ✱ t ỵ ữớ t❛ ❝â tr♦♥❣ ♠✐➲♥ ABCD ✤✐➸♠ ❇ ❣➛♥ ❣â❝ tå❛ t ỵ tữỡ tỹ t õ tr QM N P t❤➻ ✤✐➸♠ M ❣➛♥ ❣è❝ tå❛ ✤ë ♥❤➜t✳ ◆❤÷♥❣ √ √ ❝â ZB = 11 − 5, ZM = 11 + 5✱ ♥➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❧➔ ✤✐ q✉❛ ✤✐➸♠ B √ ✈➔ ❝â Zmin = ZB = 11 − ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✹✳✺✳ ❚➻♠ ❣✐→ trà ❜➨ ♥❤➜t ✈➔ ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ sè y = −2x1 − x2 + x21 ✈ỵ✐ ❤➺ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ ▲í✐ ❣✐↔✐ 2x1 + 3x2 ≤ G= 2x1 + x2 ≤ x1 > 0, x2 ỗ t G ❣↕❝❤ ❝❤➨♦ ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ ❤➡♥❣ sè y ỗ t số x2 = x21 2x1 y t t ỗ t r ❤➔♠ x2 = x21 − 2x1 t❤❡♦ trö❝ x2 ♠ët ❧÷đ♥❣ (−y)✳ ✣➸ t➻♠ ymin t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✈à tr➼ ỗ t t tr ỗ t t t õ ợ ỗ t G ỗ t x2 = x21 2x1 y t t ú ợ ữớ t 2x1 + 3x2 = t↕✐ ✤✐➸♠ A✳ ✣➸ t➻♠ ❣✐→ trà ❤♦➔♥❤ ✤ë ❝õ❛ A t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦➨♣✿ ❍➻♥❤ ✷✺ ✺✼ ✲ x1 + = x21 − 2x1 − ymin 22 ❚❛ ❝â x1 = ỗ tớ õ ymin = A t❤✉ë❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ 14 2x1 + 3x2 = 6✱ ♥➯♥ t✉♥❣ ✤ë ❝õ❛ A ❧➔ x2 = ✳ ✣➸ t➻♠ ymax t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ✈à tr➼ ỗ t t t tr ỗ t t t ❝õ❛ ∆ ✈➔ ❝â ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ ✈ỵ✐ ♠✐➲♥ ❣↕❝❤ ❝❤➨♦✳ t tr ỗ t t q✉❛ ✤✐➸♠ O(0; 0) ❤♦➦❝ B(2; 0) ✈➔ ❝â ymax = ✺✽ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❱ỵ✐ ♠ư❝ ✤➼❝❤ ❦❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè õ t ữợ t ợ t♦→♥ ❜➡♥❣ ❝♦♥ ✤÷í♥❣ ✈➟♥ ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈ỵ✐ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✣↕✐ sè t❤æ♥❣ q✉❛ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❝→❝ ♥❤✐➺♠ ✈ö ❝❤➼♥❤ s❛✉✿ • ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝õ❛ ✣↕✐ sè ❝â t❤➸ ✈➟♥ ❞ö♥❣ ✈➔♦ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ữủ ỗ tớ tổ q ởt ✈➔✐ ✈➼ ❞ư ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✤➣ ❝❤♦ t❤➜② ✈✐➺❝ ✈➟♥ ❞ư♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝õ❛ ✣↕✐ sè ✈➔♦ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ✈➟♥ ❞ư♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝õ❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔♦ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐ sè✳ • ❚r➻♥❤ ❜➔② ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤✐ t✐➳t ♠ët ❜➔✐ t♦→♥✱ ✤➲ t❤✐ ✈➲ ✣↕✐ sè✱ ❍➻♥❤ s ọ tr ữợ qố t t ữợ t t số ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ t ợ ổ số ố ợ ởt t ữ ỗ tớ ữớ ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ①➨t✱ rót r❛ ✤÷đ❝ ÷✉ ✤✐➸♠ ❝ơ♥❣ ữ ỳ ú ỵ t t sè ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈ỵ✐ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✣↕✐ sè s♦ ✈ỵ✐ ✈✐➺❝ sû ❞ư♥❣ t❤✉➛♥ tó② ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ỉ♥❣ ❝ư ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t➟♣ ✣↕✐ sè ❝ơ♥❣ ♥❤÷ sû ❞ư♥❣ t❤✉➛♥ tó② ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ỉ♥❣ ❝ư ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t➟♣ ❍➻♥❤ ❤å❝✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝ỉ♥❣ t→❝ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤➻ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ s➩ ❣✐ó♣ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝â t❤ỉ♥❣ t✐♥ ✤➸ t→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ỗ ữù s ❣✐ä✐✳ ✺✾ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ ❚✉②➸♥ t➟♣ ✭✷✵✶✵✮ ❈→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤å♥ ❧å❝ ✹✺ ♥➠♠ t↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❚✉ê✐ tr➫✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ư❝✳ ❬✷❪ ❱ơ ❉÷ì♥❣ ❚❤ư②✱ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ◆❤♦ ✭✷✵✵✷✮✱ ✹✵ ♥➠♠ ❖❧②♠♣✐❝ ❚♦→♥ ❤å❝ q✉è❝ t➳ ✭✶✾✺✾✲✷✵✵✵✮✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ư❝✳ ❬✸❪ ❍➔ ❉✉② ❍÷♥❣✱ ◆❣✉②➵♥ ❙ì♥ ❍➔✱ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ●✐❛♥❣✱ ▲➯ ▼✐♥❤ ❈÷í♥❣ ✭✷✵✶✻✮ ❚✉②➸♥ ❝❤å♥ ✤➲ t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❚❍P❚ ♠æ♥ ❚♦→♥✱ ◆❤➔ ①✉➜t ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ●✐❛✳ ❬✹❪ ❚✉②➸♥ t➟♣ ✭✷✵✶✻✮ ❈→❝ ✤➲ t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❦❤✉ ✈ü❝ ❈❤➙✉ ⑩ ✲ ❚❤→✐ ❇➻♥❤ ❉÷ì♥❣✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ●✐❛✳ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✺❪ ❉❛✈✐❞ ❍✐❧❜❡rt ✭✶✾✾✾✮✱ ❋♦✉♥❞❛t✐♦♥s ♦❢ ●❡♦♠❡tr②✱ ❖♣❡♥ ❈♦✉rt✱ ■❧❧✐♥♦✐s✳ ❬✻❪ ❑✐♥ ❨✳▲✐ ✭✷✵✵✷✮✱ ❱❡❝t♦ ❣❡♦♠❡tr②✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❊①❝❛❧✐❜✉r✱ ❱♦❧✳✻✱ ◆♦✺✳ ❬✼❪ ❑✐♥ ❨✳▲✐ ✭✷✵✵✺✮✱ ❋❛♠♦✉s ●❡♦♠❡tr② ❚❤❡♦r❡♠s✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❊①❝❛❧✐❜✉r✱ ❱♦❧✳✶✵✱ ◆♦✸✳ ❬✽❪ ❱✐❦t♦r Pr❛s♦❧♦✈ ✭✷✵✵✻✮✱ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ♣❧❛♥❡ ❛♥❞ s♦❧✐❞ ●❡♦♠❡tr②✳ ❚r❛♥s✲ ❧❛t❡❞ ❛♥❞ ❡❞✐t❡❞ ❜② ❉✐♠✐tr② ▲❡✐t❡s✱ ▼♦s❝♦✇ t❡①t❜♦♦❦s ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THÀNH CÔNG KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI Chuyên ngành:... HỌC SINH GIỎI Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 ✐ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✶ ▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉... ❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ❝➛♥ t➻♠ ❧➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ y = − ✳ ✶✾ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ởt số t số ị tữ ữỡ ỵ tữ t t ỵ ổ tr ❤å❝ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t➻♠ r❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥