ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ KHÁNH VÂN BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD CHO HÀM TIỀN LỒI BẤT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ KHÁNH VÂN BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG HERMITE–HADAMARD CHO HÀM TIỀN LỒI BẤT BIẾN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Hàm tiền lồi bất biến số 1.1 Hàm s-lồi 1.1.1 Hàm lồi 1.1.2 Hàm s-lồi 1.2 Hàm tiền lồi bất biến 1.2.1 Hàm lồi bất biến 1.2.2 Hàm tiền lồi bất biến tính chất 4 8 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho lớp hàm tiền lồi bất biến16 2.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm tiền lồi bất biến 16 2.1.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard 16 2.1.2 Một vài ứng dụng 19 2.2 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho lớp hàm s-tiền lồi bất biến 23 2.2.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho lớp hàm s-tiền lồi bất biến 23 2.2.2 Một vài áp dụng 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Bảng ký hiệu Rn Rm×n L[a, b] Lp [a, b] B Γ f không gian thực n chiều không gian ma trận cấp m × n R khơng gian hàm khả tích đoạn [a, b] khơng gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] hàm Beta hàm Gamma gradient hàm f Mở đầu Hàm lồi li ó c nghiờn cu t lõu bi Hăolder, Jensen, Minkowski Đặc biệt với cơng trình Fenchel, Moreau, Rockafellar vào thập niên 1960 1970 đưa giải tích lồi trở thành lĩnh vực phát triển tốn học Hai tính chất hàm lồi tính chất đạt giá trị lớn biên cực tiểu địa phương cực tiểu tập xác định giúp cho hàm lồi sử dụng rộng rãi toán học lý thuyết ứng dụng Bên cạnh đó, số hàm khơng lồi theo nghĩa đầy đủ chia sẻ vài tính chất hàm lồi, chẳng hạn lớp hàm tiền lồi bất biến (preinvex functions) Một bất đẳng thức tiếng cho hàm f lồi [a, b] ⊂ R bất đẳng thức Hermite–Hadamard: f a+b ≤ b−a b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) (1) hay dạng tương đương: b (b − a)f a+b ≤ f (x)dx ≤ (b − a) f (a) + f (b) (2) a Có nhiều nhà tốn học nghiên cứu mở rộng bất đẳng thức Hermite– Hadamard (1) cho lớp hàm lồi khác đưa nhiều ứng dụng chứng minh bất đẳng thức đại số, hình học, lượng giác khác Đây đề tài nhiều nhà toán học quan tâm Do đó, tơi chọn đề tài "Bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard cho hàm tiền lồi bất biến" để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp tác giả Mục tiêu đề tài luận văn tìm hiểu trình bày lại số bất đẳng thức xây dựng từ bất đẳng thức Hermite–Hadamard (1) cho hàm tiền lồi bất biến tài liệu [7] [8] công bố năm 2019 2017 Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Hàm tiền lồi bất biến số tính chất Chương trình bày số kiến thức tập lồi, hàm lồi, tập lồi bất biến, hàm tiền lồi bất biến, mối liên hệ hàm tiền lồi bất biến với hàm lồi số tính chất hàm tiền lồi bất biến, đưa ví dụ hàm tiền lồi bất biến cách nhận biết hàm tiền lồi bất biến Chương Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm tiền lồi bất biến Chương trình bày số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard cho số lớp hàm tiền lồi bất biến, áp dụng để đánh giá số giá trị trung bình đặc biệt số hệ quy tắc ba điểm, quy tắc hình thang, quy tắc Simpson Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Trong trình học tập thực luận văn này, Trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập, nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, cô khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy - người trực tiếp giúp đỡ, hướng dẫn kiến thức, tài liệu phương pháp để tác giả hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, khích lệ giúp đỡ thời gian qua Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019 Tác giả luận văn Lê Khánh Vân Chương Hàm tiền lồi bất biến số tính chất Chương trình bày số kiến thức hàm lồi, hàm s-lồi, tập lồi bất biến, hàm tiền lồi bất biến số tính chất hàm tiền lồi bất biến Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1]–[8] 1.1 1.1.1 Hàm s-lồi Hàm lồi Cho hai điểm a, b ∈ Rn Tập tất điểm x = (1 − λ)a + λb với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng (đóng) nối a b, ký hiệu [a, b] Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]) Tập C ⊆ Rn gọi tập lồi với λ ∈ [0, 1] x1 , x2 ∈ C xλ := λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C Như vậy, tập lồi C chứa đoạn thẳng nối hai điểm Hình 1.1: Tập lồi Hình 1.2: Tập khơng lồi Định nghĩa 1.1.2 (xem [1]) Cho C tập lồi khác rỗng không gian Rn , f : C → R hàm số thực xác định tập lồi C Hàm f gọi (i) hàm lồi C với x, y ∈ C số thực λ ∈ [0, 1], ta có f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.1) (ii) lồi chặt C bất đẳng thức (1.1) chặt với x khác y , λ ∈ (0, 1) Nếu n = 1, Định nghĩa 1.1.2 cho ta định nghĩa hàm lồi biến R Định nghĩa 1.1.3 (xem [1]) Hàm f : [a, b] ⊂ R → R gọi hàm lồi với x, y ∈ [a, b] λ ∈ [0, 1] f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.2) Hàm f gọi hàm lõm hàm (−f ) lồi Hình 1.3: Hàm lồi Sau mối liên hệ hàm lồi tập lồi Định lý 1.1.4 (xem [1]) Giả sử hàm f : Rn → R hàm lồi Rn λ ∈ R Khi Cλ := x : f (x) < λ , tập lồi C λ := x : f (x) ≤ λ Tập Cλ , C λ Định lý 1.1.4 gọi tập mức Định lý 1.1.5 (xem [1]) Cho C tập lồi, khác rỗng không gian Rn f : Rn → R hàm lồi Khi đó, điểm cực tiểu địa phương f C cực tiểu toàn cục Định lý 1.1.6 (xem [1]) Một hàm lồi chặt f tập lồi C có nhiều điểm cực tiểu C Ví dụ 1.1.7 Hàm lồi chặt biến f (x) = x2 , x ∈ R, có điểm cực tiểu x0 = Hàm lồi chặt f (x) = ex , x ∈ R, khơng có điểm cực tiểu Sau mối liên hệ hàm lồi n biến hàm lồi biến Định lý 1.1.8 (xem [1]) Hàm f (x), x ∈ Rn hàm lồi hàm biến ϕ(λ) := f (x + λd) hàm lồi theo λ với x, d ∈ Rn Chứng minh Điều kiện cần rõ ràng Ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử ϕ hàm lồi với x, d ∈ Rn Lấy x, y thuộc Rn đặt d = x − y Khi với λ ∈ [0, 1] ta có f (1 − λ)x + λy = f (x + λd) = ϕ(λ) = ϕ (1 − λ).0 + λ.1 ≤ (1 − λ)ϕ(0) + λϕ(1) = (1 − λ)f (x) + λf (y) Ví dụ 1.1.9 Các hàm sau hàm lồi (một biến): (i) hàm afin: ax + b R với a, b ∈ R, (ii) hàm mũ eax R với a ∈ R Ví dụ 1.1.10 (i) Mọi hàm chuẩn hàm lồi Rn , p n x p |xi |p = với p ≥ i=1 x ∞ = max |xi |, 1≤i≤n với x = (x1 , , x2 ) ∈ Rn (ii) Cho C ⊆ Rn tập lồi khác rỗng, hàm sau hàm lồi Rn : (a) Hàm C : δC (x) = 0, x ∈ C, +∞, x ∈ / C (b) Hàm khoảng cách từ điểm x ∈ Rn đến C : dC (x) = inf x − y y∈C (iii) Hàm xác định hàm lồi Rm×n với A = (aij )m×n X = (xij )m×n , b ∈ R m n f (X) = aij xij + b i=1 j=1 1.1.2 Hàm s-lồi Trong mục ta sử dụng ký hiệu R+ = [0, +∞) Định nghĩa 1.1.11 (xem [5]) Hàm f : R+ → R gọi (i) hàm s-lồi loại f (αx + βy) ≤ αs f (x) + β s f (y) (1.3) với x, y ∈ R+ α, β ≥ với αs + β s = 1, s ∈ (0, 1]; (ii) hàm s-lồi loại hai bất đẳng thức (1.3) thỏa mãn với x, y ∈ R+ , α, β ≥ với α + β = 1, s ∈ (0, 1] Nhận xét 1.1.12 Dễ thấy s = hàm s-lồi (loại một, loại hai) trở thành hàm lồi biến thông thường xác định [0, +∞) Ví dụ 1.1.13 Cho s ∈ (0, 1) a, b, c ∈ R Ta định nghĩa hàm f từ [0, +∞) vào R sau:  a, f (x) = bxs + c, x = 0, x > Khi đó, (i) Nếu b ≥ 0, c ≤ a f hàm s-lồi loại (ii) Nếu b ≥ ≤ c ≤ a f hàm s-lồi loại hai Chứng minh (i) Ta xét hai trường hợp sau đây: 28 điều phải chứng minh Nhận xét 2.2.7 Sau vài trường hợp đặc biệt Định lý 2.2.6 (i) Nếu h1 (t) = ts1 h2 (t) = ts2 theo Định lý 2.2.6, có kết dạng Breckner hàm (s1 , s2 )-tiền lồi bất biến: 21−s1 −s2 f ≤ η(b, a) 2a + η(b, a) a+η(b,a) f (x)dx a ≤ [f (a) + f (b)]B (s1 + 1, s2 + 1) , B(x, y) hàm Beta (ii) Nếu h1 (t) = t−s1 h2 (t) = t−s2 theo Định lý 2.2.6, có kết dạng Godunova–Levin hàm (s1 , s2 )-tiền lồi bất biến: 21+s1 +s2 f ≤ η(b, a) 2a + η(b, a) a+η(b,a) f (x)dx a ≤ [f (a) + f (b)]B (1 − s1 , − s2 ) Định lý 2.2.8 (xem [7]) Cho f : Ω = [a, a + η(b, a)] ⊂ R −→ R hàm liên tục Nếu f hàm (h1 , h2 )-tiền lồi bất biến với hai số dương khơng đổi α, β , ta có a+η(b,a) (u − a)α (a + η(b, a) − u)β f (u)du a ≤ (η(b, a))α+β+1 [Ψ1 (t)f (a) + Ψ2 (t)f (b)] , tα (1 − t)β h1 (1 − t)h2 (t)dt, Ψ1 (t) := tα (1 − t)β h1 (t)h2 (1 − t)dt Ψ2 (t) := Chứng minh Sử dụng Bổ đề 2.2.5 theo giả thiết f hàm (h1 , h2 )-tiền lồi bất biến, ta có a+η(b,a) (u − a)α (a + η(b, a) − u)β f (u)du a tα (1 − t)β f (a + tη(b, a))dt α+β+1 = (η(b, a)) 29 ≤ (η(b, a))α+β+1 tα (1 − t)β [h1 (1 − t)h2 (t)f (a) + h2 (1 − t)h1 (t)f (b)] dt = (η(b, a))α+β+1 [Ψ1 (t)f (a) + Ψ2 (t)f (b)] , điều phải chứng minh Nhận xét 2.2.9 Một số trường hợp đặc biệt Định lý 2.2.8 (i) Nếu h1 (t) = ts1 h2 (t) = ts2 theo Định lý 2.2.8, có kết dạng Breckner hàm (s1 , s2 )-tiền lồi bất biến: a+η(b,a) (u − a)α (a + η(b, a) − u)β f (u)du a ≤ (η(b, a))a+β+1 [γ1 (t)f (a) + γ2 (t)f (b)] , γ1 (t) := B (α + s2 + 1, β + s1 + 1), γ2 (t) := B (α + s1 + 1, β + s2 + 1) (ii) Nếu h1 (t) = t−s1 h2 (t) = t−s2 theo Định lý 2.2.8, có kết dạng Godunova–Levin hàm (s1 , s2 )-tiền lồi bất biến: a+η(b,a) (u − a)α (a + η(b, a) − u)β f (u)du a ≤ (η(b, a))α+β+1 [δ1 (t)f (a) + δ2 (t)f (b)] , δ1 (t) := B (α − s2 + 1, β − s1 + 1), δ2 (t) := B (α − s1 + 1, β − s2 + 1) Định lý 2.2.10 (xem [7]) Cho f : Ω = [a, a + η(b, a)] ⊂ R −→ R hàm r liên tục Nếu |f | r−1 hàm (h1 , h2 )-tiền lồi bất biến với hai số dương khơng đổi α, β , ta có a+η(b,a) (u − a)α (a + η(b, a) − u)β f (u)du a r r ≤ (η(b, a))α+β+1 B(rα + 1, rβ + 1) |f (a)| r−1 θ1 (t) + |f (b)| r−1 θ2 (t) r−1 r , 30 1 h1 (1 − t)h2 (t)dt, θ1 (t) = h1 (t)h2 (1 − t)dt θ2 (t) = 0 Chứng minh Áp dng B 2.2.5, bt ng thc Hăolder v gi thiết r |f | r−1 hàm (h1 , h2 )-tiền lồi bất biến, ta có a+η(b,a) (u − a)α (a + η(b, a) − u)β f (u)du a = (η(b, a))α+β+1 tα (1 − t)β f (a + tη(b, a))dt r 1 trα (1 − t)rβ dt ≤ (η(b, a))α+β+1 |f (a + tη(b, a))| r r−1 r−1 r dr 1 ≤ (η(b, a))α+β+1 (B(rα + 1, rβ + 1)) r r h1 (1 − t)h2 (t)|f (a)| r−1 +h1 (t)h2 (1 − t)|f (b)| α+β+1 ≤ (η(b, a)) r r−1 dt r−1 r (B(rα + 1, rβ + 1)) r |f (a)| r r−1 h1 (1 − t)h2 (t)dt +|f (b)| r−1 r r r−1 h1 (t)h2 (1 − t)dt r r = (η(b, a))α+β+1 (B(rα + 1, rβ + 1)) r |f (a)| r−1 θ1 (t) + |f (b)| r−1 θ2 (t) r−1 r , điều phải chứng minh Nhận xét 2.2.11 Một vài trường hợp đặc biệt Định lý 2.2.10 (i) Nếu h1 (t) = ts1 h2 (t) = ts2 theo Định lý 2.2.10 ta có kết dạng Breckner hàm (s1 , s2 )-tiền lồi bất biến a+η(b,a) (u − a)α (a + η(b, a) − u)β f (u)du a ≤ η(b, a)α+β+1 B(rα + 1, rβ + 1) r × [B (s1 + 1, s2 + 1)] r−1 r |f (a)| r r−1 + |f (b)| r r−1 r−1 r 31 (ii) Nếu h1 (t) = t−s1 h2 (t) = t−s2 theo Định lý 2.2.10 ta có kết dạng Godunova–Levin hàm (s1 , s2 )-tiền lồi bất biến a+η(b,a) (u − a)α (a + η(b, a) − u)β f (u)du a ≤ η(b, a)α+β+1 B(rα + 1, rβ + 1) r × [B (1 − s1 , − s2 )] r−1 r r r |f (a)| r−1 + |f (b)| r−1 r−1 r Bổ đề 2.2.12 (xem [7]) Cho hàm f : Ω = [a, a + η(b, a)] ⊂ R −→ R hàm tiền lồi bất biến khả vi miền Ω◦ Ω với η(b, a) > Nếu f ∈ L[a, a + η(b, a)] hàm (h1 , h2 )-tiền lồi bất biến λ ∈ [0, 1], (1 − λ)f 2a + η(b, a) η(b, a) = f (a) + f (a + η(b, a)) +λ − η(b, a) a+η(b,a) f (x)dx a µ(t)f (a + tη(b, a))dt, µ(t) = 2t − λ, t ∈ 0, 21 , 2t − + λ, t ∈ 2, (2.20) Chứng minh Xét η(b, a) I= η(b, a) = µ(t)f (a + tη(b, a))dt (2t − λ)f (a + tη(b, a))dt + (2t − + λ)f (a + tη(b, a))dt = I1 + I2 Với, η(b, a) I1 = (2t − λ)f (a + tη(b, a))dt 1 2 = |(2t − λ)f (a + tη(b, a))|0 − f (a + tη(b, a))dt 2 1−λ 2a + η(b, a) λ = f + f (a) − f (a + tη(b, a))dt 2 32 Tương tự, I2 = η(b, a) (2t − + λ)f (a + tη(b, a))dt = |(2t − + λ) (f (a + tη(b, a))|11 − 2 = 1−λ f f (a + tη(b, a))dt λ + f (a + η(b, a)) − 2a + η(b, a) f (a + tη(b, a))dt Vậy 2a + η(b, a) f (a) + f (a + η(b, a) +λ I1 + I2 = (1 − λ)f − η(b, a) a+η(b,a) f (x)dx a Ta có điều phải chứng minh Định lý 2.2.13 (xem [7]) Cho hàm f : Ω = [a, a + η(b, a)] ⊂ R −→ R hàm tiền lồi bất biến, khả vi miền Ω◦ Ω với η(b, a) > Nếu f ∈ L[a, a + η(b, a)] |f |q hàm (h1 , h2 )-tiền lồi bất biến Ω với q ≥ λ ∈ [0, 1], (1 − λ)f = 2a + η(b, a) f (a) + f (a + η(b, a)) +λ − η(b, a) a+η(b,a) f (x)dx a η(b, a) q (ζ1 (a, b; λ))1− q ζ2 (a, b; λ, h1 , h2 ) |f (a)| q q +ζ3 (a, b; λ, h1 , h2 ) |f (b)| q + (ζ4 (a, b; λ))1− q ζ5 (a, b; λ, h1 , h2 ) |f (a)| q +ζ6 (a, b; λ, h1 , h2 ) |f (b)| q , µ(t) xác định (2.20) ζ1 (a, b; λ) = |µ(t)|dt, (2.21) ζ2 (a, b; λ, h1 , h2 ) = h1 (1 − t)h2 (t)|µ(t)|dt, (2.22) h1 (t)h2 (1 − t)|µ(t)|dt, (2.23) ζ3 (a, b; λ, h1 , h2 ) = 33 ζ4 (a, b; λ) = |µ(t)|dt, (2.24) ζ5 (a, b; λ, h1 , h2 ) = h1 (1 − t)h2 (t)|µ(t)|dt, (2.25) h1 (t)h2 (1 − t)|µ(t)|dt (2.26) ζ6 (a, b; λ, h1 , h2 ) = Chứng minh Sử dụng Bổ đề 2.2.12, ta nhận 2a + η(b, a) (1 − λ)f  ≤ f (a) + f (a + η(b, a)) +λ − η(b, a) |2t − λ| |f (a + tη(b, a))|dt + η(b, a)  2 1− 1q |2t − λ|dt 1− 1q q |2t − λ|| (f (a + tη(b, a))) |q dt q |2t − + λ|dt |2t − + λ||f (a + tη(b, a))|dt  1− 1q |2t − λ|dt   2 η(b, a)  ≤  |2t − + λ| |f (a + tη(b, a))| dt +   ≤ f (x)dx a η(b, a)   a+η(b,a) q |2t − λ| h1 (1 − t)h2 (t) |f (a)| q q +h2 (1 − t)h1 (t) |f (b)| dt  1− 1q   |2t − + λ|dt  + |2t − + λ|   2 1 q q q h1 (1 − t)h2 (t) |f (a)| + h2 (1 − t)h1 (t) |f (b)| dt =  η(b, a) q q (ζ1 (a, b; λ))1− q ζ2 (a, b; λ, h1 , h2 ) |f (a)| + ζ3 (a, b; λ, h1 , h2 ) |f (b)| q q + (ζ4 (a, b; λ))1− q ζ5 (a, b; λ, h1 , h2 ) |f (a)| + ζ6 (a, b; λ, h1 , h2 ) |f (b)| q điều phải chứng minh q 34 Định lý 2.2.14 (xem [7]) Cho hàm f : Ω = [a, a + η(b, a)] ⊂ R −→ R hàm tiền lồi bất biến, khả vi miền Ω◦ Ω với η(b, a) > Nếu f ∈ L[a, a + η(b, a)] |f |q hàm (h1 , h2 )-tiền lồi bất biến Ω với 1 p, q ≥ 1, + = λ ∈ [0, 1], p q a+η(b,a) f (a) + f (a + η(b, a)) +λ − f (x)dx η(b, a) a   1q q 2a+η(b,a) q |f (a)| + f η(b, a)   p  (ζ7 (a, b, p; λ)) ≤ h1 (1 − t)h2 (t)dt  2a + η(b, a) (1 − λ)f   p f + (ζ8 (a, b, p; λ))  q 2a+η(b,a)  1q + |f (a + η(b, a))|q  h2 (1 − t)h1 (t)dt   ζ7 (a, b, p; λ) = p |µ(t)| dt,  ζ8 (a, b, p; λ) = |µ(t)|p dt 35 Chứng minh Áp dụng Bổ 2.2.12 v bt ng thc tớch phõn Hăolder, ta có f (a) + f (a + η(b, a)) +λ − η(b, a) 2a + η(b, a) (1 − λ)f η(b, a) ≤ a+η(b,a) f (x)dx a |2t − λ| |(f (a + tη(b, a)))| dt |2t − + λ||f (a + tη(b, a))|dt +  ≤ η(b, a)  p q |2t − λ|p dt |f (a + tη(b, a))| dt P  q |f (a + tη(b, a))| dt q  |2t − + λ|p dt +  ≤ η(b, a)  p η(b, a) |2t − λ|p dt P 1 η(b, a) |2t − + λ|p dt + q q 2a+η(b,a) q |f (x)| dx a q a+η(b,a) q |f (x)| dx 2a+η(b,a)   Vì hàm |f |q hàm (h1 , h2 )-tiền lồi bất biến, ta có η(b, a) 2a+η(b,a) |f (x)|q dx ≤ |f (a)|q a h1 (1 − t)h2 (t)dt + f 2a + η(b, a) q h2 (1 − t)h1 (t)dt (2.27) η(b, a) a+η(b,a) q 2a+η(b,a) |f (x)| dx ≤ f q 2a + η(b, a) h1 (1 − t)h2 (t)dt q h2 (1 − t)h1 (t)dt +|f (a + η(b, a))| (2.28) 36  =  q |f (a)| + |f η(b, a)  p  (ζ (a, b, p; λ))  2  p |f +(ζ8 (a, b, p; λ))  2a+η(b,a) 2a+η(b,a) q |  1q h1 (1 − t)h2 (t)dt |q + |f (a + η(b, a))|q  1q   h2 (1 − t)h1 (t)dt  (2.29) Kết hợp (2.27) (2.28) ta có bất đẳng thức (2.29) Định lý 2.2.15 (xem [7]) Cho hàm f : Ω = [a, a + η(b, a)] ⊂ R −→ R hàm tiền lồi bất biến khả vi tập đóng Ω◦ Ω với η(b, a) > Nếu f ∈ L[a, a + η(b, a)] |f |q hàm (h1 , h2 )-tiền lồi bất biến Ω với 1 p, q ≥ 1, + = λ ∈ [0, 1], p q (1 − λ)f 2a + η(b, a) η(b, a) × ≤ f (a) + f (a + η(b, a)) +λ − η(b, a) λp+1 + (1 − λ)p+1 2(p + 1) p a+η(b,a) f (x)dx a ζ9 (a, b; q, h1 , h2 ) (|f (a)|q + |f (b)|q ) q +ζ10 (a, b; q, h1 , h2 ) (|f (a)|q + |f (b)|q ) q , h1 (t)h2 (1 − t)dt, ζ9 (a, b; λ, h1 , h2 ) = h1 (t)h2 (1 − t)dt ζ10 (a, b; λ, h1 , h2 ) = 37 Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.2.12 bất đẳng thức tớch phõn Hăolder, ta cú a+(b,a) (1 )f 2a + η(b, a)  +λ f (a) + f (a + η(b, a)) − η(b, a) a  η(a, b)   f (x)dx  |2t − + λ||f (a + tη(b, a))|dt |2t − λ||f (a + tη(b, a))|dt +  η(b, a)   ≤    p1    |2t − λ|p dt   1q  |f (a + tη(b, a))|q dt  p1   1q  1      +  |2t − + λ|p dt  |f (a + tη(b, a))|q dt    2  η(b, a)   ≤    p1  |2t − λ|p dt   1q  [h1 (1 − t)h2 (t)|f (a)|q + h2 (1 − t)h1 (t)|f (b)|q ] dt +  ×   p1  |2t − + λ|p dt    1q     ×  [h1 (1 − t)h2 (t)|f (a)|q + h2 (1 − t)h1 (t)|f (b)|q ] dt    η(b, a) ≤ × λp+1 + (1 − λ)p+1 2(p + 1) p ζ9 (a, b; q, h1 , h2 ) (|f (a)|q + |f (b)|q ) q +ζ10 (a, b; q, h1 , h2 ) (|f (a)|q + |f (b)|q ) q , 38 điều phải chứng minh 2.2.2 Một vài áp dụng Với việc lựa chọn tham số λ phù hợp, ta thu số kết cho quy tắc trung điểm, quy tắc hình thang, quy tắc ba điểm quy tắc Simpson Hệ 2.2.16 (xem [7]) Nếu q = theo Định lý 2.2.13, ta có: (1 − λ)f ≤ 2a + η(b, a) f (a) + f (a + η(b, a)) +λ − η(b, a) a+η(b,a) f (x)dx a η(b, a) [[ζ2 (a, b; λ, h1 , h2 ) |f (a)| + ζ3 (a, b; λ, h1 , h2 ) |f (b)|] + [ζ5 (a, b; λ, h1 , h2 ) |f (a)| + ζ6 (a, b; λ, h1 , h2 ) |f (b)|]] Hệ 2.2.17 (xem [7]) Nếu λ = theo Định lý 2.2.13, ta có quy tắc trung điểm f 2a + η(b, a) − η(b, a) a+η(b,a) f (x)dx a η(b, a) q q ζ2 (a, b; 0, h1 , h2 ) |f (a)| + ζ3 (a, b; 0, h1 , h2 ) |f (b)| q q + ζ5 (a, b; 0, h1 , h2 ) |f (a)| + ζ6 (a, b; 0, h1 , h2 ) |f (b)| q , ≤ ζ2 (a, b; 0, h1 , h2 ) , ζ3 (a, b; 0, h1 , h2 ) , ζ5 (a, b; 0, h1 , h2 ) , ζ6 (a, b; 0, h1 , h2 ) cho công thức (2.22), (2.23), (2.25), (2.26) Hệ 2.2.18 (xem [7]) Nếu λ = theo Định lý 2.2.13, ta có quy tắc hình thang f (a) + f (a + η(b, a)) − η(b, a) a+η(b,a) f (x)dx a η(b, a) (ζ1 (a, b; 1))1− q q q × ζ2 (a, b; 1, h1 , h2 ) |f (a)| + ζ3 (a, b; 1, h1 , h2 ) |f (b)| ≤ 1− 1q + (ζ4 (a, b; 1)) q q q ζ5 (a, b; 1, h1 , h2 ) |f (a)| + ζ6 (a, b; 1, h1 , h2 ) |f (b)| q , 39 ζ1 (a, b; 1) , ζ2 (a, b; 1, h1 , h2 ) , ζ3 (a, b; 1, h1 , h2 ) , ζ4 (a, b; 1) , ζ5 (a, b; 1, h1 , h2 ) , ζ6 (a, b; 1, h1 , h2 ) cho công thức (2.21)–(2.26) Hệ 2.2.19 (xem [7]) Nếu λ = theo Định lý 2.2.13, ta có quy tắc ba điểm f (a) + 2f η(b, a) ≤ 2a + η(b, a) ζ1 (a, b; ) + f (a + η(b, a)) − η(b, a) 1− 1q f (x)dx a 1− 1q 1 q q × ζ2 (a, b; , h1 , h2 ) |f (a)| + ζ3 (a, b; , h1 , h2 ) |f (b)| 2 + ζ4 (a, b; ) a+η(b,a) q 1 q q ζ5 (a, b; , h1 , h2 ) |f (a)| + ζ6 (a, b; , h1 , h2 ) |f (b)| 2 q , ζ1 a, b; 12 , ζ2 a, b; 12 , h1 , h2 , ζ3 a, b; 12 , h1 , h2 , ζ4 a, b; 12 , ζ5 a, b; 21 , h1 , h2 , ζ6 a, b; 12 , h1 , h2 cho công thức (2.21)–(2.26) Hệ 2.2.20 (xem [7]) Nếu λ = Simpson f (a) + 4f η(b, a) ≤ 2a + η(b, a) ζ1 (a, b; ) theo Định lý 2.2.13, ta có quy tắc + f (a + η(b, a)) − η(b, a) + 1− 1q f (x)dx a 1− 1q 1 q q × ζ2 (a, b; , h1 , h2 ) |f (a)| + ζ3 (a, b; , h1 , h2 ) |f (b)| 3 ζ4 (a, b; ) a+η(b,a) q 1 q q ζ5 (a, b; , h1 , h2 ) |f (a)| + ζ6 (a, b; , h1 , h2 ) |f (b)| 3 q , ζ1 a, b; 13 , ζ2 a, b; 13 , h1 , h2 , ζ3 a, b; 13 , h1 , h2 , ζ4 a, b; 13 , ζ5 a, b; 31 , h1 , h2 , ζ6 a, b; 13 , h1 , h2 cho công thức (2.21)–(2.26) 40 Kết luận Đề tài luận văn trình bày số bất đẳng thức dạng Hermite– Hadamard cho hàm tiền lồi bất biến Cụ thể: (1) Giới thiệu tập lồi, tập lồi bất biến, hàm lồi, hàm lồi bất biến, hàm tiền lồi bất biến; trình bày mối liên hệ hàm lồi hàm tiền lồi bất biến số tính chất hàm lồi hàm tiền lồi bất biến (2) Trình bày số bất đẳng xây dựng từ bất đẳng thức Hermite– Hadamard cho hàm s-tiền lồi bất biến, (s1 , s2 )-tiền lồi bất biến, (h1 , h2 )tiền lồi bất số áp dụng quy tắc trung điểm, quy tắc ba điểm, quy tắc hình thang, quy tắc Simpson 41 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy, Giáo trình Tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011 Tiếng Anh [2] P Cerone, S.S Dragomir (2011), Mathematical Inequalities: A perspective, CRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA [3] S.S Dragomir, E.M.P Charles (2000), Selected Topics on Hermite– Hadamard Inequalities and Applications, RGMIA Monographs, Victoria University [4] G Giorgi (2008), "Some remarks on preinvex functions and other generalized convex functions", Math Reports, 10(60), 317–325 [5] H Hudzik, L Maligranda (1994), "Some remarks on s-convex functions", Aequationes Mathematicae, 48, 100–111 [6] M.A Noor (2007), "Hermite–Hadamard integral inequalities for logpreinvex functions", J Math Anal Approx Theory, 2, 126–131 [7] M.A Noor, K.I Noor, S Rashid (2019), "Some new classes of preinvex functions and inequalities", Mathematics, 2019, 7, 29; doi:10.3390/math7010029 42 [8] M.A Noor, K.I Noor, M U Awan (2017), "Fractional Hermite-Hadamard inequalities for two kinds of s-preinvex functions", Nonlinear Sci Lett A., 8(1), 11–24 ... bày số kiến thức tập lồi, hàm lồi, tập lồi bất biến, hàm tiền lồi bất biến, mối liên hệ hàm tiền lồi bất biến với hàm lồi số tính chất hàm tiền lồi bất biến, đưa ví dụ hàm tiền lồi bất biến cách... nhận biết hàm tiền lồi bất biến Chương Bất đẳng thức Hermite Hadamard cho hàm tiền lồi bất biến Chương trình bày số bất đẳng thức dạng Hermite Hadamard cho số lớp hàm tiền lồi bất biến, áp dụng... 4 8 Bất đẳng thức Hermite Hadamard cho lớp hàm tiền lồi bất biến1 6 2.1 Bất đẳng thức Hermite Hadamard cho hàm tiền lồi bất biến 16 2.1.1 Bất đẳng thức Hermite Hadamard