CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN I Phương trình đường thẳng:  • Cho đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) với a12 + a2 + a32 ≠ làm vectơ phương Khi ∆ có phương trình tham số : • II x x0 + a1t =  y0 + a2 t ; ( t ∈  ) y = =  z z0 + a t  Cho đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) cho a1a2a3 ≠ làm vectơ phương Khi ∆ có phương trình tắc : x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 Góc: Góc hai đường thẳng:  ∆1 có vectơ phương a1  ∆ có vectơ phương a2   a1.a2 Gọi ϕ góc hai đường thẳng ∆1 ∆ Ta có: cos ϕ =   a1 a2 Góc đường thẳng  mặt phẳng: ∆ có vectơ phương a∆  (α ) có vectơ phương nα   a∆ nα Gọi ϕ góc hai đường thẳng ∆ (α ) Ta có: sin ϕ =   a∆ nα III Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng∆ : ∆ qua điểm M có vectơ phương a∆    a∆ , M M    d ( M , ∆) =  a∆ Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:  ∆1 qua điểm M có vectơ phương a1  ∆ qua điểm N có vectơ phương a2     a1 , a2  MN   d ( ∆1 , ∆ ) =    a1 , a2    IV Các dạng toán thường gặp: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm phân biệt A, B  Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ AB Đường thẳng ∆ qua điểm M song song với d Cách giải: Trong trường hợp đặc biệt: Trang 1/42 • Nếu  ∆  song song trùng bới trục Ox ∆ có vectơ phương a∆ = i = (1;0;0 ) • Nếu  ∆ song song trùng bới trục Oy ∆ có vectơ phương a∆= j= ( 0;1;0 ) Nếu  ∆ song song trùng bới trục Oz ∆ có vectơ phương a∆= k= ( 0;1;0 )    Các trường hợp khác ∆ có vectơ phương a∆ = ad , với ad vectơ phương d Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M vng góc với mặt phẳng (α )    Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ = nα , với nα vectơ pháp tuyến • (α ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M vng góc với hai đường thẳng d1 , d (hai đường thẳng không phương)      Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ =  a1 , a2  , với a1 , a2 vectơ phương d1 , d Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M vng góc với đường thẳng d song song với mặt phẳng (α )     Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ =  ad , nα  , với ad vectơ  phương d , nα vectơ pháp tuyến (α ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A song song với hai mặt phẳng (α ) , ( β ) ; ( (α ) , ( β ) hai mặt phẳng cắt nhau)      Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ =  nα , nβ  , với nα , nβ vectơ pháp tuyến (α ) , ( β ) Viết phương trình đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (α ) ( β ) Cách giải: • Lấy điểm ∆ , cách cho ẩn số tùy ý      • Xác định vectơ phương ∆ a∆ =  nα , nβ  , với nα , nβ vectơ pháp tuyến (α ) , ( β ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cắt hai đường thẳng d1 , d ( A ∉ d1 , A ∉ d )      Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ =  n1 , n2  , với n1 , n2 vectơ pháp tuyến mp ( A, d1 ) , mp ( A, d ) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (α ) cắt hai đường thẳng d1 , d   Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ = AB , với A = d1 ∩ (α ) , B = d ∩ (α ) 10 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , vng góc cắt d Cách giải: • Xác định B = ∆ ∩ d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, B 11 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , vng góc với d1 cắt d , với A ∉ d2 Cách giải: Trang 2/42 • Xác định B = ∆ ∩ d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, B 12 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , cắt đường thẳng d song song với mặt phẳng (α ) Cách giải: • Xác định B = ∆ ∩ d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, B 13 Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (α ) cắt vuông góc đường thẳng d Cách giải: • Xác định A= d ∩ (α ) •     Đường thẳng ∆ qua A có vectơ phương ∆ a∆ =  ad , nα  , với ad  vectơ phương d , nα vectơ pháp tuyến (α ) 14 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (α ) , nằm (α ) vuông góc đường thẳng d (ở d khơng vng góc với (α ) ) Cách giải: • Xác định A= d ∩ (α ) •     Đường thẳng ∆ qua A có vectơ phương ∆ a∆ =  ad , nα  , với ad  vectơ phương d , nα vectơ pháp tuyến (α ) 15 Viết phương trình đường thẳng ∆ đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 , d Cách giải:  AB ⊥ d1 • Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d cho   AB ⊥ d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm A, B 16 Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 , d Cách giải:    • Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d cho AB, ad phương, với ad vectơ phương d   • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A có vectơ phương ad = a∆ 17 Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (α ) cắt hai đường thẳng d1 , d Cách giải:    • Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d cho AB, nα phương, với nα vectơ pháp tuyến (α ) •   Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A có vectơ phương ad = nα 18 Viết phương trình ∆ hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng (α )    Cách giải : Xác định H ∈ ∆ cho AH ⊥ ad ,với ad vectơ phương d • Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d vng góc với mặt phẳng (α ) • Viết phương trình đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (α ) ( β ) 19 Viết phương trình ∆ hình chiếu song song d lên mặt phẳng (α ) theo phương d ' Trang 3/42 Cách giải :  • Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d có thêm véc tơ phương ud' • Viết phương trình đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (α ) ( β ) B KỸ NĂNG CƠ BẢN Học sinh xác định vectơ phương điểm thuộc đường thẳng cho trước phương trình Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình tắc ngược lại Học sinh lập phương trình tắc phương trình tham số Học sinh tìm hình chiếu, điểm đối xứng C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  x= − 2t  x= + 2t '   Câu Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :  y= − 2t d’:  y= + 2t ' Xét mệnh  z = − 3t  z= + 9t '   đề sau:  (I) d qua A(2 ;3 ;1) có véctơ phương a ( 2; 2;3)  (II) d’ qua A’ (0;-3;-11) có véctơ phương a ' ( 2; 2;9 )   (III) a a ' không phương nên d không song song với d’     (IV) Vì  a ; a '  AA ' = nên d d’ đồng phẳng chúng cắt Dựa vào phát biểu trên, ta kết luận: A Các phát biểu (I), (III) đúng, phát biểu (II), (IV) sai B Các phát biểu (I), (II) đúng, phát biểu (III), (IV) sai C Các phát biểu (I) đúng, phát biểu (II), (III), (IV) sai D Các phát biểu (IV) sai, phát biểu lại  x= + t  Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số  y = −3t  z =−1 + 5t  Phương trình tắc đường thẳng d là? x−2 y z +1 = = −3 x + y z −1 x+2 y z −1 C D = = = = −1 −5 −3 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình tắc A x − = y = z + B x − y +1 z Phương trình tham số đường thẳng ∆ là? = = −3  x =−3 + 2t  x =−3 − 2t  x= + 2t  x= + 3t     B  y =−3 − t C  y = − 3t D  y = + 3t A  y =−1 − 3t z = t z = t z = t z = t     x + y −1 z − Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = Đường thẳng d −1  qua điểm M có vectơ phương ad có tọa độ là:   A M ( 2; −1;3) , ad = B M ( 2; −1; −3) , ad = ( 2; −1;3) ( −2;1;3)   C M ( −2;1;3) , ad = D M ( 2; −1;3) , ad = ( 2; −1; −3) ( 2; −1;3) Trang 4/42 x= t −  Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y= + 3t Đường thẳng d qua  z= + t   điểm M có vectơ phương ad có tọa độ là:   A M ( −2; 2;1) , ad = B M (1; 2;1) , ad = ( −2;3;1) (1;3;1)   C M ( 2; −2; −1) , ad = D M (1; 2;1) , a= (1;3;1) ( 2; −3;1) d Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình tham số  đường thẳng d qua điểm M ( −2;3;1) có vectơ phương = a (1; −2; ) ?  x= + t  A  y =−3 − 2t  z =−1 + 2t   x = + 2t  B  y =−2 − 3t  z= − t   x = − 2t  C  y =−2 + 3t  z= + t   x =−2 + t  D  y= − 2t  z = + 2t  Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình tắc ∆ đường thẳng qua hai điểm A (1; −2;5) B ( 3;1;1) ? x −3 x −1 y + z − A = = B = −4 x −1 x +1 y − z + C = = D = 3 −4 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC y −1 z −1 = −2 y + z −5 = 1 có A ( −1;3;2 ) , B ( 2;0;5) , C ( 0; −2;1) Phương trình đường trung tuyến AM tam giác ABC x −1 y + z + x −1 y + z + A = = B = = −2 −1 −4 x − y + z +1 x +1 y − z − C = = D = = −1 −4 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1;4; −1) , B ( 2;4;3) , C ( 2;2; −1) Phương trình tham số đường thẳng qua điểm A x = x =   A  y= + t B  y= + t C   z =−1 + 2t  z = + 2t  Câu 10 song song với BC x = x =   D  y= − t  y= + t  z =−1 + 2t  z =−1 − 2t   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M (1;3;4 ) song song với trục hoành x= 1+ t  A  y = y =  Câu 11 x =  B  y= + t y =  x =  C  y =  y= − t  x =  D  y =  y= + t   x = − 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = t Phương trình  z =−3 + 2t  tắc đường thẳng ∆ qua điểm A ( 3;1; −1) song song với d x + y +1 z −1 A = = −2 x + y −1 z − C = = −1 x − y −1 z +1 B = = −2 x − y +1 z + D = = −1 Trang 5/42 x − y −1 z − Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = Phương trình tham số −1 đường thẳng ∆ qua điểm M (1;3; −4 ) song song với d  x= + t  A  y =−1 + 3t  z= − 4t   x =−1 + 2t  B  y =−3 − t  z= + 3t   x =−1 + 2t  C  y =−3 − t  z= + 3t   x = + 2t  D  y= − t  z =−4 + 3t  Phương trình tắc Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = đường thẳng ∆ qua điểm M ( −2;1;1) vng góc với ( P ) x − y −1 z −1 x + y −1 z −1 A = = B = = −1 2 −1 x + y −1 z −1 x + y −1 z −1 C = = D = = −1 −1 1 Phương trình tham số Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : x − y + z − = đường thẳng d qua A ( 2;1; −5) vng góc với (α )  x =−2 + t  A  y =−1 − 2t  z= + 2t   x =−2 − t  B  y =−1 + 2t  z= − 2t   x= + t  C  y = − 2t  z =−5 + 2t   x = + 2t  D  y =−2 + t  z= − 5t  x =  B  y = + t z =  x =  C  y =−1 + t z =   x= + t  D  y = −1  z= + t  Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A ( 2; −1;3) vng góc với mặt phẳng ( Oxz ) x =  A  y = − t z =  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A ( 2;1; −2 ) , B ( 4; −1;1) , C ( 0; −3;1) Phương trình d qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với mặt phẳng ( ABC )  x= + t  A  y =−1 − 2t  z = −2t   x =−2 + t  B  y =−1 − 2t  z = −2t   x= + t  C  y = − 2t  z = −2t   x= + t  D  y = + 2t  z = 2t  (ĐH D2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;4;2 ) B ( −1;2;4 ) Phương trình d qua trọng tâm ∆OAB vng góc với mặt phẳng (OAB ) x y+2 z+2 x y−2 z−2 A B = = = = −1 −1 x y+2 z+2 x y−2 z−2 C D = = = = 1 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A ( 0;1;2 ) , B ( −2; −1; −2 ) , C ( 2; −3; −3) Đường thẳng d qua điểm B vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Phương trình sau khơng phải phương trình đường thẳng d  x =−2 − t  x =−2 + t  x =−2 − 6t    A  y =−1 − 3t B  y =−1 + 3t C  y =−1 − 18t  z =−2 + 2t  z =−2 − 2t  z =−2 + 12t     x =−2 − t  D  y =−1 − 3t  z =−2 − 2t  Trang 6/42 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M ( 2;1; −5) , đồng thời   vng góc với hai vectơ a = (1;0;1) = b ( 4;1; −1) x + y +1 z − x − y −1 z + A = = B = = 5 −1 −1 x +1 y − z −1 x + y +1 z − C = = D = = −5 −1 −5 (ĐH B2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; −1;1) , B ( −1; 2;3) đường thẳng x +1 y − z − Phương trình đường thẳng qua điểm = = −2 hai đường thẳng AB ∆ x−7 y−2 z −4 x −1 y +1 A = = B = = −1 x +1 y −1 z +1 x +1 y −1 C = = D = = 7 −2 ∆: A , đồng thời vng góc với z −1 z +1  x= + t  x − y z +1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : d :  y= − 2t = = −1  z= − 2t  Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A ( 2;3; −1) vuông góc với hai đường thẳng d1 , d  x =−8 + 2t  A  y = + 3t  z =−7 − t   x= − 8t  B  y= + 3t   z =−1 − 7t  x =−2 − 8t  C  y =−3 + t  z = − 7t  ( P ) : x + y + z − =0 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng x +1 y z − = = Phương trình đường thẳng d −1 vng góc với ∆ x − y +1 z − A = = B −5 x + y −1 z + C = = D −2 −4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai ∆:  x =−1 + 14t  B  y= + 8t  z =−1 + t  đường thẳng qua điểm B ( 2; −1;5) song song với ( P ) x + y −1 z + = = −5 x −5 y + z + = = −1 mặt phẳng (α ) : x − y + z + = ( β ) : 3x − y − z − =0 Phương trình đường thẳng hai mặt phẳng (α ) , ( β )  x = + 14t  A  y= + 8t  z =−1 + t   x =−2 + 8t  D  y =−3 − t  z = + 7t  d qua điểm M (1;3; −1) , song song với  x =−1 + t  C  y= + 8t z = 1+ t   x =−1 + t  D  y= − t z = 1+ t  Phương trình đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : x − y + z − = d qua điểm A ( 2; −3; −1) , song song với hai mặt phẳng (α ) , (Oyz )  x= − t  A  y = −3  z =−1 + t  x =  B  y =−3 + 2t  z =−1 + t  x =  C  y =−3 − 2t  z =−1 + t   x = 2t  D  y= − t z = 1− t  Trang 7/42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : x − y + z = ( β ) : x + y − z + = = Phương trình tham số đường thẳng d  x= − t  x= + t  x= + t  x =−2 + t     A  y = t B  y = t C  y = −t D  y = t  z =−2 − 2t  z= + 2t  z =−2 + 2t  z= + 2t     Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : x − y − z + =0 Phương trình đường thẳng d qua điểm ( β ) : x + y − 3z − = M (1; −1;0) song song với đường thẳng ∆ x −1 y −1 z x +1 y −1 z A = = B = = 8 x −1 y +1 z x − y −1 z C = = D = = 1 x −1 y + z Phương trình đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = −2 ∆ qua điểm A ( 2; −1; −3) , vng góc với trục Oz d  x= − t  A  y =−1 + 2t  y = −3   x = −2t  x= − t   C  y = − 2t D  y =−1 + 2t y =  y = −3   Phương trình đường Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + 5z − =  x =−2 − t  B  y = + 2t y =  thẳng ∆ qua điểm A ( −2;1; −3) , song song với ( P ) vng góc với trục tung  x =−2 + 5t  A  y =  y =−3 + 2t   x =−2 + 5t  x =−2 − 5t  x =−2 + 5t    B  y = C  y = − t D  y =  y =−3 + 2t  y =−3 + 2t  y =−3 − 2t    2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = Phương trình vng đường thẳng d qua tâm mặt cầu ( S ) , song song với (α ) : x + y − z − = góc với đường thẳng ∆ : x +1 y − z − = = −1 x= 1− t  A  y =−2 + 5t   z= − 8t  x =−1 + t  B  y= − 5t  z =−3 − 8t  x= 1− t  C  y =−2 − 5t  z= − 8t  x= 1− t  D  y =−2 + 5t   z= + 8t  x = + 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−1 + t Hình chiếu vng góc d lên  z= + t  mặt phẳng ( Oxy ) có phương trình  x = + 2t  A  y =−1 + t z =   x =−1 + 2t  B  y =−1 + t z =   x =−1 + 2t  C  y = + t z =  x =  D  y =−1 − t z =  Trang 8/42  x = + 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−2 + 3t Hình chiếu vng góc d lên  z= + t  mặt phẳng (Oxz ) có phương trình  x =−1 + 2t  A  y =  z= + t  x =  B  y =  z= + t   x = + 2t  C  y =   z= + t  x = + 2t  D  y =  z =−3 + t  x − 12 y − z − , mặt thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = ( P ) : 3x + y − z − =0 Gọi d ' hình chiếu d  x = −62t  A  y = 25t  z= − 61t   x = 62t  B  y = −25t  z= + 61t  lên ( P ) Phương trình tham số d '  x = 62t  C  y = −25t  z =−2 + 61t   x = 62t  D  y = −25t  z= + 61t   x = + 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−2 + 4t Hình chiếu song song d lên   z= + t mặt phẳng (Oxz ) theo phương ∆ :  x= + 2t  A  y =  z = − 4t  x +1 y − z − có phương trình là: = = −1 −1  x= + t  B  y =  z = + 2t   x =−1 − 2t  C  y =  z= − 4t   x= − 2t  D  y = z = 1+ t   x = − 3t x − y −1 z −1  d :  y =−2 + t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = −1  z =−1 − t  cắt hai đường thẳng d1 , d là: Phương trình đường thẳng nằm (α ) : x + y − 3z − = x + y − z −1 A = = −1 x − y + z +1 C = = −5 −1 x + y − z −1 B = = −5 −1 x +8 y −3 z D = = −4 x+2 y−2 z = = (ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : mặt 1 −1 Phương trình tham số đường thẳng d nằm ( P ) , cắt phẳng ( P ) : x + y − z + = vng góc đường thẳng ∆ là:  x =−3 + 2t  x = − 3t   A  y =−2 + 3t B  y = − t z = 1+ t  z =−1 + t    x =−3 − 3t  C  y = + 2t z = 1+ t   x =−3 + t  D  y = − 2t  z= − t  x−2 y +2 z−3 (ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = −1 x −1 y −1 z +1 d2 : = = Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A (1;2;3) vng góc với d1 −1 cắt d là: Trang 9/42 x −1 y + z + B = = −3 −5 x −1 y + z + D = = −2 −3  x =−3 + 2t  (ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = − t Phương trình   z =−1 + 4t x −1 y − z − A = = −3 −5 x +1 y + z + C = = −1 tắc đường thẳng qua điểm A ( −4; −2;4 ) , cắt vng góc với d là: x − y − z +1 A = = −4 −2 x−4 y−2 z+4 C = = −3 −2 x−4 y−2 z+4 B = = −1 x+4 y+2 z−4 D = = −1 x −1 y + z − (ĐH A2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = mặt −1 Gọi A giao điểm d ( P ) Phương trình tham số phẳng ( P ) : x + y − z + = đường thẳng ∆ nằm ( P ) , qua điểm A vng góc với d là: x =  A  y =−1 + t  z =−4 + t  x = t  B  y = −1 z = t  x = t  C  y = −1  z= + t   x= + t  D  y = z = t  x−3 y −3 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;2; −1) đường thẳng d : = = Phương trình đường thẳng qua điểm A , cắt d song song với mặt phẳng (Q ) : x + y − z + =0 là: x −1 y − z +1 A = = −2 −1 x +1 y + z −1 C = = −1 x +1 y + z −1 B = = x −1 y − z +1 D = = −1 x +1 y − z −1 = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 : x = x −1 y z +1  ∆2 : = = Phương trình đường thẳng song song với d :  y =−1 + t cắt hai  z= + t  đường thẳng ∆1; ∆ là: x =  A  y= − t  z= − t   x = −2  B  y =−3 − t  z =−3 − t   x = −2  C  y =−3 + t  z =−3 + t  x =  D  y =−3 + t  z= + t  x y −1 z + = (ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d= 1: −1  x =−1 + 2t  cắt hai d :  y = + t Phương trình đường thẳng vng góc với ( P ) : x + y − z = z =  đường thẳng d1 , d là: Trang 10/42  d qua điểm B (12;9;1) có vectơ phương ad = ( 4;3;1)  nP ( 3;5; −1) ( P ) có vectơ pháp tuyến= (Q ) •    qua B (12;9;1) có vectơ pháp tuyến nQ =  ad , nP  = ( −8;7;11) (Q ) : x − y − 11z − 22 = d ' giao tuyến (Q ) ( P ) Tìm điểm thuộc d ' , cách cho y = = 3 x − z = x ⇒ ⇒ M ( 0;0; −2 ) ∈ d ' Ta có hệ  22  y = −2 8 x − 11z =     ad  nP ; n= d ' qua điểm M ( 0;0; −2 ) có vectơ phương = Q  x = 62t  Vậy phương trình tham số d '  y = −25t  z =−2 + 61t  ( 62; −25;61)  x = + 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−2 + 4t Hình chiếu song song d lên   z= + t mặt phẳng (Oxz ) theo phương ∆ :  x= + 2t  A  y =  z = − 4t  x +1 y − z − có phương trình là: = = −1 −1  x= + t  B  y =  z = + 2t   x =−1 − 2t  C  y =  z= − 4t   x= − 2t  D  y = z = 1+ t  Hướng dẫn giải Giao điểm d mặt phẳng (Oxz ) : M (5;0;5)  x = + 2t  Trên d :  y =−2 + 4t chọn M khơng trùng với M (5;0;5) ; ví dụ: M (1; −2;3) Gọi A  z= + t  x +1 y − z − hình chiếu song song M lên mặt phẳng (Oxz ) theo phương ∆ : = = −1 −1 x +1 y − z − +/ Lập phương trình d’ qua M song song trùng với ∆ : = = −1 −1 +/ Điểm A giao điểm d’ (Oxz ) +/ Ta tìm A(3;0;1)  x = + 2t  Hình chiếu song song d :  y =−2 + 4t lên mặt phẳng (Oxz ) theo phương  z= + t  x +1 y − z − đường thẳng qua M (5;0;5) A(3;0;1) ∆: = = −1 −1  x= + t  Vậy phương trình là:  y =  z = + 2t  Trang 26/42  x = − 3t x − y −1 z −1  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = d :  y =−2 + t −1  z =−1 − t  cắt hai đường thẳng d1 , d là: Phương trình đường thẳng nằm (α ) : x + y − 3z − = x + y − z −1 A = = −1 x − y + z +1 C = = −5 −1 Hướng dẫn giải Gọi d đường thẳng cần tìm • Gọi A= d1 ∩ (α ) x + y − z −1 B = = −5 −1 x +8 y −3 z D = = −4 A ∈ d1 ⇒ A ( − a;1 + 3a;1 + 2a ) A ∈ (α ) ⇒ a =−1 ⇒ A ( 3; −2; −1) • = d ∩ (α ) Gọi B B ∈ d ⇒ B (1 − 3b; −2 + b; −1 − b ) B ∈ (α ) ⇒ b = ⇒ B ( −2; −1; −2 ) •  d qua điểm A ( 3; −2; −1) có vectơ phương AB = ( −5;1; −1) x − y + z +1 Vậy phương trình tắc d = = −5 −1 (ĐH D2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x+2 y−2 z = = mặt −1 1 Phương trình tham số đường thẳng d nằm ( P ) , cắt phẳng ( P ) : x + y − z + = vng góc đường thẳng ∆ là:  x =−3 + 2t  x = − 3t   A  y =−2 + 3t B  y = − t z = 1+ t  z =−1 + t   Hướng dẫn giải Gọi M = ∆ ∩ ( P )  x =−3 − 3t  C  y = + 2t  z = 1+ t  x =−3 + t  D  y = − 2t  z= − t  M ∈ ∆ ⇒ M ( −2 + t;2 + t; −t ) M ∈ ( P ) ⇒ t =−1 ⇒ M ( −3;1;1)  nP (1;2; −3) ( P ) có vectơ pháp tuyến=  a∆ (1;1; −1) ∆ có vectơ phương =   d ⊂ ( P) ⇒ ad ⊥ nP        ⇒ ad =  nP , a∆  = (1; −2; −1) Có d ⊥ ∆ ⇒ ad ⊥ a∆   d qua điểm M ( −3;1;1) có vectơ phương ad  x =−3 + t  Vậy phương trình tham số d  y = − 2t  z= − t  Trang 27/42 x−2 y +2 z−3 (ĐH D2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = −1 x −1 y −1 z +1 d2 : = = Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A (1;2;3) vng góc với d1 −1 cắt d là: x −1 y − z − A = = −3 −5 x +1 y + z + C = = −1 Hướng dẫn giải Gọi B = ∆ ∩ d x −1 y + z + B = = −3 −5 x −1 y + z + D = = −2 −3 B ∈ d ⇒ B (1 − t;1 + 2t; −1 + t )  AB =− ( t; 2t − 1; t − )  d1 có vectơ phương a= ( 2; −1;1)   ∆ ⊥ d1 ⇔ AB ⊥ a1   ⇔ AB.a1 = ⇔ t =−1  ∆ qua điểm A (1;2;3) có vectơ phương AB = (1; −3; −5) x −1 y − z − Vậy phương trình ∆ = = −3 −5  x =−3 + 2t  (ĐH B2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y = − t Phương trình  z =−1 + 4t  tắc đường thẳng qua điểm A ( −4; −2;4 ) , cắt vng góc với d là: x − y − z +1 A = = −4 −2 x−4 y−2 z+4 C = = −3 −2 Hướng dẫn giải Gọi ∆ đường thẳng cần tìm Gọi B = ∆ ∩ d B ∈ d ⇒ B ( −3 + 2t;1 − t; −1 + 4t )  AB = (1 + 2t;3 − t; −5 + 4t )  d có vectơ phương a= ( 2; −1; ) d   ∆ ⊥ d ⇔ AB ⊥ ad   ⇔ AB.ad = x−4 y−2 z+4 B = = −1 x+4 y+2 z−4 D = = −1 ⇔t =  AB ∆ qua điểm A ( −4; −2;4 ) có vectơ phương = ( 3; 2; −1) x+4 y+2 z−4 Vậy phương trình ∆ = = −1 Trang 28/42 x −1 y + z − (ĐH A2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = mặt −1 Gọi A giao điểm d ( P ) Phương trình tham số phẳng ( P ) : x + y − z + = đường thẳng ∆ nằm ( P ) , qua điểm A vng góc với d là: x =  A  y =−1 + t  z =−4 + t  x = t  B  y = −1 z = t  x = t  C  y = −1  z= + t   x= + t  D  y = z = t  Hướng dẫn giải Gọi A= d ∩ ( P ) A ∈ d ⇒ A (1 − t; −3 + 2t;3 + t ) A ∈ ( P ) ⇒ t = ⇒ A ( 0; −1; )  nP ( 2;1; −2 ) ( P ) có vectơ pháp tuyến=  d có vectơ phương ad = ( −1;2;1)  Gọi vecto phương ∆ a∆ Ta có :     ∆ ⊂ ( P) ⇒ a∆ ⊥ nP   a∆  nP , = ad  ( 5;0;5 )    ⇒= d ⊥ ∆ ⇒ ad ⊥ a∆   ∆ qua điểm A ( 0; −1;4 ) có vectơ phương a∆ = ( 5;0;5 ) x = t  Vậy phương trình tham số ∆  y = −1  z= + t  x−3 y −3 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;2; −1) đường thẳng d : = = Phương trình đường thẳng qua điểm A , cắt d song song với mặt phẳng (Q ) : x + y − z + =0 là: x −1 y − z +1 A = = −2 −1 x +1 y + z −1 C = = −1 Hướng dẫn giải Gọi ∆ đường thẳng cần tìm Gọi B = ∆ ∩ d B ∈ d ⇒ B ( + t;3 + 3t; 2t )  AB = ( t + 2;3t + 1; 2t + 1)  nQ (1;1 − 1) (Q ) có vectơ pháp tuyến =   ∆ / / ( Q ) ⇒ AB ⊥ nQ   ⇔ AB.nQ = x +1 y + z −1 B = = x −1 y − z +1 D = = −1 ⇔ t =−1  ∆ qua điểm A (1;2; −1) có vectơ phương AB = (1; −2; −1) x −1 y − z +1 Vậy phương trình ∆ = = −2 −1 Trang 29/42 x +1 y − z −1 = = x = x −1 y z +1  ∆2 : = = Phương trình đường thẳng song song với d :  y =−1 + t cắt hai  z= + t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 : đường thẳng ∆1; ∆ là: x =  A  y= − t  z= − t   x = −2  B  y =−3 − t  z =−3 − t   x = −2  C  y =−3 + t  z =−3 + t  x =  D  y =−3 + t  z= + t  Hướng dẫn giải Gọi ∆ đường thẳng cần tìm Gọi A = ∆ ∩ ∆1 , B = ∆ ∩ ∆ A ∈ ∆1 ⇒ A ( −1 + 3a;2 + a;1 + 2a ) B ∈ ∆ ⇒ B (1 + b;2b; −1 + 3b )  AB = ( −3a + b + 2; −a + 2b − 2; −2a + 3b − )  d có vectơ phương ad = ( 0;1;1)   ∆ / / d ⇔ AB, ad phương   ⇔ có số k thỏa AB = kad −2  −3a + b + =  −3a + b = a =    ⇔  − a + 2b − = k ⇔  − a + 2b − k = ⇔  b =  −2a + 3b − =  −2a + 3b − k = k = k −1    Ta có A ( 2;3;3) ; B ( 2;2;2 )  ∆ qua điểm A ( 2;3;3) có vectơ phương AB = ( 0; −1; −1) x =  Vậy phương trình ∆  y= − t  z= − t  x y −1 z + = (ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d= 1: −1  x =−1 + 2t  cắt hai d :  y = + t Phương trình đường thẳng vng góc với ( P ) : x + y − z = z =  đường thẳng d1 , d là: x−7 y z+4 = = 1 x + y z −1 = = C −7 −1 Hướng dẫn giải Gọi d đường thẳng cần tìm d ∩ d1 , B = d ∩ d2 Gọi A = A x−2 = x−2 = D B y z +1 = −4 y z +1 = Trang 30/42 A ∈ d1 ⇒ A ( 2a;1 − a; −2 + a ) B ∈ d ⇒ B ( −1 + 2b;1 + b;3)  AB = ( −2a + 2b − 1; a + b; −a + 5)  nP ( 7;1; −4 ) ( P ) có vectơ pháp tuyến=   d ⊥ ( P ) ⇔ AB, n p phương   ⇔ có số k thỏa AB = kn p 7k = − 7k  −2a + 2b=  −2a + 2b −= a    k ⇔ a + b = ⇔ a + b − k = ⇔ b = −2  −a + =−4k  −a + 4k =−5 k =−1      n= d qua điểm A ( 2;0; −1) có vectơ phương a= ( 7;1 − ) d P Vậy phương trình d x − y z +1 = = −4 x −1 y − z Viết phương trình đường Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = −1 thẳng ∆ qua điểm A ( 2;3; −1) cắt d B cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng (α ) : x + y + z − =0 x−3 y −6 z+2 A = = −1 x−7 y z+4 = = B 1 x −3 y −6 z + C = = −2 −3 x+3 y+6 z−2 x−3 y −6 z+2 = = D = = −5 −9 −1 Hướng dẫn giải B ∈ d ⇒ B (1 + t ; + 2t ; −t )   − B 3;6; , AB = ( ) (1;3; −1) = t  ⇒ d ( B , (α ) ) = 3⇔  t = −4  B ( −3; −6; ) , AB =( −5; −9;5 )  ∆ qua điểm B có vectơ phương AB x+3 y+6 z −2 x−3 y−6 z+2 Vậy phương trình ∆ = = = = −1 −5 −9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A ( −2;2;1) cắt trục tung B cho OB = 2OA x y+6 z = = A −8 −1 x+3 y+6 z−2 C = = −5 −9 Hướng dẫn giải x y −6 z = = B −1 x y+6 z x y −6 z = = = = D −8 −1 −1 B ∈ Oy ⇒ B ( 0; b;0 )   B 0;6;0 , = AB ( 2;4; −1) ( ) b = OB = 2OA ⇔  ⇒  b = −6  B ( 0; −6;0 ) , AB = ( 2; −8; −1) Trang 31/42  ∆ qua điểm B có vectơ phương AB x y −6 z x y+6 z = = = Vậy phương trình ∆ = −1 −8 −1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm B (1;1;2 ) cắt đường x − y − z +1 thẳng d : = = C −2 x −1 y −1 z − A = = −2 −1 x y −6 z = = B −1 x −1 x −1 y −1 z − C = = = 31 −2 −1 x −1 y −1 z − D = = 31 78 −109 Hướng dẫn giải cho tam giác OBC có diện tích 83 y −1 z − = −109 78 C ∈ d ⇒ C ( + t;3 − 2t; −1 + t )  OC = ( + t;3 − 2t; −1 + t )  OB = (1;1;2 )   OB, OC  = ( 5t − 7; t + 5;1 − 3t )    t = ⇒ BC = ( 3; −2; −1)   OB, OC  ⇔  −4   31 78 109  = S∆OBC t = ⇒ BC =  2  ; ;−   35  35 35 35   ∆ qua điểm B có vectơ phương BC x −1 y −1 z − x −1 y −1 z − Vậy phương trình ∆ = = = = −2 −1 31 78 −109 x = t x − y −1 z −  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = d :  y = −1 −1  z =−2 + t  Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng d1 , d  x= + t  A  y = + 2t  z= − t   x= + t  B  y= − 2t  z = 1− t  x= + 3t  C  y = − 2t  z= − 5t   x= + t  D  y = z = 1− t  Hướng dẫn giải Gọi d đường thẳng cần tìm Gọi A = d ∩ d1 , B = d ∩ d2 A ∈ d1 ⇒ A ( + a;1 − a;2 − a ) B ∈ d ⇒ B ( b;3; −2 + b )  AB =( −a + b − 2; a + 2; a + b − )  d1 có vectơ phương a1 = (1; −1; −1)  d có vectơ phương a2 = (1;0;1) Trang 32/42      AB ⊥ a1  AB.a1 =  d ⊥ d1 a = ⇔    ⇔    ⇔ ⇒ A ( 2;1;2 ) ; B ( 3;3;1)  b = d ⊥ d  AB ⊥ a2  AB.a2 =   ad AB = (1;2; −1) d qua điểm A ( 2;1;2 ) có vectơ phương =  x= + t  Vậy phương trình d  y = + 2t  z= − t  x +1 y z − = = , mặt phẳng 1 ( P ) : x + y − z + =0 A (1; −1; ) Đường thẳng ∆ cắt d ( P ) M N (ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : cho A trung điểm đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng ∆ x +1 y −1 z + x −1 y +1 z − B = = A = = 2 x +1 y + z + x −2 y −3 z −2 C = = D = = −2 −1 Hướng dẫn giải M ∈ d ⇒ M ( −1 + t ; t ; t + ) A trung điểm MN ⇒ N ( − 2t; −2 − t; − t ) N ∈ ( P ) ⇒ t = ⇒ M ( 3; 2; )   = a∆ AM ∆ qua điểm M ( 3; 2; ) có vectơ phương= ( 2;3; ) x −1 y +1 z − Vậy phương trình ∆ = = x − y −1 z −1 , mặt cầu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = −1 ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z + 1) 2 = 29 A (1; −2;1) Đường thẳng ∆ cắt d ( S ) M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng ∆ x −1 y + z −1 x +1 A = = = −1 x +1 y − z +1 x −1 B = = = −1 x −1 y + z −1 x −1 C = = = −1 x +1 y − z +1 x +1 D = = = −1 Hướng dẫn giải M ∈ d ⇒ M ( + t;1 + 2t;1 − t ) y−2 = 11 y+2 = 11 y+2 = 11 y−2 = 11 z +1 −10 z −1 −10 z −1 −10 z +1 −10 A trung điểm MN ⇒ N ( −t; −5 − 2t;1 + t )  t =1 ⇒ MN =− ( 4; −10;2 ) =−2 ( 2;5; −1)  N ∈ ( S ) ⇒ 6t + 14t − 20 =0 ⇒  10   14 22 20  = − ⇒ MN = t  ; ; −  =( 7;11; −10 )  3  3   ∆ qua điểm A (1; −2;1) có vectơ phương a∆ = MN x −1 y + z −1 x −1 y + z −1 Vậy phương trình ∆ = = = = −1 11 −10 Trang 33/42 hai điểm (ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = A ( −3;0;1) , B (1; −1;3) Trong đường thẳng qua A song song với ( P ) , đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ có phương trình x + y z −1 x − y +1 z − = = A B = = 26 11 −2 26 11 −2 x + y −1 z + x − y z +1 = = C D = = 26 11 −2 26 11 −2 Hướng dẫn giải Gọi ∆ đường thẳng cần tìm Gọi mặt phẳng (Q ) qua A ( −3;0;1) song song với ( P ) Khi đó: (Q ) : x − y + z + = Gọi K , H hình chiếu B lên ∆, (Q ) Ta có d ( B, ∆= ) BK ≥ BH Do AH đường thẳng cần tìm  (1; −2; ) (Q ) có vectơ pháp tuyến n= Q   BH qua B có vectơ phương a BH= n= (1; −2; ) Q  x= + t  BH :  y =−1 − 2t  z= + 2t  H ∈ BH ⇒ H (1 + t; −1 − 2t;3 + 2t ) H ∈ ( P ) ⇒ t =− 10  11  ⇒ H − ; ;   9 9    26 11  ∆ qua điểm A ( −3;0;1) có vectơ phương a∆ = AH =  ; ; −  = ( 26;11; −2 )  9 9 Vậy phương trình ∆ ∆ : x + y z −1 == 26 11 −2 x − y + z +1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = , mặt phẳng −1 ( P ) : x + y + z + =0 Gọi M giao điểm d ( P ) Gọi ∆ đường thẳng nằm ( P) vng góc với d cách M khoảng x −5 y +2 A = = −3 x −5 y + B = = −3 x+3 y+4 C = = −3 x+3 y+4 D = = Hướng dẫn giải Gọi M= d ∩ ( P ) 42 Phương trình đường thẳng ∆ x +3 y + z −5 z+5 = = −3 z +5 z −5 x +3 y + z −5 z −5 = = M ∈ d ⇒ M ( + t ; −2 + t ; −1 − t ) M ∈ ( P ) ⇒ t =−1 ⇒ M (1; −3;0 )  ( P ) có vecttơ pháp tuyến nP = (1;1;1)  ad ( 2;1; −1) d có vecttơ phương= Trang 34/42      a ∆ có vecttơ phương a= ∆  d , nP=  ( 2; −3;1)  Gọi N ( x; y; z ) hình chiếu vng góc M ∆ , MN =( x − 1; y + 3; z )    x − y + z − 11 =  MN ⊥ a∆   Ta có:  N ∈ ( P ) ⇔  x + y + z + =   2 42  MN = 42 ( x − 1) + ( y + 3) + z = Giải hệ ta tìm hai điểm N ( 5; −2; −5) N ( −3; −4;5) x −5 y +2 z +5 = = −3 x +3 y +4 z −5 = = Với N ( −3; −4;5) , ta có ∆ : −3 Với N ( 5; −2; −5) , ta có ∆ :  x= + t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I (1;1;2 ) , hai đường thẳng ∆1 :  y =−1 + 2t z =  x+2 y z−2 = = Phương trình đường thẳng d qua điểm I cắt hai đường thẳng 1 ∆1 , ∆ ∆2 : x −1 y −1 z − A = = −1 1  x = + 2t  B  y = − t  z= + t  x −1 y −1 z − C = = −1 1  x = + 2t  D  y = + t  z= + t  • Hướng dẫn giải Gọi (α1 ) mặt phẳng qua I ∆1  ∆1 qua M ( 3; −1;4 ) có vectơ phương a1 = (1;2;0 )  IM= ( 2; −2;2 )    (α1 ) có vectơ pháp tuyến n1 =  a1 , IM  = ( 4; −2; −6) • Gọi (α ) mặt phẳng qua I ∆  ∆ qua M ( −2;0;2 ) có vectơ phương a2 = (1;1;2 )  IM = ( −3; −1;0 )     ( 2; −6;2 ) (α ) có vectơ pháp tuyến n=2  a2 , IM 2=     • d qua điểm I (1;1;2 ) có vectơ phương ad = n1 , n2  =− ( 40; −20; −20)  x = + 2t  Vậy phương trình đường thẳng d  y = + t  z= + t  x −1 y +1 z x −1 y − z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = , d2 : = = 1 mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Gọi ∆ đường thẳng song song với ( P ) cắt d1 , d hai điểm A, B cho AB = 29 Phương trình tham số đường thẳng ∆ Trang 35/42  x =−1 + 2t  x= + 4t   A ∆ :  y = 2t ∆ :  y =−2 + 4t  z =−1 + 3t  z = + 3t    x= + 4t  C ∆ :  y = −2t  z = + 3t  Hướng dẫn giải A ∈ d1 ⇒ A (1 + 2a; −1 + a; a )  x= + 4t  B ∆ :  y = 2t  z = + 3t   x =−1 + 2t  D ∆ :  y =−2 + 4t  z =−1 + 3t  B ∈ d ⇒ B (1 + b;2 + 2b; b )  ∆ có vectơ phương AB = ( b − 2a;3 + 2b − a; b − a )  nP (1;1; −2 ) ( P ) có vectơ pháp tuyến =    Vì ∆ / / ( P ) nên AB ⊥ nP ⇔ b = a − Khi AB = ( −a − 3; a − 3; −3)   A ( 3;0;1) , AB =( −4; −2; −3) a = Theo đề bài: AB =29 ⇔  ⇒   a = −1  A ( −1; −2; −1) , AB =( −2; −4; −3)  x= + 4t  x =−1 + 2t    y =−2 + 4t Vậy phương trình đưởng thẳng ∆  y = 2t  z = + 3t  z =−1 + 3t   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x −1 y z + = = −1 x −1 y + z − d2 : = = cắt Gọi ∆ đường thẳng song song với ( P ) : x + y + z − = −2 d1 , d hai điểm A, B cho AB ngắn Phương trình đường thẳng ∆   x= − t   B  y =    z =− + t x 12 − t =  A  y =  z =−9 + t  Hướng dẫn giải A ∈ d1 ⇒ A (1 + 2a; a; −2 − a )  x =   C  y= −t    z =− + t   x= − 2t   D  y= +t    z =− + t B ∈ d ⇒ B (1 + b; −2 + 3b; − 2b )  ∆ có vectơ phương AB = ( b − 2a;3b − a − 2; −2b + a + )  n P có vectơ pháp tuyến ( ) P = (1;1;1)      Vì ∆ / / ( P ) nên AB ⊥ nP ⇔ AB.nP = ⇔ b = a − Khi AB = ( −a − 1;2a − 5;6 − a ) AB = = ( −a − 1) + ( a − 5) + ( − a ) 2 6a − 30a + 62 =  49  6 a −  + ≥ ; ∀a ∈  2 2  Trang 36/42 7     Dấu " = " xảy a = ⇒ A  6; ; −  , AB =  − ;0;  2  2   Đường thẳng ∆ qua điểm A  6; ; −  vec tơ phương ud =  2 ( −1;0;1)   x= − t   Vậy phương trình ∆  y =    z =− + t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 : x +1 y + z = = x − y −1 z −1 = = Đường thẳng d song song với ( P ) : x + y − z + = cắt hai 1 đường thẳng ∆1; ∆ A, B cho AB ngắn Phương trình đường thẳng d ∆2 : A x − = y − = z − C x + = y + = z + Hướng dẫn giải Gọi A= d ∩ ∆1 , B= d ∩ ∆ x −1 y − z − B = = 1 x +1 y + z + D = = 1 A ∈ ∆1 ⇒ A ( −1 + a; −2 + 2a; a ) B ∈ ∆ ⇒ B ( + 2b;1 + b;1 + b )  AB = ( −a + 2b + 3; −2a + b + 3; −a + b + 1)   d / / ( P ) ⇒ AB.nP = ⇔ b = a −  AB = ( a − 5; −a − 1; −3) = AB ( a − ) + 27 ≥ 3; ∀a ∈  Dấu " = " xảy a = ⇒ A (1; 2; ) , B ( −2; −1; −1)  AB =( −3; −3; −3)  d qua điểm A (1; 2; ) có vectơ phương ad = (1;1;1) Vậy phương trình d x − = y − = z − x−2 y z+2 = = , mặt phẳng 1 ( P ) : x − y − z + =0 M (1; −1;0 ) Đường thẳng ∆ qua điểm M , cắt d tạo với ( P ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : góc 300 Phương trình đường thẳng ∆ x+2 y z−2 x+4 y+3 z +5 = = A = = 1 −2 5 x−2 y z+2 x −4 y −3 z −5 = = B = = 1 −2 5 x −1 y +1 z x −1 y +1 z = = C = = 1 −2 23 14 −1 Trang 37/42 x+2 y z−2 x −4 y −3 z −5 = = = = 1 −2 5 Hướng dẫn giải Gọi N = ∆ ∩ d N ∈ d ⇒ N ( + t ; t ; −2 + t )  ∆ có vectơ phương MN = (1 + 2t;1 + t; −2 + t )  ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 2; −1; −1)    t = ⇒ MN = (1;1 − ) MN nP  sin=   23 14   d , ( P )    ⇔  MN nP =⇒ t MN =  ; ;−    5 5   ∆ qua điểm M (1; −1;0 ) có vectơ phương ad = MN D x −1 y +1 z x −1 y +1 z = = Vậy phương trình ∆ = = −2 1 23 14 −1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A ( 3; −1;1) , nằm mặt phẳng x ( P ) : x − y + z − =0 , đồng thời tạo với ∆ : = thẳng d  x= + 7t  A  y =−1 − 8t  z =−1 − 15t  y−2 z = góc 450 Phương trình đường 2  x= + t  B  y =−1 − t  z =  x= + 7t  C  y =−1 − 8t  z = − 15t   x= + 7t  x= + t   D  y =−1 − t  y =−1 − 8t  z = − 15t z =   Hướng dẫn giải  ∆ có vectơ phương a∆ = (1;2;2 )  d có vectơ phương ad = ( a; b; c )  (1; −1;1) ( P ) có vectơ pháp tuyến n= P   d ⊂ ( P ) ⇒ ad ⊥ nP ⇔ b = a + c; (1) ( ∆, d ) = 450 ⇔ cos ( ∆, d ) = cos 450 ⇔ a + 2b + c = a +b +c 2 ⇔ ( a + 2b + c ) = ( a + b + c ) ; ( ) c = 0⇔ Từ (1) ( ) , ta có: 14c + 30ac = 15a + 7c =  x= + t  Với c = , chọn a= b= , phương trình đường thẳng d  y =−1 − t  z =  x= + 7t  , chọn a =7 ⇒ c =−15; b =−8 , phương trình đường thẳng d  Với 15a + 7c = y =−1 − 8t  z = − 15t  Trang 38/42 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua điểm ( P ) : x − y − z + =0 , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ : A (1; −1;2 ) , song song với x +1 y −1 z = = góc lớn −2 Phương trình đường thẳng d x −1 y +1 z − x −1 y +1 z + A = = B = = −5 −5 x −1 y +1 z − x −1 y +1 z − C = = D = = −5 −7 Hướng dẫn giải  ∆ có vectơ phương a= (1; −2;2 ) ∆  d có vectơ phương ad = ( a; b; c )  ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 2; −1; −1)     Vì d / / ( P ) nên ad ⊥ nP ⇔ ad nP = ⇔ 2a − b − c = ⇔ c = 2a − b 5a − 4b ( 5a − 4b ) = = cos ( ∆, d ) 2 5a − 4ab + 2b2 5a − 4ab + 2b a ( 5t − ) Đặt t = , ta có: cos ( ∆, d ) = b 5t − 4t + 2 Xét hàm số f ( t ) = ( 5t − )  1 , ta suy được: max f ( t ) = f  −  = 5t − 4t +  5 a Do đó: max cos ( ∆, d )  = ⇔ t =− ⇒ =− 27 b Chọn a =⇒ b =−5, c =7 x −1 y +1 z − Vậy phương trình đường thẳng d = = −5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A ( −1;0; −1) , cắt ∆1 : x −1 y − z + = = , cho −1 x−3 y −2 z+3 = = nhỏ Phương trình đường thẳng d 2 −1 x +1 y z +1 x +1 x +1 y z +1 x +1 y z +1 = = = = = C = = D A B −1 2 −2 −5 −2 Hướng dẫn giải Gọi M = d ∩ ∆1 ⇒ M (1 + 2t;2 + t; −2 − t )   d có vectơ phương ad= AM= ( 2t + 2; t + 2; −1 − t )  ∆ có vectơ phương a2 = ( −1;2;2 ) góc d ∆ : y z +1 = 2 t2 cos ( d ; ∆ ) = 6t + 14t + t2 Xét hàm số f ( t ) = , ta suy f ( t ) = f ( ) = ⇔ t = 6t + 14t +  Do cos ( ∆, d )  = ⇔ t = ⇒ AM = ( 2;2 − 1) Vậy phương trình đường thẳng d x +1 y z +1 = = 2 −1 Trang 39/42 x = t x y−2 z  d= = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng d1 :  y= − t : 3 − −  z =−1 + 2t  x +1 y −1 z +1 d2 : = = Gọi ∆ đường thẳng cắt d1 , d , d điểm A, B, C cho AB = BC Phương trình đường thẳng ∆ x−2 y−2 z x y−2 z x y − z −1 x y − z −1 = = = = D = = A = = B C 1 1 1 1 −1 1 −1 Hướng dẫn giải Gọi A ∈ d1 , B ∈ d , C ∈ d Ta có: A ( a;4 − a; −1 + 2a ) , B ( b;2 − 3b; −3b ) , C ( −1 + 5c;1 + 2c; −1 + c ) Yêu cầu toán ⇔ A, B, C thẳng hàng AB = BC ⇔ B trung điểm AC Suy A (1;3;1) , B ( 0;2;0, ) , C ( −1;1; −1) a − + 5c =2b a =   ⇔ 4 − a + + 2c= ( − 3b ) ⇔ b=   c =  −1 + 2a − a + c = ( −3b )  ∆ qua điểm B ( 0;2;0, ) có vectơ phương CB = (1;1;1) x y−2 z = Vậy phương trình đường thẳng ∆ = 1 Trang 40/42