BẤT ĐẲNG THỨC bồi DƯỠNG học SINH GIỎI THCS

80 63 0
BẤT ĐẲNG THỨC bồi DƯỠNG học SINH GIỎI THCS

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tailieumontoan.com  Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC BỒI DƯƠNG HỌC SINH GIỎI THCS Sưu Tầm BẤT ĐẲNG THỨC I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP DẠNG 3: QUA MỘT BƢỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ 10 DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN 13 II BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA 15 III PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG 18 DẠNG 1: ĐƢA VỀ BÌNH PHƢƠNG 18 DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT 20 DẠNG 3: TẠO RA ab+bc+ca 22 DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LN TỊN TẠI HAI SỐ CĨ TÍCH KHƠNG ÂM 22 DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ ĐẾN 25 DẠNG : DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI XÉT HIỆU 27 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ 75 I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 75 II BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA 77 III PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG 77 I BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI Dạng hai số khơng âm x, y  Dạng tổng sang tích: x  y  xy x y  x y  Dạng tích sang tổng: xy  hay xy      x2  y  Dạng lũy thừa: x  y  xy hay xy  Dấu "  " xảy  x  y x2   Dạng đặc biệt: x  x.1  2 Dạng ba số không âm x, y, z  Dạng tổng sang tích: x  y  z  3 xyz  Dạng tích sang tổng:  Dạng lũy thừa: x3  y3  z  3xyz hay xyz  x yz  x yz hay xyz   xyz   3   3 x3  y  z Dấu "  " xảy  x  y  z x3   3 Dạng tổng quát với n số không âm x1 , x2 , , xn  Dạng đặc biệt: x  x.1.1   Dạng tổng sang tích: x1  x2   xn  n n x1 x2 xn x  x   xn  x  x   xn   Dạng tích sang tổng: x1 x2 xn  hay x1 x2 xn    n n   n n n x  x2   xn  Dạng lũy thừa: x1n  x2n   xnn  x1 x2 xn hay x1 x2 xn  n Dấu "  " xảy  x1  x2   xn n n  Dạng đặc biệt: x  x.1.1  n 1 xn  n  n Bất đẳng thức trung gian 1    x  0, y  Dấu "  " xảy  x  y x y x y 1     x  0, y  0, z  Dấu "  " xảy  x  y  z x y z x yz DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH Ví dụ Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  x  x  Lời giải  15 x2   Có T   x  x  1   x    14 4x       x  1   x    14   x  14  16 4x  4x  Vậy MinT  16 x  Ví dụ Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  x  3x   2011 4x Lời giải Có M  x  x   x   2010 4x     x  1   x    2010   x  2010  2011 4x  4x  Vậy MinM  2011 x  Ví dụ Cho x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức H  x2  y x y Lời giải Có H  x  y  xy  xy  x  y    x y x y   x  y  2 2 x y  x  y   x y   y   x x  y  x  y  x  1 x y   Vậy Min H     xy  x  x   y       xy    DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP Ví dụ 1: Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh : a b   b a   ab Lời giải  (b  1) b ab Có b   1.(b  1)    a b 1  ; 2 ab ab ab V| tƣơng tự: b a    a b 1  b a 1    ab  đpcm 2 Dấu ‘=” xảy a = b = Ví dụ 2: Cho a ≥ 9, b≥ 4, c≥ Chứng minh: ab c   bc a   ca b   Lời giải: Có: 11abc 12 bc ca (a  9).9  (b  4).4 (c  1)  bc (a  9)  ca (b  4)  11abc  ab    2 12 Dấu “=” xảy a = 18, b = 8, c = ab c   bc a   ca b   ab (c  1).1  Ví dụ 3: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, a2 + b2 ≤ Tìm gi{ trị lớn biểu thức: M = a b(a  2b)  b a(b  2a) Lời giải Xét: M  a 3b(a  2b)  b 3a(b  2a)  a 3b  (a  2b) 3a  (b  2a) a  b  b   5ab 2 a  b2 a  b2  6 M 2 2 Vậy MaxM = a = b =  Ví dụ Cho x  , y  x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  x 14 x  10 y   y 14 y  10 x  Lời giải Xét: P 24  24 x 14 x  10 y   24 y 14 y  10 x  24 x  14 x  10 y  24 y  14 y  10 x    24  x.1  y.1 2  x2  y    x2  y   48  24    P4   24    48  P   24     Vậy MaxP  x  y  Ví dụ Cho x  , y  Từ xy  x  y   x  y Tìm giá trị nhỏ P  x  y xy  x  y   x  y  x  y Lời giải  x  y 1  xy    x  y  xy  x  y    x  y  xy  x  y   2   x  y  4 x  y   x  y  2 2    xy   x  y   xy  x  y   xy Dấu "=" xảy    x  y  x  y  x  y     x , y hai nghiệm phƣơng trình t  4t    t   Do x  y  x   , y   Vậy MinP  x   , y   DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI Ví dụ Cho a , b , c  ab  bc  ac  Tìm giá trị lớn biểu thức: P a b  a2  b2  Lời giải  c c2  Thay  ab  bc  ac , ta đƣợc: a b c P   a  ab  bc  ac b2  ab  bc  ac c  ab  bc  ac a b c     a  b  a  c   b  a  b  c   c  a  c  b  a a b b c c   ab ac ba bc ca c b a a b b c c     ab ac  ba bc  ca cb 2 a b a c c       b        ab ab  ac ac  bc bc    2 Vậy MaxP  a  b  c  Ví dụ Cho số dƣơng a , b , c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh:  ab bc ca    c  ab a  bc b  ca Lời giải Ta có ab bc ca ab bc ca      c  ab a  bc b  ca c.1  ab a.1  bc b.1  ca ab bc ca    c  a  b  c   ab a  a  b  c   bc b  a  b  c   ca  ab   a  c  b  c  bc   a  b  a  c  ac  b  c b  a  a b b c c a   ac cb a b a c bc ba  a b   b c   c a           ( đpcm)  c  a c  b   a  b a  c   b  c a  b    Ví dụ Cho a  , b  , c  ab  bc  ac  3abc Tìm giá trị nhỏ a2 b2 c2 P   c  c  a  a  a  b2  b  b2  c  Lời giải Có P  2 a b c   c  c  a  a  a  b2  b  b2  c   a  c  c b2  a  a c  b2  b2   c  c  a  a  a  b2  b  b2  c  c  1 a  1 b  1       2      c c a   a a b  b b c  1 c  1 a  1 b           2 2 2 c c a  a a b  b b c   1   1   1   1  ab  bc  ac                2abc  c 2a   a 2b   b 2c   a b c  Vậy MinP  a  b  c  Ví dụ Cho a  , b  , c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c T   2  9b  9c  9a Lời giải Có T  a 1  9b2   9ab2  b 1  9c   9bc  c 1  9a   9ca  9b2  9c  9a  9ab2   9bc   9ca   a   b   c         9b    9c    9a   9ab2   9bc   9ca   a    b    c   1.9b2   1.9c   1.9a   1  a  b  c   ab  bc  ac   a  b  c   a  b  c    a  b  c  1 2 1 Vậy MinT  a  b  c  1 1 Ví dụ Cho a , b , c     Chứng minh: abc  1 a 1 b 1 c Lời giải 1 Có   2 1 a 1 b 1 c 1    b c cos i b c bc    1      2 2    1 a  1 b   1 c  1 b 1 c 1 b 1 c 1  b 1  c  Tƣơng tự: 2 1 b ac ; 2 1  a 1  c   c ab 1  a 1  b  Nhân bất đẳng thức dƣơng, chiều ta đƣợc: 8abc  hay abc  (đpcm) 1  a 1  b 1  c  1  a 1  b 1  c  DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI 1 Tách x  y  z   x  y    y  z    z  x  2 xyz  xy yz zx x, y, z  Ví dụ Cho a  , b  , c  a  b2  c2  Chứng minh: ab bc ac bc ca ab a) b)    abc ;    c a b a b c Lời giải ab bc ac  bc ca   ca ab   ab bc  a) Có             c a b 2 a b  2 b c  2 c a  bc ca ca ab ab bc     a  b  c (đpcm) a b b c c a 2 2 2  bc ca ab  b c c a a b b) Xét          a  b2  c  c  a b c  a b  b c c a   c a a 2b   a 2b b c           2 2 a b  2 b c  2 c a  b2c c a c a a 2b a 2b b c    a b2 b2 c 2 c2 a2 bc ac ab  a2  b2  c2   ,    (đpcm) a b Ví dụ Cho a, b, c l| độ d|i ba cạnh ABC Chứng minh (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)  abc Lời giải Vì a, b, c l| độ d|i ba cạnh ABC nên a  b  c  0, b  c  a  0,c  a  b  (a  b  c)  (b  c  a) Có  (a  b  c)(b  c  a)  b; (b  c  a)  (c  a  b)  (b  c  a)(c  a  b)   c; (c  a  b)  (a  b  c)  (c  a  b)(a  b  c)  a; Nh}n ba đẳng thức dƣơng chiều ta đƣợc (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)  abc (điều phải chứng minh) DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP Bước 1: Kẻ bảng dự đoán giái trị lớn nhất,nhỏ đạt giá trị biến Bước 2: Kẻ bảng xác định số với Bước 3: Tách ghép thích hợp số hạng sử dụng bất đẳng thức Cơ-si Ví dụ Cho a  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  2a  a Lời giải Phân tích toán a P 13  6,5 23  7, Từ bảng thứ dự đo{n P  37  9, 25 13  a  2 a a a2 Từ bảng thứ hai, ta suy a 5a với nên với a a Trình bày lời giải 5a 3a 3a 3.2 13  5a  3a Có P      2    5  5  ( a  2) a 4 4 a   5a 13   Vậy P   a  a  (thỏa mãn)  a  Ví dụ Cho x  0, y  x  y  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức F  x  y  24  x y Lời giải Phân tích tốn ( x ; y) (1 ; 5) (2 ; 4) (3 ; 3) 84  16,8 15 16 F Từ bảng thứ nhất, ta dự đo{n F  15 x  2, y  x x x  2, y  Từ bảng thứ hai, ta suy y (5 ; 1) 156  31, y 24 x 6 x 3x y với nên với với nên với  ; x x y 16 y 24 y y  16 Trình bày lời giải Có  3x   24 y   x y  F          2 2 x   y 2 (4 ; 2) 39  19,5 3x 24 y 1  2   ( x  y )  18  ( x  y ) x y 2  18    15 (do x  y  6) Vậy F  15 x  3x 24 y (thỏa mãn)  ;  ;x y    x y y  Ví dụ Cho x  0, y  x  y  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  x  y  28  x y Lời giải Phân tích toán  x; y  1;   2;1 69  34,5 Từ bảng thứ nhất, ta dự đo{n P  24 x  2, y  P x x x  2, y  Từ bảng thứ hai, ta suy 24 y y 1 1 x 28 x 28 với nên với se với y  7x ; x 4 x y Trình bày lời giải Có   28  1 P    x     y   2x2  y  x  y  x  y    28  1    x     y   2( x  2)  ( y  1)  ( x  y )   x  y  28  7x   y      24 x y 28 Vậy P  24  x;  y; x   0; y   0; x  y   x  2, y  x y 2 Ví dụ Cho  x  3,  y  6,  z  x  y  z  12 Tìm giá trị lớn biểu thức P  xyz Lời giải Nhận xét: Do y z vai trò nhƣ nên sử dụng bất đẳng thức Cơ-si tích yz , ta đƣợc  yz P  x( yz )  x    x(12  x)(12  x)   Đến đ}y ta kẻ bảng để dự đo{n gi{ trị lớn P x 2 P 243  60, 75 50 243 x  x x3 Từ bảng thứ hai, ta suy 3x với 12  x nên ta biến đổi Từ bảng thứ dự đo{n max P  12  x Với x, y dƣơng ta có:  x  y     x  y   4xy  2 xy 1 11 1       (*) x  y 4xy xy 4x y Dấu “=” xảy x = y Ta có: 1  a   b2  ab  a  a  b2  2a  2ab  2a   ab  a    2     2 ab  a  ab  a  ab  a  ab  a  1  b  Tƣơng tự:  c2  bc  b  1  c   2 ; bc  b   a2  ca  c   2 ca  c   1  Do đó: P         2Q  ab  a  bc   ca  c   Áp dụng (*) ta đƣợc: Tƣơng tự: 1   ab  a   ab  a  1  1 1     ab  a   1 1 1 1    ;     bc  b  4  bc  b   ca  c  4  ca  c   Do đó: 1 1  1 1  Q       2Q      1  ab  a  bc  b  ca  c    ab  a  bc  b  ca  c   1 1  P 6     1  ab  a  bc  b  ca  c   1 c ac  6     1  abc  ac  c bc.ac  abc  ca  c   1 c ac  6     1  ca  c  ca  c  ca  c     2 5 Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Câu 55: [TS10 Chuyên Lai Châu, 2019-2020] ab bc ca    a  b  c  a  b  2c b  c  2a c  a  2b Lời giải Cho số thực dƣơng a, b, c Chứng minh rằng: Với x, y dƣơng ta có:  x  y     x  y   4xy  2 xy 1 11 1       (*) x  y 4xy xy 4x y Dấu “=” xảy x = y Sử dụng (*) ta đƣợc: ab ab ab  1      a  b  2c  a  c    b  c   a  c b  c  65 Tƣơng tự: bc bc  1  ca ca  1    ;      b  c  2a  b  a a  c  c  a  2b  c  b b  a  Cộng bất đẳng thức theo vế ta đƣợc: ab bc ca   a  b  2c b  c  2a c  a  2b ab  1  bc  1  ca  1              a  c b  c   b  a a  c   c  b b  a    ab  bc ab  ca bc  ca     c  a bc a  b    b a  c  a  b  c  c a  b        a  c bc a  b   a  b  c   dpcm  Đẳng thức xảy a = b = c Câu 56: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020] Cho số dƣơng a, b, c thỏa mãn: abc  Chứng minh rằng: a b c    b  ac c  ab a  bc Lời giải Ta có: a  c a  2b  c a  2b  c   b  ac  2 Mặt khác: a a 2 2a 2a       a  2b  c a  2b  c  a  2b  c  a  2b  c  b  ac b  ac b  ac  b  a  b  c  3 abc   Do đó: 4 2a 12 2a a  b  c     a  2b  c  7a  10b  7c  a b c  VT  12      7a  10b  7c 7b  10c  7a 10a  7b  7c  a  b  c   c   17  ab  bc  ca   12  a  b2   a  b2  c  ab  bc  ca  a  b2  c  17  ab  bc  ca    a  b  c  Mặt khác:   12  a  b  c   a  b  c  17  ab  bc  ca  2 Dấu “=” xảy a = b = c = 66  12  a  b  c  a  b  c  2   dpcm  Câu 57: [TS10 Chuyên Tuyên Quang, 2019-2020] Cho số dƣơng a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a a a 3 b  b b  b 3 c c c c 3 a Lời giải Ta có: P a a b b  c c  a 3 b b 3 c c 3 a 2 a b c2    a  ab b  bc c  ac Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc: P  a2 a  ab  b2 b  bc a  b  c  abc3   c2 c  ac ab  bc  ca Mặt khác theo AM-GM:  ab  bc  ca  a  b bc ca   abc 2 a  b  c  abc  1 Do đó: P  a  b  c  a  b  c  Dấu “=” xảy a  b  c  Vậy giá trị nhỏ P Câu 58: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020] Cho số dƣơng a, b, c Chứng minh: a b c abc    4 b c a a  b2  c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc:  a  b  c   ab  bc  ca a b2 c abc VT      ab bc ca a  b  c ab  bc  ca a  b2  c 2 a  b2  c ab  bc  ca 2 ab  bc  ca a  b2  c  a  b2  c ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b2  c     2    ab  bc  ca  a  b  c 2 a  b  c   ab  bc  ca     Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số ta đƣợc: 67 VT  3 a  b2  c ab  bc  ca ab  bc  ca  2  ab  bc  ca  a  b2  c 2 a  b2  c 2     dpcm  2  Đẳng thức xảy a = b = c Câu 59: [TS10 Chuyên Phú Yên, 2019-2020] Cho a, b, c số thực dƣơng thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh rằng: a b2   b c   c a   Dấu “=” xảy nào? Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Minicopski ta đƣợc: ab  a b2   b c   c a      ab  bc  ca    a  b  c     dpcm  2 Câu 60:  a2   bc  ab  bc  ca   Dấu “=” xảy a  b  c  2  b2   ca   c2   ab  bc  ca  [TS10 Chuyên Cao Bằng, 2019-2020] Cho a, b, c số dƣơng thỏa mãn điều kiện a+ b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: R a b c   2  b  c  a2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc: a ab2 ab2 ab  a   a  a 2 2b 1 b 1 b b bc c ca Tƣơng tự:  b ; c 2 2 1 c 1 a Cộng theo vế bất đẳng ta đƣợc: R a b c ab  bc  ca    a  b  c   2 2 1 b 1 c 1 a  a  b  c  a  b  c    3 32  3 Vậy giá trị nhỏ R Câu 61: [TS10 Chuyên Nam Định, 2019-2020] Dấu “=” xảy a  b  c  68 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  z  Chứng minh rằng: x  2xy  4xyz  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc:  1 x  2xy  4xyz  x  x.4y  z   2   1 3 1  x  x  y  z    x  x   x   2 2  2  x  x 2  x  x   x 2  x  2     x    x  2x    x   x  1  2   x   x   Vì thế: x  2xy  4xyz   x   x  1   (đpcm) Dấu “=” xảy x  1, y  , z  Câu 62: [TS10 Chuyên Bình Định, 2019-2020] Do x  y  z  Cho a, b, c số thực dƣơng thỏa mãn  a  b  b  c  c  a   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  abc  1   a  2b b  2c c  2a Lời giải Trƣớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:  a  b  b  c  c  a   89 a  b  c ab  bc  ca  Thật vậy:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc Lại theo BĐT AM-GM ta có: abc  ab bc ca   a  b   b  c   c  a   a  b  b  c  c  a  Suy ra:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc   a  b  c  ab  bc  ca   Suy đpcm: abc Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số ta có: 69  a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  c  a   89 a  b  c ab  bc  ca   ab  bc  ca  8 1 ab  bc  ca      a  2b b  2c c  2a  a  b  c  a  b  c ab  bc  ca  Lại có:     ab2c  a bc  abc  3abc a  b  c  a  b  c    a  b  c  3abc  a  b  c    abc 27 abc 92 a  b  c  Suy ra: P  2 abc  1 abc     2 a  2b b  2c c  2a abc   a  b  b  c  c  a    abc a  bc 1 Dấu “=” xảy khi:   abc    abc Vậy giá trị nhỏ P a = b = c = Câu 63: [TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng T|u, 2019-2020] 1    Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c Cho số dƣơng a, b, c thỏa mãn P a  ab  3b2   b2  bc  3c   c  ca  3a  Lời giải Ta có:     a  ab  3b2   a  2ab  b  ab  b   b     a  b   ab  b2   b2  b2  ab  2b  b  a  b   a  ab  3b2   b  a  b  1  Tƣơng tự: b2  bc  3c   a  ab  3b  2 c  b  c  2 ;  b  a  b  1 c  ac  3a  Với x, y dƣơng ta có:  x  y     x  y   4xy  2 a c  a  2 xy 1 11 1       (*) x  y 4xy xy 4x y Dấu “=” xảy x = y Cộng theo vế sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc: 70  P b a  b     4b  a  b   c  b  c  2   4c  b  c   a c  a  2  4a  c  a    1   1   1   4b  a  b     4c  b  c     4a  c  a         1 1 1  1          a b c   a  b  b  c  c  a   AM  GM  Sử dụng bất đẳng thức (*) ta đƣợc:  1 1 1  1 1 1 1 1  P                 a b c    a  b   b  c   c  a   1 1  1   1   1                    8 16  a b  16  b c  16  c a      1        8  a b c   3 3    8 Dấu “=” xảy a = b = c =  Vậy giá trị nhỏ P Câu 64: [TS10 Chuyên Tây Ninh, 2019-2020] Chứng minh  a  b  c   9abc   a  b  c  ab  bc  ca  với x, y, z số thực không }m Đẳng thức xảy nào? Lời giải Theo bất đẳng thức Schur với a, b, c số thực khơng âm thì: a  a  b  a  c   b  b  c  b  a   c  c  a  c  b   Biến đổi ta đƣợc hệ quả: a  b3  c3  3abc  a  b  c   b2  c  a   c a  b  Mặt kh{c ta có đẳng thức:  a  b  c   a  b3  c   a  b  b  c  c  a  Khi ta có:  a  b  c   9abc  a  b3  c  9abc   a  b  b  c  c  a  Do đó: VT  a  b  c   b2  c  a   c  a  b   9abc   a  b  b  c  c  a  Ta l| có đẳng thức: ) ) a  b  c   b2  c  a   c  a  b   9abc   a  b  c ab  bc  ca  abc   a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca  71 Do đó: a  b  c   b2  c  a   c  a  b   9abc   a  b  b  c  c  a   a  b  c ab  bc  ca  Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c Câu 65: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho số dƣơng x, y, z Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P xy   2x  z  2y  z  yz   2y  x  2z  x  zx  2z  y  2x  y  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta đƣợc:  2x  z  2y  z    x  x  z  y  z  y    xy  zx  yz  Do đó: xy   2x  z  2y  z  Tƣơng tự: xy  2x  z  2y  z  xy   xy  yz  zx yz yz  ;  2y  x  2z  x  xy  zx  yz Cộng bất đẳng thức theo vế ta đƣợc: P    xy xy  yz  zx zx zx   2z  y  2x  y  xy  zx  yz xy  zx  yz xy  zx  yz 1 Đẳng thức xảy x = y = z Vậy giá trị lớn P Câu 66: 1) [TS10 Chuyên Bình Phƣớc, 2019-2020] Cho x, y số dƣơng thỏa mãn xy  Chứng minh rằng: 1    x  y  xy 2) Cho x, y số thực dƣơng thỏa mãn điều kiện:  x  y   4xy  12 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  1   2018xy 1 x 1 y Lời giải 1) Ta có: 72  1   1   0        x  xy    y  xy   x  y  xy      xy   x   xy   y  0 1  x  1  xy  1  y  1  xy   xy  x  1  y    xy  y  1  x    1  x 1  y  1  xy  x      y  x 1  y   y  1  x 1  y  1    x  y 1  x  xy  0 y  x  x  y x  y x y   0 1  x 1  y   xy    y  x  x  y  xy y  x    0 1  x 1  y   xy   y  x  y   1  x 1  y           x    xy  1   0 xy     xy  1  (đúng xy  ) 1  x 1  y  1  xy  y x (1) Dấu “=” xảy x = y = Bất đẳng thƣc (1) c{c phép biến đổi l| tƣơng đƣơng nên b|i to{n đƣợc chứng minh 2) Sử dụng AM-GM ta có:  12   x  y   4xy  xy Đặt   4xy  8xy xy  4xy xy  t  t   , đó: 8t  4t  12   2t  t    2t  2t  3t      2t  t  1   t  1 t  1    t  1 2t  3t    t 1 Áp dụng bất đẳng thức ý ta có: P 1 2   2018xy   2018xy   2018t 1 x 1 y 1 t  xy Ta chứng minh:  2018t  2019  *  1 t Thật vậy: 73  *    2 t    2018  t  1    1 t   2018  t  1 t  1  1 t    1  t    2018  t  1   (đúng  t  )  1 t  Dấu “=” xảy x = y = Vậy giá trị lớn P 2019 Câu 67: [TS10 Chuyên Đắc Lắc, 2019-2020] Cho số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn a  b2  c2  Chứng minh rằng: a  b3 b3  c c  a   2 a  2b b  2c c  2a Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc: ) a3 b3 c3 a4 b4 c4      a  2b b  2c c  2a a  2ab b  2bc c  2ca   a  b2  c  a a  b  c  2ab  2bc  2ca   b2  c   a  b2  c  a  b2  c a  b2  c  b3 c3 a3 b4 c4 a4      a  2b b  2c c  2a ab  2b bc  2c ca  2a )  a  b2  c   a ab  bc  ca  a  b  c    b2  c   a  b2  c  a  b2  c a  b2  c   Cộng theo vế ta đƣợc: a  b3 b3  c c  a   2 a  2b b  2c c  2a Dấu “=” xảy a  b  c  (đpcm) Câu 68: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  3; y   1  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T  21  x     y   y  x  Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 74    1    x   7y 21  62 T  21  x     y           x y y  x 3 x  y 3  7y 21 62 x 2 2   3 x y 3   2.7  62   80 Dấu “=” xảy x = y = Vậy giá trị nhỏ T 80 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI  15 x2 Bài Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  x  3x   2011 4x x2  y Bài Cho x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức H  x y Bài Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  x  x  Bài Cho a  1; b  Chứng minh a b   b a   ab Bài Cho a  9; b  4; c  Chứng minh ab c   bc a   ca b   11abc 12 Bài Cho a  0; b  0; a  b2  Tìm giá trị lớn biểu thức M  a b  a  2b   b a  b  2a  Bài Cho x  0; y  0; x2  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  x 14 x  10 y   y 14 y  10 x  Bài Cho x  0; y  xy  x  y   x  y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y Bài Cho a, b, c  ab  bc  ca  Tính giá trị lớn biểu thức P  a  a 1 Bài 10 Cho số dƣơng a, b, c thỏa mãn a  b  c  b b 1  c c 1 ab bc ca    c  ab a  bc b  ca Bài 11 Cho a  0, b  0, c  ab  bc  ca  3abc chứng minh a2 b2 c2   Tìm giá trị nhỏ P  c  c  a  a  a  b2  b  b2  c  Bài 12 Cho a  0, b  0, c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  a b c   2  9b  9c  9a 75 1 1    Chứng minh abc  1 a 1 b 1 c 2 Bài 14 Cho a  0, b  0, c  a  b  c  Chứng minh : ab bc ca bc ca ab a) b)    abc    c a b a b c Bài 15 Cho a, b, c l| độ dài ba cạnh ABC Bài 13 Cho a, b, c  Chứng minh  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc Bài 16 Cho a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2a  a 24  x y 28 Bài 18 Cho x  0, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y   x y Bài 19 Cho  x  3,  y  6,  z  x  y  z  12 Tìm giá trị lớn biểu thức P  xyz x x 2y Bài 20 Cho x  0, y    Tìm giá trị nhỏ biểu thức K   y y x Bài 17 Cho x  0, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức F  x  y  Bài 21 Cho x  0, y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức  x  y  1 A Bài 22 Cho x  0, y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  xy  x  y  xy  x  y  x  y  1 xy x2  y  xy x y Bài 23 Cho a  0, b  0, c  thỏa mãn b2  c2  a 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  b  c  a    a b c    1 1 Bài 24 Cho x  0, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P      x y x y 1 Bài 25 Cho x  0, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    xy x y xy 1  1  Bài 26 Cho x  0, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức K   x     y   x  y  1  1  Bài 27 Cho x  0, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  1  x    1  y   x  y  2 Bài 28 Cho x  0, y  x  xy  y  x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    x  y x y Bài 29 Cho a  0, b  0, c  thỏa mãn  b2  bc  c     a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  a  b  c  2   a b c Bài 30 Cho a  0, b  a3  b3  6ab  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    ab a  b ab 76 Bài 31 Cho a  0, b  a  b2  a  b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b4  Bài 32 Cho x  0, y    x 1  2020  a  b y 1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x2 y  y x II BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA Bài Cho x  y  13 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  y Bài Cho x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x2  y Bài Cho x  0, y  0, z  x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  y  z Bài Cho 3x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức S  x  y 35 Bài Cho 4a  25b  Tìm giá trị lớn biểu thức H  6a  5b 10 Bài Cho x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  y  z Bài Tìm giá trị lớn biểu thức P  x    x  x  Bài Cho a  0, b  0, c  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức K  4a   4b   4c  Bài Cho a  0, b  0, c  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  b  c  c  a  a  b Bài 10 Cho a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  ab bc ca   2 III PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Bài Cho x  2 , y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x  y  x   y   24 Bài Cho x   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: E  5x  2x   3x   Bài Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T  x  x   x   28 Bài Cho x  15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F  x2  x  x   15  x  3  x  15  x   38 Bài Cho a  0, b  0,c  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: T  a  4ab  b2  b2  4bc  c2  c2  4ca  a Bài Cho x  0, y  0, z  0, x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S  x  xy  y2  y2  yz  z  z  zx  x Bài Cho 2  a, b,c  a  b2  c2  22 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  a  b  c Bài Cho x  0, y  0, z  thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: A  x  y2  z 77 Bài Cho a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: K  3a   3b   3c  Bài 10 Cho  a, b,c  a  b  c  Chứng minh: ab  bc  ca  Bài 11 Cho a  1, b  1,c  ab  bc  ca  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P  a  b2  c2 Bài 12 Cho 1  x, y, z  , x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: T  x  y  z Bài 13 Cho 2  a, b,c  a  b  c  Chứng minh: a  b4  c4  32 Bài 14 Cho  x, y, z  x  y  z  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P  x  y2  z Bài 15 Cho  x, y, z  x  y  z  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: M  x  y4  z4  12 1  x 1  y 1  z  Bài 16 Cho  a, b,c  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  a  b2  c2  ab  bc  ca Bài 17 Cho a  0, b  0,c  a  b  c  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P  bc  ca  a b Bài 18 Cho a  0, b  0,c  a  b  c  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P  bc  ca  a b Bài 19 Cho a  0, b  0,c  a  b  c  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: F  3a   3b   3c  Bài 20 Cho a  0, b  0,c  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: 2a  3a   2b2  3b   2c2  3c  Bài 21 Cho x, y  thỏa mãn: x  y  10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   x  1 y4  1 Bài 22 Cho a  b  4ab  4a  4b2 Tìm giá trị lớn biểu thức: A  20  a  b3    a  b2   2013 Hết 78 79 ... TRONG CHỦ ĐỀ 75 I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 75 II BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA 77 III PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG 77 I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI Dạng hai số khơng... Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dƣơng a  b  c  abc; 32 1 1   3 a b c abc  a  b  c   a1  b1  1c    *  Suy   Bất đẳng thức đƣợc chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b...BẤT ĐẲNG THỨC I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH DẠNG 2: DẠNG TÍCH

Ngày đăng: 01/05/2020, 13:33

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan