Chương 66 LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC §1: GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Đơn vị đo góc cung tròn, độ dài cung tròn a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bán kính gọi cung có số đo rađian, gọi tắt cung rađian Góc tâm chắn cung rađian gọi góc có số đo rađian, gọi tắt góc rađian rađian viết tắt rad Vì tính thơng dụng đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo cung góc b) Độ dài cung tròn Quan hệ độ rađian: Cung tròn bán kính R có số đo a ( � a � 2p ) , có số đo a ( �a � 360) có độ dài l thì: l = Ra = pa a a R = 180 p 180 � 180� p � Đặc biệt: 1rad = � , 10 = rad � � � � 180 �p � Góc cung lượng giác a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng đường tròn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại gọi chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ gọi chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ chiều âm) b) Khái niệm góc, cung lượng giác số đo chúng Cho đường tròn định hướng tâm O hai tia Ou,Ov cắt đường tròn U V Tia Om cắt đường tròn M , tia Om chuyển động theo chiều(âm dương) quay quanh O điểm M chuyển động theo chiều đường tròn  Tia Om chuyển động theo chiều từ Ou đến trùng với tia Ov ta nói tia Om quét góc lượng giác tia đầu Ou , tia cuối Ov Kí hiệu ( Ou,Ov )  Điểm M chuyển động theo từ điểm U đến trùng với điểm V ta nói điểm M vạch nên cung lượng giác điểm đầu U , điểm cuối V Kí hiệu   � UV Tia Om quay vòng theo chiều dương ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2p ), quay hai vòng ta nói quay góc 2.3600 = 7200 (hay 4p ), quay theo chiều âm phần tư vòng p 25 ta nói quay góc - 900 (hay - ), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy( vòng) nói 25 50p quay góc )… 3600 (hay 7 Ta coi số đo góc lượng giác ( Ou,Ov ) số đo cung lượng giác c) Hệ thức Sa-lơ  Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý ta có: � UV Sđ ( Ou,Ov ) + Sđ ( Ov,Ow) = Sđ ( Ou,Ow) + k2p ( k �Z ) Sđ ( Ou,Ov ) - Sđ ( Ou,Ow) = Sđ ( Ow,Ov ) + k2p ( k �Z ) Trang 1/13  Với ba điểm tùy ý U ,V ,W đường tròn định hướng ta có : � � � � � Sđ Sđ Sđ UV + VW = UW + k2p ( k �Z ) � Sđ Sđ Sđ UV UW = WV + k2p ( k �Z ) Câu 1: Góc có số đo 108o đổi radian 3  A B 10 3 Lời giải C Chọn A Cách 1: áp dụng công thức đổi độ rad   Cách 2: 3 tương ứng 108o  tương ứng 18o 10 3 tương ứng 270o  tương ứng 45o Câu 2: Biết số đo góc  Ox, Oy   Ox, Oy   D  n. 180 3  2001 Giá trị tổng quát góc 3  k  C  Ox, Oy    k B  Ox, Oy     k 2 A  Ox, Oy   Chọn A Câu 3: Góc có số đo A 240o D  Ox, Oy   Lời giải 2 đổi sang độ B 135o C 72o Lời giải Chọn C Áp dụng công thức đổi rad sang độ n  Câu 4: Góc có số đo A 15o  đổi sang độ B 18o Áp dụng công thức đổi rad sang độ n  D 270o  180  C 20o Lời giải Chọn C   k 2 D 25o  180   180o  20o  o o o Câu 5: Cho  Ox, Oy   22 30 ' k 360 Với k  Ox, Oy   1822 30 ' ? A k �� B k  C k  5 D k  n Trang 2/13 Lời giải Chọn D  Ox, Oy   1822o30 '  22o30 ' 5.360o � k   Câu 6: Góc có số đo đổi sang độ 24 A 7o B o30 ' C 8o Lời giải Câu 7: Chọn B  180 áp dụng công thức đổi rad sang độ n    180o n  7,5o  o30 ' 24  Câu 8: Góc có số đo 120o đổi sang rađian góc  3  A B C 10 Lời giải Chọn D 120o. 2 120o   180o D 8o30 ' D 2 Câu 9: Số đo góc 22o30�đổi sang rađian là:  7   A B C D 12 Lời giải Chọn A 22o30�   22o30�   o 180 Câu 10: Đổi số đo góc 105o sang rađian 5 7 9 5 A B C D 12 12 12 Lời giải Chọn B 105o. 7 105o   180o 12  Câu 11: Giá trị k để cung    k 2 thỏa mãn 10    11 A k  B k  C k  D k  Lời giải Chọn D  19 21 19 21 10    11 � 10   k 2  11 �  k 2  � k � k 5 2 4 Câu 12: Cho hình vng ABCD có tâm O trục  l  qua O Xác định số đo góc tia OA với trục  l  , biết trục  l  qua đỉnh A hình vng A 180o  k 360o B 90o  k 360o C 90o  k 360o Lời giải D k 360o Chọn D Vì trục  l  qua đỉnh A tâm O hình vng nên trục  l  �OA nên số đo Trang 3/13 góc tia OA với trục  l  0o  k 360o  k 360o 10  Câu 13: Một đường tròn có bán kính R  cm Tìm độ dài cung đường  tròn 20 2 A 10 cm B 5cm C cm D cm  20 Lời giải Chọn B  rad  90o đường tròn tính cơng thức: Độ dài cung  ao  10 R  90  5cm 180 180  Câu 14: Một đường tròn có bán kính R  10 cm Độ dài cung 40o đường tròn gần bằng: A cm B cm C 11cm D 13cm Lời giải Chọn A Độ dài cung 40o đường tròn tính công thức:  ao  R  40.10 �7 cm 180 180 Câu 15: Góc 18o có số đo rađian    A B C D  18 10 360 Lời giải Chọn B    rad � 18o  18 rad  rad Ta có: 1o  180 180 10  Câu 16: Góc có số đo độ là: 18 A 18o B 36o C 10o D 12o Lời giải Chọn C o o 180 �  � � 180 � o Ta có: 1rad  � �� rad  � � 10  18 18  � � � � 20 cm Câu 17: Một đường tròn có bán kính Tìm độ dài cung đường tròn có số đo A 4,19 cm  (tính gần đến hàng phần trăm) 15 B 4,18cm C 95, 49 cm Lời giải Chọn B Độ dài cung D 95,50 cm  rad  12o đường tròn tính cơng thức: 15  ao  R  12.20 �4,18cm 180 180 Câu 18: Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Số đo cung lượng giác số không âm B Số đo cung lượng giác không vượt 2 C Số đo cung lượng giác số thực thuộc đoạn [0; 2 ] Trang 4/13 D Số đo cung lượng giác số thực Lời giải Chọn C Câu 19: Chọn điểm A  1;  làm điểm đầu cung lượng giác đường tròn lượng giác Tìm điểm cuối M cung lượng giác có số đo 25 A M điểm cung phần tư thứ I B M điểm cung phần tư thứ II C M điểm cung phần tư thứ III D M điểm cung phần tư thứ IV Lời giải Chọn A � 25    6 , suy điểm M điểm Theo giả thiết ta có: AM  4 cung phần tư thứ I Câu 20: Một đường tròn có bán kính 15 cm Tìm độ dài cung tròn có góc tâm 300 : 5 5 2  A B C D Lời giải Chọn B a R nên Theo cơng thức tính độ dài cung tròn ta có l  R  180 a  30 5 R  15  Ta có l  180 180 Câu 21: Cho đường tròn có bán kính cm Tìm số đo ( rad ) cung có độ dài cm : A 0,5 B C D Lời giải Chọn A a R nên Theo cơng thức tính độ dài cung tròn ta có l  R  180 l Ta có     0,5 R 3 Câu 22: Góc có số đo  đổi sang số đo độ : 16 A 33o 45' B 29o30 ' C 33o 45' D 32o55' Lời giải Chọn C Lời giải o o o 180 � 3 �3 180 � �135 � � o o Vì 1rad  � � nên � � � � 33.75  33 45'  16 16  � � � � � � o Câu 23: Số đo radian góc 30 :     A B C D 16 Lời giải Chọn A    rad nên 30o  30  Vì 1o  180 180 Trang 5/13 Câu 24:  : B 90o Số đo độ góc A 60o C 30o Lời giải D 45o Chọn D Theo công thức đổi đơn vị độ sang radial ta có số đo độ góc Số đo radian góc 270o : 3 A  B  45o Câu 25: 3 Lời giải C Chọn B Theo công thức đổi đơn vị số đo radian góc 2700 D  27 3 Góc 63o 48' (với   3,1416 ) A 1,114 rad B  C D 1,113rad Lời giải Chọn A Theo công thức đổi đơn vị, ta có số đo cung cho có số đo 63� 48�  ; 1.114 radial, với  ; 3,1416 180� Câu 27: Cung tròn bán kính 8, 43 cm có số đo 3,85 rad có độ dài là: A  cm B 32, 45 cm C cm D 32,5 cm 21 Lời giải Chọn D Theo cơng thức tính độ dài cung ta có độ dài cung có số đo 3,85 rad l  R.  8, 43.3,85  32, 4555 cm Làm tròn kết thu ta có đáp án D Câu 28: Xét góc lượng giác  OA; OM    , M điểm khơng làm trục tọa độ Ox Oy Khi M thuộc góc phần tư để sin  cos dấu A I  II  B I  III  C I  IV  D  II   III  Lời giải Chọn B Dựa theo định nghĩa giá trị lượng giác đường tròn lượng giác Câu 29: Cho  góc tù Điều khẳng định sau đúng? A sin   B cos   C tan   D cot   Câu 26: Lời giải Chọn C Vì  góc tù, nên sin   , cos   � tan   Câu 30: Cho bốn cung (trên đường tròn định hướng):    5  ,  , 25 19 , Các cung có điểm cuối trùng nhau: A   ;   B   ;   C  ,  ,  D , Lời giải Chọn B  Trang 6/13 , 5 7 25  19 7   2 ;     8 ;     2 6 3 6 �  ;   cặp góc lượng giác có điểm cuối trùng  Câu 31: Cho a   k 2  k �� Để a � 19; 27  giá trị k A k  , k  B k  , k  C k  , k  D k  , k  Lời giải Chọn B Cách 1: 9 13 17 � 19; 27  ; k  � a  � 19; 27  ; k  � a  � 19; 27  ; k 2 �a  2 21 � 19; 27  k 5 �a Cách 2:  19   k 2  k ��  27 � k =  3; 4  Câu 32: Cho góc lượng giác  OA, OB  có số đo Hỏi số sau, số số đo góc lượng giác có tia đầu, tia cuối với góc lượng giác  OA, OB  ?   A 6 B  11 9 Lời giải C D 31 Chọn D 6    * 5 11     2 * 5 9 4   * 5 31    6 * 5 Câu 33: Cung  có mút đầu A mút cuối M số đo  y B A A’ O M A 3  k B  3  k x B’ 3  k 2 Lời giải C D  3  k 2 Chọn D Cung  có mút đầu A mút cuối M theo chiều dương có số đo 5  k 2 nên loại A,C Trang 7/13 Cung  có mút đầu A mút cuối M theo chiều âm có số đo  3 có điểm M đường tròn lượng giác nên loại B Câu 34: Cho hình vng ABCD có tâm O trục  i  qua O Xác định số đo góc tia OA với trục  i  , biết trục  i  qua trung điểm I cạnh AB A 45o  k 360o B 95o  k 360o C.135o  k 360o D 155o  k 360o Lời giải Chọn A � AOB  90o OA  OB Tam giác AOB vuông cân O  i  qua trung điểm AB nên  i   AB   u uu r � OA ,  i   45o �  i  đường phân giác góc � nên AOB Câu 35: Một bánh xe có 72 Số đo góc mà bánh xe quay di chuyển 10 A 30o B 40o C 50o D 60o Lời giải Chọn C 360o Một bánh xe có 72 nên tương ứng  5o 72 Khi di chuyển 10 10.5o  50o Câu 36: Tìm khẳng định sai: A Với ba tia Ou, Ov, Ow , ta có: sđ  Ou, Ov   sđ  Ov, Ow   sđ  Ou, Ow   2k , k �� B Với � ba � điểm U ,V , W đường tròn định hướng: �  sđ UV  sđ VW  sđ UW  2k , k �� C Với ba tia Ou, Ov, Ox , ta có: sđ  Ou , Ov   sđ  Ox, Ov   sđ  Ox, Ou   2k , k �� D Với ba tia Ou, Ov, Ow , ta có: sđ  Ov, Ou   sđ  Ov, Ow   sđ  Ou, Ow   2k , k �� Lời giải Chọn D Sử dụng hệ thức Sa-lơ số đo góc lượng giác ba khẳng định câu A, B, C Câu 37: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho cung có số đo:  I   II   7 Trang 8/13 13  IV   5 Hỏi cung có điểm cuối trùng nhau? A Chỉ  I   II  B Chỉ  I  ,  II   III   III  C Chỉ  II  ,  III   IV  D Chỉ  I  ,  II   IV  Lời giải Chọn A 7  13 5 5 3   2 ;   2 ;    2 Ta có:  4 4 4  7 Suy có hai cung  có điểm cuối trùng 4 Câu 38: Trong 20 giây bánh xe xe gắn máy quay 60 vòng.Tính độ dài qng đường xe gắn máy vòng phút, biết bán kính bánh xe gắn máy 6,5 cm (lấy   3,1416 ) A 22054 cm B 22063 cm C 22054 mm D 22044 cm Lời giải Chọn A Lời giải a R nên Theo cơng thức tính độ dài cung tròn ta có l  R  180 60.180  540 vòng, bánh xe lăn được: Trong phút bánh xe quay 20 l  6,5.540.2 �6,5.540.2.3,1416  cm  �22054  cm  Câu 39: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox hình vng OABC vẽ theo chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ, biết sđ o o  Ox, OA   30  k 360 , k �Z Khi sđ  OA, AC  bằng: A 120o  k 360o , k �Z C 450  k 3600 , k �Z B 45o  k 360o , k �Z D 90o  k 360o , k �Z Lời giải Chọn B Tia AO quay góc 45 độ theo chiều âm( chiều kim đồng hồ ) sẻ trùng tia AC nên góc o o sđ  OA, AC   45  k 360 , k �Z Câu 40: Trong mặt phẳng định hướng cho ba tia Ou, Ov, Ox Xét hệ thức sau:  I  sđ  Ou, Ov   sđ  Ou, Ox   sđ  Ox, Ov   k 2 , k �Z  II  sđ  Ou, Ov   sđ  Ox, Ov   sđ  Ox, Ou   k 2 , k �Z  III  sđ  Ou, Ov   sđ  Ov, Ox   sđ  Ox, Ou   k 2 , k �Z Hệ thức hệ thức Sa- lơ số đo góc: A Chỉ  I  B Chỉ  II  C Chỉ  III  Lời giải Chọn A Hệ thức Sa-lơ: Với ba tia tùy ý Ou , Ov, Ox , ta có sđ  Ou , Ov   sđ  Ov, Ox   sđ  Ou , Ox  + k 2 D Chỉ  I   III   k �� Trang 9/13 Câu 41: Góc lượng giác có số đo  ( rad ) góc lượng giác tia đầu tia cuối với có số đo dạng : A   k180o ( k số nguyên, góc ứng với giá trị k ) B   k 360o ( k số nguyên, góc ứng với giá trị k ) C   k 2 ( k số nguyên, góc ứng với giá trị k ) D   k ( k số nguyên, góc ứng với giá trị k ) Lời giải Chọn C Nếu góc lượng giác  Ou, Ov  có số đo  radian góc lượng giác tia đầu Ou , tia cuối Ov có số đo   2k , k ��, góc tương ứng với giá trị k Các cung lượng giác tương ứng đường tròn định hướng tâm O có tính chất Tương tự cho đơn vị độ 5  m 2 , m �Z sđ Câu 42: Cho hai góc lượng giác có sđ  Ox, Ou      Ox, Ov     n 2 , n �Z Khẳng định sau đúng? A Ou Ov trùng B Ou Ov đối  C Ou Ov vng góc D Tạo với góc Lời giải Chọn A 5    m2    2  m2     m  1 2 m �Z 2 Vậy n  m  Ou Ov trùng 63 Câu 43: Nếu góc lượng giác có sđ  Ox, Oz    hai tia Ox Oz A Trùng B Vng góc 3 C Tạo với góc D Đối Lời giải Chọn B 63  64      32 nên hai tia Ox Oz vuông góc Ta có sđ  Ox, Oz    2 2 o o Câu 44: Cho hai góc lượng giác có sđ  Ox, Ou   45  m360 , m �Z sđ Ta có:sđ  Ox, Ou     Ox, Ov   135o  n360o , n �Z Ta có hai tia A Tạo với góc 45o C Đối Ou Ov B Trùng D Vuông góc Lời giải Chọn C  Ox, Ov   135o  n360o  225o  n360o  45o  180o  n360o  n �Z Vậy, Ta có hai tia Ou Ov đối Câu 45: Sau khoảng thời gian từ đến kim giây đồng hồ quay số vòng bằng: A 12960 B 32400 C 324000 D 64800 Lời giải Chọn B Từ đến kim quay vòng(tính theo chiều ngược kim đồng hồ) Kim phút quay 9.60  540 vòng Trang 10/13 Kim giây 540.60  32400 vòng Câu 46: Góc có số đo 120o đổi sang số đo rad : 3 2 A 120 B C  D Lời giải Chọn D 120 2 180o   � 120o   180 137  góc  Ou, Ov  có số đo dương Câu 47: Biết góc lượng giác  có số đo  nhỏ là: A 0, 6 B 27, 4 C 1, 4 D 0, 4 Lời giải Chọn A 137   27, 4 Vậy góc dương nhỏ 28  27, 4  0, 6 Ta có  Câu 48: Cung sau có mút trung với B B�   A    k 2 B     k 2 2 o o C a  90  k 360 D a  –90o  k180o Lời giải Chọn D �� B B  180o   Cung có mút trùng với B B�có chu kì  180o Câu 49: Trên đường tròn định hướng gốc A có điểm M thỏa mãn 1 1     , với x số đo cung AM ? 2 sin x cos x tan x cot x A B C D 10 Lời giải Chọn C ĐK: sin x �0 1 1 1    6 �   cot x  tan x  2 2 sin x cos x tan x cot x sin x cos x 2  8 � 8 �  � sin 2 x  � cos x  2 2 sin x cos x sin x.cos x sin 2x Biểu diễn vòng tròn lượng giác ta thấy có điểm cuối M thỏa ycbt Câu 50: Khi biểu diễn đường tròn lượng giác cung lượng giác cung lượng giác có số đo có cung với cung lượng giác có số đo 4200o  A 130o B 120o C 120o D Lời giải Chọn C Ta có 4200� 120� 12.360�nên cung có số đo 120o có cung trùng với cung có số đo 4200� Câu 51: Một đồng hồ treo tường, kim dài 10,57 cm kim phút dài 13,34 cm Trong 30 phút mũi kim vạch lên cung tròn có độ dài là: A 2, 77 cm B 2,9 cm C 2,76 cm D 2,8 cm Lời giải Chọn A � Trang 11/13 Trong 30 phút mũi kim chạy đường tròn có bán kính 10,57 cm  cung có số đo nên độ dài đoạn đường mũi kim 24  10,57 ; 2, 77 cm 24 Câu 52: Có điểm M đường tròn định hướng gốc A thoả mãn sđ  k � AM   , k �Z ? 3 A B C D 12 Lời giải Chọn A  2 3 4 5 k  0, � AM  ; k  1, � AM  AM  AM  AM  ; k  2, � ; k  3, � ; k  4, � ; 3 3 7 AM  k  5, � AM  2 ; k  6, � Câu 53: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox hình vng OABC vẽ theo chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ, biết sđ 0  Ox, OA   30  k 360 , k �Z Khi sđ  Ox, BC  bằng: A 175o  h360o , h �Z B 210o  h360o , h �Z � � C sin a  ; cos b  �  a   ;  b  � D 13 �2 2� 210o  h360o , h �Z Lời giải Chọn D sđ  Ox, BC   sđ  Ox, OA�   210o  h360o , h �Z  , M điểm biểu diễn góc lượng giác Khi M thuộc góc phần tư ? A I B II C III D IV Lời giải Chọn A  Ta có Ta chia đường tròn thành tám phần  2 Câu 54: Xét góc lượng giác Trang 12/13 Khi điểm M điểm biểu diễn góc có số đo  y B M x A' O A B' Cho L, M , N , P điểm cung AB, BC , CD, DA 3  k Mút cuối  Cung  có mút đầu trùng với A có số đo    trùng với điểm điểm L, M , N , P ? A L N B M P C M N D L P Lời giải Chọn A  � Vì L điểm � AB nên AL  3 � nên � AN  Vì N điểm CD   AN  Ta có � � AL  � AN   3  k Vậy L N mút cuối    Câu 55: Cung  có mút đầu A mút cuối trùng với bốn điểm M , N , P, Q Số đo      A   45o  k 180o B   135o  k.360o C    k D    k 4 Lời giải Chọn D  AM  450  Số đo cung � �  NP �  PQ �  900   Ta có MN Để mút cuối trùng với bốn điểm M , N , P, Q  chu kì cung    Vậy số đo cung    k Câu 57: Biết OMB�và ONB�là tam giác Cung  có mút đầu A mút cuối B M N Tính số đo  ?      2  2 A    k B     k C    k D    k 2 3 Lời giải Chọn C Câu 56: Trang 13/13 Cung  có mút đầu A mút cuối B nên     1  � � � �  NOB  OMB�và ONB�là tam giác nên MOB  �� �� � BA M  MB N Cung  có mút đầu A mút cuối M N nên 2 � 2 � � � � � AM  � AB  BM AB  AM  MN AM   2 , AN  � 3 2 Chu kì cung   2 Từ  1 ,   ta có    k Câu 58: Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox hình vng OABC vẽ theo chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ, biết sđ o o  Ox, OA  30  k 360 , k �Z Khi sđ  Ox, AB  A 120o  n360o , n �Z C 300  n3600 , n �Z B 60o  n360o , n �Z D 60o  n360o , n �Z Lời giải Chọn B   �  180o  45o  75o  60o �  45o , BOD �  75o � BDO Xét tam giác OBD, ta có OBD Trang 14/13 ... đầu cung lượng giác đường tròn lượng giác Tìm điểm cuối M cung lượng giác có số đo 25 A M điểm cung phần tư thứ I B M điểm cung phần tư thứ II C M điểm cung phần tư thứ III D M điểm cung. .. giác cung lượng giác cung lượng giác có số đo có cung với cung lượng giác có số đo 4200o  A 130o B 120o C 120o D Lời giải Chọn C Ta có 4200� 120� 12.360�nên cung có số đo 120o có cung. .. mệnh đề mệnh đề sau: A Số đo cung lượng giác số không âm B Số đo cung lượng giác không vượt 2 C Số đo cung lượng giác số thực thuộc đoạn [0; 2 ] Trang 4/13 D Số đo cung lượng giác số thực Lời