TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁCH GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN PHẦN I: ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Điều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A ≥ Các cơng thức biến đổi thức A2 = A a AB = A B ( A ≥ 0; B ≥ 0) b c A = B A B d A2 B = A B e ( A ≥ 0; B > 0) ( B ≥ 0) A B = A2 B A B =− A B ( A < 0; B ≥ 0) f A = B B AB ( AB ≥ 0; B ≠ 0) i A A B = B B k C C ( A mB ) = A − B2 A±B m C C( A m B ) = A − B2 A± B ( A ≥ 0; B ≥ 0) ( B > 0) ( A ≥ 0; A ≠ B ) ( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B ) Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) a Tính chất: + Hàm số đồng biến R a > + Hàm số nghịch biến R a < b Đồ thị: Đồ thị đường thẳng qua điểm A(0;b); B(-b/a;0) Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) a Tính chất: + Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > + Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > b Đồ thị: Đồ thị đường cong Parabol qua gốc toạ độ O(0;0) + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh + Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh Vị trí tương đối hai đường thẳng Xét đường thẳng y = ax + b (d) y = a'x + b' (d') (d) (d') cắt ↔ a ≠ a' (d) // (d') ↔ a = a' b ≠ b' (d) ≡ (d') ↔ a = a' b = b' Vị trí tương đối đường thẳng đường cong Xét đường thẳng y = ax + b (d) y = ax2 (P) (d) (P) cắt hai điểm: nghiệm phân biệt (d) tiếp xúc với (P) điểm: có nghiệm kép (d) (P) khơng có điểm chung: vơ nghiệm Phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn ∆ = b - 4ac ∆' = b'2 - ac với b = 2b' Nếu ∆ > : Phương trình có hai - Nếu ∆' > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: nghiệm phân biệt: x1 = −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a x1 = Nếu ∆ = : Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = ' ' − b ' + ∆' ; x2 = − b − ∆ a a - Nếu ∆' = : Phương trình có nghiệm −b ' kép: x1 = x2 = a - Nếu ∆' < : Phương trình vơ nghiệm −b 2a Nếu ∆ < : Phương trình vơ nghiệm Hệ thức Viet ứng dụng: - Hệ thức Viet: −b   S = x1 + x2 = a Nếu x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠ 0) thì:   P = x x = c  a - Một số ứng dụng: + Tìm hai số u v biết u + v = S; u.v = P ta giải phương trình: x2 - Sx + P = (Điều kiện S2 - 4P ≥ 0) + Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠ 0) Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = c a Nếu a - b + c = phương trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 = − c a Giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình: Bước 1: Lập phương trình hệ phương trình ( đk) Bước 2: Giải phương trình hệ phương trình Bước 3: Kiểm tra nghiệm phương trình hệ phương trình nghiệm thích hợp với tốn kết luận 10 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax + bx + c = có nghiệm phân biệt a ≠ a ≠  ' ∆ > ∆ >  Điều kiện có hai nghiệm phân biệt  11 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm a ≠ a =  b ≠ ∆ =  Điều kiện có nghiệm:  a ≠  ' ∆ = 12 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm kép a ≠  Điều kiện có nghiệm kép:  ∆ = a ≠  ' ∆ = 13 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = vô nghiệm a ≠  Điều kiện có nghiệm:  a ≠ ∆ <  ' ∆ < 14 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm dấu  Điều kiện có hai nghiệm dấu: ∆ ≥   c  P = a > ∆' ≥   c P = a >  15 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax + bx + c = có nghiệm dương  ∆ ≥  c   Điều kiện có hai nghiệm dương:  P = > a  b  S = − a >  ∆' ≥  c  P = > a  b  S = − a > 16 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm âm  ∆ ≥  c   Điều kiện có hai nghiệm âm:  P = > a  b  S = − a <  ∆' ≥  c  P = > a  b  S = − a < 17 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm trái dấu  Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < 18 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm x = x1  Cách giải: - Thay x = x1 vào phương trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c = → m - Thay giá trị m vào (*) → x1, x2 P - Hoặc tính x2 = S - x1 x2 = x 19 Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax + bx + c = có nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện: 1 c x + x = n  Điều kiện chung: ∆ ≥ ∆' ≥ (*) a αx1 + βx2 = γ b x12 + x22 = k −b   x1 + x2 = a = S (1) Theo định lí Viet ta có:   x1.x2 = c = P (2)  a a Trường hợp: αx1 +βx2 =γ −b   x1 + x2 = a Giải hệ  αx1 + β x2 = γ x1, x2 Thay x1, x2 vào (2) → m Chọn giá trị m thoả mãn (*) d x12 + x22 ≥ h e x13 + x23 = t b Trường hợp: x12 + x22 = k ↔ ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = k Thay x1 + x2 = S = −b c x1.x2 = P = vào ta có: a a S2 - 2P = k → Tìm giá trị m thoả mãn (*) 1 c Trường hợp: x + x = n ↔ x1 + x2 = nx1.x2 ↔ − b = nc Giải phương trình - b = nc tìm m thoả mãn (*) d Trường hợp: x12 + x22 ≥ h ↔ S − P − h ≥ Giải bất phương trình S2 - 2P - h ≥ chọn m thoả mãn (*) e Trường hợp: x13 + x23 = t ↔ S − 3PS = t Giải phương trình S − 3PS = t chọn m thoả mãn (*) 20 Giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c =  Đặt t = x2 (t≥ 0) ta có phương trình at2 + bt + c = Giải phương trình bậc hai ẩn t sau thay vào tìm ẩn x Bảng tóm tắt at + bt + c = ax4 + bx2 + c = vô nghiệm vô nghiệm nghiệm âm vô nghiệm nghiệm kép âm vô nghiệm nghiệm dương nghiệm đối nghiệm nghiệm dương cặp nghiệm đối 21 Giải phương trình A( x + 1 ) + B( x + ) + C = x x = t ↔ x2 - tx + = x 1 Suy t2 = ( x + )2 = x + + ↔ x + = t − x x x  Đặt x + 22 Giải phương trình A( x + 1 ) + B( x − ) + C = x x = t ↔ x2 - tx - = x 1 Suy t2 = ( x − )2 = x + − ↔ x + = t + x x x ax + by = c 23 Giải hệ phương trình  a ' x + b ' y = c '  Đặt x −  Các phương pháp giải: + Phương pháp cộng + Phương pháp + Phương pháp đặt ẩn phụ 24 Giải phương trình dạng f ( x) = g ( x) (1)  Ta có  g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ↔   f ( x ) = [ g ( x )] (2) (3) Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp → nghiệm (1) 25 Giải phương trình dạng f ( x ) + h( x ) = g ( x )  Điều kiện có nghĩa phương trình  f ( x) ≥  h ( x ) ≥  g ( x) ≥  Với điều kiện thoả mãn ta bình phương hai vế để giải tìm x 24 Giải phương trình dạng f ( x ) =g ( x )  Phương pháp 1:  g ( x) ≥ f ( x ) =g ( x ) ↔  [ f ( x)] = [ g ( x)] 2 Xét f(x) ≥ → f(x) = g(x) Xét f(x) < → - f(x) = g(x)  Phương pháp 3: Với g(x) ≥ ta có f(x) = ± g(x) 26 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x)  Phương pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = M - [g(x)]2n , n ∈Z → y ≤ M Do ymax = M g(x) = - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = m + [h(x)]2k k∈Z → y ≥ m Do ymin = m h(x) =  Phương pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm  Phương pháp 3: Dựa vào đẳng thức 27 Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hàm số y = f(x) y = g(x) Hãy khảo sát tương giao hai đồ thị  Toạ độ điểm chung (C) (L) nghiệm phương trình hồnh độ điểm chung: f(x) = g(x) (*) - Nếu (*) vơ nghiệm (C) (L) khơng có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm kép (C) (L) tiếp xúc - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung 28 Lập phương trình đường thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) có hệ số góc k  Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k - Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b → b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phương trình (D) 29 Lập phương trình đường thẳng (D) qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB)  Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = ax + b  Phương pháp 2:  y A = ax A + b  y B = ax B + b (D) qua A B nên ta có:  Giải hệ ta tìm a b suy phương trình (D) 30 Lập phương trình đường thẳng (D) có hệ số góc k tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x)  Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = kx + b Phương trình hồnh độ điểm chung (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm b suy phương trình (D) 31 Lập phương trình đường thẳng (D) qua điểm A(x A;yA) k tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x)  Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = kx + b Phương trình hoành độ điểm chung (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm hệ thức liên hệ a b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) ta có yA = axA + b (***) Từ (**) (***) → a b → Phương trình đường thẳng (D) B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài toán 1: Rút gọn biểu thức A Để rút gọn biểu thức A ta thực bước sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có) - Đưa bớt thừa số ngồi thức (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có) - Thực phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ số hạng đồng dạng x+2 x−2 Ví dụ 1: có nghĩa x+2 ≥ 0; x-1 ≠ 0; x+3 ≠ 0; : x −1 x + x-2 ≠  x > -2; x ≠ 1; x ≠ Ví dụ 2: * Nhận xét: ta dùng phép đưa thừa số dấu căn, khử thức mẫu, 9.2 = ; 20=4.5; = ; 4,5 = = ; 25 4 125 25 25.2 = = 12,5= ; 45=9.5; 18=9.2; 72= 36.2; 200=100.2; 0,08 = 4.2/100; 50=25.2 10 Bài giải 1 1 2+ 5+ 5= a) + 20 + = + 4.5 + = + + = 4 2 2+2 5 9.2 25.2 2+ 2+ = ( + + ) = b) = + 4.5 + 12,5 = + + 2 2 2 4 2 c) 20 − 45 + 18 + 72 = − + 3.3 + = − + 15 d) 0,1 200 + 0,08 + 0,4 20 = + 0,1.2 + 0,8 = 1,2 + 0,8 Ví dụ 3: Tình giá trị biểu thức a) + − − b) − − + • Phân tích Câu a, Ta tìm a=1 b= − * Bài giải = (1- thỏa mãn a2+b2=4 2ab= nên 4+ = (1+ )2 )2 + − − = ( + ) − ( − )2 = 1+ - 1− b) Nhận xét: = 1+ - ( - 1) = 2 ( − − + )= 2(2 − 3) − 2(2 + ) = 4−2 − 4+2 Như ta việc tính câu a chia cho kết câu b Cách khác: kết câu b số âm Bình phương ta được: ( − − + )2=( − )–2.( − )( + ) +( + =2= (- ) = -2.( 4-3) = 4-2 )2 =( )2 Vì giá trị biểu thức số âm nên 2− − 2+ =- Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức A= x + − x + − x + + x + • Phân tích Ta tìm a=1 b= x + thỏa mãn a2+ b2= x+2 2ab= x + Ta có x + + x +1 = (1 + x + 1) = + x + • Bài giải x +1 ≥  x ≥ −1 ⇔ Điều kiện xác định:  x + − x +1 ≥ x + ≥ x +1 Với x ≥ −1 xét (x+2)2 ≥ 4(x+1)  x2 ≥ ( với giá trị x) Vậy ĐKXĐ biểu thức x ≥ Cách giải thứ nhất: A= (1 − x + 1) - (1 + x + 1) = − x + - + x + 1 − x + ≥ ⇔ ≥ x+1 ≥  -1 ≤ x ≤ ta có: Nếu  x + ≥  A= 1- x + -1- x + = -2 x + 1 − x + ≤ ⇔ x+1 ≥  x ≥ ta có: Nếu   x + ≥ A= x + -1 – 1- x + = -2 Cách thứ hai: A< ta tính A2 = 2x+4 - x Nếu x ≥ ta có A2= A= -2 ( A phương trình có nghiệm : t1 = > (thỏa mãn); Với: t = ⇔ x = ⇔ x = ±1 Vậy phương trình có nghiệm x = ±1 e / x + 3x − 2x − = ⇔ (x + 3x ) − (2x + 6) = ⇔ x (x + 3) − 2(x + 3) = ⇔ (x + 3)(x − 2) = x = −3 x + = x = −3 ⇔ ⇔ ⇔ x − = x = x = ± Vậy phương trình có nghiệm x = −3; x = ± x+2 f/ +3= (ĐKXĐ : x ≠ 2; x ≠ ) x −5 2−x x+2 +3= Phương trình : x −5 2−x t2 = − = −4 < (loại) (x + 2)(2 − x) 3(x − 5)(2 − x) 6(x − 5) + = (x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x) ⇒ (x + 2)(2 − x) + 3(x − 5)(2 − x) = 6(x − 5) ⇔ ⇔ − x + 6x − 3x − 30 + 15x = 6x − 30 ⇔ −4x + 15x + = ∆ = 152 − 4.(−4).4 = 225 + 64 = 289 > 0; ∆ = 17 => phương trình có hai nghiệm : −15 + 17 = − (thỏa mãn ĐKXĐ), 2.( −4) −15 − 17 x2 = = (thỏa mãn ĐKXĐ) 2.(−4) x1 = Bài 2: Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x − x + 15 = Khơng giải phương trình, tính x1 x2 x + x x + x ( x1 + x2 ) 2 b) Cho phương trình : x − 72 x + 64 = Khơng giải phương trình, tính: x12 + x22 1 1 x + x , x12 + x22 c) Cho phương trình : x − 14 x + 29 = Khơng giải phương trình, tính: x + x x12 + x22 d) Cho phương trình : x − x + = Khơng giải phương trình, tính: 1 x + x 1− x 1− x 2 x + x x1 x2 x + + x + 2 e) Cho phương trình x − 3x + = có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính x12 + x22 Q= x12 + 10 x1 x2 + x22 x1 x23 + x13 x2 Bài 3:Cho phương trình x − 2mx + m − = (x ẩn số) a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình −24 Tìm m để biểu thức M = x + x − x x đạt giá trị nhỏ 2 HD a/ Phương trình (1) có ∆’ = m2 - 4m +8 = (m - 2)2 +4 > với m nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt với m b a b/ Do đó, theo Viet, với m, ta có: S = − = 2m ; P = −24 −24 c = m−2 a −6 = M = ( x + x )2 − 8x x = 4m − 8m + 16 m − 2m + 2 −6 Khi m = ta có (m − 1)2 + nhỏ ( m − 1) + −6 ⇒ −M = ⇒M = lớn m = nhỏ m = ( m − 1) + (m − 1) + = Vậy M đạt giá trị nhỏ - m = Bài 2: (2,0 điểm) x Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m tham số 1) Giải phương trình m = 2) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác thỏa điều x1 x2 kiện x − x = HDBài 2: 1) Khi m = 1, phương trình thành : x2 – 2x – = ⇔ x = -1 hay x = (có dạng a–b + c = 0) 2) x x Với x1, x2 ≠ 0, ta có : x1 − x2 = ⇔ 3( x12 − x22 ) = x1 x2 ⇔ 3(x1 + x2)(x1 – x2) = 8x1x2 2 Ta có : a.c = -3m ≤ nên ∆ ≥ 0, ∀m b a Khi ∆ ≥ ta có : x1 + x2 = − = x1.x2 = c = −3m ≤ a Điều kiện để phương trình có nghiệm ≠ mà m ≠ ⇒ ∆ > x1.x2 < ⇒ x1 < x2 Với a = ⇒ x1 = −b '− ∆ ' x2 = −b '+ ∆ ' ⇒ x1 – x2 = ∆ ' = + 3m Do đó, ycbt ⇔ 3(2)(−2 + 3m ) = 8(−3m ) m ≠ ⇔ + 3m = 2m (hiển nhiên m = không nghiệm) ⇔ 4m4 – 3m2 – = ⇔ m2 = hay m2 = -1/4 (loại) ⇔ m = ± Bài (1,5 đ) Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 1) Chứng minh : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m 2) Tìm giá trị m để biểu thức A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ HDbài (1,5 đ) Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 1) Chứng minh : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m Ta có ∆′ =  −(m+ 2) − m2 − 4m− = 1> với m Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m 2) phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m Theo hệ  x1 + x2 = 2(m+ 2)  x1.x2 = m + 4m + thức Vi-ét ta có :  A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – x1x2 = 4(m + 2)2 – 2(m2 + 4m +3) = 2m2 + 8m+ 10 = 2(m2 + 4m) + 10 = 2(m + 2)2 + ≥ với m Suy minA = ⇔ m + = ⇔ m = - Vậy với m = - A đạt = Bài 4) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x12 + x 22 = Giải Bài 4: + Phương trình cho có ∆ = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + > 0, ∀m Vậy phương trình có nghiệm phân biệt ∀m  x1 + x2 = 4m−  x1x2 = 3m − 2m + Theo ĐL Vi –ét, ta có:  Khi đó: x12 + x22 = ⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1x2 = ⇔ (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = ⇔ 10m2 – 4m – = ⇔ 5m2 – 2m – = Ta thấy tổng hệ số: a + b + c = => m = hay m = −3 Trả lời: Vậy Câu (2.0 điểm) : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + = Giải phơng trình m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Giải Khi m = 4, ta có phương trình x2 + 8x + 12 = có ∆’ = 16 – 12 = > Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = - + = - x2 = - - = - Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x2 + 2mx + m2 – 2m + = Có D’ = m2 – (m2 – 2m + 4) = 2m – Để phương trình có hai nghiệm phân biệt D’ > => 2m – > => 2(m – 2) > => m – > => m > Vậy với m > phương trình có hai nghiệm phân biệt Câu 6: (1,5 điểm) 2 Cho phương trình (ẩn số x): x − x − m + = ( *) Chứng minh phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x2 = −5 x1 Giải câu 6: (1,5 điểm) Cho phương trình (ẩn số x): x − x − m + = ( *) ∆ = 16 + 4m − 12 = 4m + ≥ > 0; ∀m Vậy (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x2 = −5 x1 Theo hệ thức VI-ET có :x1.x2 = - m2 + ;x1+ x2 = 4; mà x2 = −5 x1 => x1 = - ; x2 = Thay x1 = - ; x2 = vào x1.x2 = - m2 + => m = ± 2 Câu 7: điểm:Cho phơng trình: x2 2(m-1)x + m2 – =0 ( m lµ tham sè) a) GiảI phơng trình m = b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mÃn x12 + x22 = 16 Giải Câu 7: (2,0 điểm) a, Thay x = vào phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - = giải phương trình: x2 - 4x + = nhiều cách tìm nghiệm x1 = 1, x2 = b, Theo hệ thức Viét, gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - = , ta có:  x1 + x2 = 2(m − 1)   x1.x2 = m − x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2 = 16 Thay vào giải tìm m = 0, m = -4 Câu 8:(1,5 điểm) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x − x − = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: a, x1 + x2 b, x + x c, x12 + x22 Câu (2đ) Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – = a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức A = x1 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Giải câu (2đ) Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – = c) Giải phương trình m = d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức A = x1 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Đáp án a) x1 = − − ; x2 = − + e) Thấy hệ số pt : a = ; c = A – ⇒ pt ln có nghiệm Theo vi- ét ta có x1 + x2 =2(m – 3) ; x1x2 = –1 Mà A=x12 – x1x2 + x22 = (x1 + x2 )2 – 3x1x2 = 4(m – 3)2 + ≥ ⇒ GTNN A = ⇔ m = Câu I0: (1,5 điểm) Giải phương trình x – 7x – = Cho phương trình x2 – 2x + m – = với m tham số Tìm giá trị m để phương 3 trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1 x + x1x = −6 Giải Câu I0: (1,5 điểm) Giải phương trình x – 7x – = có a – b + c = + – = suy x1= -1 x2= Cho phương trình x2 – 2x + m – = với m tham số Tìm giá trị m để phương 3 trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1 x + x1x = −6 Để phương trình có hai nghiệm x1; x2 ∆ ’ ≥  – m + ≥  m ≤ Theo viet ta có: x1+ x2 =2 (1) x1 x2 = m – (2) 3 Theo đầu bài: x1 x + x1x = −6 ⇔ x1x ( x1 + x ) − 2x1x = (3) Thế (1) (2) vào (3) ta có: (m - 3)(2) – 2(m-3)=6  2m =12  m = Không thỏa mãn điều kiện m ≤ khơng có giá trị m để phương trình có hai nghiệm x 1; x2 thỏa mãn 3 điều kiện x1 x + x1x = −6 Câu 11 (1,5 điểm) Cho phương trình x2 − 2(m+ 1)x + m− = 0, với x ẩn số, m∈ R a Giải phương trình cho m = – b Giả sử phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 mà không phụ thuộc vào m Giải Câu 11 Cho pt x2 − 2(m+ 1)x + m− = 0, với x ẩn số, m∈ R a Giải phương trình cho m = – Ta có phương trình x + 2x − = x + 2x − = ⇔ x + 2x + = ⇔ ( x + 1) = = ( 5) x +1 = −  x = −1 − ⇔ ⇔ x +1 = ⇔   x + =  x = −1 + Vậy phương trinh có hai nghiệm x = −1 − x = −1 + b  x + x = ( x1x + ) +  x1 + x = 2m + (1)  x + x = 2m + ⇔ ⇔ (2) m = x1x +  x1x = m −  m = x1 x + Suy x1 + x = ( x1x + ) + ⇔ x1 + x − 2x1x − = Theo Vi-et, ta có  II-CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập 14: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - = a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu d)Tìm hệ thức hai nghiệm phương trình khơng phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài tập 15: Cho phương trình bậc hai(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt f) Khi phương trình có nghiệm x = -1 tìm giá trị m tìm nghiệm cịn lại Bài tập 16:Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - Tìm nghiệm cịn lại c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thảo mãn: x12 + x22 = e) Tìm giá trị nhỏ A = x12 + x22 Bài tập 17: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + = a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm d) Tìm hệ thức liên hệ x1và x2 không phụ thuộc m Bài tập 18: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - = a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị a b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào a c) Tìm giá trị nhỏ nhật biểu thức A = x12 + x22 Bài tập 19: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x1 x2 - x12 - x22 Bài tập 20: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2 Bài tập 21: Cho phương trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + = a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1 d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Bài tập 22: Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phương trình mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mãn điều kiện x12 + x22 = Bài tập 23:Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để phương trình có 1 x1 + x nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn x + x = 2 Bài tập 24:Cho phương trình: mx - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m tham số) a) Xác định m để nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = b) Tìm hệ thức x1; x2 mà không phụ thuộc vào m Bài tập 25: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1) Tìm giá trị tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2 Bài tập 26: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = d) Tìm hệ thức x1, x2 mà không phụ thuộc vào m Bài tập 27: a) Với giá trị m hai phương trình sau có nhật nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó? x2 - (m + 4)x + m + = (1) x - (m + 2)x + m + = (2) b) Tìm giá trị m để nghiệm phương trình (1) nghiệm phương trình (2) ngược lại Bài tập 28: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – = Tìm m để x12 + x22 có giá trị nhỏ Bài tập 29: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm giá trị lớn biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Bài tập 30: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2(m - 2)x - 2m + = Tìm m để x12 + x22 có giá trị nhỏ Bài tập 31: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài tập 32: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m tham số) Tìm m cho nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn 10x1x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: f ( x ) + g ( x ) = a (Với f(x) > g(x)) Phương pháp giải: Xét trường hợp Trường hợp 1: g(x) ≥ f(x) > phương trình trở thành: f(x) + g(x) = a Giải tìm x so sánh điều kiện Trường hợp 2: f(x) > g(x) < phương trình trở thành: f(x) - g(x) = a Giải tìm x so sánh điều kiện Trường hợp 3: f(x) < phương trình trở thành: - f(x) - g(x) = a Giải tìm x so sánh điều kiện Sau kết luận Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a x − x −1 + x + x −1 = b x + x − + x + 8− x − = c x + − x −1 + x + − x −1 = Giải a Điều kiện x ≥ Đưa phương trình dạng: Trường hợp 1: x −1 −1 + x −1 −1 ≥ ⇔ x ≥ x −1 +1 = ⇔ x − − + x − + = 2( *) (Do x − + > 0) Khi phương trình (*) trở thành: x − = ⇔ x = (thỏa mãn) Trường hợp 2: x −1 −1 < ⇔ ≤ x < Khi phương trình (*) trở thành: − x − + + x − + = ⇔ = (luôn đúng) Kết hợp trường hợp ta ≤ x ≤ nghiệm phương trình Cách 2: Điều kiện x ≥ Ta thấy = x − + − ( ) x − − nên phương trình (*) xảy dấu “=” x −1 −1 ≤ ⇔ x ≤ Vậy ta ≤ x ≤ nghiệm phương trình b Điều kiện x ≥ Đưa phương trình dạng: Trường hợp 1: x −1 +1 + x −1 − = ⇔ x −1 +1+ x − − = 4( *) (Do x − + > 0) x − − ≥ ⇔ x ≥ 10 Khi phương trình (*) trở thành: x − = ⇔ x = 10 (thỏa mãn) Trường hợp 2: x − − < ⇔ ≤ x < 10 Khi phương trình (*) trở thành: x − + − x − + = ⇔ = (luôn đúng) Kết hợp trường hợp ta ≤ x ≤ 10 nghiệm phương trình Cách 2: Điều kiện x ≥ Ta thấy = x − + − ( ) x − − nên phương trình (*) xảy dấu “=” x − − ≤ ⇔ ≤ x ≤ 10 Vậy ta ≤ x ≤ 10 nghiệm phương trình c Điều kiện x ≥ Đưa phương trình dạng: Trường hợp 1: x −1 − + x − − = 5( *) x − ≥ ⇔ x ≥ 10 Khi phương trình (*) trở thành: x − = 10 ⇔ x = 26 (thỏa mãn) Trường hợp 2: ≤ x − < ⇔ ≤ x < 10 Khi phương trình (*) trở thành: x − − − x − + = ⇔ = (vô lý) Trường hợp 3: x −1 < ⇔ ≤ x < Khi phương trình (*) trở thành: − x − + − x − + = ⇔ x = (thỏa mãn) Kết hợp trường hợp ta x = x = 26 nghiệm phương trình Bài tập: Giải phương trình sau: x + + x − + x + − x − = (1 ≤ x ≤ 10 nghiệm phương trình) x − + x − + x + + x − = (Nhân hai vế với ta được: x = 15 nghiệm) x + 3− x − + x + 8+ x − = (1 ≤ x ≤ nghiệm phương trình) x + − x − + x + − x − = (5 ≤ x ≤ 10 nghiệm phương trình) DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ VẾ CÓ DẠNG: Phương pháp giải: Ta có: VT = f ( x ) + g ( x ) = h( x ) f ( x ) + g ( x ) ≥ a mà VP ≤ a Dấu “=” xảy VT = VP = a Bài tập: Giải phương trình sau: - x + x - = x - 12x + 38 ( Ta thấy VT ≤ 2; VP ≥ nên nghiệm phương trình x = 6) 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x (Vậy nghiệm phương trình x = -1) 3x − 18 x + 28 + x − 24 x + 45 = − x + x − (Vậy nghiệm phương trình x = 3) DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG: ( f ( x ) ) + ( g ( x ) ) + ( h( x ) ) + = Phương pháp giải: Dấu “=” xảy f(x) = g(x) = h(x) = … = Bài tập: Giải phương trình sau: x − + y − + z − = x + y + z + (x = 2; y = 6; z = 12) x − + y + + z − = ( x + y + z ) (x = 3; y = -2; z = 5) x + y − 1+ z − = ( x + y + z) (x = 1; y = 2; z = 3) x + y + z + 35 = 2.(2 x + + y + + z + 3) (x = 3; y = 7; z = 13) x−3 + y−4 + z−6 +5= x+y+z (x = 4; y = 5; z = 7) ( x + y + z ) (x = 3; y = -2008; z = 2011) x − + y + 2009 + z − 2010 = x + x + = 2 x + (Đưa dạng: ( x + 1) + ( ) 2 x + − = Ta có nghiệm x = -1) DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài tập: Giải phương trình sau: x+3 + 6− x − Đặt ( x + 3)( − x ) = Điều kiện: -3 ≤ x ≤ a + b − ab = x + = a( a ≥ ); − x = b( b ≥ 0) ta hệ phương trình  2 a + b = Giải ta tìm a = a = nên thay vào ta có x = -3 x = nghiệm x + x − x − 19 = x + 39 Điều kiện: x2 – 2x – 19 ≥ (*) Đặt a = x − x − 19 = a ( a ≥ 0) Khi đó: Ta phương trình: a2 + a – 20 = ⇔   a = −5 Thay a = giải ta có: x = x = -5 thỏa mãn điều kiện (*) x − + x + x + x + = + x − Điều kiện x ≥ Đặt x − = a( a ≥ ); x + x + x + = b( b ≥ ) ⇒ x − = a.b Khi ta có phương trình: a + b = + ab ⇔ (a - 1)(1 - b) = ⇔ a = b = Giải ta có: x = x = 0(loại x ≥ 1) a + b = x + + − x = ĐK: x ≤ Đặt ẩn đưa hệ  2 a + b = 10 Giải ta x = x = -1 ( )( ) x + − x + − x + x + 10 = (ĐK: x ≥ -2 Giải ta có: x = -1 x = -4(loại)) + x + − x = (ĐA: x = 1) x + x − + x + x − 5x = 20 a + b + a + ab = 20 x = a; x − = b ta có hệ  a − b = ĐK: x ≥ Đặt Giải ta được: x = DẠNG 5: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH Ví dụ: Giải phương trình: x − 3x + + x + = x + x − + x − Điều kiện: x ≥ Khi ta có: ⇒ x−2 ⇔ ( ) x −1 −1 = x + ( ( x − 1)( x − 2) − x−2 = ) ( )( x −1 −1 ⇔ x − − = ⇔ x = x ≥ x −1 −1 ) x−2 − x+3 = x − − x + < Vởy x = nghiệm phương trình ( x − 1)( x + 3) − x+3 ... chứng minh Ví dụ 1.5.4.Cho ba số a, b, c đôi khác Chứng minh tồn số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ (a + b + c)2 Lời giải: Giả sử ngược lại 9ab ≥ ( a + b + c ) ,9bc ( a + b + c ) ,9ca ( a + b + c ) 2 Cộng vế... 3.2 Bài tập Bài 1: Rút gọn biểu thức 1 492 − 762 1) 457 − 3842 2) +1 + 3+ + 4+ 3) 33 48 − 75 − +5 11 4) 9a − 16a + 49a 5) Víi a ≥ a a b + ab + b b a 6) 7) 8) − − + 80 + 48− 75− 243 3+ 2 − 6− 9) ... đường thẳng (D) B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài toán 1: Rút gọn biểu thức A Để rút gọn biểu thức A ta thực bước sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có) - Đưa bớt thừa số ngồi thức (nếu