PHẦN I: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ Chương I Những kiến thức I- Khái niệm Cho hàm số f(x) xác định miền D M gọi giá trị lớn f(x) miền D điều kiện sau đồng thới thoả mãn: x  D a, f(x)  M , b,  x0  D cho f(x0) = M Ký hiệu M = maxf(x), x  D M gọi giá trị nhỏ f(x) miền D điều kiện sau đồng thời thoả mãn: a, f(x)  M, x  D b,  x0  D cho f(x0) = M Ký hiệu M =minf(x), x  D II- Các kiến thức thường dùng: x2  với x Tổng quát [ f(x) ]2n  0, x  R, n  Z Suy ra: [ f(x) ]2n + M  M -[ f(x) ]2n + M  M a, x  với x b, x  y  x + y , dấu “=” xảy x, y dấu c, x  y  x - y , dấu xảy x,y dấu Chứng minh: a, x  Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối b, Ta có xy  xy  x  x  x2 + x y  xy y  2xy y + y2  x2 + 2xy + y2  ( x + y )2  ( x  y )2 Do x + y  ; x  y  Nên x + y  x  y Dấu xảy x, y dấu, x y c, Ta có: xy  xy  - xy  -xy Tương tự phần b ta chứng minh x - y  x y Dấu xảy x, y dấu, x y Bất đẳng thức Côsi ( Cauchy) dạng bất đẳng thức Côsi a, ( a + b )2  4ab, dấu xảy a = b b, a b  2 , ( a.b > ) dấu xảy a = b b a c, a + b  ab , ( a  0, b  ) dấu xảy a = b Hệ quả: + a  0, b  a + b = k ( khơng đổi ) Thì (a.b) đạt giá trị lớn a = b Hai số không âm có tổng khơng đổi tích lớn hai số + a  0, b  a.b = k ( không đổi ) Thì (a + b) đạt giá trị nhỏ a = b Hai số không âm có tích khơng đổi tổng nhỏ hai số Suy ra: Trong hình chữ nhật có diện tích hình xng có chu vi nhỏ Trong hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn Bất đẳng thức Bunhia cốpxki (ax + by)2  (a2 + b2) (x2 + y2) a x Dấu xảy b  y (a,b tỷ lệ với x, y) Chứng minh: Xét hiệu: (ax + by)2 – (a2 + b2) (x2 + y2) = a2x2 + b2y2 + 2abxy - a2x2 - a2y2- b2x2 - b2y2 = - (a2y2 - 2abxy - b2x2) = - (ay – bx)2  (ax + by)2  (a2 + b2) (x2 + y2) Do đó:  Dấu xảy ay = bx a x  b y Tổng quát: (a1x1 + a2x2 + … + anxn)2  a 12   a 2n  x 12   x 2n  a a a n Dấu xảy khi: x  x   x n III- Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp bất đẳng thức Đây phương pháp sử dụng nhiều, hay gặp Ở cần sử dụng kỹ biến đổi đồng nhất, bất đẳng thức để xuất dấu hiệu nhận biết khái niệm (Phần I), từ xác định giá trị lớn hay giá trị nhỏ biểu thức Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: f(x) = x2 + x + Với biểu thức miền D toàn miền xác định biểu thức, tập R Ta có: f(x) = x2 + x + = x2 + x + f(x) = (x +  4 3 ) +  4 Giá trị nhỏ biểu thức x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức A = x  4x  10 Nhận xét: x2 – 4x + 10 = (x-2)2 +6  6, x  D (D=R) Tử số dương Do đó: A lớn mẫu số đạt giá trị nhỏ Mẫu số có giá trị nhỏ x = Suy A đạt giá trị lớn x = Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn hàm số y = x -  - x Trước hết xác định miền D = {x  x  4} Ta viết y = x -  - x Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cốpxki ta có: y2  (12 + 12)(x – + - x) y2  Do y > nên max y = x-2 4-x 1 hay x =  D Vậy giá trị lớn y x = Phương pháp miền giá trị hàm số Giả sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y giá trị f(x) với x  D Điều có nghĩa phương trình f(x) = y phải có nghiệm với x  D Sau giải phương trình điều kiện có nghiệm thường dẫn đến bất đẳng thức: m  y0  M Từ suy ra: f(x) = m max f(x) = M Ví dụ 1: Trong cặp nghiệm phương trình: x2 – ( x2 + )y + 8x + = (1) Hãy tìm cặp nghiệm (x,y) cho y lớn Trước hết: (1)  (1-y)x2 + 8x + – y = (2) Nếu – y = y=1x =- Nếu – y  y   ’ = 16 - ( – y )( – y ) ’ = - y2 + 8y + ’ = ( + y )( – y ) (x,y) nghiệm phương trình (1) phương trình (2) phải có nghiệm Do ’   ( + y )( – y )  -1y9 Suy ra: max y = ’ = 0, x = Vậy cặp nghiệm thoả mãn toán (1; 9) Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A = x 1 x  1 Ta thấy (x2 + 1)2 > 0, x4 + > Nên A đạt giá trị lớn Ta có A  x  2x  x 1 Ta thấy rằng: 1 đạt giá trị nhỏ ngược lại A 2x x 1 2x 0 , x x 1 2x Nên 1  1 A x 1 nhỏ x = A Do A đạt giá trị lớn x = Lại có x4 – 2x2 +  x +  2x   2x 1 x 1 2x 1  2 A x 1 lớn x =  A Do A đạt giá trị nhỏ x =  Chú ý: a, Muốn tìm cực trị hàm số ta cần chứng minh f(x)  m f(x)  M mà phải tìm tồn biến để xảy dấu đẳng thức b, Nếu A = B + C + D + … (A, B, C, … biểu thức đại số) Để tìm cực trị A, ta tìm cực trị B, C, D… phải chứng minh với giá trị biến đồng thời biểu thức B, C, D,… đạt cực trị c, Khi tìm cực trị biểu thức A, có ta thay điều kiện để tìm cực trị biểu thức điều kiện tương đương để tìm cực trị biểu thức khác như: - A; A2; ; A  m ( m số )… A Chương II Những dạng toán thường gặp phương pháp giải I- Dạng 1: Đa thức bậc có chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a, A = x  b, B =  3x  c, C = x  1997  2000  x Bài giải a, A = x  Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có: x   0, x  A = x  đạt giá trị nhỏ x + =  x = -1 Vậy MinA =  x = -1 b, Ta có - 3x 0   3x  5 Vậy biểu thức B đạt giá trị – 3x =  x = Do MinB =  x = 4 c, Áp dụng bất đẳng thức: x  y  x  y Dấu bẳng xảy x, y dấu x y Suy ra: C = x  1997  2000  x  x  1997  2000  x C3 MinC = (x - 1997)(2000 - x)  x 1997 x - 1997 - 2000 - x + (x- 1997)(2000 - x) - 0 2000 + + + - + - Vậy minC = 1997  x  2000 Kết luận: Các toán thuộc dạng thường gặp lớp Với dạng cách giải thường tương đối dơn giản, cần áp dụng: + A 0, A + A  A + x  y  x  y , dấu xảy xy  + A = m f(x)  n , tồn maxA hay minA phụ thuộc vào dấu m Bài tập áp dụng: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a, A = 51  4x  b, B = x   x  c, C = x  a  x  b , với a < b d, D = x   x   x   x  e, G = x   x    x  1998 Tìm giá trị lớn biểu thức: a, H =  2x  1 b, I = x    Các toán cực trị - Lê Mộng Ngọc – 1996  II- Dạng 2: Đa thức bậc Ví dụ 1: a, Tìm giá trị nhỏ A = x2 + 4x + b, Tìm giá trị lớn B = + 6x – x2 Bài giải a, A = x2 + 4x + = x2 + 4x + – A = (x + 2)2 – Nhận xét: (x + 2)2   (x + 2)2 –  -3  A  -3 Vậy: minA = -3  x + = x = -2 b, B = + 6x – x2 = – x2 + 6x - + 10 B = - (x - 3)2 + 10  10 - (x - 3)2  0, x Vậy maxB = 10 x – = x=3 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức A = 2x2 – 20x + 53 Do A thoả mãn đẳng thức Nên phương trình 2x2 – 20x + 53 – A = có nghiệm Hay ’ = 100 – 2(53 – A) = 2A –   A Do minA =  ’ = x=5 Ví dụ 3: Với giá trị x, y a, D = 5x2 – 12xy + 9y2 – 4x + đạt giá trị nhỏ b, E = 15 – 10x – 10x2 + 24xy – 16y2 đạt giá trị lớn Bài giải a, D = 5x2 – 12xy + 9y2 – 4x + D = x2 – 4x + + 4x2 – 12xy + 9y2 D = (x – 2)2 + (2x – 3y)2  0, x, y  x 2   x   0  Nên dấu xảy     2x - 3y  0  y   x 2   minD =   y  b, E = 15 – 10x – 10x2 + 24xy – 16y2 E = - (x2 + 10x + 25) – (9x2 – 24xy +16y2) + 40 E = 40 – (x + 5)2 – (3x – 4y)2 Ta thấy (x + 5)2  0; (3x – 4y)2   x -5  x  0  Vậy E  40 Dấu xảy    - 15  3x  4y 0  y   x -5  Do maxE = 40  - 15  y  Kết luận: - Muốn tìm cực trị biểu thức A (đa thức bậc 2), ta viết biểu thức A dạng tổng biểu thức mà qua ta xét dấu cách thuận lợi Chẳng hạn A = m[f(x)]2 + n[g(x)]2 + p Tồn maxA hay minA phụ thuộc vào dấu m n - Dùng phương pháp miền giá trị thường đưa điều kiện để phương trình bậc có nghiệm Bài tập áp dụng: Tìm giá trị nhỏ của: A = 2x2 + 3x + B = 4x2 + 4x + 11 C = 2x2 – 20x + 53 Tìm giá trị nhỏ của: a, x2 + 2y2 – 2xy – 4y + b, 2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y + 2024 Tìm giá trị lớn của: a, -5x2 - 5y2 + 8x – 6y – b, - a2 - b2 + ab + 2a + 2b Tìm cặp số (x, y) thoả mãn phương trình: x2 + y2 + 6x – 3y – 2xy + = Sao cho y đạt giá trị lớn III- Dạng 3: Đa thức bậc cao Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ đa thức A = (x2 + x + 1)2 Nhận xét: Theo tính chất luỹ thừa bậc A  Nhưng giá trị nhỏ A x2 + x +  Ta có: x2 + x + = x2 + x + + 4 = (x + )2 +  x 4 Do A  (x2 + x + 1) Nên minA = ( )2 = x=  16 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ B = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + Ta thấy B = x4 – 6x3 + 9x2 + x2 – 6x + B = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2  x  3x 0  B  0, Dấu xảy  x=3  x  0 Vậy minB = x = Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3) Xét f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3) = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = (x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) f(x) = (x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) + – = (x2 + 3x + 1)2 –  f(x)  - 1, dấu xảy x2 + 3x + =  x1,2  Vậy minf(x) = -  x   3  3 Chú ý: Khi giải toán cực trị cần trả lời đầy đủ hai nội dung: Cực trị A xảy Chẳng hạn: Với A = (x2 x + 1)2   minA = Sai lầm khơng có giá trị x để A = Bài tập áp dụng: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a, B A y x H Mo M A' Gọi A’ điểm đối xứng với A qua xy Kẻ BA’ cắt xy Mo Ta thấy AMo = A’Mo Và AMo + BMo = A’B Gọi M điểm thuộc xy suy MA = MA’ Ta có MA + MB = MA’ + MB  A’B Dấu xảy A’, M, B thẳng hàng Hay M  Mo Vậy min(MA + MB) = A’B  M  Mo b, A B x N No y Lấy điểm N  xy Ta ln có NA  NB AB Dấu xảy B nằm A, N * Nếu AB // xy Do khơng tìm điểm N thoả mãn đầu * Nếu AB không song song với xy Gọi No giao điểm đường thẳng AB xy 26 Ta có max NA  NB AB  N N o No điểm cần tìm Ví dụ 2: Hai xóm A, B cách sơng Tìm địa điểm để bắc cầu qua sông cho quãng đường từ A đến B ngắn Bài tốn coi: Hai bờ sơng hai đường thẳng song song, cầu bắc vng góc với bờ sông để tiết kiệm nguyên vật liệu x A C Co d1 A' D d2 Do y N Biểu thị hai xóm A, B bên bờ sơng hai điểm A, B Hai bờ sông hai đường thẳng d1, d2 song song với Ta phải tìm địa điểm cầu CD cho: Tổng AC + CD + DB ngắn Ta thấy độ dài CD không đổi nên ta cần tìm vị trí điểm C, D cho AC + BD ngắn Qua A ta dựng đường thẳng xy vng góc với d1, d2  xy // CD Từ D kẻ đường thẳng song song với CA cắt xy A’ Như ACDA’ hình bình hành Do AC = A’D Khi DB + AC = DB + A’D  BA’ Dấu xảy B, D, A’ thẳng hàng Tức D  Do (Do giao điểm A’B với d2) Vậy địa điểm bắc cầu CoDo Ví dụ 3: Cho ABC O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Hãy tìm điểm M cho tổng MA + MB + MC + MO nhỏ 27 Bài giải Ta xét hai trường hợp: a, Tam giác ABC tam giác nhọn Nên tâm O nằm ABC A A (I) ( II ) O P O B B C C M Xét hình ( I ) Giả sử O điểm ABC, theo bất đẳng thức tam giác ta chứng minh được: OB + OC < AB + AC Xét hình ( II ) Khơng tính tổng qt ta giả sử điểm O  ACM  MA + MC  OA + OC hay MA + MC  2OA Dấu xảy M  O Xét MBO Có MB + MO  OB = OA Do MA + MB + MC + MO  3.OA = 3R Do min(MA + MB + MC + MO) = 3R  M  O b, Nếu tam giác ABC tam giác tù  O nằm tam giác ABC M Giả sử góc A tù A B O Mo C Ta có MA + MB + MC + MO = (MA + MO) + (MB + MC)  OA + BC 28 Dấu xảy M  OA M  BC hay M giao điểm OA BC Vậy MA + MB + MC + MO nhỏ M giao điểm OA BC (M  Mo) Bài tập áp dụng: Cho tam giác ABC cân A điểm D cố định đáy BC Dựng đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh bên E F cho DE + DF có giá trị nhỏ Cho góc nhọn xOy điểm M nằm góc cho M không thuộc Ox Oy Hãy xác địn điểm B Ox, điểm C Oy cho OB = OC MB + MC đạt giá trị nhỏ Cho góc vng xOy Điểm A thuộc miền góc Các điểm M N theo thứ tự chuyển động tia Ox, Oy cho MAN = 90 o Xác định vị trí M, N để MN có độ dài nhỏ Cho tam giác ABC O tâm đường tròn ngoại tiếp Hãy tìm điểm M cho tổng MA + MB + MC + MO nhỏ II- Dạng 2: Dùng tính chất đường vng góc đường xiên - Trong đoạn thẳng nối từ điểm nằm đường thẳng đến điểm nằm đường thẳng đó, đoạn vng góc với đường thẳng đoạn ngắn Suy ra: tam giác vuông cạnh huyền cạnh lớn - Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng đó, đường xiên có hình chiếu lớn lớn - Trong đoạn thẳng nối hai điểm nằm hai đường thẳng song song, đoạn thẳng vng góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Qua trọng tâm O tam giác dựng đường thẳng cho tổng khoảng cách từ đỉnh tam giác đến đường thẳng lớn 29 A d B' H' A' O C' C H B Gọi d đường thẳng qua O, H trung điểm BC nên O  AH Kẻ AA’, BB’, CC’, HH’ vng góc với d Tứ giác BB’C’C hình thang nhận HH’ đường trung bình Nên 2HH’ = BB’ + CC’ OAA’  OHH’  AA' OA  2 HH' OH Do AA’ = 2HH’ Suy ra: AA’ + BB’ + CC’ = 2HH’ + 2HH’ = 4HH’ = 2.AA’  2.OA Do max(AA’ + BB’ + CC’) = 2.OA  OA = AA’  d // BC (hoặc d // AB, d // AC) Như vậy: Qua O dựng đường thẳng song song với ba cạnh tam giác ABC tổng khoảng cách từ ba đỉnh tam giác đến đường thẳng lớn Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC M điểm nằm cạnh BC Gọi E, F hình chiếu M AB, AC Tìm vị trí điểm M để EF có độ dài nhỏ 30 A I F E M B C Gọi I trung điểm AM Khi IA = IM = IE = IF = Ta có EIF = EIM + MIF AM EIF = 2EAI + 2FAI EIF = 2A không đổi Tam giác EIF cân E, có góc đỉnh khơng đổi Nên cạnh đáy nhỏ cạnh bên nhỏ Mà IE = AM Do IE nhỏ  AM nhỏ  AM  BC Vậy M chân đường cao hạ từ A tam giác ABC EF có độ dài nhỏ Bài tập áp dụng: Cho góc vng xOy, điểm A thuộc miền góc Các điểm M, N chuyển động tia Ox, Oy cho MAN = 90 o Xác định vị trí điểm M, N để tổng AM + AN có độ dài: a, Nhỏ b, Lớn Cho tam giác ABC Tìm đường thẳng qua đỉnh A tam giác cho tổng khoảng cách từ B, C tới đường thẳng nhỏ 31 Cho tam giác ABC vuông cân A, cạnh huyền BC = 2a Một đường thẳng d qua A không cắt cạnh BC Gọi I K theo thứ tự hình chiếu B C d H trung điểm BC Tính diện tích lớn tam giác HIK Cho (O; R) có AB dây cung cố định khơng qua tâm O C điểm di động cung lớn AB (C không trùng với A, B) Gọi d tiếp tuyến C đường tròn (O; R), M N chân đường vuông góc kẻ từ A, B tới d Tìm vị trí điểm C cho khoảng cách MN dài nhất, ngắn III- Dạng 3: Sử dụng tính chất độ dài đường gấp khúc Độ dài đường gấp khúc nối điểm không nhỏ độ dài đoạn thẳng nối hai điểm Cho điểm A1, A2, …, An A1A2 + A2A3 + … + An-1An  A1An Dấu xảy A2, A3, …, An-1 nằm A1 An (kể từ A1 đến An) Ví dụ 1: Cho góc nhọn xOy điểm A góc Tìm điểm B thuộc Ox, C thuộc Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Thật vậy: Giả sử B C hai điểm Ox, Oy Ta phải tìm vị trí B, C cho chu vi tam giác ABC nhỏ Gọi A’, A” điểm đối xứng A qua Ox, Oy Do A’, A” cố định A" ta có: AB = A’B y AC = A”C Nên PABC = AB + AC + BC = A’B + A”C + BC  A’A” Co C A O B Bo x 32 A' Do minPABC = A’A”  B  Bo, C  Co Bo Co giao điểm A’A” với Ox, Oy Như ta cần dựng A’, A” đối xứng với A qua Ox, Oy, sau nối A’A” cắt Ox, Oy Bo, Co vị trí Bo, Co vị trí B, C cần tìm Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình vng (Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vng) Tìm điểu kiện để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ A B M K N J Q I D P C Gọi P chu vi hình tứ giác MNPQ I, J, K trung điểm PQ, QN, MN Như PQ = 2DI PN = 2IJ MQ = 2KJ MN = 2BK Do P = MN + NP + PQ + QM = 2KB + 2IJ + 2DI + 2KJ = 2(BK + KJ + JI + ID)  2BD Vậy minP = 2BD  MQ // BD, MN // AC, NP // BD, PQ // AC Khi MNPQ hình chữ nhật 33 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có góc nhỏ 120o Tìm điểm M nằm bên tam giác cho tổng MA + MB + MC có giá trị nhỏ C' A M' M B C Gọi M điểm tam giác ABC Thực phép quay tâm A, góc quay 60o ngược chiều kim đồng hồ Khi đó: M  M’ C  C’ AMM’ ACC’ tam giác Do AC’ = AC, MC = M’C’ Nên MA + MB + MC = MM’ + MB + M’C’  BC’ Nên min(MA + MB + MC) = BC’  B, M, M’, C’ thẳng hàng Khi AMB = 120o AMC = AM’C’ = 180o – 60o = 120o Còn lại BMC = 120o Vậy M giao hai cung chứa góc 120 o dựng hai cạnh tam giác ABC vào phía tam giác ABC Bài tập áp dụng: Cho hai đường trịn ngồi Đường nối tâm OO’ cắt hai đường tròn A, B A’, B’ (A, B  (O); A’, B’  (O’); A, A’ nằm B, B’) Chứng minh AA’ khoảng cách ngắn nhất, BB’ khoảng cách lớn tất khoảng cách nối hai điểm hai đường trịn 34 Cho hình chữ nhật ABCD Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình chữ nhật cho chu vi tứ giác có giá trị nhỏ Tam giác DEF gọi nội tiếp tam giác ABC ba đỉnh tam giác DEF nằm ba cạnh tam giác ABC Hãy tìm tam giác nội tiếp tam giác nhọn ABC cho trước cho có chu vi nhỏ IV- Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức đường trịn - Đường kính dây lớn đường tròn - Trong hai dây khơng đường trịn, dây lớn gần tâm Trong chương trình Trung Học Cơ Sở tốn đường tròn sử dụng với học sinh lớp Các tập loại tương đối phong phú, giải ta cần sử dụng tốt kiến thức học trực tiếp sách giáo khoa Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) điểm M nằm đường trịn (M khơng trùng với O) Qua M dựng dây AB cho độ dài a, Lớn b, Nhỏ Dựng điểm P đường trịn cho góc OPM lớn Bài giải 1.a, Theo định lý đường kính dây lớn đường tròn Nên cần dựng dây A’B’ qua M, O Thì A’B’ day cần phải dựng A’B’ dây qua M có độ dài lớn b, Giả sử AB dây qua M B' Ao O A M B H A' 35 Bo Hạ OH  AB Gọi AoBo dây qua M cho AoBo  OM Xét tam giác vng MOH Có: OM  OH  AB  AoBo Dấu xảy H  M Như dây AB có độ dài nhỏ AB  AoBo Hay A  Ao, B  Bo Giả sử PQ dây đường trịn Tam giác cân OPQ có hai cạnh bên khơng đổi o 180 - POQ OPM = Nên để góc OPM đạt giá trị lớn góc POQ đạt giá trị nhỏ P' O  PQ nhỏ  PQ  OM M P  PQ  P’Q’ Q M A' Qua M dựng đường thẳng vng góc với OM, Q' cắt (O) P’ Q’ Ta có vị trí P’ vị trí P cần xác định Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng góc A.M trung điểm BC Hai đường thẳng di động vng góc với M cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E Tìm giá trị nhỏ DE diện tích tam giác MDE A D B E O M C 36 Do tam giác ABC vuông A  AM = BC Tứ giác ADME tứ giác nội tiếp (O) đường kính DE Do DE  AM  minDE = AM  AM đường kính (O) Do AEM = 90o Suy ra: ME // AB  E trung điểm AC Tương tự MD // AC  D trung điểm AB Khi DE đường trung bình tam giác ABC Vậy đoạn DE ngắn DE đường trung bình tam giác ABC Ta lại có MDE = MAE Và tam giác AMC cân M Cho nên MAC = MCA  MDE = MCA Do tam giác vng ABC đồng dạng với tam giác vng MED Do đó: SABC BC  SMED ED Lại có tam giác ABC cố định  SABC BC không đổi  SMED nhỏ  ED nhỏ Theo câu a: SMED nhỏ  D, E trung điểm AB, AC Và ta có: BC = 2ED S ABC 4  S MED  minSMED = SABC Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O; R) Một tia Ax nằm hai tia AB AC cắt BC P cắt (O) E A Tìm vị trí tia Ax cho độ dài DE lớn nhất? Bài giải O D D1 B E x C E1 37 Ta có DE = AE – AD AE dây (O)  maxAE = 2R đường kính Nối AO kéo dài cắt BC D1, (O) E1  AD1  BC Ln có: AD  AD1 Dấu xảy D  D1 Tức minAD = AD1  AE  AE1 đường kính Như AE đạt cực đại đồng thời AD đạt cực tiểu Cho nên vị trí DE đạt giá trị lớn Vậy maxDE = D1E1 Ax qua tâm O Bài tập áp dụng: Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R) M điểm di động cung nhỏ BC Xác định vị trí M để tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh tam giác ABC có giá trị lớn Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Điểm M di chuyển nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A, B với nửa đường trịn C, D Tìm giá trị nhỏ tổng SACM + SBDM Trong tất tam giác ABC có độ dài cạnh BC góc A khơng đổi Hãy tìm tam giác có chu vi lớn Trong hình chữ nhật có đường chéo d khơng đổi, hình có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn V- Dạng 5: Sử dụng bất đẳng thức đại số Khi giải toán cực trị hình học có số trường hợp ta phải đưa biểu thức đại số 38 Khi ta vận dụng cách tìm cực trị biểu thức đại số cách sử dụng bất đẳng thức, phương pháp tìm cực trị phần I với điều kiện cụ thể yếu tố hình học tốn Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có diện tích S Các điểm D, E, F thứ tự thuộc cạnh AB, BC, AC cho AD = k.AB, BE = k.BC, CF = k.CA a, Tính diện tích tam giác DEF theo S k b, Với giá trị k diện tích tam giác DEF có giá trị nhỏ A F D B E C a, Hai tam giác ABC ACD có đường cao hạ từ C đến AB đó: SACD AD  k SABC AB  SACD = k.SABC = k.S Tương tự SCDF = k.SACD = k2.S Nên SADF = k.S – k2S = k(1 – k)S Tương tự SBDE = k(1 – k)S SCEF = k(1 – k)S Do đó: SDEF = S – 3k(1 – k)S = [1 – 3k(1 – k)]S b, Do S không đổi Nên SDEF đạt giá trị nhỏ [1 – 3k(1 – k)] đạt giá trị nhỏ Ta có: – 3k(1 – k) = 3k2 – 3k + 1 = 3(k2 – k +  = 3(k – ) 12 1 ) +  4 Dấu xảy k = 39 Vậy minSDEF = 1 Sk= Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Gọi x, y, z theo thứ tự khoảng cách từ điểm M tam giác tới cạnh BC, AC, AB a b c Xác định vị trí điểm M để tổng x  y  z có giá trị nhỏ A z b y c M x a B C Gọi S diện tích tam giác ABC  S = SMBC + SMAC + SMAB S=  (ax + by + cz) ax + by + cz = 2S Ta xét biểu thức a b c P = (ax + by + cz)( x  y  z ) x y y z x z z x = a2 + b2 + c2 + ab( y  x ) + bc( z  y ) + ca(  ) Theo bất đẳng thức côsi Với x, y, z > x y  2 , dấu xảy x = y y x Ta có: y z  2 , dấu xảy y = z z y x z  2 , dấu xảy x = z z x Do P  a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc a b c Hay 2S( x  y  z )  (a + b + c)2 40 ... giá trị cố định khơng đổi y - Giải tốn cực trị hình học phải rõ vị trí hình học y để y đạt giá trị nhỏ y = y1 hay y = y2 II- Các phương pháp giải tốn cực trị hình học 21 Người ta giải tốn cực trị. .. thức đại số Khi giải tốn cực trị hình học có số trường hợp ta phải đưa biểu thức đại số 38 Khi ta vận dụng cách tìm cực trị biểu thức đại số cách sử dụng bất đẳng thức, phương pháp tìm cực trị phần... hợp để tìm cực trị đại lượng A, ta chia A thành tổng A = B + C + D + … tìm cực trị B, C, D… Từ suy cực trị A Ta cần chứng minh A đạt cực trị đồng thời B, C, D đạt cực trị - Nếu toán cho có nhiều