cos  x  OH sin  y  OK sin tan   AT cos cos cot   BS sin sin I Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác Định nghĩa giá trị lượng giác Cho (OA,OM )   Giả sử M (x; y) tang I CHỦ ĐỀ GÓC, CUNG VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC B K �  �  �  k � � � � T cotang S M    �k  O H A cosin Nhận xét:   ,  �cos �1;  1�sin �1   tan xác định  �  k , k �Z  cot xác định  �k , k �Z  sin(  k2 )  sin  tan(  k )  tan cot(  k )  cot cos(  k2 )  cos Dấu giá trị lượng giác Phần tư Giá trị lượng giác cos sin tan cot I II III IV + + + + – + – – – – + + + – – – Giá trị lượng giác cung góc liên quan Hai cung đối nhau: cos(-a) = cosa sin(-a) = -sina tan(-a) = -tana cot(-a) = -cota Hai cung bù sin(  -a) = sina cos(  -a) = -cosa tan(  -a) = -tana cot(  -a) = -cota Hai cung phụ  cos( -a) = sina  sin( -a) = cosa  tan( -a) = cota  cot( -a) = tana Cung  tan(a+  ) = tana cot(a+  ) = cota cos(a+  ) =- cosa sin(a+  ) = -sina Phương trình có công thức nghiệm  , k Z cosa=  a=  k , k Z cosa=  a= k 2  cosa=-1  a=   k 2 sina= -1  a =   k 2 , k Z sina=  a =k   sina=  a=  k 2 , k Z , k Z , k Z CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HAY DÙNG Công thức Cơng thức nhân đơi Cơng thức thành tích sin2a + cos2a = tan a  sin2a = sina.cosa cos2a = cos2a – sin2a = cos2a – = – sin2a sin a cos a ; cot a  cos a sin a 1  tan a cos a 1  cot a sin a suy  cos2a  c os2 a sin2a = cos2a = Công thức cộng sina.cosb �cosa.sinb = sin(a �b) cosa.cosb �cosa.cosb = cos(a mb)  suy sina �cosa = sin(a � )  cosa �sina = cos(a m ) Công thức nhân ba sin3a = sina – sin3a cos3a = cos3a - cosa a b a b cos 2 a b a b cosa - cosb = - sin sin 2 a b a b sina + sinb = sin cos 2 a b a b sina - sinb = cos sin 2 Tích thành tổng cosa.cosb = [cos(a-b)+cos(a+b)] sina.sinb = [cos(a-b)-cos(a+b)] sina.cosb = [sin(a-b)+sin(a+b)] Công thức khác sin2x = (sinx cosx)2 cosa + cosb = cos cos2x = (cosx+sinx) (cosx-sinx) DẠNG 1: Dấu giá trị lượng giác Để xác định dấu giá trị lượng giác cung (góc) ta xác định điểm nhọn cung (tia cuối góc) thuộc góc phần tư áp dụng bảng xét dấu GTLG Bài Xác định dấu biểu thức sau: a) A = sin500.cos(3000) c) C = cot � 2 � 3 sin�  � � 3� 21 4  4 9 d) D = cos sin tan cot 3 b) B = sin2150.tan Bài Cho 00    900 Xét dấu biểu thức sau: a) A = sin(  900) b) B = cos(  450) c) C = cos(2700   ) d) D = cos(2  900)  Xét dấu biểu thức sau: a) A = cos(   ) b) B = tan(   ) � 2 � � 3 � c) C = sin�  d) D = cos�  � � � 5� � 8� Bài Cho    Bài Cho tam giác ABC Xét dấu biểu thức sau: a) A = sin A  sin B  sinC b) B = sin A.sin B.sinC A B c) C = cos cos cos C d) D = tan A B C  tan  tan 2 DẠNG 2: Tính giá trị lượng giác góc (cung) Ta sử dụng hệ thức liên quan giá trị lượng giác góc, để từ giá trị lượng giác biết suy giá trị lượng giác chưa biết I Cho biết GTLG, tính GTLG lại Cho biết sin , tính cos , tan , cot  Từ sin2   cos2    cos  � 1 sin2  – Nếu  thuộc góc phần tư I IV cos  1 sin2  – Nếu  thuộc góc phần tư II III cos   1 sin2   Tính tan  sin ; cos cot  Cho biết cos , tính sin , tan , cot tan  Từ sin2   cos2    sin  � 1 cos2  – Nếu  thuộc góc phần tư I II sin  1 cos2  – Nếu  thuộc góc phần tư III IV sin   1 cos2   Tính tan  sin ; cos cot  Cho biết tan , tính sin , cos , cot  Tính cot   Từ cos2  tan tan  1 tan2   cos  � 1 tan2  – Nếu  thuộc góc phần tư I IV cos  1 tan2  – Nếu  thuộc góc phần tư II III cos   1 tan2   Tính sin  tan cos Cho biết cot , tính sin , cos , tan  Tính tan   Từ sin2  cot  1 cot2   sin  � 1 cot2  – Nếu  thuộc góc phần tư I II sin  1 cot2  – Nếu  thuộc góc phần tư III IV sin   1 cot2  II Cho biết giá trị lượng giác, tính giá trị biểu thức  Cách 1: Từ GTLG biết, tính GTLG có biểu thức, thay vào biểu thức  Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG biết III Tính giá trị biểu thức lượng giác biết tổng – hiệu GTLG Ta thường sử dụng đẳng thức để biến đổi: A2  B2  ( A  B)2  2AB A4  B4  (A2  B2)2  2A2B2 A3  B3  (A  B)(A2  AB  B2) A3  B3  ( A  B)(A2  AB  B2) IV Tính giá trị biểu thức cách giải phương trình  Đặt t  sin2 x, �t �1  cos2 x  t Thế vào giả thiết, tìm t Biểu diễn biểu thức cần tính theo t thay giá trị t vào để tính  Thiết lập phương trình bậc hai: t2  St  P  với S  x  y; P  xy Từ tìm x, y Bài Cho biết GTLG, tính GTLG lại, với: a) cosa  , 2700  a  3600 b) cos  ,     ,  a  13 3 e) tana  3,   a  c) sina  g) cot150   3 d) sin   , 1800    2700    3 h) cot  3,     f) tan  2, DẠNG 3: Tính giá trị lượng giác biểu thức cung liên kết Sử dụng công thức góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết) Bài Rút gọn biểu thức sau: � �2 � � a) A  cos�  x�  cos(2  x)  cos(3  x) �7 � �3 �  x� cot �  x� �2 � �2 � � � �3 � � � c) C  2sin�  x�  sin(5  x)  sin�  x� cos�  x� �2 � �2 � �2 � �3 � �3 � d) D  cos(5  x)  sin�  x�  tan�  x� cot(3  x) �2 � �2 � b) B  2cos x  3cos(  x)  5sin� DẠNG 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng hệ thức bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác Trong biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng đẳng thức Chú ý: Nếu biểu thức lượng giác góc A, B, C tam giác ABC thì: A  B  C   A B C     2 2 Bài Chứng minh đẳng thức sau: a) sin4 x  cos4 x  1 2cos2 x b) sin4 x  cos4 x  1 2cos2 x.sin2 x c) sin6 x  cos6 x  1 3sin2 x.cos2 x d) sin8 x  cos8 x  1 4sin2 x.cos2 x  2sin4 x.cos4 x e) cot2 x  cos2 x  cos2 x.cot2 x f) tan2 x  sin2 x  tan2 x.sin2 x g) 1 sin x  cos x  tan x  (1 cos x)(1 tan x) Bài Chứng minh đẳng thức sau: a) tana.tan b  c) 1 tana  tan b cot a  cot b sin2 a cos2 a   sina.cosa 1 cot a 1 tana Bài 3.Tính giá trị biểu thức lượng giác, biết: �  �khi sin  ,     3� � � 12 3 b) cos�   �khi sin   ,    2 �3 � 13 � � a) tan�  sina cosa 1 cot2 a   sina  cosa cosa  sina 1 cot2 a sin2 a sina  cosa d)   sina  cosa sina  cosa tan2 a  b) 38 25 11 (5 12 3) ĐS: 26 ĐS: Bai 4.Chứng minh hệ thức sau: a) sin4  cos4 x   cos4x 4 b) sin6 x  cos6 x   cos4x 8 Bai 5.Rút gọn biểu thức sau: cos7x  cos8x  cos9x  cos10x sin7x  sin8x  sin9x  sin10x 1 cos x  cos2x  cos3x c) C  cos x  2cos2 x  a) A  sin2x  2sin3x  sin4x sin3x  2sin4x  sin5x sin4x  sin5x  sin6x d) D  cos4x  cos5x  cos6x b) B  Bai 6.Cho tam giác ABC Chứng minh: A B C cos cos 2 A B C b) cos A  cosB  cosC  1 4sin sin sin 2 c) sin2A  sin2B  sin2C  4sin A.sin B.sinC a) sin A  sin B  sinC  4cos Bai 7.Tìm góc tam giác ABC, biết:  va� sin B.sinC  2 1 b) B  C  va� sinB.cosC  a) B  C  Đáp án tập Dạng 1: Bài a) b) c) d) Bài a) b) c) d) Bài a) b) c)    , C  , A  5  ĐS: A  , B  ,C 12 ĐS: B  d) Bài Vì nên Do đó: Mặt khác: ⇒ Do đó: Dạng Bài a) Vì α thuộc góc phần tư IV nên: ⇒ b) Vì α thuộc góc phần tư IV nên: ⇒ c) Vì α thuộc góc phần tư II nên: ⇒ d) Vì α thuộc góc phần tư III nên: ⇒ e) ⇒ Vì α thuộc góc phần tư III nên: ⇒ f) ⇒ Vì α thuộc góc phần tư II nên: ⇒ g) ⇒ ; h) Vì α thuộc góc phần tư III nên: ⇒ Dạng Bài a) b) c) ; d) Dạng Bài a) b) (luôn đúng) c) d) e) f) g) Bài a) b) Xét c) d) Bài a) Vì ⇒ b) thuộc góc phần tư II nên (đáp số đề bị sai) Vì thuộc góc phần tư IV nên ⇒ Bài a) Đặt ⇒ b) Bài a) b) c) d) (đpcm) Bài a) b) c) Bài a) Ta có: ⇒ ⇒ ⇒ b) Ta có: ⇒ Mặt khác có (2) Từ (1) (2) suy ... gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng hệ thức bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác Trong biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng đẳng thức Chú...  tan  tan 2 DẠNG 2: Tính giá trị lượng giác góc (cung) Ta sử dụng hệ thức liên quan giá trị lượng giác góc, để từ giá trị lượng giác biết suy giá trị lượng giác chưa biết I Cho biết GTLG, tính... trị lượng giác, tính giá trị biểu thức  Cách 1: Từ GTLG biết, tính GTLG có biểu thức, thay vào biểu thức  Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG biết III Tính giá trị biểu thức lượng giác