BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - ĐỖ THẾ SƠN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT KHƠNG GIAO HỐN Chun ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê tốn học Mã số: 9460106 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2020 Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: GS TS Nguyễn Văn Quảng TS Lê Hồng Sơn Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp Trường Trường Đại học Vinh Vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào thuộc Trường Đại học Vinh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Các định lý giới hạn nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu có nhiều ứng dụng thống kê, kinh tế, y học số ngành khoa học thực nghiệm khác Định lý giới hạn dạng luật số lớn nghiên cứu cho nhiều đối tượng khác Chẳng hạn, luật số lớn cho biến ngẫu nhiên đơn trị, biến ngẫu nhiên đa trị, biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập mờ; luật số lớn lý thuyết trò chơi, xác suất khơng giao hốn Trong đó, định lý giới hạn xác suất khơng giao hốn thu hút quan tâm nhiều tác giả đạt kết định 1.2 Lý thuyết tích phân khơng giao hốn bắt đầu nghiên cứu vào năm 1952-1953 Segal Sau đó, tiếp tục nghiên cứu Kunze (1958), Stinespring (1959), Nelson (1974), Yeadon (1979) Trên sở lý thuyết tích phân khơng giao hốn, lý thuyết xác suất khơng giao hoán nghiên cứu Batty (1979), Padmanabhan (1979), Luczak (1985), Jajte (1985) tiếp tục quan tâm Trong xác suất khơng giao hốn, khơng có khơng gian xác suất bản, thay nghiên cứu biến ngẫu nhiên ta nghiên cứu toán tử đại số von Neumann toán tử đo Do phép nhân tốn tử khơng có tính giao hốn khơng thể nói max, toán tử nên để nghiên cứu vấn đề lý thuyết xác suất khơng giao hốn, cần có cơng cụ kỹ thuật 1.3 Luật số lớn xác suất không giao hốn nghiên cứu theo hai hướng chính: tốn tử bị chặn đại số von Neumann với trạng thái tốn tử đo với trạng thái vết Khó khăn hướng thứ tính chất hạn chế trạng thái, hướng thứ hai tính khơng bị chặn tốn tử đo làm nảy sinh nhiều vấn đề phức tạp Các đặc điểm góp phần tạo nên đa dạng vấn đề cần quan tâm, nghiên cứu định lý giới hạn xác suất khơng giao hốn 1.4 Do yêu cầu nhiều toán nảy sinh từ lý thuyết vật lý lượng tử, vấn đề toán tử bị chặn đại số von Neumann toán tử đo được nghiên cứu sôi từ năm bảy mươi kỷ trước tiếp tục nghiên cứu Chính vậy, việc nghiên cứu định lý giới hạn xác suất khơng giao hốn khơng có ý nghĩa lý thuyết mà có ý nghĩa thực tiễn Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Một số định lý giới hạn xác suất không giao hốn” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận án thiết lập số định lý giới hạn dạng luật số lớn cho dãy mảng toán tử đo điều kiện khác Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án toán tử đo luật số lớn cho toán tử đo trạng thái vết xác suất không giao hoán Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu định lý giới hạn dạng luật số lớn toán tử đo dạng hội tụ khác như: hội tụ hầu hai phía, hội tụ LP , hội tụ theo độ đo; nghiên cứu mở rộng khái niệm khả tích sang khơng gian xác suất khơng giao hốn Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phối hợp phương pháp lý thuyết xác suất chứng minh luật số lớn kỹ thuật lý thuyết toán tử như: phương pháp chặt cụt, phương pháp dãy con, kỹ thuật biểu diễn phổ toán tử Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu định lý giới hạn lý thuyết xác suất không giao hoán Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Trong luận án này, nghiên cứu định lý giới hạn dạng luật số lớn dãy mảng toán tử đo Đối với luật mạnh số lớn, thiết lập số luật mạnh số lớn cho dãy toán tử đo dương Sử dụng kết này, chứng minh số luật mạnh số lớn dãy toán tử đo độc lập đôi phân phối không phân phối Tiếp đến, chứng minh điều kiện tương đương khả tích dãy toán tử đo Dựa vào kết đó, chúng tơi xây dựng số khái niệm khả tích dãy tốn tử đo xác suất khơng giao hốn Cuối cùng, luật mạnh số lớn dãy toán tử độc lập đơi khả tích mạnh Cesàro mức α nghiên cứu Đối với luật yếu số lớn, trước hết nghiên cứu hội tụ L1 dãy toán tử đo được, khả tích Cesàro dư mức α độc lập đơi m-phụ thuộc Sau đó, chúng tơi xây dựng khái niệm: khả tích theo nghĩa Cesàro, h-khả tích tương ứng với mảng số {ani } h-khả tích với mũ r mảng tốn tử đo Cuối cùng, thiết lập số định lý hội tụ trung bình luật yếu số lớn cho mảng toán tử đo từ khái niệm 7.2 Cấu trúc luận án Ngoài phần: Một số kí hiệu thường dùng luận án, Mở đầu, Kết luận chung kiến nghị, Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án, nội dung luận án trình bày ba chương Chương dành để trình bày số kiến thức chuẩn bị làm sở cho nghiên cứu luận án Chương nghiên cứu số định lý giới hạn dạng luật mạnh số lớn dãy toán tử đo Chương nghiên cứu định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn dãy mảng toán tử đo CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, giới thiệu số kiến thức lý thuyết xác suất khơng giao hốn 1.1 Tốn tử khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Giả sử D không gian H, tốn tử tuyến tính T : D → H gọi toán tử xác định phận H Nếu miền xác định D(T ) toán tử T trù mật H T gọi toán tử xác định trù mật H Một toán tử xác định phận (hoặc xác định trù mật) H bị chặn khơng bị chặn Toán tử xác định trù mật H gọi tốn tử đóng đồ thị khơng gian đóng H × H Định lý 1.1.2 Nếu T toán tử tự liên hợp xác định phận H tồn khai triển đơn vị E xác định tập Borel B tập số thực R cho +∞ T (x), y = λdEx,y (λ) (x ∈ D(T ), y ∈ H) (1.1) −∞ Hơn nữa, E tập trung σ(T ) ⊂ (−∞, +∞), tức E σ(T ) = Công thức (1.1) gọi biểu diễn phổ toán tử T thường +∞ viết dạng: T = +∞ λdE(λ) T = −∞ λedλ (T ) −∞ Khai triển đơn vị E Định lý 1.1.2 gọi phép phân tích phổ tốn tử T E(B) gọi phép chiếu phổ toán tử T tương ứng với tập Borel B tập số thực R, ta viết E(B) = eB (T ) 1.2 Đại số von Neumann Định nghĩa 1.2.1 Một đại số A L(H) gọi đại số von Neumann nếu: i) A đóng phép liên hợp, nghĩa T ∈ A T ∗ ∈ A; ii) A chứa toán tử đồng 1; iii) A đóng yếu, nghĩa dãy suy rộng {Ti } ⊂ A Ti → T theo tơpơ tốn tử yếu T ∈ A Định nghĩa 1.2.2 Giả sử A ⊂ L(H) đại số von Neumann Ký hiệu A+ = {X ∈ A : X ≥ 0} τ : A → C phiếm hàm tuyến tính Khi i) τ gọi dương τ (X) ≥ 0, ∀X ∈ A+ ii) τ gọi xác τ (X) = suy X = với X ∈ A+ iii) τ gọi trạng thái τ dương τ (1) = iv) Trạng thái τ gọi chuẩn tắc với dãy suy rộng {Xi } ⊂ A+ , Xi ↑ X (theo tơpơ tốn tử mạnh) có τ (Xi ) ↑ τ (X) v) Trạng thái τ gọi trạng thái vết τ (XY ) = τ (Y X), ∀X, Y ∈ A; τ (p ∨ q) 1.3 τ (p) + τ (q), ∀p, q ∈ P rojA Toán tử đo Định nghĩa 1.3.1 Giả sử tốn tử đóng xác định trù mật X H có phân tích cực X = U |X| Khi đó, tốn tử X gọi liên kết với đại số von Neumann A U thuộc A phép chiếu phổ toán tử |X| thuộc A Ký hiệu A tập toán tử liên kết với đại số von Neumann A Mỗi phần tử X ∈ A gọi toán tử đo Định nghĩa 1.3.2 Giả sử A ⊂ L(H) đại số von Neumann với trạng thái vết chuẩn tắc, xác τ Với P ≥ 1, ta gọi không gian Banach phần tử A, ký hiệu LP (A, τ ), tập phần tử thuộc A thỏa mãn ||X||P = [τ (|X|P )] P < ∞ Để thống nhất, A ký hiệu L0 (A, τ ) Khi đó, với ≤ P ≤ Q < ∞, có bao hàm thức A ≡ L∞ (A, τ ) ⊂ LQ (A, τ ) ⊂ LP (A, τ ) ⊂ ⊂ L0 (A, τ ) = A 1.4 Các dạng hội tụ độc lập Trong mục này, gọi A ⊂ B(H) đại số von Neumann với trạng thái vết chuẩn tắc, xác τ L0 (A, τ ) đại số toán tử đo tương ứng Định nghĩa 1.4.1 Dãy {Xn , n ≥ 1}) ⊂ L0 (A, τ ) gọi hội tụ τ theo độ đo đến X ∈ L0 (A, τ ), ký hiệu Xn → − X , với ε > 0, τ e(ε,∞) (|Xn − X|) −→ n −→ ∞ Định nghĩa 1.4.2 Dãy {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) gọi hội tụ LP LP đến X ∈ L0 (A, τ ), ký hiệu Xn −→ X , τ |Xn − X|P −→ n −→ ∞ Định nghĩa 1.4.3 Dãy {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) gọi hội tụ hầu a.u đến X ∈ L0 (A, τ ), ký hiệu Xn −−→ X , với ε > 0, tồn phép chiếu p ∈ A cho τ (p⊥ ) < ε, (Xn − X)p ∈ A lim (Xn − X)p n→∞ ∞ = Định nghĩa 1.4.4 Dãy {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) gọi hội tụ hầu b.a.u hai phía đến X ∈ L0 (A, τ ), ký hiệu Xn −−−→ X , với ε > 0, tồn phép chiếu p ∈ A cho τ (p⊥ ) < ε, p(Xn − X)p ∈ A lim p(Xn − X)p n→∞ ∞ = Kết luận chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau: - Trình bày tóm tắt số khái niệm tính chất tốn tử khơng gian Hilbert; - Chứng minh số tính chất toán tử đo được; - Hệ thống số dạng hội tụ xác suất khơng giao hốn mối quan hệ chúng; - Trình bày số khái niệm độc lập dãy mảng toán tử đo 11 lập liên tiếp với hội tụ hầu chứng minh Klimczak (2012) Định lý 2.1.3 Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ LP (A, τ ) (P ≥ 1) dãy toán tử dương Nếu (i) sup n≥1 τ (Sn ) cho với phép chiếu p ∈ A, τ (p) < δ sup τ (|Xn |p) < ε (2.13) n≥1 sup τ (|Xn |) < ∞ (2.14) n≥1 (iv) lim sup τ |Xn |e(a,∞) (|Xn |) = a→∞ n≥1 Định nghĩa 2.3.3 Dãy toán tử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) gọi khả tích Cesa `ro, ký hiệu CUI, lim sup c→∞ n≥1 n n τ |Xk |e(c,∞) (|Xk |) k=1 = (2.15) 15 Dựa vào Định lý 2.3.2, ta dễ dàng thấy dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện UI thỏa mãn điều kiện CUI Mệnh đề sau phiên khơng giao hốn tiêu chuẩn khả tích Cesa `ro Chandra Goswami (1992) Mệnh đề 2.3.4 (Dạng khơng giao hốn tiêu chuẩn khả tích Cesa `ro) Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy toán tử đo Các khẳng định sau tương đương: (i) {Xn , n ≥ 1} CUI (ii) Tồn hàm lồi* φ ∈ Φ, cho sup n≥1 n n τ [φ(|Xk |)] = M < ∞ (2.16) k=1 * Tính chất khơng sử dụng trường hợp (ii) ⇒ (i) Định nghĩa 2.3.5 Giả sử α số thực dương Khi đó, dãy toán tử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) gọi là: (i) Khả tích Cesa `ro mức α, ký hiệu CI(α), sup n≥1 n lim n→∞ n n τ |Xi | 0, CUI =⇒ CI(α) SCUI =⇒ SCI(α) Bổ đề 2.3.6 Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy toán tử đo α số thực dương Khi (i) Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện CUI thỏa mãn điều kiện CI(α) (ii) Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện SCUI thỏa mãn điều kiện SCI(α) Định nghĩa 2.3.7 Giả sử α số thực dương Khi đó, dãy tốn tử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) gọi là: (i) Khả tích Cesa `ro dư mức α, ký hiệu RCI(α), sup n≥1 n lim n→∞ n n τ |Xi | Định lý 2.3.8 Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) dãy toán tử tự liên hợp, độc lập đôi Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện SCI(α) với α ∈ (0, ) Sn − τ (Sn ) b.a.u −−−→ n → ∞ n Bổ đề 2.3.6 cho thấy với α > 0, điều kiện SCI(α) yếu điều kiện SCUI Vì vậy, ta hệ sau mở rộng Định lý Chandra (1992) Hệ 2.3.9 Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) dãy toán tử tự liên hợp độc lập đôi Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện SCUI Sn − τ (Sn ) b.a.u −−−→ n → ∞ n Kết luận chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau: - Thiết lập số luật mạnh số lớn dãy toán tử đo dương; - Chứng minh số luật mạnh số lớn dãy toán tử đo độc lập đôi phân phối không phân phối; - Thiết lập điều kiện tương đương dãy toán tử đo khả tích đều; - Xây dựng số khái niệm khả tích xác suất khơng giao hốn mối quan hệ chúng; - Chứng minh luật mạnh số lớn dãy toán tử đo độc lập đơi thoả mãn điều kiện khả tích mạnh mức α 18 CHƯƠNG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN DẠNG LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY VÀ MẢNG CÁC TOÁN TỬ ĐO ĐƯỢC Trong chương này, nghiên cứu định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn dãy mảng toán tử đo 3.1 Luật yếu số lớn dãy toán tử đo Trong mục thiết lập số định lý hội tụ L1 Chúng ta biết hội tụ L1 kéo theo hội tụ theo độ đo Vì vậy, từ định lý mục nhận kết dạng luật yếu số lớn dãy toán tử đo Định lý 3.1.1 Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) dãy toán tử tự liên hợp độc lập đôi Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện RCI(α) với α ∈ (0, 1) Sn − τ (Sn ) L1 −→ n → ∞ n Áp dụng Định lý 3.1.1, ta dễ dàng nhận hệ sau Hệ 3.1.2 [Định lý 4.1(b), Lindsay Pata (1997)] Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) dãy toán tử tự liên hợp, độc lập đôi Với n ≥ 1, n Xi e[0,n] (|Xi |) đặt Sn = i=1 19 Nếu K(a) := sup a Xi e(a,∞) (|Xi |) i → a → ∞ Sn − τ (Sn ) L1 −→ n → ∞ n Tương tự xác suất giao hốn, ta nói dãy toán tử đo {Xn , n ≥ 1} m-phụ thuộc đôi Xi Xj độc lập |i − j| > m Định lý 3.1.3 Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) dãy toán tử tự liên hợp m-phụ thuộc đôi Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện RCI(α) với α ∈ (0, 1) Sn − τ (Sn ) L1 −→ n → ∞ n 3.2 Luật yếu số lớn mảng toán tử đo Trong mục này, tiếp tục xây dựng số khái niệm số dạng khả tích mảng tốn tử đo Sau đó, thiết lập số định lý hội tụ trung bình luật yếu số lớn cho mảng tốn tử đo điều kiện thích hợp Sau chúng tơi trình bày số bổ đề sử dụng để chứng minh định lý mục Chứng minh Bổ đề 3.2.1 sau tương tự cách chứng minh Bổ đề 2.1 Wu Guan (2011) bỏ qua Bổ đề 3.2.1 Giả sử {Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ 1} mảng toán tử đo r > Gọi {h(n), n ≥ 1} dãy tăng số dương với h(n) ↑ ∞ 20 n → ∞ Gọi {ani , un ≤ i ≤ , n ≥ 1} mảng số thực thỏa mãn h(n) supun ≤i≤vn |ani |r → n → ∞ Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: |ani |r τ (|Xni |r ) < ∞, (i) sup (3.1) n≥1 i=u n |ani |r sup yτ e(y1/r ,∞) (|Xni |) = (ii) lim n→∞ (3.2) y≥h(n) i=un Khi với β > r, ta có |ani |β τ |Xni |β e[0,kn1/r ] (|Xni |) = 0, lim n→∞ i=un kn = 1/ supun ≤i≤vn |ani |r −1/r Lấy ani = kn với un ≤ i ≤ n ≥ Bổ đề 3.2.1, ta nhận bổ đề sau Bổ đề 3.2.2 Giả sử {Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ 1} mảng toán tử đo r > Gọi {h(n), n ≥ 1} dãy số dương tăng với h(n) ↑ ∞ h(n) → điều kiện sau thỏa n → ∞ Giả sử kn → ∞, kn mãn: v n (i) sup τ (|Xni |r ) < ∞, n≥1 kn i=u (3.3) n v n (ii) lim sup yτ e(y1/r ,∞) (|Xni |) = n→∞ kn y≥h(n) i=u n Khi với β > r, ta có lim kn−β/r n→∞ τ |Xni |β e[0,kn1/r ] (|Xni |) = i=un (3.4) 21 Bây chúng tơi giới thiệu kết mục Dưới số điều kiện thích hợp, số định lý hội tụ trung bình luật yếu số lớn cho mảng toán tử đo thiết lập Định lý 3.2.3 Giả sử {Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ 1} mảng tốn tử độc lập đơi theo hàng ≤ r < Giả sử kn → ∞, h(n) ↑ ∞ h(n) → Nếu điều kiện (3.3) (3.4) thỏa mãn kn τ Xni − τ (Xni ) → − n → ∞ 1/r kn i=un Định lý 3.2.4 Giả sử {Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ 1} mảng toán tử đo độc lập đôi theo hàng {ani , un ≤ i ≤ , n ≥ 1} mảng số thực không âm, kn = 1/ sup ani Giả sử h(n) ↑ ∞ un ≤i≤vn h(n) → Nếu (3.1), (3.2) thỏa mãn với r = và kn ani τ |Xni |e(kn ,∞) (|Xni |) = lim n→∞ (3.5) i=un L1 ani Xni − τ (Xni ) −→ n → ∞ i=un Định lý sau cho thấy với điều kiện mạnh giả thiết Định lý 3.2.3, ta nhận hội tụ Lr mảng toán tử độc lập đôi theo hàng Định lý 3.2.5 Giả sử {Xni , un ≤ i ≤ , n ≥ 1} mảng tốn tử độc lập đơi theo hàng {ani , un ≤ i ≤ , n ≥ 1} mảng số thực không âm Giả sử ≤ r < 2, kn = 1/ supun ≤i≤vn arni , h(n) ↑ ∞ h(n) kn → Nếu (3.1), (3.2) điều kiện sau thỏa mãn arni τ |Xni |2 e(kn1/r ,∞) (|Xni |) = O(log δ kn ), với δ > i=un (3.6) 22 Lr ani Xni − τ (Xni ) −→ n → ∞ i=un Định lý sau phiên khơng giao hốn Định lý 3.1 báo Ankirchner, Kruse Urusov (2017) Định lý 3.2.6 Giả sử {Xni , ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} mảng tốn tử đo dương độc lập đơi theo hàng Nếu kn (i) lim τ e[kn ,∞) (Xni ) = n→∞ (3.7) i=1 kn (ii) lim n→∞ z τ e[kn z,∞) (Xni ) i=1 τ e[0,kn u) (Xni ) dudz = 0 kn kn (3.8) τ Xni − τ Xni e[0,kn ) (Xni ) → − n → ∞ i=1 Hệ sau tổng quát Định lý 3.1 Luczak (1985), điều kiện “độc lập liên tiếp” thay điều kiện yếu “độc lập đôi một” Hệ 3.2.7 Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy toán tử đo tự liên hợp, độc lập đôi phân phối Nếu lim nτ e[n,∞) (|X1 |) = n→∞ n n τ Xi − τ X1 e[0,n) (|X1 |) → − n → ∞ i=1 (3.9) 23 Kết luận chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau: - Thiết lập luật yếu số lớn dãy toán tử đo tự liên hợp khả tích Cesàro dư mức α trường hợp dãy độc lập đôi m-phụ thuộc đôi một; - Xây dựng số khái niệm khả tích mảng toán tử đo được; - Chứng minh số luật yếu số lớn mảng toán tử đo độc lập đôi theo hàng 24 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án thu kết sau đây: - Thiết lập tiêu chuẩn tương đương khả tích dãy tốn tử đo được; - Xây dựng số khái niệm khả tích dãy toán tử đo mối quan hệ khái niệm xác suất khơng giao hoán; - Chứng minh số tiêu chuẩn khả tích xác suất khơng giao hốn; - Thiết lập số luật mạnh số lớn dãy tốn tử đo dương độc lập đơi một; - Xây dựng số khái niệm khả tích mảng toán tử đo thiết lập số luật yếu số lớn đối dãy, mảng toán tử đo Kiến nghị hướng nghiên cứu Trong thời gian tới, dự định nghiên cứu vấn đề sau đây: - Thiết lập luật mạnh số lớn hội tụ đầy đủ mảng toán tử đo độc lập liên hàng; - Mở rộng số luật mạnh số lớn dạng Baum-Katz sang xác suất khơng giao hốn; - Nghiên cứu biến ngẫu nhiên tự 25 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Nguyen Van Quang, Do The Son, Le Hong Son (2017), The strong laws of large numbers for positive measurable operators and applications, Statistics and Probability Letters, 124, 110-120 Nguyen Van Quang, Do The Son, Le Hong Son (2018), Some kinds of uniform integrability and laws of large numbers in noncommutative probability, Journal of Theoretical Probability, 31, 1212-1234 Nguyen Van Quang, Do The Son, Tien-Chung Hu, Nguyen Van Huan (2019), Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for arrays of measurable operators under some conditions of uniform integrability, Lobachevskii Journal of Mathematics, 40, 1218-1229 Các kết luận án báo cáo tại: - Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ (Trường Đại học Thông tin Liên lạc, Nha Trang, 14-18/8/2018); - Hội thảo khoa học: “Nghiên cứu dạy học toán đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục nay” (Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh, 19/9/2019); - Seminar Bộ mơn Xác suất thống kê Tốn ứng dụng thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh (từ năm 2015 đến năm 2019) ... cứu định lý giới hạn xác suất khơng giao hốn khơng có ý nghĩa lý thuyết mà có ý nghĩa thực tiễn Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: Một số định lý giới hạn xác suất không giao. .. hạn, luật số lớn cho biến ngẫu nhiên đơn trị, biến ngẫu nhiên đa trị, biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập mờ; luật số lớn lý thuyết trò chơi, xác suất khơng giao hốn Trong đó, định lý giới hạn xác. .. hướng nghiên cứu định lý giới hạn lý thuyết xác suất không giao hoán Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành Lý thuyết xác suất Thống kê toán