Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC GIỚI HẠN BÀI HÀM SỐ LIÊN TỤC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hàm số liên tục điểm – Giả sử hàm số f ( x ) xác định khoảng ( a; b ) x0  ( a; b ) Hàm số y = f ( x ) gọi liên tục điểm x0 lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 – Hàm số không liên tục điểm x0 gọi gián đoạn x0 Hàm số liên tục khoảng, đoạn – Giả sử hàm số f ( x ) liên tục khoảng ( a; b ) Ta nói hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng ( a; b ) liên tục điểm khoảng – Hàm số y = f ( x ) gọi liên tục đoạn  a; b  liên tục khoảng ( a; b ) lim f ( x ) = f ( a ) , lim− f ( x ) = f ( b ) x →a + x →b Nhận xét: – Nếu hai hàm f ( x ) g ( x ) liên tục điểm x0 hàm số f ( x )  g ( x ) , f ( x ) g ( x ) , c f ( x ) (với c số) liên tục điểm x0 – Hàm số đa thức liên tục xác định chúng Hàm số phân thức lượng giác liên tục khoảng Tính chất hàm số liên tục – Định lý giá trị trung gian: Giả sử hàm số f liên tục đoạn  a; b  Nếu f ( a )  f ( b ) với số thực M nằm f ( a ) , f ( b ) tồn điểm c  ( a; b ) thoả mãn f ( c ) = M – Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục đoạn  a; b  M số thực nằm f ( a ) , f ( b ) đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ c  ( a; b ) – Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục đoạn  a; b  f ( a ) f ( b )  tồn điểm c  ( a; b ) cho f ( c ) = Ta thường vận dụng theo hai hướng sai: + Vận dụng chứng minh phương trình có nghiệm: “Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn  a; b  Page f ( a ) f ( b )  phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( a; b ) ” Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC  a; b  f ( x ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c  ( a; b ) + Vận dụng tương giao đồ thị: “Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn f ( a ) f ( b )  đồ thị hàm số y = ” B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP _DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp giải: Hàm số liên tục điểm x = x0 f ( x0 ) = lim f ( x ) f ( x0 ) = lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) x → x0 x → x0 x → x0  VÍ DỤ  x − 3x + x   Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) =  x − điểm x0 = 4 x − x =  ĐS: Liên tục Lời giải Ta có f ( x0 ) = f (2) = 4.2 − = x − 3x + ( x − 2)( x − 1) lim f ( x) = lim = lim =1 x →2 x →2 x → x−2 x−2 Suy f (2) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x→2  x+3 −2 x   Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) =  x − điểm x0 =  x =  ĐS: Không liên tục Lời giải Ta có f ( x0 ) = f (1) = lim f ( x) = lim x →1 x →1 x+3 −2 x −1 1 = lim = lim = x → x → x −1 ( x − 1)( x + + 2) x+3 +2 Suy f (1)  lim f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục điểm x0 = (hay gián đoạn x →1 Page điểm x0 = ) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC  x − 3x + x   Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) = 1 − x − điểm x0 = x    2− x ĐS: Liên tục Lời giải Ta có f ( x0 ) = f (2) = 22 − 3.2 + = lim f ( x) = lim− ( x − 3x + 3) = x → 2− x →2 lim f ( x) = lim+ x → 2+ x →2 1− 2x − 1− 2x + = lim+ = lim+ =1 x → x → 2− x (2 − x)(1 + x − 3) + 2x − Suy f (2) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x→2 x→2  x2 −  Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) =  x + − 2 x + 12  x  điểm x0 = x  ĐS: Không liên tục Lời giải Ta có f ( x0 ) = f (3) = 18 lim f ( x) = lim− (2 x + 12) = 18 lim+ f ( x) = lim+ x →3− x →3 x →3 x →3 x2 − ( x − 3)( x + 3)( x + + 2) = lim+ x → x −3 x +1 − = lim( x + 3)( x + + 2) = 24 + x →3 Suy f (3) = lim− f ( x)  lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục điểm x0 = x →3 x →3  x +1− x +  x −1  3 Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) =  4  3x3 − x − 3x +   3x − 14 x + 11 x  x = điểm x0 = x  ĐS: Liên tục Lời giải lim− f ( x) = lim− x →1 3x3 − x − 3x + ( x − 1)(3x − 3x − 6) 3x − 3x − = lim = lim = x →1− x →1− 3x − 14 x + 11 ( x − 1)(3x − 11) 3x − 11 Page x →1 Ta có f ( x0 ) = f (1) = Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 lim+ f ( x) = lim+ x →1 x →1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x +1− x + ( x − 1)2 − ( x + 3) x+2 = lim+ = lim+ = x →1 ( x − 1)( x + + x −1 x + 3) x→1 x + + x + Suy f (1) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x →1 x →1  cos x.cos x − cos8 x −  Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) =  x4 + x2 2 x  x = điểm x0 = ĐS: Không liên tục Lời giải Ta có f ( x0 ) = f (0) = 2cos5x.cos3x − cos8 x −1 cos8 x + cos x − cos8 x −1 = lim x →0 x →0 x →0 x +x x4 + x2  sinx 2 −2  cos x − −2sin x = lim = lim 2 = lim    = −2 x →0 x + x x →0 x ( x + 1) x →0  x  x + 1 lim f ( x) = lim Suy f (0)  lim f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục điểm x0 = (hay gián đoạn x →0 điểm x = )  x3 + x − x −  x3 − x Ví dụ Tìm a để hàm số f ( x) =   (a + x)  x  liên tục điểm x0 = x = ĐS: a = 13 Lời giải Ta có f (2) = (a + 2) x3 + x − x − ( x − 2)( x + x + 3) x + x + 15 lim f ( x) = lim = lim = lim = x →2 x →2 x →2 x →2 x( x + 2) x3 − x x( x − 2)( x + 2) 15 Hàm số liên tục điểm x0 =  f (2) = lim f ( x)  (a + 2) =  a = 13 x →2 8  2( x − 4)  Ví dụ Tìm m để hàm số f ( x) =  x + − x  m + + m − 10 x  x  liên tục điểm x0 = x  ĐS: m = Lời giải x →2 x →2 Fb: ThayTrongDGL 3( x − 4) 3( x − 2)( x + 2)( x + + x) = lim+ x + − x2 x + − x x →2 Tài liệu biên soạn sưu tầm Page lim+ = lim+ Ta có f (2) = m + + m − 20 Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 = lim+ x →2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3( x − 2)( x + 2)( x + + x) 3( x + 2)( x + + x) = lim+ = −16 x →2 −( x + 1)( x − 2) −( x + 1) lim = lim( m + + m −10 x) = m + + m − 20 − x →2− x →2 Hàm số f ( x) liên tục điểm x0 =  lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (2)  m + + m − 20 = −16 x →2 x →2 m  m   m+2 = 4−m    m=2 m =  m = m − 9m + 14 =  BÀI TẬP ÁP DỤNG Xét tính liên tục hàm số sau điểm ra:  x2 − −1  f ( x) =  x − 2 x −  x  điểm x0 = Đs: Liên tục x = x  −1 điểm x0 = −1 Đs: Liên tục x = −1 Xét tính liên tục hàm số sau điểm ra:  3x − x −  f ( x) =  x −1 2 x +  Bài x  x  điểm x0 = Đs: Liên tục x   x2 + x −  x + x − x  y = f ( x) =  điểm x0 =  x + + x   Đs: Không liên tục  x3 − 3x −  f ( x) =  x + − −4 x + 46  Đs: Liên tục x  điểm x0 = x  Tìm giá trị thực tham số m để hàm hàm số sau liên tục điểm ra:  x3 − x + x −  f ( x) =  x2 −1  2m +  Fb: ThayTrongDGL x  điểm x0 = x = Tài liệu biên soạn sưu tầm Đs: m = − Chúc em học tốt ! Bài Đs: Liên tục x =  − x + x − x3  f ( x) =  x − 3x + 1   x + 3x +  f ( x) =  − x −  x2 + x  điểm x0 = Page Bài Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11  1+ x − 1− x x   x f ( x ) =  liên tục điểm x0 = −5m + − x x =  x+2 Đs: m = 3 6+ x −2 x   f ( x ) =  x − liên tục điểm x0 = 2 x − m x =  Đs: m = 47 12  12 x − − x   f ( x ) =  liên tục điểm x0 = x −1  2  m x + + 2mx x = Đs: m = −1 Tìm giá trị thực tham số m để hàm hàm số sau liên tục điểm ra:  x3 −  f ( x) =  x − x − mx + 10  x  Đs: m = − 29  2x −1 −1 x   f ( x ) =  x + x − liên tục điểm x0 = x + m x   Đs: m = −  x2 − x +  x   x−2 m để f ( x ) =  liên tục điểm x0 = m + − x x   x+2 Đs: m = −  3x − + x − x +  x   x2 − x + f ( x ) =  liên tục điểm x0 = m2 + x − 3m x    Đs: m = m =  − 3x − x  −3  − − x f ( x ) =  liên tục điểm x0 = −3 m2 − 2mx − x  −3  Đs: m = m = 3− x  x   − x + 16 f ( x ) =  liên tục điểm x0 =  m ( x + m + 1) x   Đs: m = −5 m = điểm x0 = x  Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Đs: m =  ( x2 − 4)  x  f ( x ) =  x + − x liên tục điểm x0 =   m + + m − 10 x x  Page Bài GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC LỜI GIẢI Bài  x2 − −1  Xét tính liên tục hàm số f ( x) =  x − 2 x −  Ta có f ( x0 ) = f (2) = điểm x0 = x = x2 − −1 x2 − x+2 = lim = lim =2 x →2 x−2 ( x − 2)( x − + 1) x→2 x − + lim f ( x) = lim x →2 x  x →2 Suy f (2) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x→2  − x + x − x3  Xét tinh liên tục hàm số f ( x) =  x − 3x + 1  x  điểm x0 = x = Ta có f ( x0 ) = f (2) = − x + x − x3 ( x − 2)(− x + 3x − 1) − x + 3x − = lim = lim =1 x →2 x →2 x →2 x − 3x + ( x − 2)( x − 1) x −1 lim f ( x) = lim x →2 Suy f (2) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x→2  x + 3x + x  −1  Xét tinh liên tục hàm số f ( x) =  − x − điểm x0 = −1  x2 + x x = −1  Ta có f ( x0 ) = f (−1) = −1 x + 3x + ( x + 1)( x + 2) x+2 = lim = lim = −1 x →−1 x →−1 x →−1 −1 − x −1 −( x + 1) lim f ( x) = lim x →−1 Suy f (−1) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = −1 x →−1 Bài  x3 − 3x −  Xét tính liên tục hàm số f ( x) =  x + − −4 x + 46  x  điểm x0 = x  Ta có f ( x0 ) = f (4) = 30 lim f ( x) = lim− (−4 x + 46) = 30 x → 4− x →4 lim+ f ( x) = lim+ x →4 x →4 x − 3x − ( x − 4)( x + 1)( x + + 3) = lim+ = lim+ ( x + 1)( x + + 3) = 30 x →4 x−4 x + − x →4 Suy f (4) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 =  3x − x −  Xét tính liên tục hàm số f ( x) =  x −1 2 x +  Fb: ThayTrongDGL x  điểm x0 = x  Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! x→4 Page x→4 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Ta có f ( x0 ) = f (1) = lim+ f ( x) = lim(2 x + 2) = lim− f ( x) = lim− + x →1 x →1 x →1 x →1 3x − x − ( x − 1)(3x + 1) = lim− = lim(3 x + 1) = x →1 x →1− x −1 x −1 Suy f (1) = lim+ f ( x) = lim− f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x →1 x →1  x2 + x −  x + x − x  Xét tính liên tục hàm số y = f ( x) =  điểm x0 =  x + + x   Ta có f ( x0 ) = f (1) = +7 x +1 + +7 = x →1 x →1 3 x + 2x − ( x − 1)( x + 3) x+3 lim+ f ( x) = lim+ = lim+ = lim+ = x →1 x →1 x + x − x →1 ( x − 1)( x + 2) x →1 x + lim− f ( x) = lim− Suy f (1) = lim− f ( x)  lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục điểm x0 = x →1 x →1  x3 − 3x −  Xét tính liên tục hàm số f ( x) =  x + − −4 x + 46  x  điểm x0 = x  Ta có f ( x0 ) = f (4) = 30 lim f ( x) = lim− (−4 x + 46) = 30 x → 4− x →4 x − 3x − ( x − 4)( x + 1)( x + + 3) lim+ f ( x) = lim+ = lim+ = lim+ ( x + 1)( x + + 3) = 30 x →4 x →4 x →4 x−4 x + − x →4 Suy f (4) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x→4 Bài x→4  x3 − x + x −  Tìm m để hàm số f ( x) =  x2 −1  2m +  x  điểm x0 = x = Ta có f ( x0 ) = f (1) = 2m + lim f ( x) = lim x →1 x →1 x3 − x + x − ( x − 1)2 (x − 3) ( x − 1)( x + 3) = lim = lim =0 x → x → x −1 ( x − 1)(x + 1) x +1 Page Hàm số f ( x) liên tục điểm x0 =  lim f ( x) = f (1)  2m + =  m = − x →1 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC  1+ x − 1− x x   x Tìm m để hàm số f ( x ) =  liên tục điểm x0 = −5m + − x x =  x+2 Ta có: f ( ) = −5m + 1+ x − 1− x = lim x →0 x x lim f ( x ) = lim x →0 x →0 2x ( 1+ x + 1− x ) = lim x →0 =1 1+ x + 1− x Hàm số liên tục điểm x0 = lim f ( x ) = f ( )  −5m + =  m = x →0 Vậy m = 3 6+ x −2 x   Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − liên tục điểm x0 = 2 x − m x =  Ta có f ( ) = − m lim f ( x ) = lim x →2 x →2 6+ x −2 = lim x →2 x−2 ( x − 2) ( x−2 (6 + x) + 23 + x + ) = lim x →2 (6 + x) Hàm số liên tục điểm x0 = lim f ( x ) = f ( )  − m = x →2 Vậy m = + 23 + x + = 12 47 m= 12 12 47 12  12 x − − x   Tìm m để f ( x ) =  liên tục điểm x0 = x −1  2  m x + + 2mx x = Ta có f (1) = m2 + + 2m lim f ( x ) = lim x →1 = lim x →1 3 x →1 12 x − − = lim x →1 x −1 ( x − 1) 12 (12 x − 4) + 12 x − + 12 ( x − 1) ( (12x − 4) + 12x − + 4) 3 =1 Hàm số liên tục điểm x0 = lim f ( x ) = f (1)  m2 + + 2m = Page x →1 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 1 − 2m    2  m + = (1 − 2m ) GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC  m    m      m = −1  m = −1 −3m2 + 4m + =   m =  Vậy m = −1 Bài  x3 −  Tìm m để hàm số f ( x) =  x − x − mx + 10  Ta có f ( x0 ) = f (2) = 2m + 10 x  điểm x0 = x  lim f ( x) = lim− (m x + 10) = 2m + 10 x → 2− x →2 lim+ f ( x) = lim+ x →2 x →2 x3 − ( x − 2)(x + x + 4) x + x + 12 = lim = lim = x → 2+ x − x − x→2+ ( x − 2)(2 x + 3) 2x + Hàm số f ( x) liên tục điểm x0 =  lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (2)  2m + 10 = x →2 x →2 12 29 m=− 7  2x −1 −1 x   Tìm m để f ( x ) =  x + x − liên tục điểm x0 = x + m x   Ta có f (1) = + m lim+ f ( x ) = lim+ x →1 x →1 ( x − 1) 2x −1 −1 = lim+ = lim+ = x + x − x →1 ( x − 1)( x + 3) x − + x →1 ( x + 3) x − + ( ) ( ) lim f ( x ) = lim− ( x + m ) = + m x →1− x →1 Hàm số liên tục điểm x0 = lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1)  + m = x →1 x →1 m=− 4  x2 − x +  x   x−2 Tìm m để f ( x ) =  liên tục điểm x0 = m + − x x   x+2 Ta có f ( ) = m − Page 1− x   lim f ( x ) = lim+  m +  = m− x →2  x+2 x → 2+ Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm 10 Vậy m = − Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC m  m     m =  m = m − 9m + 14 =   m =  Vậy m = BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài  x3 + 27  x + x − x  −3 Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  điểm x0 = −3 ĐS: K liên tục 4 + x x = −3  Bài  −2 x +  Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  − x − 5 x −  x  −2 điểm x0 = −2 ĐS: Liên tục x  −2 Bài  x2 − x   Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x + − điểm x0 = ĐS: Không liên tục 2 x + 12 x   Bài  x2 − x   x − x − 10 Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  điểm x0 = ĐS: Liên tục − x hi x =  Bài ( x − 5)2 +  Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x −   2x −1 − Bài  x + x − 12  x − Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x +5  x − x  điểm x0 = ĐS: Liên tục x  điểm x0 = ĐS: Liên tục x = x  điểm x0 = ĐS: Liên tục Bài  3x + − − x x   Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  −2 x3 + 3x − x điểm x0 = ĐS: Liên tục −2 x + x   Bài  x − x − x    x − 5x + x  điểm x0 = ĐS: Liên tục Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x + −  −4 x =  Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! 13 x  Page Bài  4x + −  f x = Xét tính liên tục hàm số ( )  x −  2x  25 x  Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC  x − 3x +  Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x + − x 1− x −  Bài 10 x  điểm x0 = ĐS: Liên tục x  Bài 11  x3 + x − x   x3 −  Tìm m để hàm số f ( x ) =  liên tục điểm x0 = ĐS: m = 2  ( m − 1) x + x   x+2 Bài 12  x − x − 27 x  −3  10 Tìm m để hàm số f ( x ) =  x + x + x + liên tục điểm x0 = −3 ĐS: m = mx + x = −3  Bài 13  x − 27  Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − x − mx +   x−2  Tìm m để hàm số f ( x ) =  x + −  x + 2m  Bài 14 x  liên tục điểm x0 = ĐS: m = − x  x  37 24 liên tục điểm x0 = ĐS: m = x =  x − 25 x  15  Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − x − liên tục điểm x0 = ĐS: m = 2 ( x − 5) + m x   Bài 15 _DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TXĐ Phương pháp giải: Hàm số liên tục điểm x = x0 f ( x0 ) = lim f ( x ) f ( x0 ) = lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) x → x0 x → x0 x → x0  VÍ DỤ  x3 + x +  Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x + 7  x  −1 x = −1 ĐS: Liên tục Lời giải 14 Page + Tập xác định hàm số D = Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x3 + x + hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng x3 + mà xác định + Xét x  −1 f ( x ) = ( − ; − 1) ( −1; +  ) + Xét tính liên tục hàm số f ( x ) x = −1 ( x + 1) ( x2 − x + 3) x3 + x + 2x2 − 2x + Ta có lim f ( x ) = lim = lim = lim = x →−1 x →−1 x →−1 x3 + ( x + 1) ( x − x + 1) x→−1 x − x + f ( −1) = Suy lim f ( x ) = f ( −1) nên hàm số cho liên tục x0 = −1 x →−1 + Vậy hàm số cho liên tục  x2 − x + x   Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x − − − x x   ĐS: Liên tục Lời giải + Tập xác định hàm số D = + Với x0  (1; +  ) , lim f ( x ) = lim x → x0 x → x0 x2 − x + = f ( x0 ) Suy hàm số cho liên tục x −1 khoảng (1; +  ) ( ) + Với x0  ( − ;1) , ta có lim f ( x ) = lim − − x = − − x0 = f ( x0 ) Suy hàm số x → x0 x → x0 cho liên tục khoảng ( − ;1) + Xét tính liên tục hàm số x = f (1) = − − = ( ) - lim− f ( x ) = lim− − −5 − x = −2 x →1 x →1 - lim+ f ( x ) = lim+ x →1 x →1 ( x − 1)( x − 3) = lim x −1 x →1+ ( x − 3) = −2 Suy lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1) nên hàm số cho liên tục x = x →1  x2 + x −  Ví dụ Tìm a để hàm số f ( x ) =  x + − 3x −  2x − + a ) ( Fb: ThayTrongDGL x  liên tục ĐS: a = −11 x  Tài liệu biên soạn sưu tầm 15 Vậy hàm số cho liên tục Page x →1 Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Lời giải Với x  ( − ; ) ta có: - f ( x0 ) = x02 + x0 − x0 + − x0 − 2 - lim f ( x ) = lim ( x − 3) + a  = ( x0 − 3) + a  x → x0 x → x0  Suy lim f ( x ) = f ( x0 ) nên hàm số liên tục khoảng ( − ; ) x → x0 Với x  ( 2; +  ) ta có - f ( x0 ) = ( x0 − 3) + a 2 - lim f ( x ) = lim ( x − 3) + a  = ( x0 − 3) + a  x → x0 x → x0  Suy lim f ( x ) = f ( x0 ) nên hàm số liên tục khoảng ( 2; +  ) x → x0 Lại có: - f ( 2) = + a - lim+ f ( x ) = lim+ x →2 x →2 x2 + x − = −10 x + − 3x − 2 - lim− f ( x ) = lim− ( x − 3) + a  = + a  x →2 x →2  Khi hàm số liên tục liên tục x = lim f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( )  −10 = + a x → 2+ x →2 Suy a = −11 giá trị cần tìm  BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài  x3 + x + x + x  −3  Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x+3 19 x = −3  Lời giải Tập xác định hàm số D = x3 + x + x + hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng x+3 ( − ; − 3) ( −3; +  ) mà xác định 16 - Xét x  −3 f ( x ) = Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page - Xét tính liên tục hàm số f ( x ) x = −3 Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ( x + 3) ( x + 1) x3 + x + x + lim f ( x ) = lim = lim = lim ( x + 1) = 19 x →( −3) x →( −3) x → − x → ( −3 ) ( ) x −3 x+3 Suy lim f ( x ) = f ( −3) nên hàm số cho liên tục x = −3 x →( −3) Vậy hàm số cho liên tục Bài  x2 − 5x + x   Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x − 16 2 − x x   Lời giải Tập xác định D = - Với x0  ( −; ) , lim f ( x ) = lim x → x0 x → x0 x2 − 5x + = f ( x0 ) x3 − 16 Suy hàm số cho liên tục khoảng ( − ; ) - Với x0  ( 2; +  ) , lim f ( x ) = lim ( − x ) = − x0 = f ( x0 ) x → x0 x → x0 Suy hàm số cho liên tục khoảng ( 2; +  ) - Xét tính liên tục hàm số x = f ( 2) = lim− f ( x ) = lim− x →2 x →2 ( x − )( x − 3) = lim x2 − 5x + x −3 = lim− =− − 2 x →2 ( x − ) x + x + x − 16 ( ) x→2 ( x + x + ) 24 lim f ( x ) = lim+ ( − x ) = x → 2+ x →2 Suy hàm số không liên tục x = Bài  x2 − x − x  −1  Tìm a để f ( x ) =  x3 + x + x + liên tục a x = −1  Lời giải x2 − x − hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục x3 + x + x + khoảng mà xác định Lại có Ta có với x  thif f ( x ) = ( x + 1)( x − 3) = lim x − = − x2 − x − = lim x →−1 x + x + x + x →−1 x + x + ( )( ) x→−1 x2 + +1 x →−1 Khi hàm số liên tục Fb: ThayTrongDGL Page - lim f ( x ) = lim liên tục x = −1 Tài liệu biên soạn sưu tầm 17 - f ( −1) = a Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC lim f ( x ) = f ( −1)  a3 == − x →−1 Suy a = − giá trị cần tìm BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài  x −1 x    x −1 Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  liên tục  1− x +  x + x  Bài  x2 + 5x x   Tìm m để f ( x ) =  x − − liên tục m + x   Bài  x2 − x  −1  Tìm m để f ( x ) =  x + x + x + liên tục cos m x = −1  Bài  x − + 2x −1 x   Tìm m để f ( x ) =  liên tục x −1 3m − x =  Bài  x +1 −1 x   Tìm m để f ( x ) =  liên tục x 2 x + 3m + x   _DẠNG CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM Phương pháp giải: - Để chứng minh phương trình f ( x ) = có nghiệm D , ta chứng minh hàm số f ( x ) liên tục D có hai số a , b  D cho f ( a ) f ( b )  - Để chứng minh phương trình f ( x ) = có k nghiệm D , ta chứng minh hàm số f ( x ) liên tục D tồn k khoảng rời ( ; +1 ) với i = 1;2; ; k nằm D cho f ( ) f ( +1 )  Ví dụ Chứng minh phương trình x3 − x + = có nghiệm khoảng ( −1; ) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Page  VÍ DỤ 18 Chú ý: Hàm số thức liên tục Hàm số phân thức lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Khi hàm số liên tục rồi, lieent ục khoảng ( ; +1 ) mà ta cần tìm Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Lời giải - Đặt f ( x ) = x3 − x + f ( x ) hàm đa thức nên liên tục , suy liên tục  −1; 2   f ( −1) = −11 - Ta có   f ( −1) f ( ) = −11   x0  ( −1; ) : f ( x0 ) = ,   f ( 2) = Nghĩa phương trnhf f ( x ) = x3 − x + = có nghiệm khoảng ( −1; ) Ví dụ Chứng minh phương trình x3 − 3x + có ba nghiệm phân biệt Lời giải Đặt f ( x ) = x3 − 3x + f ( x ) hàm đa thức nên liên tục , suy hàm số liên tục đoạn  −2;0 ;  0;1 ; 1; 2   f ( −1) = −1 - Ta có   f ( −2 ) f ( ) = −1   phương trình f ( x ) = x3 − 3x + = có   f ( 0) = nghiệm thuộc khoảng ( −2;0 ) (1)   f ( 0) = - Ta có   f ( ) f (1) = −1   phương trình f ( x ) = x3 − 3x + = có   f (1) = −1 nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) (2)   f (1) = −1 - Ta có   f (1) f ( ) = −3   phương trình f ( x ) = x3 − 3x + = có   f ( 2) = nghiệm thuộc khoảng (1; ) (3) Từ (1) , ( ) , ( 3) suy phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −2; ) , ( 0;1) , (1; ) Mà f ( x ) đa thức bậc ba nên phương trình f ( x ) = có tối đa ba nghiệm Suy phương trình cho có ba nghiệm phân biệt Chú ý: Với hỗ trợ chức mode casio, ta dễ dàng tìm khoảng ( −2; ) , ( 0;1) , (1; ) Công việc lại trình bày cho ngơn ngữ Ví dụ Chứng minh phương trình x3 + x + = có nghiệm âm lớn −1 Lời giải Đặt f ( x ) = x3 + x + , f ( x ) hàm đa thức nên liên tục , suy hàm số liên tục   f ( −1) = −1 Ta có   f ( −1) f ( ) = −1   phương trình f ( x ) = có nghiệm f = ( )   Fb: ThayTrongDGL Page thuộc khoảng ( −1;0 ) 19 đoạn  −1; 0 Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Suy phương trình f ( x ) = có nghiệm âm lớn −1 Ví dụ Chứng minh phương trình x3 + x − = có hai nghiệm Lời giải Đặt f ( x ) = x3 + x − , f ( x ) hàm đa thức , suy hàm số liên tục đoạn  −1; 0 ;  0;1   f ( −1) = - Ta có   f ( −1) f ( ) = −4   phương trình f ( x ) = có nghiệm f = − ( )   thuộc khoảng ( −1;0 ) (1)   f ( ) = −2 - Tương tự   f ( −1) f ( ) = −8   phương trình f ( x ) = có f = ( )   nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) (2) Từ (1) ( ) ta suy phương trình f ( x ) = có hai nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình x + x3 − x − = có hai nghiệm Lời giải Đặt f ( x ) = x + x − x − , f ( x ) hàm đa thức , suy hàm số liên tục đoạn  −1; 0 ,  0;1   f ( −1) = - Ta có   f ( −1) f ( ) = −12   phương trình f ( x ) = có nghiệm f = − ( )   thuộc khoảng ( −1;0 ) (1)   f ( ) = −3 - Tương tự   f ( −1) f ( ) = −6   phương trình f ( x ) = có   f (1) = nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) (2) Từ (1) ( ) ta suy phương trình f ( x ) = có hai nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình (1 − m ) x5 − 3x − = ln có nghiệm với m Lời giải Đặt f ( x ) = (1 − m ) x − 3x − f ( x ) hàm đa thức liên tục  f ( x ) liên tục đoạn  −1; 0 20   f ( −1) = m + Ta có   f ( −1) f ( )   x0  ( −1;0 ) : f ( x0 ) = f = − ( )   Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page Do phương trình f ( x ) = ln có nghiệm với m (đpcm) Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Chú ý: Đối với toán chứa tham số m , ta chọn khoảng ( a ; b ) cho vị trí a b triệt tiêu m biểu thức dương âm dựa vào kinh nghiệm người giải toán Một số trường hợp sử dụng dấu tam thức bậc hai để đánh giá, tức ax + bx + c  0, x  a     ax + bx + c  0, x  a     Ví dụ Chứng minh phương trình x + mx − 2mx − = có nghiệm với m Lời giải Đặt f ( x ) = x + mx − 2mx − f ( x ) hàm đa thức liên tục  f ( x ) liên tục đoạn  0; 2   f ( ) = −1 Ta có   f ( −1) f ( ) = −15  phương trình f ( x ) = ln có nghiệm với m f = 15 ( )   Ví dụ Chứng minh phương trình m ( x − )( x − 3) + 2m − = có nghiệm với m Lời giải Đặt f ( x ) = m ( x − )( x − 3) x − f ( x ) hàm đa thức liên tục  f ( x ) liên tục đoạn  2;3   f ( ) = −1 Ta có   f ( ) f ( 3) = −1  phương trình f ( x ) = ln có nghiệm với m f = ( )   Ví dụ Chứng minh phương trình ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = có nghiệm với số thực a , b , c Lời giải Đặt f ( x ) = ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) Vì f ( x ) hàm đa thức nên liên tục Không tính tổng qt, giả sử a  b  c - Nếu a = b b = c f ( b ) = ( b − a )( b − c ) , suy phương trình có nghiệm x = b   f ( a ) = ( a − b )( a − c )  - Nếu a  b  c   f ( a ) f ( b )  Do phương trình có f b = b − a b − c  ( ) ( )( )   nghiệm khoảng ( a ; b ) Ví dụ 10 Cho ba số a , b , c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = Chứng minh phương trình ax + bx + c = có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page Lời giải 21 Suy phương trình có nghiệm (đpcm) Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Đặt f ( x ) = ax + bx + c f ( x ) hàm đa thức nên liên tục 2a + 3b + 6c =  - Ta có f ( ) = c có    2 c c  f   = a + b + c = ( 2a + 3b + 6c ) − = −    2 - Nếu c = f   = , suy phương trình có nghiệm x =  ( 0;1) 3 c 2 - Nếu c  ta có f ( ) f   = −  3  2  f ( x ) = có nghiệm x = a   0;   ( 0;1)  3 Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) Ví dụ 11 Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3x − Chứng minh phương trình có nghiệm x0  ( 3; ) Khơng tính f ( ) ( ) 36 f + 36 , chứng minh x0  + 36 Lời giải Ta có: f ( 3) = 33 − 3.32 − = −1    f ( 3) f ( ) = −15  f ( ) = − 3.4 − = 15  Suy phương trình có nghiệm x0  ( 3; ) Ta có f ( x ) = x3 − 3x − = ( x − 1) − ( x − 1) − Vì x0 nghiệm phương trình f ( x ) = nên ta có f ( x0 ) =  ( x0 − 1) − ( x0 − 1) − = Đặt  = x0 − x0  ( 3; )    ( 2;3) Khi đó, ta có  − 3 − =   = 3 +  9 =     36    36    36 Dấu “ = ” xảy 3 =   = 1 ( 2;3) Do đó, dấu “ = ” khơng xảy ra, tức ta ln có   36  x0 −  36  x0  + 36 Suy điều phải chứng minh  BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Chứng minh phương trình ( m + 1) x3 − 2m x − x + m + = có ba nghiệm phân biệt Bài Chứng minh phương trình (1 − m ) x5 + 9mx − 16 x − m = có hai nghiệm phân biệt Bài Chứng minh phương trình ( m − m + 3) x n − x − = có nghiệm âm với m Bài Chứng minh phương trình ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m = có nghiệm với m Bài Chứng minh phương trình m3 − x 2001 − ( x + ) Bài Chứng minh phương trình ( m + 1) x3 − 2m x − x + m + = có ba nghiệm phân biệt Fb: ThayTrongDGL ) 2002 + x + = có nghiệm với m Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! 22 )( Page ( Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài Chứng minh phương trình m ( x − 1) ( x − x ) + x − 3x + = có ba nghiệm Bài Cho   thỏa mãn     Chứng minh phương trình sau có nghiệm sin10 x − x = Bài  sin  +  sin10  −  −   + a b c + + = , ( k  n  m  ) km  n2 phương trình k n m ax + bx + c = có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) Chứng minh LỜI GIẢI Bài Đặt f ( x ) = ( m + 1) x − 2m x − x + m + , f ( x ) liên tục với x  Có: f ( −3) = ( m2 + 1) ( −3) − 2m2 ( −3) − ( −3) + m2 + = −44m2 − 14  ; f ( ) = ( m + 1) 03 − 2m 02 − 4.0 + m2 + = m2 +  ; f (1) = ( m + 1) 13 − 2m 12 − 4.1 + m + = −2  ; f ( ) = ( m + 1) 23 − 2m 22 − 4.2 + m + = m +  Ta (m f ( −3) f ( )  ; thấy f ( ) f (1)  ; f (1) f ( )  nên phương trình + 1) x3 − 2m x − x + m + = có nghiệm khoảng ( −3; ) , nghiệm khoảng ( 0;1) , nghiệm khoảng (1; ) Vậy phương trình ( m + 1) x3 − 2m x − x + m + = có nghiệm phân biệt Bài Đặt f ( x ) = (1 − m ) x5 + 9mx − 16 x − m , f ( x ) liên tục Trường hợp 1: m = , ta có phương trình x5 − 16 x = có nghiệm x  0; 2 Vậy với m = phương trình (1 − m ) x5 + 9mx − 16 x − m = có hai nghiệm phân biệt Trường hợp 2: m  , ta có: f ( −2 ) = (1 − m )( −2 ) + 9m ( −2 ) − 16 ( −2 ) − m = 67m ; f ( ) = (1 − m ) 05 + 9m.02 − 16.0 − m = −m ; f ( ) = (1 − m ) 25 + 9m.22 − 16.2 − m = −3m Ta thấy f ( −2 ) f ( ) = −67m  , f ( ) f ( ) = −3m2  với m  Suy phương trình (1 − m ) x5 + 9mx − 16 x − m = có nghiệm khoảng ( −2; ) , nghiệm khoảng ( 0; ) Vậy phương trình (1 − m ) x5 + 9mx − 16 x − m = có hai nghiệm phân biệt Bài Đặt f ( x ) = ( m − m + 3) x n − x − , f ( x ) liên tục ( ) ( ) Xét f ( −2 ) = m2 − m + ( −2 ) − ( −2 ) − = m2 − m + 4n  2n 23 Xét f ( ) = ( m − m + 3) 02 n − 2.0 − = −4  Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page Ta thấy f ( −2 ) f ( )  với m  Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Suy phương trình ( m − m + 3) x n − x − = có nghiệm khoảng ( −2; ) Vậy phương trình ( m − m + 3) x n − x − = có nghiệm âm Bài Trường hợp 1: m = , ta có phương trình x3 − x = ln có nghiệm x = ; x = 1 Trường hợp 2: m  Đặt f ( x ) = ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m , f ( x ) liên tục với x  Có: f ( −1) = ( 4m + 1)( −1) − ( m + 1)( −1) + m = −2m ; f ( ) = ( 4m + 1) 03 − ( m + 1) + m = m Ta thấy f ( −1) f ( ) = −2m  nên phương trình ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m = có nghiệm khoảng ( −1;0 ) Vậy phương trình ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m = có nghiệm với m Bài ( + x + , f ( x ) liên tục với x  )( ) f ( −2 ) = ( m − 1) ( −2 ) − 1 ( −2 ) + 2 + ( −2 ) + = −1   f (1) = ( m − 1)(1 − 1) (1 + ) + 2.1 + = Đặt f ( x ) = m3 − x 2001 − ( x + ) Xét Xét 2002 2002 2001 3 2002 2001 Ta thấy f ( −2 ) f (1) = −1.5 = −5  với m ( )( ) Suy phương trình m3 − x 2001 − ( x + ) 2002 + x + = có nghiệm khoảng ( −2;1) ( )( ) Vậy phương trình m3 − x 2001 − ( x + ) Bài 2002 + x + = có nghiệm với m Đặt f ( x ) = ( m + 1) x − 2m x − x + m + , f ( x ) liên tục với x  Có: f ( −3) = ( m2 + 1) ( −3) − 2m2 ( −3) − ( −3) + m2 + = −44m2 − 14  ; f ( ) = ( m + 1) 03 − 2m 02 − 4.0 + m2 + = m2 +  ; f (1) = ( m + 1) 13 − 2m 12 − 4.1 + m + = −2  ; f ( ) = ( m + 1) 23 − 2m 22 − 4.2 + m + = m +  Ta (m thấy f ( −3) f ( )  , f ( ) f (1)  , f (1) f ( )  Suy phương trình + 1) x3 − 2m x − x + m + = có nghiệm khoảng ( −3; ) , nghiệm khoảng ( 0;1) , nghiệm khoảng (1; ) Vậy phương trình ( m + 1) x3 − 2m x − x + m + = có ba nghiệm phân biệt Bài Đặt f ( x ) = m ( x − 1) ( x3 − x ) + x3 − 3x + , f ( x ) liên tục với x  Có: 24 3 f ( −2 ) = m ( −2 − 1) ( −2 ) − ( −2 ) + ( −2 ) − ( −2 ) + = −1 ;   Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page f ( ) = m ( − 1) ( 03 − 4.0 ) + 03 − 3.0 + = ; Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC f (1) = m (1 − 1) (13 − 4.1) + 13 − 3.1 + = −1 ; f ( ) = m ( − 1) ( 23 − 4.2 ) + 23 − 3.2 + = Ta f ( −2 ) f ( )  , thấy f ( ) f (1)  , f (1) f ( )  nên phương trình m ( x − 1) ( x − x ) + x − 3x + = có nghiệm khoảng ( −2; ) , nghiệm khoảng ( 0;1) , nghiệm khoảng (1; ) Vậy phương trình m ( x − 1) ( x − x ) + x − 3x + = có ba nghiệm Bài Đặt f ( x ) = sin10 x − x −  sin  +  sin10  −  −  , hàm số f ( x ) liên tục  + Ta có lim f ( x ) = + nên tồn m  cho f ( m )  x →− Mà lim f ( x ) = − nên tồn M  cho f ( M )  x →+ Do đó, hàm số f ( x ) liên tục  m ; M  f ( m ) f ( M )  nên phương trình f ( x ) = có nghiệm Bài Xét phương trình ax + bx + c = (1) Đặt f ( x ) = ax + bx + c f ( x ) liên tục n2 n n Ta có f ( ) = c ; f   = a + b + c k k k  n2  a b c   n2    n2  a b c n Suy f ( ) f   = c   + +  + c 1 −   = c 1 −  (do + + = ) k n m k  km   k  k n m   km   n2  n2 n 2 Vì c  ; n  km    , f ( ) f   = c 1 − 0 km k  km  2 - Với c = phương trình cho trở thành ax + bx = Suy x = ax + b = ( ) a b c + + = suy b = Khi phương trình ( ) k n m , suy phương trình (1) có nghiệm x  ( 0;1) + Nếu a = từ c = a = điều kiện có nghiệm x  a b c + + = suy a = ), suy k n m b a b c phương trình ( ) có nghiệm x = − Khi từ điều kiện + + = ; k  n  m  a k n m b n c = suy x = − =  ( 0;1) Do phương trình (1) có nghiệm x  ( 0;1) a k n n n - Với − =  f   =  nghiệm thuộc ( 0;1) k km k n2 n  n   f ( ) f    f ( x ) có nghiệm thuộc  0;  Mà - Với c  − km  k k n  n  0;   ( 0;1) (vì   ) nên phương trình (1) có nghiệm x  ( 0;1) k  k Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page Vậy phương trình (1) ln có nghiệm x  ( 0;1) 25 + Nếu a  b  (vì b = , c = từ điều kiện Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Bài Chứng minh phương trình x − x3 − x − 15x − 25 = có nghiệm âm nghiệm dương ĐS: ( −1;0 ) ; ( 3; ) Chứng minh phương trình x3 + x − = có ba nghiệm khoảng ( −4;1) 7  ĐS:  −4; −  ; 2  Chứng minh phương trình x5 − 5x3 + x − = có năm nghiệm 3  1    ĐS:  −2; −  ;  − ; −1 ;  −1;  ; 2  2    1   ;1 2  1   ;1 ; (1;3 ) 2  Page 26 Bài 1   −1; −  ; 2  Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Page 27 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! ... nên hàm số cho liên tục x0 = −1 x →−1 + Vậy hàm số cho liên tục  x2 − x + x   Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x ) =  x − − − x x   ĐS: Liên tục Lời giải + Tập xác định hàm số D... Khi hàm số liên tục Fb: ThayTrongDGL Page - lim f ( x ) = lim liên tục x = −1 Tài liệu biên soạn sưu tầm 17 - f ( −1) = a Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC... ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Page  VÍ DỤ 18 Chú ý: Hàm số thức liên tục Hàm số phân thức lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Khi hàm số liên tục rồi, lieent