Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC GIỚI HẠN BÀI GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa (Giới hạn hàm số điểm) Giả sử ( a ; b ) khoảng chứa điểm x0 f hàm số xác định tập hợp ( a ; b ) \  x0  Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số ( xn ) tập hợp ( a ; b ) \  x0  mà lim xn = x0 ta có lim f ( xn ) = L Khi ta viết lim f ( x ) = L f ( x ) → L x → x0 x→ x Định nghĩa (Giới hạn hàm số vô cực) Giả sử hàm số f xác định khoảng ( a ; + ) Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần tới + với dãy số ( xn ) khoảng ( a ; + ) mà lim xn = + ta có lim f ( xn ) = L Khi ta viết lim f ( x ) = L f ( x ) → L x → + x →+ GIỚI HẠN HỮA HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC Giới hạn đặc biệt Giới hạn đặc biệt 1) lim x = x0 1) lim x k = + c =0 xk 1 3) lim− = − 4) lim+ = + x →0 x x →0 x  + k ( k  ) 5) lim x k =  x →− − k   x → x0 2) lim c = c ( c  x →+ ) x → x0 Định lí 2) lim x → Định lí Nếu lim f ( x ) = L lim g ( x ) = M Nếu lim f ( x ) = L  lim f ( x ) =  1) lim  f ( x )  g ( x )  = L  M x → x0 + L lim g ( x )  x → x0  lim  f ( x ) g ( x )  =  x → x0 g ( x)  − L xlim → x0 x → x0 x → x0 2) lim  f ( x ) g ( x )  = L.M x → x0 3) lim x → x0 x → x0 Nếu f ( x )  lim f ( x ) = L x → x0 lim f ( x ) = L lim f ( x) = L lim x → x0 f ( x)  + L.g ( x )  = g ( x)  − L.g ( x )  Page x → x0 x→ x0 Nếu lim g ( x ) = f ( x) L với M  = g ( x) M x → x0 x → x0 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Giới hạn bên lim f ( x ) = L  lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L x → x0 x → x0 x → x0 B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP Dạng Tính giới hạn vô định dạng , đó tử thức và mẫu thức là các đa thức Phương pháp giải: Khử dạng vô định cách phân tích thành tích cách chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới, cộng chéo), rồi sau đơn giản biểu thức để khử dạng vơ định  VÍ DỤ x + 3x − 14 x →2 x2 − Ví dụ Tính giới hạn A = lim Đs: A = 11 Lời giải 2(x − 2)(x + ) x + 3x − 14 = lim x + = 11 Ta có A = lim = lim x →2 x →2 (x − 2)(x + 2) x →2 x + x −4 ! Cần nhớ: f ( x) = ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) với x1 , x2 là nghiệm phương trình f ( x ) = Học sinh thường quên nhân thêm a x3 − x − x − Ví dụ Tính giới hạn A = lim x →2 x − 13x + x − Đs: A = 11 17 Lời giải ( x − 3) ( x2 + x + 1) x3 − x − x − x + x + 11 A = lim = lim = lim = x →3 x − 13 x + x − x →3 x − x − x + ( )( ) x→3 x2 − x + 17 Nhận xét: Bảng chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới cộng chéo) sau: Phân tích x3 − x − x − thành tích số:  x3 − x − x − = ( x − 3) ( x + x + 1) Page Phân tích x3 − 13x + x − thành tích số: Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC  x3 − 13x + x − = ( x − 3) ( x − x + 1) Ví dụ Tính giới hạn A = lim x →1 x100 − x + x50 − x + Đs: A = 49 24 Lời giải x ( x99 − 1) − ( x − 1) x100 − x + ( x100 − x) − ( x − 1) Ta có A = lim 50 = lim 50 = lim x →1 x − x + x →1 ( x − x) − ( x − 1) x →1 x x 49 − − x − ( ) ( ) = lim x →1 x ( x − 1) ( x98 + x97 + x96 + + x + 1) − ( x − 1) x ( x − 1) ( x 48 + x 47 + x 46 + + x + 1) − ( x − 1) ( x − 1) ( x99 + x98 + x97 + + x + x − 1) x →1 x − x 49 + x 48 + x 47 + + x + x − ( )( ) = lim = lim x →1 (x (x + x98 + x97 + + x + x − 1) 99 + x + x + + x + x − 1) 49 48 47 = 98 49 = 48 24 !Cần nhớ: Hằng đẳng thức x n − = ( x − 1) ( x n −1 + x n − + + x + x + 1) Chứng minh: Xét cấp số nhân 1, x, x , x3 , , x n−1 có n số hạng và u1 = 1, q = x Khi đó Sn = + x + x + + x n−1 = u1 qn −1 xn −1 =  x n − = ( x − 1) (1 + x + x + + x n−1 ) q −1 x −1  BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Tính giới hạn sau: 1) A = lim x →2 x − 3x + ĐS: A = x −4 x − x + 12 3) A = lim ĐS: A = − x →3 x −9 x →1 x2 −1 ĐS: A = x + 3x − x − x + 20 4) A = lim ĐS: A = x →5 x − 5x 3x − 10 x + ĐS: A = x →3 x − x + 6) A = lim x2 + x − ĐS: A = 2x − x −1 x − 16 ĐS: A = −16 x →−2 x + x + 8) A = lim x −2 x −3 ĐS: A = − x −5 x + 5) A = lim 7) A = lim 9) A = lim x →2 x3 − ĐS: A = 12 x − 3x + x →1 x →1 x3 + 12 ĐS: A = x →−2 x + 11x + 18 10) A = lim Tính giới hạn sau: Page Bài 2) A = lim Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x3 − x + x + ĐS: A = −1 x →1 x2 − 2) A = lim x3 − 3x + ĐS: A = x − 4x + 3) A = lim x3 + x + x + ĐS: A = x →−1 x + x − x −1 4) A = lim x − x3 − x + ĐS: A = − x − 5x + x − 2 x3 − 3x + x + + 5) A = lim x →− 3 − x2 ĐS: A = 1) A = lim 6) A = lim x →3 x →1 18 + 19 x3 − x + 3x + ĐS: A = x4 − 8x2 − − x3 7) A = lim ĐS: A = x →1 x − x + 12   8) A = lim  −  ĐS: A = x →2 x − x −8   1   9) A = lim  +  x →2 x − 3x − x − 5x −   1   10) A = lim  −  x →1 x + x − x −1   Bài x →1 ĐS: A = −2 ĐS: A = Tính giới hạn sau: 1) A = lim x →1 3) A = lim x 20 − x + ĐS: A = 30 x − 2x +1 14 x n − nx + n − ( x − 1) x →1 4) A = lim x n +1 − ( n + 1) x + n ( x − 1) x →1 5) A = lim x →1 (Với n là số nguyên) 2) A = lim x →1 x50 − ĐS: A = −50 x − 3x + ĐS: A = n2 − n ĐS: A = n ( n + 1) n ( n + 1) x + x + x3 + + x n − n ( m, n là số nguyên) ĐS: A = m m ( m + 1) x + x + x + + x − m n   m 6) A = lim  −  m x →1 − x − xn   ĐS: A = m−n  LỜI GIẢI Bài ( x − 1)( x − ) = lim x − = x − 3x + 1) Ta có A = lim = lim x →2 x → x −4 ( x − )( x + ) x→2 x + 2) Ta có A = lim x →1 ( x − 1)( x + 1) = lim x + = x2 − = lim x + 3x − x→1 ( x − 1)( x + ) x→1 x + Page ( x − 3)( x − ) = lim x − = − x − x + 12 3) Ta có A = lim = lim x →3 x →3 ( x − 3)( x + 3) x →3 x + x2 − Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 4) Ta có A = lim x →5 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ( x − )( x − 5) = lim x − = x − x + 20 = lim x →5 x →5 x − 5x x ( x − 5) x ( 3x − 1)( x − 3) = lim 3x − = 3x − 10 x + = lim x →3 x − x + x →3 ( x − )( x − 3) x →3 x − 5) Ta có A = lim 6) Ta có A = lim x →1 ( x − 1)( x + 3) = lim x + = x2 + 2x − = lim 2 x − x − x→1 ( x − 1)( x + 1) x→1 x + ( x − 2)( x + 2) ( x + ) ( x − 2) ( x2 + 4) x − 16 = lim = lim = −16 x →−2 x + x + x →−2 x →−2 ( x + )( x + ) ( x + 4) 7) Ta có A = lim 8) Ta có A = lim x →1 x −2 x −3 = lim x − x + x→1 ( ( )( x − 1)( x −1 ) = lim ( x − 4) ( x +3 x →1 ) =−4 x − 4) x +3 x2 + 2x + 4) ( x − 2) ( x2 + x + 4) ( x3 − 9) Ta có A = lim = lim = lim = 12 x →2 x − x + x →2 x →2 ( x − )( x − 1) ( x − 1) ! Cần nhớ: Hằng đẳng thức a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) và a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) ( x + 2) ( x2 − 2x + 4) ( x2 − 2x + 4) = 12 x3 + = lim = lim x →−2 x + 11x + 18 x →−2 x →−2 ( x + )( x + ) ( x + 9) 10) Ta có A = lim Bài ( x − 1) ( x2 − 3x − 1) x3 − x + x + x − 3x − = lim = lim = −1 x →1 x →1 x →1 x2 − x +1 ( x − 1)( x + 1) 1) A = lim ( x − 1) ( x + ) = lim x + = x3 − 3x + = lim 2) A = lim x →1 x − x + x →1 ( x − 1) ( x + x + 3) x→1 x + x + 2 ( x + 1) ( x + 1) = lim x + = x3 + x + x + 3) A = lim = lim x →−1 x →−1 x3 + x − x − ( x + 1) ( x − 1) x→−1 x − 2 ( x − 1) ( x + x + 1) x − x3 − x + x2 + x + = lim = lim =− 4) A = lim x →1 x − x + x − x →1 x →1 x −3 ( x − 1) ( x − 3) )( ( ( ) )  x + 2x2 − + x + + 3  x3 − 3x + x + +  5) Ta có A = lim = lim  −   x →− x →− 3− x x+ 3−x    ( ( )( ) )  2x2 − + x + + 3   = 18 + 19 = lim  − x →−   3−x   ( x − 1)( x − 3) ( x − 1)( x − 3) = x3 − x + 3x + 6) Ta có A = lim = lim = lim x →3 x →3 x − x − 8x − ( )( x + 3) ( x2 + 1) x→3 ( x + 3) ( x2 + 1) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Page Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC − x − x − 1) ( x − 1) ( − x2 − x − 1) ( − x3 7) Ta có A = lim = lim = lim = 2 x →1 x − x + x →1 x − x + x − 3x − ( )( ) x→1 ( x + x − 3x − 3) 12  x3 − 12 x + 16  8) Ta có A = lim  − = lim  x →2 x − x −  x →2 ( x − ) ( x − )  ( x + )( x − ) = lim x + = = lim x →2 ( x − ) ( x + x + ) x →2 x + x + 2 1 x − x − + x − 3x −   + = lim 9) Ta có A = lim   x →2 x − 3x − x − x −  x→2 ( x − 3x − )( x − x − )  = lim x →2 ( x − 2) ( x − 2) ( x − 3)( x − 1) = lim x →2 ( x − 3)( x − 1) = −2 1  x3 − − x − x + x3 − x − x +  −  = lim = lim 10) Ta có A = lim  x →1 x + x − x −  x→1 ( x + x − )( x3 − 1) x→1 ( x + x − )( x3 − 1)  ( x − 1) ( x + 1) x +1 = lim = lim = 2 x →1 x →1 x + ( ) ( x + x + 1) ( x − 1) ( x + ) ( x + x + 1) Bài x ( x19 − 1) − ( x − 1) x 20 − x − ( x − 1) x 20 − x + 1) Ta có A = lim 30 = lim 30 = lim x →1 x − x + x →1 x − x − ( x − 1) x →1 x x 29 − − x − ( ) ( ) ( x − 1) ( x19 + x18 + + x − 1) x →1 x x − x 28 + x 27 + + x + − x − ( )( ) ( ) x→1 ( x − 1) ( x29 + x28 + + x − 1) = lim x ( x − 1) ( x18 + x17 + + x + 1) − ( x − 1) (x = lim (x 19 x →1 29 + x18 + + x − 1) + x + + x − 1) 28 = = lim 18 = 28 24 ( x − 1) ( x49 + x48 + + x + 1) x50 − x 49 + x 48 + + x + 2) Ta có A = lim = lim = lim = −50 x →1 x − 3x + x →1 x →1 x−2 ( x − 1)( x − ) 3) Ta có A = lim x n − nx + n − n − 1) − n ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x n−1 + x n−2 + + x + 1) − n ( x − 1) = lim x →1 ( x − 1) x →1 ( x − 1) (x = lim x →1 ( x − 1) ( x n−1 + x n−2 + + x + − n ) x n−1 + x n−2 + + x + − n = lim = lim x →1 x →1 x −1 ( x − 1) Page x n−1 − + x n−2 − + + x − + x − = lim x →1 x −1 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 = lim GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ( x − 1) ( x n−2 + x n−3 + + x + 1) + ( x − 1) ( x n−3 + x n−4 + + x + 1) + + ( x − 1) x −1 x →1 = lim ( x n −2 + x n −3 + + x + 1) + ( x n −3 + x n −4 + + x + 1) + + 1 = ( n − 1) + ( n − ) + + = x →1 4) Ta có A = lim x n+1 − ( n + 1) x + n n +1 − x ) − n ( x − 1) = lim x ( x n − 1) − n ( x − 1) x →1 ( x − 1) ( x − 1) x ( x − 1) ( x n−1 + x n−2 + + x + 1) − n ( x − 1) ( x − 1) ( xn + xn−1 + + x− n ) = lim = lim 2 x →1 x →1 ( x − 1) ( x − 1) x →1 ( x − 1) (x = lim n2 − n 2 x →1 x n + x n−1 + + x + x − n x n − + x n−1 − + + x − + x − = lim x →1 x →1 x −1 x −1 n −1 n−2 n−2 ( x − 1) ( x + x + + x + 1) + ( x − 1) ( x + x n−3 + + x + 1) + + ( x − 1) = lim x →1 x −1 = lim ( x n −1 + x n − + + x + 1) + ( x n − + x n −3 + + x + 1) + + 1 x →1 n ( n + 1) = n + ( n − 1) + ( n − ) + + = = lim x + x + x3 + + x n − n x n − + x n−1 − + + x − + x − = lim x →1 x + x + x3 + + x m − m x →1 x m − + x m −1 − + + x − + x − ( x − 1) ( xn−1 + xn−2 + + x + 1) + ( x − 1) ( x n−2 + x n−3 + + x + 1) + + ( x − 1) 5) Ta có A = lim = lim x →1 ( x − 1) ( xm−1 + xm−2 + + x + 1) + ( x − 1) ( xm−2 + xm−3 + + x + 1) + + ( x − 1) (x = lim (x x →1 n −1 m −1 + x n−2 + + x + 1) + ( x n−2 + x n−3 + + x + 1) + + + x m−2 + + x + 1) + ( x m−2 + x m−3 + + x + 1) + + n + ( n − 1) + ( n − ) + + n ( n + 1) = x →1 m + ( m − 1) + ( m − ) + + m ( m + 1) = lim n   m   n   m − = lim  − − − 6) Ta có A = lim     m n m n x →1 − x − x  x →1  − x − x   − x − x       m  n = lim  − − lim  −   m n x →1 − x − x  x→1  − x − x   m − (1 + x + x + + x m −1 ) (1 − x ) + (1 − x ) + + (1 − x m−1 )   m − = lim Và lim   = lim x →1 − x m x →1 − x  x →1 − xm 1− xm  (1 − x ) 1 + (1 + x ) + + (1 + x + x + + x m−2 ) = lim x →1 (1 − x ) (1 + x + x + + x m−1 ) + (1 + x ) + + (1 + x + x + + x m− ) + + + + m − = lim x →1 + x + x + + x m −1 = m = m −1  n −1  n Tương tự ta có lim  − = n x →1 − x 1− x   Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page n  m −1 n −1 m − n  m Vậy lim  − − = = x →1 − x m − xn  2  Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC , đó tử thức mẫu thức có chứa thức Dạng Tính giới hạn vô định dạng Phương pháp giải: Nhân lượng liên hợp để khử dạng vơ định  VÍ DỤ 3− x +3 x →6 x−6 Đs: B = − Ví dụ Tính giới hạn B = lim Lời giải ( )( 3− x +3 3+ x +3 3− x +3 = lim x →6 x →6 x−6 ( x − 6) + x + Ta có: B = lim = lim x →6 − ( x + 3) ( x − 6) (3 + x+3 Ví dụ Tính giới hạn E = lim ) = lim x →6 ( ) 6− x ( x − 6) (3 + x+3 ) ) = lim x →6 −1 −1 = =− 3+ x +3 3+ 6+3 3x + − x − x−2 x →2 Đs: E = −1 Lời giải Ta có E 3x 2 lim x 5x lim x 2 x 3x 2 x lim x 2 A A lim x 3x 2 x B x lim x 2 3x 2 2 5x x x 3x lim x x 2 Suy E A 5x B Ví dụ Tính giới hạn L = lim x →−1 B 2 3x lim 3x lim x x x lim x 3x lim x 5x x 2 3x x 2 lim 5x 5x x x 2 3x 4 x 5x 5x − + x +1 Đs: L = 12 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page Lời giải Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 Ta có: L lim x 5x x 5x lim x x x lim x GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x 5x Ví dụ Tính giới hạn E = lim 5x 2 x lim x x 4 5x 3 x 12 3x + − 3x − x−2 x →2 Đs: E = −1 Đs: F = Lời giải Ta có E 3x x x 3x x 3x 3x 2 x 3x 2 x 2 3x lim 3x x 2 2 2 lim x 2 3x lim 3x x x 2 3x lim x 2 3x 2 2 x 3x 4 + 2x.3 + 4x −1 x Ví dụ Tính giới hạn F = lim x →0 3x 2 x x lim lim x x lim x 3x x 3x 2 lim x lim Lời giải F x 2x x 1 2x.3 x x lim lim x lim x x 4x 3 4x 4x x lim 4x 2x lim x lim x x 2x 4x lim x 2x x lim x x 2x 4x 1 2x x 0 x 2x 2x  BÀI TẬP ÁP DỤNG Tính giới hạn sau: Page Bài Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 lim 3) B x 3x lim x 2x 5) B lim 7) B lim 9) B x 3x Đs: B x x 2x 2x lim x 2 Đs: B x 10 lim 16 6) B lim x Đs: B x x2 8) B lim 2x x x2 2) B lim x 4x 3x 4) B lim x 2x 6) B lim x x x Đs: B x 2 Đs: B x2 4) B 36 2x2 x 3x x2 x x x2 x 1 Đs: B 2 lim 16 54 Đs: B Đs: B Tính giới hạn sau: 1) B lim 3x x Đs: B x 3) B lim x x 5) B lim 7) B x x x x2 x 2x Đs: B x x2 2x x2 x x x Đs: B x x lim Đs: B x x x Đs: B 3x Đs: B x 4x Đs: B x 3 Tính giới hạn sau: 1) L lim 2) L lim 3) L lim 4) L lim 5) L lim x x x 16 5x x x 2x x x x 2x x x2 x 5x 2x x Đs: B 24 Đs: B Đs: L 2x x x x x 84 Đs: L Đs: L 74 Page Bài x x 2) B 10 Bài x Đs: B x 1) B x GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 15  15    x4  + −  2+ −   x + x − 15 x x  x x  = lim  = lim  =2 I = lim x →− x →− x →−    x +1 4 x 1 +  1 +   x   x    1   1   x2  +  x  −  4 +  x7 −  x   x x   x = lim  = lim  = I = lim x →+ x − x + ( ) ( ) x→+ x3  − 13  x 1 +  x→+  − 13  x 1 +  x   x x   x   ( x2 + 1) ( x −1) ( x − 1) ( 5x + ) x →− ( 3x + 1) 2 I = lim 2  1  x 1 −  x  +  x x  = lim  x →− 1  x4  +  x  2 2  1  1 −   +  25 x  x = lim  = x →− 81 1  3+  x   1 1   1 1  x 1 +  x3  −  1+   − 2  ( x + 1) (1 − x ) x x  = lim  x   x  =−1 10 I = lim = lim  5 x →− ( x + ) ( x + 3) x→− x5  +  x 1 +  x→−  +  1 +          x x   x2    x   2   2   2   x 1 +  x 1 +  x 1 +  1 +  x + 2) ( x + 2) (  x   x  = lim  x   x  = − 11 I = lim = lim 2 x →− x →− x →−  1      ( x + 1) (1 − x ) x  +  x  − 1 + −    x  x  x  x    2 2   2  1 +  1 +  x   x (vì lim x = − , lim  =  ) x →− x →−     +  − 1 x  x   ( x + ) (1 − x ) I = lim x →− (1 − x ) x2 12 4  2 1   2 1  x  +  x  − 1  +   − 1 x x  x  x    = lim = lim  =− 5 x →− x →− 32 1  1  x  −  x  − 2 x  x   x3 x2  − 13 I = lim   x →− x − 3x +   x3 ( 3x + ) − x ( 3x − )  x3 x2  x3 + x − = lim Ta có I = lim  = lim  x →− x − x →− x − x + x +  x→− ) ( )( ( 3x − ) ( 3x + )  4 4   x3  +  2+  x x   = lim = lim = x →− x →− 4  2  2   x2  −  x  +   −  +  x  x x  x   3  3  x2  − +   − + 2 3x − x + x x x  x x x   = lim lim  = 14 I = lim x →− x →− x →− 1 1   2x −1 x3  −  −   x  x3    Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page 73 Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 Tính giới hạn sau: 2x − ĐS: − x →1 x − 2− x lim− ĐS: + x →3 − x x − 15 ĐS: − x →2 x − x −5 lim− ĐS: − x →4 ( x − 4) lim+ lim+ −3x + ĐS: + x →2 x−2 − 5x lim+ ĐS: − x →2 x − 3x − ĐS: − x →1 x − x +1 lim+ ĐS: + x →2 x − lim+ x →3 lim− x −3 ĐS: 5x − 15 11 lim− x →2 10 lim − x →( −3) 2− x ĐS: x − 5x + x −1 13 lim− ĐS: − x →1 x + x − 15 lim x2 − x −3 x →3 x−2 17 lim− x −1 −1 x →2 19 lim− x →2 21 lim+ x →3 ĐS: không tồn x−2 x −1 −1 3x − (3 − x ) 23 lim+ x→2 ĐS: x →( −1) x +1 − x −1 x →2 33 lim+ (1 − x ) x →1 x −3 x − 25 x ĐS: x −4 x+5 ĐS: x + 2x − x − −1 x + 25 − ĐS: x −x−2 81 24 lim+ x+ x ĐS: −1 x− x 26 lim+ x+2 x ĐS: −2 x− x x →0 x2 − x + ĐS: − x −9 28 lim− x →3 30 lim + x + 3x + ( ) ) 32 lim + x3 + x →( −1 x →1 x ĐS: x −1 x 1− x ĐS: 2 1− x +1− x 36 lim + x →( −3) Tài liệu biên soạn sưu tầm ĐS: x5 + x x →( −1) 34 lim− ĐS: −30 22 lim x →0 ĐS: ĐS: − x − 11 − x→2  1− x  35 lim+  x  ĐS: x →0  x   Fb: ThayTrongDGL x →4 x−4 ĐS: không tồn x + x − 20 x2 − x + 29 lim− ĐS: − x →1 − x + x − 31 lim+ ( x − ) 16 lim ĐS: x−2 x→2 x →5 ĐS: + ( x + )( x + 1) 14 lim+ 20 lim− − x2 25 lim+ ĐS: x →2 2− x 27 lim + x − 3x + x →3 ĐS: + x − 16 x →1 x −1 ĐS: 2x + x − 18 lim− ĐS: −3 3x + 12 lim+ x −1 ĐS: − x+3 x2 + 5x − ( x + 3) ĐS: − 74 lim− Page Bài GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC   37 lim−  −  ĐS: − x →2  x − x −4 38 lim− x →1 x3 − 3x + ĐS: − x − 5x + Lời giải  lim+ ( x − 3) = −1  x →1 2x − lim+ = −  lim+ ( x − 1) = x →1 x −  x →1  x −  0, x → 1+  lim+ ( x − 15 ) = −13  x →2 x − 15 lim+ = −  lim+ ( x − ) = x →2 x −  x→2  x −  0, x → 2+  lim− ( − x ) = −1  x →3 2− x lim− = +  lim− ( − x ) = x →3 − x  x →3 3 − x  0, x → 3−  lim− ( x − ) = −1  x →4 x −5  lim− = −  lim− ( x − ) = x → x →4 ( x − 4)  ( x − )2  0, x → 4−  lim− ( −3 x + 1) = −5  x →2 −3x + lim− = +  lim− ( x − ) = x→2 x →2 x−2   x −  0, x → 2−  lim− ( x − 1) =  x →1 3x − lim− = −  lim− ( x − 1) = x →1 x −  x →1  x −  0, x → 1−  lim+ ( − x ) = −4  x →2 − 5x lim+ = −  lim+ ( x − ) = x→2 x →2 x −  4 x −  0, x → 2+  lim+ ( x + 1) =  x →2 x +1 lim+ = +  lim+ ( x − ) = x →2 x −  x→2  x −  0, x → 2+ Do x → 3+ nên x − = x − suy lim+ x →3 x −3 x −3 1 = lim+ = lim+ = x → x → x − 15 x − 15 5 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page 75  lim ( x − 1) = −22  x →( −3)− x −1  = −  lim − x + = 10 lim − x →( −3) x →( −3) x +   x +  0, x → ( −3)−  Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 11 Do x → 2− nên − x = − x suy lim− x →2 = lim− x →2 1 = 2x −1 12 Do x → 1+ nên x − = x − suy lim+ x →1 lim x →1+ 2− x 2− x = lim− x − x + x→2 ( x − 1)( x − ) 1 = 2x + 2x + x −1 x −1 = lim+ x + x − x→1 ( x − 1) ( x + x + 3) 13 Do x → 1− nên x − = − x suy lim− x →1 x −1 1− x = lim− x + x − x→1 ( x − 1) ( x + x + 3) −1 =− x →1 x + x + 14 Ta có x − 3x + = ( x − 1)( x − ) , x → 2+ nên x − 3x +  , suy lim− lim+ x − 3x + x−2 x →2 = lim+ x →2 x2 − 15 Ta có lim = lim x −3 x →3 ( x − 1)( x − ) = lim x → 2+ x−2 ( x + 3)( x − 3) x →3 x −9 x −3 TH1: x  ta có lim+ x →3 x −3 x2 − ( x − 1) = = lim+ x →3 ( x + 3)( x − 3) = lim x −3 x →3+ ( x + 3) = − ( x + 3)( x − 3) = lim− ( − x − 3) = −6 x →3 x →3 x − x →3 x −3 2 x −9 x −9 x −9  lim− Do lim+ nên không tồn lim x →3 x − x →3 x − x →3 x − x−4 x−4 16 Ta có lim = lim x →4 x + x − 20 x →4 ( x − )( x + ) TH2: x  ta có lim− = lim− TH1: x  , ta có lim+ x−4 x−4 1 = lim+ = lim+ = x + x − 20 x→4 ( x − )( x + 5) x→4 x + TH2: x  , ta có lim+ x−4 x−4 −1 −1 = lim− = lim− = x + x − 20 x→4 ( − x )( x + 5) x→4 x + x →4 x →4 Do lim+ x →4 2 x−4 x−4 x−4  lim− nên không tồn lim x → x + x − 20 x → x + x − 20 x + x − 20 17 Do x → 2− nên x − = − x suy lim− x →2 lim x → 2− ( ) x −1 −1 = lim− ( x − 2) ( x →2 ) x −1 +1 x −1 −1 x −1 + = 18 Do x → 3− nên x − = − x suy lim− x →3 = lim− x−2 − ( x − 11 + 5 x − 11 − = lim− x →3 (3 − x ) ( x − 11 + ) x − 11 − Page 76 x →3 ) =−4 x −3 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 19 Do x → 2− nên x − = − x suy lim− (( = lim− − x →2 x →2 )) x−2 x −1 −1 = lim− (2 − x) ( x −1 −1 x →2 x − + x − + = −3 20 Ta có x − 25 = ( x − )( x + ) , x → nên x − 25  , suy lim− − ( 25 − x ) ( = lim− ) = lim ( − (5 + x)) − x →5 x →5 ( x →2 ( x + 1) x→2 x →0 x + 25 + 3 x + 25 + ) ) 81 =  lim+ ( 3x + ) =  x →2 3x +  = + ,  lim+ x − 16 = x − 16  x →2  x − 16  0, x → 2+  23 lim+ 24 lim+ ( x − −1 ) ( x − + x − + = −30  lim+ ( x − ) =  x →3 3x −  21 lim+ = + ,  lim+ ( − x ) = x →3 (3 − x )  x →3 ( − x )  0, x → 3+ x + 25 − 27 x + 25 − = lim 22 Ta có lim 2 x →2 x→2 x − x − ( x − )( x + 1) x + 25 + 3 x + 25 + x − 25 x − + x − +1 x − −1 x →5 = lim ) x −1 + x −1 + x+ x = lim x − x x → 0+ ( x( x ) = lim x − 1) x +1 x →0 x +1 = −1 x −1 + ( − x )( + x ) = lim − x + x = − x2 25 lim+ = lim+ ( ) x →2 x → 2+ − x x →2 2− x 26 lim+ x →0 x+2 x = lim x − x x → 0+ 27 Ta có lim + x →( −1) lim− x →3 ) = lim x − 1) x +2 ( x + )( x + 1) x +1 − x −1 x2 − x + = 28 Ta có ( x( x x →0 = lim + ( x − 3) x →( −1) + x +2 = −2 x −1 x + x +1 ( x +1 1− x +1 ) = lim + = x − , x → 3− nên x →( −1) x+2 = 1− x +1 x − x + = − x , suy x2 − x + x2 − x + 3− x −1 = lim = lim− = lim− =− 2 − x →3 x →3 ( x − 3)( x + 3) x →3 x + x −9 x −9 29 Do x → 1− nên x −1  , từ ta có lim− x →1 ( x − 1)( x − 3) 1− x − x x2 − x + 3− x = lim− = lim− = lim− − x + x − x →1 − ( x − 1)( x − ) x →1 − ( x − 1)( x − ) x→1 − x ( x − ) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page 77  3− x  = lim−   = − x →1  1− x x −  Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 lim− x →1 30 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3− x   lim−  =−  = + x → x −5  1− x  lim + x + 3x + x5 + x x →( −1) 31 lim+ ( x − ) x →2 = lim + ( x + 1)( x + ) x →( −1) x x +1 x = lim ( x − ) x − x → 2+ ( ) ) x →( −1 x →( −1) x ( x − )( x + ) 32 Ta có lim + x3 + = lim + x + ( x + 2) =0 x2 x →2 x = lim + ( x + 1) ( x − x + 1) x − x→( −1) x ( x − 1)( x + 1) x ( x + 1) =0 x →( −1) x −1 33 Do x → 1+ nên − x  , ta có  ( x + )( x − 1)2 x+5 = lim  lim (1 − x ) x →1+ x + x − x→1+  ( x − 1)( x + 3)  x 1− x x 1− x 34 lim− = lim− x →1 − x + − x x →1 1− x + 1− x x ( x − 2) = x+2 = lim+ = lim + ( x − x + 1) ( )    = lim   x→1+    = lim− x →1 ( x + 5)( x − 1)  =   x+3 x = + 1− x  x (1 − x )   1− x  2  = lim+ x (1 − x ) = = lim 35 lim+  x  x →0   x →0 x x  x→0+     ( x − 1)( x + 3) = lim x − = − x + 5x − = lim + 36 lim + 2 + x →( −3) x →( −3) x →( −3) x + ( x + 3) ( x + 3)  x + −1     x +1  37 lim−  = lim−  − = lim−    = −  x →2  x − x −  x→2  ( x − )( x + )  x →2  x + x −  38 Do x → 1− nên x −1  , suy x3 − 3x + = lim− lim x →1 x →1− x − x + 2 = lim− x →1 = x − = − x nên ta có (1 − x ) x + ( x − 1)( x + ) = lim− x →1 − x+2 =− x+4 Tính giới hạn sau: sin 5x ĐS: x →0 x 2) lim tan x ĐS: x →0 3x − cos x ĐS: x →0 x 4) lim − cos5x x →0 − cos3x 6) lim x sin ax a  ) ĐS: ( x →0 − cos ax a 8) lim a2 − cos x ĐS: ; a  ( ) x →0 x2 10) lim 1) lim sin 5x.sin 3x.sin x ĐS: x →0 45x 3) lim − cos2 x ĐS: x →0 x.sin x 5) lim 7) lim x →0 sin x − tan x ĐS: − x Page 9) lim a2 − cos ax ĐS: x →0 − cos bx b 78 Bài ( x + )( x − 1) ( x − 1)( x + ) ( x − 1) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC tan x − sin x ĐS: x →0 sin x 12) lim cos x − cos b ĐS: − sin b x →b x −b 14) lim −1 1− 2x +1 ĐS: sin x cos ( a + x ) − cos ( a − x ) ĐS: −2sin a x →0 x 16) lim tan x − tan c ĐS: x−c cos c − cos3 x ĐS: x →0 x sin x 18) lim 11) lim 13) lim 15) lim sin x − sin a ĐS: cos a x →a x−a x →0 x →c sin x − sin a sin 2a ĐS: 2 x →a x −a 2a 17) lim  − cos  x − cos  x ĐS: x →0 x2 x3 + ĐS:12 x →−2 tan ( x + ) 19) lim 20) lim sin ( a + x ) − 2sin ( a + x ) + sin a − cos x cos x cos3x ĐS: − sin ( ) ĐS:1422) lim x →0 x →0 x2 − cos x 21) lim sin ax + tan bx ;(a + b  0) ĐS: x →0 ( a + b) x 24) lim b2 − a − c cos ax − cos bx cos cx ĐS: x →0 − cos x 26) lim 23) lim 25) lim x + − x2 + ĐS: sin x 27) lim x →0 29) lim x →− cos x x+  ĐS: x →0 35) lim x → + cos x ( x − ) x →0 sin 2 x − sin x sin x ĐS: x →0 x4 28) lim x →0 37 − cos5 x cos x ĐS: 121 sin 11x 37) lim sin ( a + x ) − sin ( a − x ) ĐS: cos3 a x →0 tan( a + x) − tan( a − x) 30) lim + x − cos x ĐS: 31) lim x →0 x2 33) lim 33 cos3x − cos5 x cos x ĐS: − x →0 x ĐS: 32) lim x →0 + tan x − + sin x ĐS: x 34) lim x+3 −2 ĐS: tan( x − 1) 36) lim sin( x − 1) ĐS: − x − 4x + x →1 x →1 x + − cos x ĐS: x sin x − sin x ĐS: -1  x x 1 − sin  2  − cos x cos x ĐS: x →0 x 38) lim Lời giải sin x  sin x  = lim  5  = x →0 x →0 x 5x   79 1) lim tan x  tan x  = lim   = x →0 x →0 3x 2x   Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page 2) lim Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC   2 x x   2sin sin       − cos x    = lim    =  = lim 3) lim   2 x →0 x →0 x x   x →0   x            4) lim x →0 sin x sin x sin x  sin x sin x sin x  = lim     = x → 45 x 3x x   5x 2  5x 5x    3x   sin   − cos x = lim  25         = 25 = lim 5) lim     x →0 − cos x x →0 x x →0  5x 3x    sin   2sin        2sin − cos2 x sin 2 x 4sin x cos x sin x   6) lim = lim = lim = lim  4cos x   = x →0 x → x → x → x sin x x sin x x x     ax   1 x sin ax x sin ax sin ax    = = lim = lim   a    7) lim x →0 − cos ax x →0 x →0 ax   a ax a ax    2sin sin      2  ax ax    bx   2sin  sin    − cos ax = lim  a      = a = lim 8) lim x →0 − cos bx x →0 bx x →0   ax  b  bx     sin   b 2sin        2  ax ax    2sin sin   2  − cos ax = lim   a   = a = lim 9) lim   x →0 x →0 x →0 x2 x2   ax        sin x ( cos x − 1) sin x − tan x = lim x →0 x →0 x3 x3 cos x 10) Ta có lim  x x   −2sin x sin sin    = lim  −  sin x     = −1 = lim   x →0 x →0 x cos x  cos x x  x           sin x (1 − cos x ) tan x − sin x = lim = lim  = x →0 x →0 cos x sin x − cos x sin x ( ) x→0  cos x (1 + cos x )  2 cos x−a  x+a x−a  sin sin  x + a  = cos a 2 = lim cos   x →a x−a  x−a     Page sin x − sin a = lim 12) Ta có lim x →a x−a x→a 80 11) lim Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 13) Ta có lim x →b 14) Ta có cos x − cos b = lim x →b x −b x−b  x+b x −b  sin sin   = − sin b 2 = lim − sin x + b   x →b x −b  x −b     ( x →0 x →0 −2sin 2x  1− 2x +1 − 2x −1  = lim  −  =− = lim  x → x → sin x  + x + sin x  sin x + x + lim 15) Ta có lim GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC cos(a + x) − cos(a − x) = lim x →0 x ) −2sin a+x+a−x a+ x−a+ x sin 2 x sin x   = lim  −2sin a   = −2sin a x →0 x   16) lim x →c 17) = lim sin ( x − c )  sin ( x − c )  tan x − tan c 1 = lim = lim   = x → c x → c x−c cos x cos c  cos c ( x − c ) cos x cos c  x −c (1 − cos x ) (1 + cos x + cos x ) − cos3 x lim = lim x →0 x sin x x →0 x sin x Ta có 2sin x →0 x x  + cos x + cos x ) sin  (  + cos x + cos x 2 = = lim     x →0 x x x x   x sin cos cos 2  2  sin x − sin a 18) Ta có lim = lim x →a x →a x2 − a2 − cos x − cos 2a − 2 x − a x + a ( )( ) −2sin ( a + x ) sin ( a − x ) cos 2a − cos x = lim x →a 2( x − a )( x + a ) x →a 2( x − a)( x + a) = lim  sin(a + x) sin(a − x)  sin 2a = lim   = x →a a−x  2a  x+a lim 19) Ta có x →0 cos  x − cos  x = lim x →0 x2 −2sin ( +  ) x sin ( −  ) x 2 x2  ( +  ) x ( −  ) x  sin    −  +  sin  −  2 = lim  −2     = x →0 2 ( +  ) x ( −  ) x      2  Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Page − cos x cos x cos3x − cos x + cos x(1 − cos x) + cos x cos x(1 − cos3x) = lim x →0 x →0 − cos x − cos x 21) Ta có lim 81 ( x + 2) ( x2 − 2x + 4)  ( x + 2)  = 12 x3 + 20) Ta có lim = lim = lim  ( x − x + )   x →−2 tan ( x + ) x →−2 x →−2 tan( x + 2) tan( x + 2)   Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3x   2sin 2  2sin x  = lim 1 + cos x + cos x cos x x →0 x x   2sin 2sin   2  2  3x   x    x     sin      sin x     = + + = 14 = lim 1 + cos x  + cos x cos x     x →0 3x   x   x   sin x   sin   sin     2       sin ( a + x ) − 2sin(a + x) + sin a 2sin ( a + x ) cos x − 2sin ( a + x ) = lim x →0 x →0 x2 x2 22) Ta có lim x −4sin ( a + x ) sin 2sin(a + x)(cos x − 1) = lim = lim 2 x →0 x → x x  x   sin      = − sin a = lim  −4sin ( a + x )     x →0 x          sin ax + tan bx 23) Ta có lim = lim x →0 x →0 ( a + b) x ax  sin ax tan bx sin ax tan bx + bx  a b ax bx = lim ax bx = a + b = x →0 ( a + b) x a +b a +b cos3x − cos5 x cos x cos3x − cos5 x + cos5 x − cos5 x cos x = lim x →0 x →0 x x2 24) Ta có lim = lim x →0 2sin x sin x + cos x(1 − cos x) = lim x →0 x2 2sin x sin x − cos x sin 7x x2  7x     sin x sin x  sin   49 49 33  =8− = lim    −   cos x   =−  x →0 7x 4x x 2           25) Ta có lim x →0 = lim x →0 2sin cos ax − cos bx cos cx cos ax − cos bx + cos bx − cos bx cos cx = lim x → x x2 ( b − a ) x + cos bx(1 − cos cx) ( b − a ) x − 2cos bx sin cx ( a + b) x ( a + b) x sin 2sin sin 2 2 = lim x →0 x2 x2 Page 82  b − a) x ( ( a + b) x cx    sin  b − a sin  sin   b − a c b − a − c c2 2 = = lim     −   cos bx   − = x →0 ( a + b) x cx   4 2 (b − a ) x         Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC sin(a + x) − sin(a − x) = lim x →0 tan ( a + x ) − tan ( a − x ) x →0 26) Ta có lim cos a sin x sin x cos ( a + x ) cos ( a − x ) cos a cos ( a + x ) cos ( a − x ) = cos3 a x →0 cos x = lim 2x + − x2 + 2x + −1 + − x2 + = lim x →0 x →0 cos x sin x 2x −x + 2 x + + 1 + x2 + + x2 + lim 27) Ta có = lim x →0 = lim ) ( sin x 2x x − x + + 1 + x2 + + ( x2 + sin x x x →0 ) = sin x ( sin x − 2sin x cos x ) sin 2 x − sin x  sin x = lim x →0 x →0 x x4 28) Ta có lim 3x x 4sin x sin x sin sin 2sin x sin x ( cos x − cos x ) 2 = lim = lim x →0 x →0 x4 x4 3x x   sin x sin x sin sin  = lim       = x →0 3x x  x  2x   2    sin  x +  cos x 2  29) lim = lim =     x →− x →− x + x + 2 2 30) lim x →0 sin x (1 − 2cos x ) sin x − sin x  sin x − 2cos x  = lim = lim    = −1 x →0 x →0 x cos x x cos x   x  x 1 − 2sin  2  31) Ta có lim x →0  + x − 1 − cos x  + x − cos x + x − + − cos x = lim = lim +   2 x →0 x →0   x2 x2 x x    x    x  sin   2sin    + x2 −1 1   = + =1 = lim  +  = lim  +    x →0 x →0 x  + x2 +  x   2 + x2 + x         ) Page 83 ( Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 32) lim x →0 = lim x →0 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC + tan x − + sin x + tan x − − sin x = lim 3 x → x x + tan x + + sin x ( sin x (1 − cos x ) x3 cos x   = lim  x →0  cos x   ( ( + tan x + + sin x ) = lim x →0 ) 2sin x sin x3 cos x ( + tan x + + sin x x  sin   sin x     x x  + tan x + + sin x    ) x 2 )   =    5x 7x   2sin 2 cos x sin  − cos5 x + cos5 x − cos x ( ) = lim − cos5 x cos x +  33) lim = lim   2 x →0 x →0 x →0 sin 11x sin 11x sin 11x  sin 11x    2   5x  7x    2 sin  25  sin   11x  49  2    11x   = 25 + 49 = 37 = lim  + cos x      x →0 242 5x x   sin11x   242 242 121     sin11x  242           34) lim x →1  x+3 −2 x +3− x −1  = lim = lim    = x →1 tan ( x − 1) x →1 tan ( x − 1) x + + tan x − ( ) x + +   ( )     − x  2   − x  x 2sin    sin  cos    1 + cos x     =  = lim = lim   35) lim = lim 2 x → x →  x → x →  − x    (x − ) (x − ) (x − )         36) lim x →1 37) lim x →0 sin ( x − 1) sin ( x − 1)  sin ( x − 1)  = lim = lim  =− x → x → x − 4x + x −3 ( x − 1)( x − 3)  x −1 x + − cos x x + − + − cos x = lim x →0 x2 x2    x + − 1 − cos x  x2 + −1 2sin x   = lim  + +  = lim  2 x →0   x →0 x x + + x x x       ) (   sin x   = lim  + 2 = +2=   x →0   x    x +1 +1 ) Page 84 ( − cos x + cos x − cos x − cos x cos x = lim x →0 x →0 x2 x2 38) lim Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 (  − cos x cos x − cos x = lim  + x →0  x2 x2    x sin 1  = lim    x →0   x + cos x   ( Bài ) GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC  x   cos x − cos x ( ) 2+  x2 x + cos x   )  = lim  2sin   x →0    ( )    x     sin      sin x   = + =  = lim   x →0       + cos x  x            Tính giới hạn sau: cos3x − cos x ĐS: x →0 cos5 x − cos x 1) lim 3) lim  x→ 5) lim x→ 7) lim x→  9) lim  x→ 2) lim  x→ sin x − sin x ĐS: x →0 sin x + sin x + cos x ĐS: cos x − cos x ĐS:   sin  x −  4  − 2sin x ĐS: cos x − 24) lim − cos x ĐS: x →0 sin x 6) lim sin x − cos x ĐS: − sin 3x    8) lim  tan x.tan  − x   ĐS:  x→  4  cos 3x + 2cos x + ĐS: sin 3x 10) lim tan x − ĐS: − 12 2sin x − x→  Lời giải sin x cos 3x − cos x −2sin x sin x sin x x 1) lim = lim = lim = lim = x →0 cos x − cos x x →0 −2sin x sin x x →0 sin x x →0 sin 3x 3 3x 2) lim  x→ 3) lim x→ − 2sin x − 2sin x 1 = lim = lim = 2 4cos x − x→ − 4sin x x→ + 2sin x 6 + sin x + cos x 2cos x + sin x = lim = lim ( 2cos x + 2sin x ) =   cos x cos x x→ x→ 2 sin x − sin 5x 2cos x sin x = lim = lim 2cos x = x →0 x →0 x →0 sin x sin x Page 85 4) lim Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC      2 − cos x   cos − cos x  2 − cos x  = lim   = lim  5) lim     x→      x→ x→ sin  x − 4 sin  x −  sin  x −   4 4 4     x   x  x  −4sin  +  sin  −  2sin  +      = lim  2 = = lim  x  x  x  x→ 2sin  −  cos  −  x → cos  −  2 8 2 8 2 8 − cos x )  cos x ( − cos x 6) lim = lim x →0 x →0 tan x sin x  1 + cos x + cos x    = lim x →0 cos x (1 + cos x )  1 + cos x + cos x   =      2sin 3  x −            sin 3  x −   2sin  x −   sin x − cos x 3    = lim = lim = lim =− 7) lim        sin 3x     x→ x → sin ( x −  +  ) x→ x → − −sin 3 x −   3 3 sin 3  x −         −3    3 x −  3   tan x    tan x − tan x   = lim = 8) lim  tan x  tan  − x   = lim  2     x→  x → 1 − tan x + tan x  x → (1 + tan x )    4 9) lim x→ cos 3x + cos x + cos3 x − 3cos x + cos x = lim  sin 3x 3sin x − 4sin x x→    cos x − cos  ( 2cos x + 3) cos x 3 = lim = lim   x→ 2sin x + 2sin x − sin x x→ 3 ( ( 2cos x − 1)( 2cos x + 3) cos x )( ) x  − sin  +  ( cos x + 3) cos x 2 6 = lim = x  x→ cos  +  2sin x + sin x   ( ) ( tan x − 1) cos x tan x − 10) lim = lim  2sin x −   tan x + tan x + 1 x→ x→ 4 (1 − tan x )   x→ − cos x (1 + tan x ) ( tan x ) Fb: ThayTrongDGL  + tan x + 1  =− 12 Tài liệu biên soạn sưu tầm 86 = lim ) Page ( Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 Bài 10 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Tính giới hạn sau: 1) lim cos x − ĐS: sin x 2) lim + sin x − cos x ĐS: −1 − sin x − cos x 3) lim sin x ĐS: −1 − sin x − cos x 4) lim − cos x ĐS: sin x x →0 x →0 x →0 sin 5x − sin 3x ĐS: x →0 sin x 5) lim 7) lim x→  2 sin x − ĐS: − 2cos x −   6) lim  −  ĐS: x →0 sin x tan x     sin  − x  6  ĐS: 8) lim  − 2sin x x→   10) lim  − cot x  ĐS: x → sin x   Page 87   sin  − x    ĐS: 9) lim  x → − sin x x →0 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! ... ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 Ví dụ Tính giới hạn B GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x3 3x x x3 lim x Đs: Lời giải x2 x3 B lim x x3 x3 Ví dụ Tính giới. .. 11x + 18 10) A = lim Tính giới hạn sau: Page Bài 2) A = lim Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x3 − x + x +... 54 72 Đs: L Tính giới hạn sau: n lim x ax x Đs: a n Page 1) F 11 Bài x 10) L Bài GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS