Toán học cao cấp

279 38 0
Toán học cao cấp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (Chủ biên) TỐN HỌC CAO CẤP T Ậ P BA PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH NHIÊU BIẾN số NHÀ X U Ấ T BẢN GIÁO DỤC V IỆ T NAM Chương I HÀM SỐ NHIỀU BIẾN s ố 1.1 KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến s ố Xét không gian Euclide n chiều R" (n > 1) Một phần tử X G R" n số thực (X|, ánh xạ X2 , , Xj,) D tập hcfp R" Người ta gọi f :D ^R xác định X = (Xj, X2 , , x^) D 1-^ u = f(x) = f(X|, X2 , , e R hàm sô n biên sô xác định D ; D gọi miên xác định hàm số f ; X], X2, , gọi biến sốđộc lập Nếu xem X|, X2, , toạ độ điểm M e R" hệ toạ độ viết u = f(M) Trong trường hợp thường gặp n = hay n = 3, người ta dùng kí hiệu z = f(x, y) hay u = f(x, y, z) Trong giáo trình ta xét hệ toạ độ đêcac vng góc 1.1.2 Tập hợp R" • Giả sử M(X|, X2 x„), N(yj, y2„ y^) hai điểm R" Khoảng cách hai điểm ấy, kí hiệu d(M, N), cho bỏi công thức / n _ d(M, N) = n1/2 /X i-Y i) Vi=i Có thể chứng minh đuợc với ba điểm A, B, c R", ta có d(A, C) < d(A, B) + d(B, C) (bất đẳng thức tam giác) • Mq điểm thuộc R" Người ta gọi e - lân cận Mq tập hợp tất điểm M R" cho d(M(), M) < e Người ta gọi lán cận Mq tập hợp chứa f - lân cận Mq • E tập hợp R" Điểm M e E gọi điểm E Iiếu tồn £ - lân cận M nằm hoàn toàn E Tập hợp E gọi m điểm điểm • Điểm N e R" gọi điểm biên tập hợp E e - lân cận N vìra chứa điểm thuộc E, vừa chứa điểm không thuộc E Điểm biên tập hợp E thuộc E, không thuộc E Tập hợp tất điểm biên E gọi biên • Tập hợp E gọi đóng chứa điểm biên (tức biên E phận E) Ví dụ : Tập hợp tất điểm M cho d(Mo, M) < r, Mq điểm cố định, r số dương, tập hợp mở Thật vậy, gọi E tập hợp Giả sử M điểm E, ta có d(Mo, M) < r Đặt E = r - d(Mo, M) E - lân cận M nằm hoàn toàn E p điểm lân cận ta có d(M, P) < E, theo bất đẳng thức tam giác d(Mo, P) < d(Mo, M) + d(M, P) < d(Mo, M) + E = r ■ Tập hợp E gọi qud cầu m tâm Mg, bán kính r Biên tập hợp gồm điểm M cho d(Mo, M) = r, gọi mặt cầu tâm Mq bán kính r Tập hợp điểm M cho d(Mo, M) < r tập hợp đóng gọi cầu đóng tâm Mfl bán kính r • Tập hợp E dược gọi hị clỉậỉì ỉiếu tồn cầu chứa • Tập hợp E gọi liéỉì ỉlìỏỉìg nối hai diểm M |, M-) cùa E đường liẻn Hình 1.1a Hình 1.1b lục nằm hoàn loàn E ; lập hợp liên thơng gọi ííơn Hển bị giớithiệu mặt kín (hình l.la ), đa Ỉiêỉt bị2 Ìớihạn bơi nhiều mặt kín rời đơi (hình l.lb ) 1.1.3 Miền xác định hàm sô' nhiều biến số Ta quy ước hàm số u cho bời biểu thức u = f(M) mà khơng nói thêm mién xác định micn xác định u hiểu tập họfp tất điểm M cho biểu thức f(M) có nghĩa, thường lập hợp liên thơng \ dụ ì : Hàm số z = ^ i-x ^ miền xác định -i- y“ < 1, tức cầu đóng tâm o bán kính (hình 1.2 ) V í dụ : Miền xác định cùa hàm số z = ln(x + y - 1) miền X + y > (hình 1.3) Hình 1.2 \ 'í cìụ : Hàm số X = = r xác , V l - x ^ - y .1 ■ định < 1, miền Li xác định cầu mở tâm o bán kính Sau khái niệm trình bầy chi tiết cho trường hợp n = hay n = ; khái niệm mỏ rộng cho trường hợp n nguyên dương 1.1.4 Giới hạn hàm s ố nhiều biến số • Ta nói dãy điểm ỊMj^(Xj^, y„)Ị dần tới điểm M()(Xq, Ỵq)trong viết lim d(M o,M j,) = hay n—> 0, 3S > cho d(Mo, M ) < ố = > | f ( M ) - / < • Khái niệm giới hạn vơ hạn định nghĩa tưcmg tự hàm số biến số Chẳng hạn +y2 —> +00 (x, y) (0 , ) • Các định lí giới hạn tổng, tích, thương hàm số biến số cho hàm số nhiều biến số chứng minh tương tự xy V í dụ ỉ : Tim iim f(x,y), với f(x,y) (x.v)^(O.O) +y2 Hàm số f(x, y) xác định R \((0, 0)Ị Nếu cho (x, y) —> (0, 0) theo phương đường thẳng y = kx, ta có f(x, kx) = X + k' Do lim f(x,kx) = — x-^0 1+ Vậy (x, y) (0, 0) theo phucmg khác nhau, f(x, y) dần tới giới hạn khác Do khơng tồn Ví dụ : Tìm lim f(x,y) (x,y)-H.(0,0 ) lim g(x,y), với g(x, y) = (x,yH( 0,0 ) Hàm số g(x, y) xác định R xy + y^ \ {(0, 0)Ị Vì X •ịy?- + y ^ V(x, y) It (0 , ) nên t g(x,y) Vậy lim g(x,y) = (x,y)^( 0,0 ) y < y < 1, _ Ví dụ ỉ : Tim XV lim h{x,y), với h(x, y) (x,y)->(0 ,0 ) Hàm số h(x, y) xác định "í 2x^+3y" \ Ị (0, 0) Ị Nếu cho (x, y) —> (0, 0) theo phương duờng thẳng y = kx, ta có u3„2 h(x,kx) Vx + k ''x ‘^ Do h(x, y) —> (x, y) (0, 0) theo phương y = kx Nhưng điều khơng có nghĩa giới hạn phải tìm tồn Thật vậy, cho (x, y) ^ (0, 0) đường X = y^, ta có , ' Do h(x, y) - (x, y) (0, 0) dọc theo đường parabôn bậc ba X = y^ 1.1.5 Tính liên tục hàm số nhiều biến số • Giả sử hàm số f(M) xác định miền D, M q mội điểm thuộc D Ta nói hàm số f(M) liên tục M q tồn giới hạn lim f(M ) = f(Mf)) Nếu miền D đóng, Mn điểm biên D lim f(M ) hiểu giới hạn f(M) M dần đến M() bên D Giả sử Mq có toạ độ (X q, yo)> M có toạ độ ( xq + Ax, Yo + Ay) Đặt Af = f(o + Ax, yg + Ay) - f(XQ, yo)- Định nghĩa phát biểu sau : Hàm số f(x, y) gọi liên tục (xq, Yq) xác định Af —> Ax —> 0, Ay ^ Hàm sổ f(M) gọi là-liên tục miền D liên tục lại điểm thuộc D • Hàm số f(M) gọi liên tục đổu trẽn miền D Ve > 0, 3Ô > cho với cập điểm M ’, M" thuộc D mà d (M \ M") < ta có f ( M * ) - f ( M " ) |< e • Hàm số nhiều biến số liên tục có tính chất hàm số biến sơ liên tục Chẳng hạn, hàm số nhiều biến sớ liên tục miền đóng, bị chặn bị chạn miền ấy, đạt giá trị lớn giá trị bé miền ấy, liên tục miền V í dụ : Khảo sát tính liên lục hàm số xy f(x, y) = < a (x, y) (0 , ) X2 + y (x, y) = ( , ) a số dương f(x, y) liên tục V(x, y) (0, 0) thưcmg hai hàm số liên tục m mẫu số khác không Vậy chi cần xét điểm (0, 0) ITieo bất đẳng thức Cauchy, ta có x y | < —(x^ +y^)==>|f(x,y) < ^ ( x ^ 2 ^^ Do a > lim f(x,y) = , f(x, y) liên tục (x,y)->(0,0 ) ( , ) Già s a < l T a c ó X2ơ f(x, x) = — ứ ĩ-a) không liên tục ( , ) dần tới X 0, f(x, y) 1.2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1.2.1 Đạo hàm riêng Cho hàm số II = f(x, y) xác dịnh miền D ; Mq(X(), Ỵq) điểm cúa D Nếu cho y = Yq, hàm số biến số X f(x, Yq) có đạo hàm X = Xq, đạo hàm gọi đạo hàm riêng c ủ a f X M() kí hiệu f'x(XO’yo) hay |^ ( X o ,y o ) h a y |^ ( X o ,y o ) ơx ơx Đặt A^f = f{X() + Ax, Yq) - f(X(), Y q ) Biểu thức gọi số gia riêng f(x, y) theo X (Xq, Yo)- Ta có A^f ơx Ax-^o Ax Tương tự vậy, người la định nghĩa đạo hàm riêng f y M(), kí hiệu fy (x o ,y o )h ay ^ ( x o , y o ) hay y { X Q ,y Q ) Các dạo hàm riêng hàm số n biến số (n > 3) định nghĩa tương tự Khi tính đạo hàm riêng hàm số theo biến số nào, việc xem hàm số phụ thuộc biến số ấy, biến số khác coi không đổi, áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm số biến số V í dụ ỉ ; z = (x > 0) z y —Ị z — = yx-^ dx V, , — = x^lnx dy V í dụ : u = x ‘^ zarctg— (z ^ 0) z d\x 10 ^9 y du T = 3x^zarctg—, — = x^z 1 16 Giải phưcmg trình cấp hai k h in 'ế t: ỉ ) xy" - y’ = y 2) y"- x -l X(X-1) = 0, y'lx=2'^~^ )y " + y ' ( l - y ) = 0, y | , ^ = , y' x=0 4) xy" - y' = X Inx, y X=1 X=1 = -l 5) y y ' - y'2 + y'3 = 6) y"^ + y'2 = 7) y" = 2y' 17 Giải phương trình vi phân : 1) x^(lnx - l)y" - xy' + y = 0, biết có niột nghiệm riêng dạng y> (x ) = x “ , a G R 2) (2x + l)y" + (4x - 2)y' - 8y = 0, biết có nghiệm riêng dạngyị(x) = e“ ^ a e R 3) (x “ l)y" - 6y = 0, biết có nghiệm riêng yj(x) có dạng đa thức 4) (2x - x V ' + (x^ - 2)y’ + 2(1 - x)y = 0, y|^^, = , yj^^, = biết có nghiệm riêng yị(x) = e’^ 18 Giải phương trình (2x - x^)y" + 2(x - l)y ’ - 2y = - biết có hai nghiệm riêng ià y |(x ) = 1, y 2(x) = X 19 Giải phương ưình x(x + l ) y "+ (x + ) y y = X+ X biết phương trình tương ứng có nghiệm riêng dạng đa thức 262 20 Giải phương irình : 1) y y =—— +1 2) y" + 2y' + V = 3e~^ Vx +1 3) y” + y = tgx 4) y" + 5y' + 6y = 1+ e 2x ^ = 1, =0 cos2xvcos2x 21 Giải phương trình : 1) y" “ 7y’ + 6y - sinx 2) y" + 9y = 3) ỵ" - 3y' = - 6x 4) y" - 2y' + 3v = e “ ^ cosx 5) y” 4- 4y = 2sin2x ) y" + y ' + y = 4e"'^ 7) y" - 9y' + 20y = 8) y" + 4y' - 5y = 26^^ 9) y" + 2y’ + 5y = 2xe"^ cos2x 10) y" + y x^cos^x 1 )y "-3 y ' = e^ "-1 x 12) y" + y = c o s \ 13) y" - 4y' + 4y = e^^^cos^x I ) y " - y ' + (1 + a ^ ) y = (1 + a “)cosax, y \^ n x=0 15) y" + 6y' + y = xe“ " 16) y" - (m + l ) y ’ -Hmy = - X - 22 Giải phương trình x^y" + xy' - 4y = x“lnx cách đổi biến số I X= e _ 263 23 Giải phương trình y" - y' = e^^^cose’^ cách đổi biến số t = e \ 24 Giải phưcíng trình ( x - + l ) y " + x2+l x y , bàng (x2+l)2 cách đổi biến số X = tgt, - ? < t < 2 25 Giải phưcfng trình (1 + x^)y" + xy' - y = cách biến đổi biến số X = sht 26 Giải phương trình x V ' ~ 2xy' + (2 - x^)y = phép biến đổi hàm số phải tìm z = — X 27 Giải phương trình x^y ”+ x y '+ (x^ + 2)y = —ỉ— phép biến co sx đổi y = - ^ 28 Đặt r = = r + y ^ + z ^ Tim hàm số ọ (r) hàm số u(x, y, z) thoả mãn phương trình ^ dx^ 29 Đặt r = dy^ dz^ + y ^ Tìm hàm sô' ọ(r) hàm sô' u(x, y) = (p(r) thoả mãn phương trình — - = — , a số ^ ax3y r« / y ' y "> 30 Người ta gọi phương trình có dạng F x / = phương trình y ’ y vi phân cấp hai Qĩứng minh đưa phưotig trình vi phân cấp phép biến đổi — = z Giải phưcmg trình yy" - y'^ + yy' + 264 = 31 Tim hghiệm khai triển thành chuỗi luỹ thừa phương trình vi phân (1 - x V ' - x y ’ + 2y = thoả mãn điều kiện = y'l^=o nghiệm tổng quát phương trình 32 Tim nghiệm khai triển thành chuỗi luỹ thừa phương trình ( l- x ) y " - x y '+ ^ y = thoả mãn điểu kiện y = 1, y' x=0 33 Giải hệ phương trình vi phân : 1) 3) 5) y' = 4y - z z' = y + z 2) Ị y ’= y + z - , Ịz' = - y + 3z + l, y ' = y + 8z + z' = y + z + e“^^ y -1 -l z 6) ,,2 7) y' = 8) z' = z’ = - y 9) ( z - y ) y ’= z - y y+z ( z - y ỵ2 z^ '' = y' = 2y + 3z z' = y -x y y' = 3y - z [z' = y - z y L = o -0 zlx=o=0 y x=0 = z 2y + 3z X yz X dx 10) z+x x+y dy _ dz 34 Giải hệ phương trình : iy' = z - y 1) ,z' = - y - z 2) y' = y - z z' = 3y + 4z 265 dx dt 3) Ểl dt dz dt dx •X+ y + z x -y + z 4) = x + y -z dt dz dt X+ y = -X + 2y + z =x+z Đáp số 1) In xy + x - y = c xy + cơsy-f c 3) X = In V V 5) t g ^ = C t g ^ + V A 8) (x - y)^ = - x + -X c-x y =c -tg 2J 1) y = 4) s in x + In tg 1) Vl + x^ + \Ịl + y'^ = + ỉ c 2) y ’ =3arctge^ - — 3) Mọi nghiệm thoả mãn điều kiện 2( x2 h ) + 4x -X ^ + x l ) y ^ + x y - x ^ = d 4) x(x^ + y^) - y = 5) 6) - 2Cx - d = - 2xy - 8) e 266 =0 3) y = ± x \/l + C^x^ 7) 2) + 2Cy - + 2x - 6y = -2 a rc tg ^ x-3 = C (y + 2) = C(2y + C) xycoS“ X =C c (Đặt x = X + l , y = Y + 2) í V c I ) y = c + v r: X < X > ; X y=— r In X - — + V x' - X X arcsin(2x -1) < X < 2.Vx - í 2) y = C x + ( l + C ) - ; X / / ) y = (I +X^)(X + C ); 6) y = 3) y = (x + l)- ln(x + V x ^ ~ ^ ) \ x2 *— + X*f 2 7) y“ - 2x = Cy^ (giải X theo y) +1 X 8) y = Cx + x ^ a r c tg x - —ln(x^ + 1) ; 9) y = —x ^ ln x 2 10) y = (x^ +1) V2 y = Cx^ + In X + c + (2x2-1), +1 r X (• 7 y = x + e* dt • l 1) J J y2 = c V x; ^ 6(x + l ) 8_ X“ ln x + —+ C xK3) y — 5) X = =1 ; y (x + + Ce-X^) = l 4) y = ' Y >2 —e ' +1 V2 _ y^ ( g iả i X th eo y ) ; ) — = Ce y d n y +C) X J _y2_(_2 x-^-1 y = x2 +- c-x 267 X 10 y x+1 y 2) 11 1) — + x + x y - — + 3y = c xy 3) In 5) =c ; X / ^ 2 + 3x y + =c 4) In X +y 6) + Iny) - x+ y x -y • y X sin — - c o s — X y +X - — = „ c ; r~\ y = c = c y 12 1) a ( x ) = = c ; 2) a ( y ) = ; y e ’^ =c V 3) a ( x y ) = 1 o ^ ; —ln"^x + — = c xy x 2v2 -y "S 4_ X' ; 2) y = -xarctg In c c - 4x-‘’ j2 j4 3) xy = C(x’^ + y ^ ) ; ) x = t + t ^ y = - y + - j + C ^0 5) Phương trình Clairaut Nghiệm tổng quát y = Cx + -^ Nghiệm kì dị = 4x 6) Phương trình Lagrange Nghiệm tổng quát Nghiệm kì dị (x + y) + 2x - 2y + = 7) X u -l _ _ ^ , (u + l)2 + \/3arctg = -u + ^ ln - u +1 s + c u U -H l (Tham số hố phưcmig trình theo t = — , đặt u = - ) 268 y = Cx + C+1 14 1) y = Ke p ; 4) (x^ + y')^ = Kxy 3) y = K(x^ + y ); tc K 2) y = Cx2+1 15 y (x) = - x , y = — X +1 16 1) y = e ^ x - 1) + C|X^ + Q ; 2) y = — (3x^ - x _ 36 x + 72 x+ ) 24 1 3) y=f2 X 4) y = Inx 2(x + l) 5) y - C | ln|y| = X + C ; ĩ) 6) y = C ± acos(x + C |) 7) y = ± | ( x + C j) /2 + C (2 17 1) y = CịX + C l n x ; 2) y = c , e " x + C 3) y = C | ( x ^ - x ) + C 4) y = x + 1)2 In -2 x x+1 x -1 - e’‘ ' 18 y = C|X^ + C ( x - 1) + 1x+2 -X 20 1) y = — ( x - l n ( e ^ +1) + C|)-^^^^— (e^ - I n í e ’^ +1) + C ) 2 2) y = e “ '‘(C| + C X + - ( + x)5/2) 3) y = C | cosx + C S Ì n x - c o s x I n '"x tg 71^ 269 ) y = Cịe + C->e ln (J +e^''") + e ^^arctge'^ / 5) y = C| cosX + C sinX - \/cos2x « IN r- 6v 5sinx + 7cosx 1) y = C | e ' + € 26” '' + — 74 2) y = C| c o s x + C sin x + - e 3x 3) y = C| + C 7e-'*'^ + x ^ 4) y = e^(C | c o s y ịĩx + Cọ siĩì\Ỉ2 x )'i — (5cosx - s i n x ) 41 X 5) y = C|1 cos2x + C29 s iĩi2 x -*2-c o s x 2^-x 6) y - ( C Ị + C ix ) e ^ + x^e / 4x ) y - C i C - ^ - ^ + C 2C -x -U x + 2x V3 ,4x 8) y = C|e-^ +C2C-5X 9) y ^ e ^ ^ íC ị c o s x + C^ sin2x) + e~^ -1x c o s 1x +.7— s i n2 x nx ^ ^ , x^cos2x 4xsin2x 13cos2x 10) y = C.cosx + Cọsinx + - — —-— + — — — + — — — ‘ ^ 27 11) y = c , +C2e3^ + x +2x 3x 12) y = C| c o s x + C s i n x - ^ c o s x + — sinx ' ^ 13) y = e - ’‘( C | + C t X+ — - - cos2x) ' ^ 14) y = cosax + a (e ’‘ - l)sinax ,ax 15) Nế u a ^ - ĩ , y = ( C ị + C x) e 270 + X- ( a + 3)2 V a + 3J .3 Nếua==-3, v=(Cj+C2X)e 16) Nếu m 0, m 1, y -CỊe"^ + C 2e^^^'^ + — -— xe X 1- m Nêu m = 0, y = C|e^ + C + x e ’' + — + _ X m m 2x Nếu m = 1, y = (C| + c , x ) e ’‘ +Ậx2e-'‘ - x - 22 y = ^ +x C t + - l n ^ X - — Inx , 16 X 23 y = CịC' + C9 - cose X 1-X “ 1-x- 24- y= ^C ị j + + ^C-2 - - 5-arctgx 1+ x"^ + x"^ l + x^ 25 y = Cị(yỊị + + x) + C (Vl + -x ) 26 y = x(C|C^ + € 26 “ ^) 27 y - — (C| cosx + C sinx - cosxlnlcosxl + xsinx) 28 (p(r) = C]e^'^ + €26 -2r -4-a 29 Nếu a ^ , a ^ , ọ (r) = (2 -a)(4 -a ) -tCịT^ + C Nếu a = 4, (p(r) = - —ln r + C |r^ + C Nếu a = 2, (p(r)= — I nr + C r^ + C ^ 30 y = C C +x=~2x-C,c^' 31 y = x ; y = C|X + C- ' X 1+ X In -1 -x \ 271 32 y = l + - x - - x - — ^ 16 + + (2n)!! hội tụ khoảng -1 < X < 33 1) y = Cịe^^ +• 2C2C''^, z = C |e"'‘ + 2) y = (C| + C x)e'‘ + —C->e’^,z = (C| + C 2X)e’‘ ) y = C | e " " + C e “ -''^ - x e “ -^-'' 2= _.E2.e-3x LgX ^i_j^g-3x _ l g - x 8 4) y = e ''‘(-2cosx + sinx) + z = e^’‘(-cosx + 3sinx) + 5) y = — C ,C + X, z = C e*"i^ 6)y=f+i.^=f+2 7)y (C|X + C r 8) - = Ci , zy~ y 9) =— C |(C ịX + C2) ' = Cọ " - z“ = C ị, x + (z - y Ỷ = C2 10) ^ ^ = C | , ( x - y f (x + y + z) = C 2y-x 34 1) y = (C| + C 2x ) e '^ ^ z = (C - C| - C2x)e-2x 2) y = e'^’‘(C|Cos3x + C,sin3x), z = e^^^^C-CiSÌnSx + C2Cos3 x) 3) X = c , e + 4) y = c ,e ' + X= Cje"‘ + € 26‘cost + € 36*5int y = CịC^' + C3e'cost - C2e'sint z = CịC^^ - C 3e^cost + Qe^sint 272 z = c , e ' - (C + C )e' ■It MỤC LỤC T rang C hư ơĩĩỊi ỉ HÀM SỐ NHIỂU BIẾN s ố l.l Khiíi n iệ m m đ ắ u 1 Đ ịn h n g h ĩ a h m sô' nhiổi! b iến s ố Ị T ậ p h ợ p Iro n g R" 1.1.3 M iề n x c đ ịn h c ú a h m s ố n h i é u b iế n sỏ 1.1.4 G iới h n c ủ a h m s ố n h i ề u b iế n sỏ' A T ín h ỉiơn lụ c c ủ a h m sò n h icii b iế n s ố 1.2 Đ o h m v vi p h n 10 Đ o h m r ié n g 10 1.2.2 Vi p h â n loàn p h ầ n 11 í Đ o h m c ủ a h m s ố h ợ p 13 1.2.4 Đ o h m v vi phân c ấ p c a o 16 1.2 H m sô' t h u ầ n n h â ì 20 1.2.6 Đ o h m t h e o h n g G r a đ iê n 21 1.2.7 C ô n g th ứ c T a y l o r 24 1.3 C ự c l r ị 25 i C ự c trị c ủ a h m sô' n h iề u b iế n s ố 25 1.3.2 G iá IrỊ lớn n h â ì v n h ỏ n h ấ t c ủ a h m s ố n h i é u b iến Nố Iro n g m ộ t m iề n đ ó n g bị c h ặ n 28 1.4 H m s ố án C ự c Irị c ó đ i ề u k iệ n 29 1.4.1 K h i n iệ m h m s ố ẩn 29 1.4 Đ o h m c ú a h m s ổ ẩ n 33 1.4.3 Đ ị n h lí vé h m s ố n g ợ c 35 1.4.4 C ự c trị c ó đ i ề u k iệ n 37 T ó m lắl c h ir o n g ỉ 43 Bài tậ p 47 Đ p sô' v gợi ý 52 Chương I I ÚNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC ú h g d ụ n g Iro n g h ìn h h ọ c p h ẳ n g 58 1 T i ế p tu y ế n c ủ a đ n g m ộ i đ iế m c ủ a n ó 58 2 Đ ộ c o n g 59 ỉ Đ n g tròn c h ín h k h ú c K h ú c lâ m 62 ỉ Đ cm g túc bế Đ ưcm g th â n k h a i 63 1.5 H ìn h b a o c ủ a m ộ t h ọ đ n g p h ụ t h u ộ c m ộ i íh a m s ố 65 2 ú h g d ụ n g Iro n g h ìn h h ọ c k h ô n g g ia n 2 H m v e c tơ 69 69 273 2 Đ íĩn g 70 2 M ặ i 73 T ó m t chưcTng II 15 Bài t ậ p 77 Đ áp số 79 Chương / / / TÍCH PHẢN BỘI T í c h p h â n p h ụ Ihiiộc i h a m s ố 81 1 T r n g hỢỊi tích p h â n x c đ ị n h 81 T r n g h ợ p !ích p h â n s u v r ộ n g 84 T í c h p h â n k é p 91 K hái n i ệ m lích p h â n k é p 91 2 O í c h lín h tíc h p h â n k é p t r o n g hộ Irục toạ đ ệ đ ề c c 94 3 Đ

Ngày đăng: 25/04/2020, 17:22

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan