LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn GS TSKH Trần Hữu Phát PGS TS Nguyễn Văn Thụ Các kết nghiên cứu luận án trung thực không trùng khớp với cơng trình tác giả khác Hà Nội, ngày 01 tháng năm 2019 Tác giả luận án Hoàng Văn Quyết i LỜI CẢM ƠN! Trước tiên, tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS TSKH Trần Hữu Phát Sự hướng dẫn tận tụy động viên khích lệ thầy nguồn động lực to lớn cho tác giả suốt q trình hồn thành chương trình đào tạo làm luận án Thầy gương sáng đạo đức, tinh thần làm việc nghiêm túc, cống hiến khoa học để tác giả học tập noi theo Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS TS Nguyễn Văn Thụ, thầy tận tình hướng dẫn thảo luận giúp đỡ tác giả hồn thành tính tốn quan trọng luận án Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan người dẫn dắt tác giả đến với đường nghiên cứu khoa học Tác giả xin trân trọng cảm ơn TS Phạm Thế Song nhiệt tình giúp đỡ, thảo luận luận án vấn đề nghiên cứu liên quan Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, Khoa Vật LýTrường Đại Học Sư Phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành chương trình đào tạo, hồn thành luận án Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình tác giả, người dành cho tác giả tình yêu thương trọn vẹn, ngày chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Hà Nội, ngày 01 tháng năm 2019 Tác giả luận án Hoàng Văn Quyết ii Mục lục Lời cam đoan i Danh mục từ viết tắt v Danh mục hình vẽ bảng biểu Mở đầu vii Chương Tổng quan sở lý thuyết hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách 1.1.Tổng quan nghiên cứu lý thuyết hệ ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần 1.2.Cơ sở lý thuyết phương pháp dùng nghiên cứu hệ ngưng tụ Bose Einstein 10 1.2.1 Phương trình Gross-Pitaevskii (GPE) 10 1.2.2 Hệ phương trình Gross-Pitaevskii 11 1.2.3 Phương pháp gần parabol kép(DPA) 14 1.2.4 Phương pháp gần hydrodynamics 16 Chương Hệ thức tán sắc mặt phân cách hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần 18 2.1.Hệ thức tán sắc mặt phân cách hệ BEC hai thành không gian vô hạn 18 2.2.Hệ thức tán sắc mặt phân cách hệ BEC hai thành phần bị hạn chế tường cứng 22 2.3.Hệ thức tán sắc mặt phân cách hệ BEC hai thành phần bị hạn chế hai tường cứng iii 26 Chương Các hiệu ứng kích thước hữu hạn hệ BEC hai thành phần bị giới hạn tường cứng 30 3.1.Điều kiện biên cho thành phần ngưng tụ 31 3.2.Trạng thái hệ 34 3.3.Sức căng mặt phân cách tượng chuyển pha ướt hệ tập hợp tắc lớn(GCE) 41 Chương Các hiệu ứng kích thước hữu hạn hệ BEC hai thành phần bị giới hạn hai tường cứng 51 4.1.Trạng thái hệ 52 4.2.Sức căng mặt phân cách số hiệu ứng kích thước phân bố tắc lớn (GCE) 64 4.3.Sức căng mặt phân cách số hiệu ứng kích thước phân bố tắc (CE) 71 Kết luận kiến nghị 77 Danh sách cơng trình cơng bố kết qủa nghiên cứu luận án 80 Tài liệu tham khảo iv 81 Danh mục từ viết tắt Ký hiệu Tiếng Anh Tiếng Việt BEC Bose-Einstein condensate ngưng tụ Bose-Einstein two segregated Bose-Einstein ngưng tụ Bose-Einstein hai condensates thành phần phân tách CE Canonical ensemble tập hợp tắc GCE Grand canonical ensemble tập hợp tắc lớn BECs DPA MDPA Double-parabola approxima- tion Modified double-parabola approximation GP Gross-Pitaevskii GPE(s) Gross-Pitaevskii equation(s) TIGPEs TPA gần parabol kép mở rộng Gross-Pitaevskii Time-independent Gross- Pitaevskii equations Tripple-parabola gần parabol kép (hệ) phương trình Gross- trình Gross- Pitaevskii hệ phương Pitaevskii không phụ thuộc thời gian approxima- tion gần ba parabol MFA Mean-field approximation gần trường trung bình HDA Hydrodynamic approach gần hsydrodynamic v Danh sách hình vẽ Hình vẽ mơ hai ứng dụng BECs (nguồn: inetrnet) 1.1 Thế tương tác theo tham số trật tự φ 15 2.1 Cấu trúc hình học hệ BEC không gian vô hạn 18 2.2 Mặt phân cách đặt z = z0 tường cứng z = −h 22 2.3 3.1 Mặt phân cách đặt z = z0 tường cứng z = −h2 , z = h1 26 Cấu hình hệ BEC hai thành phần bị giam giữ tường cứng, tường cứng đặt z = −h′ LAj chiều dài xâm nhập thành phần ngưng tụ j(j = 1, 2) miền ngưng tự j ′ (j ′ = 2, 1) = j 3.2 31 Hàm sóng hệ ngưng tụ trạng thái ứng với điều kiện biên √ Robin (c = 1/ 2) với h = Đường nét liền ứng với nghiệm gần DPA, đường nét đứt ứng với nghiệm giải số hệ phương trình GP 39 3.3 Sự phụ thuộc ℓ = f (K, ξ) theo 1/K ξ = 40 3.4 Hàm sóng thành phần miền −h ≤ ̺ ≤ ℓ K = 3, ξ = đường nét chấm ứng với c = (điều kiện biên Neumann), đường nét gạch ứng với c = 1(điều kiện biên Robin), đường nét liền ứng với c = ∞ (điều kiện biên Dirichlet) 3.5 44 Sự phụ thuộc sức căng mặt mặt phân cách GEC theo 1/K ξ = Đường nét chấm, nét gạch nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin Dirichlet 45 3.6 Làm ướt phần, < θ < π/2, (a, b ) Làm ướt hoàn toàn, θ = 0, (c) 47 3.7 Đường chuyển pha ướt, đường nét liền (nét đứt) tương ứng với điều kiện biên Dirichlet (Robin) 48 vi 4.1 ˜ , z = −h ˜ , mặt phân cách z = L,và thành phần ngưng tụ Hai tường cứng z = h 1(2) chiếm vùng z > L(z < L) LAj chiều dài xâm nhập thành phần ngưng tụ j(j = 1, 2) miền ngưng tự j ′ (j ′ = 2, 1) = j 4.2 52 Trạng thái hệ với c1 = −1, c2 = 1, h1 = h2 = 10 đường màu xanh ứng với thành phần 2, màu đỏ ứng với thành phần 1, nét liền (nét đứt) ứng với nghiệm DPA (giải số hệ phương trình GP) 60 4.3 Sự phụ thuộc γ˜12 vào kích thước hệ d = 2h K = and ξ = Đường nét chấm, nét gạch nét liền tương ứng tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin(c1 = −0, 5; c2 = 0, 5) Dirichlet 4.4 67 Sự phụ thuộc vào d = 2h lực FGCE K = 1, 2, ξ = Đường nét chấm, nét gạch nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin (c1 = −0, 5; c2 = 0, 5) Dirichlet 4.5 68 Lực FGCE phụ thuộc vào 1/K h = 5, ξ = Đường nét chấm, nét gạch nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin (c1 = −0, 5; c2 = 0, 5) Dirichlet 4.6 68 Hàm sóng thành phần ngưng tụ khoảng −h ≤ ̺ ≤ ℓ thành phần khoảng ℓ ≤ ̺ ≤ h h = 10, K = 3, ξ = Đường nét chấm, nét gạch nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin (c1 = −1, c2 = 1) Dirichlet 4.7 Sự phụ thuộc sức căng mặt phân cách GCE theo 1/K ξ = Đường nét chấm, nét gạch nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin Dirichlet 4.8 70 71 Sự phụ thuộc sức căng mặt mặt phân cách CE theo 1/K ξ = Đường nét chấm, nét gạch nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin Dirichlet 72 4.9 Sự phụ thuộc sức căng mặt mặt phân cách CE ứng với điều kiện biên Neumann theo kích thước hệ d = 2h ξ = 1, K = 74 4.10 Sự phụ thuộc lực Casimir - like FCE CE theo d ξ = 1, K = 1, 75 vii Mở đầu Lý chọn đề tài Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) trạng thái lượng tử vĩ mô, số lượng lớn hạt vi mơ tập trung trạng thái lượng tử đơn hạt nhiệt độ hệ thấp Tc Hiện tượng dự đốn Einstein vào năm 1925 [23] cho nguyên tử với spin tồn phần có giá trị ngun Dự đoán dựa ý tưởng phân bố lượng tử cho photon đưa Bose [16] trước năm Einstein sau mở rộng ý tưởng Bose cho hệ hạt vật chất chứng minh làm lạnh nguyên tử boson đến nhiệt độ thấp hệ tích tụ lại (hay ngưng tụ) trạng thái lượng tử ứng với lượng thấp tạo nên trạng thái vật chất gọi BEC Năm 1995 nhóm nhà thực nghiệm đại học Colorado viện công nghệ Massachusetts thành công tạo BEC nguyên tử (87 Rb, 23 Na, Li) [1, 2, 17, 21, 42, 44] Những kết thí nghiệm xác nhận tồn BEC ghi nhận giải Nobel Vật lý năm 2001 trao cho E A Conell, C E Wieman W Ketterle [21] Những nghiên cứu lĩnh vực thực bùng nổ sau nhà thực nghiệm thành công việc tạo ngưng tụ BEC hai thành phần không trộn lẫn (BECs) [40, 57] BEC dạng vật chất lượng tử, sóng vật chất lượng tử có đặc tính quan trọng laser, tính kết hợp Mặt khác phương pháp cộng hưởng Feshbach cho phép điều khiển hầu hết tham số quan trọng, chẳng (a) (b) Hình 1: Hình vẽ mô hai ứng dụng BECs (nguồn: inetrnet) hạn cường độ tương tác hai thành phần, nhằm tạo trạng thái theo ý muốn [32] Do BEC(s) mơi trường lý tưởng phòng thí nghiệm để có thể: •Mơ tính chất hệ môi trường đông đặc mà khó nghiên cứu vật liệu thực tế •Kiểm chứng nhiều tượng lượng tử khác nhau, chẳng hạn hình thành xốy Abrikosov, vách ngăn (domain wall) hai thành phần, trạng thái soliton, đơn cực từ (monopole) [3, 6, 12, 20, 25, 26, 33, 41, 49, 58] Trên hình ảnh mô cho hai ứng dụng quan trọng BECs: tạo siêu photon (a) đơn cực từ (b) •Nghiên cứu tượng lượng tử tương tự với tượng thủy động học cổ điển, chẳng hạn tượng không ổn định KenvinHelmholtz [51], khơng ổn định Rayleigh-Taylor [47], Richtmayer-Meshkov [7] Ngồi nghiên cứu BEC đưa ứng dụng quan trọng thực tế, ví dụ chế tạo Laser có bước sóng nhỏ cỡ 10−11 m, chíp điện tử cỡ nguyên tử, chế tạo số loại xăng đặc biệt cho số máy bay qn Chính lí trên, phát BEC mở giai đoạn phát triển vũ bão lĩnh vực lý thuyết thực nghiệm việc nghiên cứu hiệu ứng lượng tử Việc nghiên cứu BEC hai thành phần vấn đề thời sự, hứa hẹn đưa số tính chất vật lý mới, từ mở hướng nghiên cứu vật lý lý thuyết, vật lý môi trường đậm đặc công nghệ chế tạo linh kiện điện tử Tuy nhiên, hầu hết nghiên cứu BECs diễn với hệ thống BECs không gian vô hạn hệ BECs không gian hữu hạn với điều kiện biên Dirichlet, thực nghiệm ứng dụng thực tế lại tiến hành không gian bị giới hạn với nhiều điều kiện biên khác Chính lí trên, định chọn đề tài luận án "Nghiên cứu ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần không gian bị hạn chế " Trong luận án này, khuôn khổ lý thuyết Gross-Pitaevskii (GP) sử dụng phương pháp gần parabol kép (DPA), phương pháp gần hydrodynamics (HDA) để nghiên cứu hệ BEC hai thành phần không gian bị hạn chế với điều kiện biên khác nhằm mục đích tìm số hiệu ứng giới hạn mới, khảo sát ảnh hưởng điều kiện biên đến ổn định hệ Mục đích nghiên cứu • Khảo sát ảnh hưởng giới hạn khơng gian tới tính chất vật lý hệ BEC hai thành phần bị giới hạn tường cứng song song với mặt phân cách, trạng thái cân với điều kiện biên khác Từ tìm điều kiện biên khiến cho hệ ổn định số hiệu ứng vật lý • Tìm hệ thức tán sắc mặt phân cách hệ BEC hai thành phần bị giam giữ tường cứng song song với mặt phân cách lượng nhỏ sức căng mặt phân cách phụ thuộc mạnh vào số tương tác K Với điều kiện Neumann, chúng tơi tìm sức căng mặt phân cách CE: ˜ 12 = H1 + H2 + H3 + H4 , Γ (4.42) H1 = − B11 e−2hβ β (−2 (h + ℓ) β + sinh [2 (h + ℓ) β]) , √ √ √ √ √ √ √ √ H2 = A11 −2 2e 2(2h−ℓ) − 2A11 e2 2(2h−ℓ) + 2e 2ℓ + 2A11 e2 2ℓ − H21 , √ H21 =8A11 e2 2h (h − ℓ) , √ √ √ √ 2(4h+ℓ) 2(2h+ℓ) − 2(3h+ℓ) ξ ξ −e ξ e ξ H3 = − 2B22 e − B22 e− H4 =A22 e 2hβ ξ √ 2(3h+ℓ) ξ 8e √ 2(2h+ℓ) ξ (h + ℓ) − β (h − ℓ) β − ξ sinh √ 2e (h − ℓ) β ξ √ 2h ξ ξ+ √ 2e √ 2(3h+2ℓ) ξ ξ , Từ (4.39) cho tường chạy xa vô cực, ta thu + ξ) ˜ 12 (vh) = β (1 √ Γ + 2β Từ (4.32), (4.39) thấy γ12 = + f (d) = 4, Γ12 (4.43) (4.44) vế phải (4.44) = điều khác với kết tìm thấy hệ vơ hạn, hiệu ứng kích thước có mặt hai tường cứng Nếu cho hai tường tiến đến vô cực, f (d) → Từ (4.33), (4.43) chúng tơi có γ12 (vh) = 4, Γ12 (vh) kết trùng khớp với kết tìm thấy hệ vơ hạn [28] Tiếp theo khảo sát phụ thuộc sức căng mặt phân 73 0.7 0.6 Γ12 P0 ξ1 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 d Hình 4.9: Sự phụ thuộc sức căng mặt mặt phân cách CE ứng với điều kiện biên Neumann theo kích thước hệ d = 2h ξ = 1, K = cách CE ứng với điều kiện biên Neumann theo kích thước hệ d = 2h thu hình vẽ 4.9 Theo hình vẽ 4.9, thấy d nhỏ, d ≤ ξ sức căng mặt phân cách phụ thuộc mạnh vào kích thước hệ, d lớn sức căng mặt phân cách phụ thuộc yếu kích thước hệ Cũng GCE, hệ bị giam giữ hai tường cứng xuất lực tác dụng lên hai tường tựa lực Casimir, gọi lực Casimirlike Lực Casimir-like tác dụng lên đơn vị diện tích tường cứng xác định theo cơng thức ˜ FCE = − ∂d Γ 12 (4.45) Dựa vào (4.45), (4.42) chúng tơi biểu diễn thay đổi lực Casimir - like theo vị trí tường cứng hình (4.10) Từ hình vẽ 4.10, chúng tơi thấy d nhỏ tức tường gần nhau, không gian giam giữ hệ hẹp lực Casimir-like đáng kể lực hút, d lớn lực Casimir-like chuyển dần từ lực hút sang 74 0.0 FCE P ξ1 -0.1 -0.2 -0.3 d Hình 4.10: Sự phụ thuộc lực Casimir - like FCE CE theo d ξ = 1, K = 1, lực đẩy đến d đủ lớn lực Casimir-like biến mất, hiệu ứng kích thước khơng xảy Tổng kết chương Sử dụng phương pháp gần DPA khuôn khổ lý thuyết GP, nghiên cứu hệ thống hai ngưng tụ Bose-Einstein tách biệt bị hạn chế hai tường cứng Kết chúng tơi chương là: • Giải số hệ phương trình GP ứng với hệ BEC hai thành phần bị giam giữ hai tường cứng với điều kiện biên Robin • Tìm hàm sóng thành phần trạng thái ứng với điều kiện khác phương pháp gần DPA So sánh kết tìm với kết giải số hệ phương trình GP, từ cho thấy sử dụng phương pháp gần DPA hệ xem xét cho kết tốt • Sự tương tác nguyên tử thành phần j với tường dẫn đến điều kiện biên khác (Dirichlet, Robin Neumann) Dựa 75 tính tốn giải chúng tơi thu kết ΩDP A (Neumann) < ΩDP A (Robin) < ΩDP A (Dirichlet) , điều chứng tỏ trạng thái hệ thống tương ứng với điều kiện biên Neumann ổn định điều kiện biên Dirichlet Robin dẫn đến trạng thái không ổn định Điều kiện biên Neumann đảm bảo quán không gian bị hạn chế khơng gian vơ hạn • Khi hệ bị giới hạn hai tường cứng tường bị lực giống lực Casimir tác dụng lên, gọi lực Casimir-like Khi khoảng cách hai tường nhỏ, lực Casimir-like đáng kể lực hút, kích thước hệ tăng dần lực Casimir-like chuyển dần sang lực đẩy Khi kích thước hệ đủ lớn lực Casimir-like tiến tới hiệu ứng kích thước khơng xảy • Khi hệ bị giới hạn hai tường cứng xảy hiệu ứng kích thước γ12 (d) = + f (d) = 4, Γ12 (d) hiệu ứng kích thước biến cho tường chạy xa (d lớn) • Khi hệ bị giới hạn hai tường cứng K = sức căng mặt phân cách không biến hệ vô hạn hệ bị giam giữ tường cứng, hiệu ứng kích thước thú vị 76 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ A CÁC KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong luận án này, nghiên cứu cách có hệ thống tính chất vật lý hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách bị giới hạn tường cứng với điều kiện biên khác Dựa lý thuyết Gross-Pitaevskii, phương pháp gần parabol kép, phương pháp gần hydrodynamic thu kết quan trọng ảnh hưởng giới hạn không gian tới cấu hình ngưng tụ, sức căng mặt phân cách, tượng chuyển pha ướt hệ thức tán sắc mặt phân cách Sau nêu sáu kết quan trọng (đồng thời sáu đóng góp luận án): Do hạn chế không gian nên hệ thức tán sắc mặt phân cách giới hạn bước sóng dài thay ω ∼ k 3/2 (ripplon) thay đổi thành ω ∼ k , Kelvin mode Ngoài ra, hệ chuyển động song song với mặt phẳng phân cách, hệ thức tán sắc giới hạn bước sóng dài có dạng ω ∼ k hệ trở nên không ổn định Trạng thái tìm phương pháp gần parabol kép trạng thái tìm giải số hệ phương trình GrossPitaevskii gần nhau, phương pháp gần parabol kép phương pháp gần đáng tin cậy nghiên cứu hệ BEC hai thành phần không gian bị hạn chế với điều biên khác Các hàm sóng ngưng tụ tìm phương pháp gần parabol kép cho phép xác định sức căng mặt phân cách theo tham số đặc trưng hệ tập hợp tắc lớn (GCE) tập 77 hợp tắc (CE) trường hợp từ phân tách yếu (K ∼ 1) đến phân tách mạnh (K → +∞), với độ dài hồi phục hàm sóng ngưng tụ ξ ∈ (0, +∞) Sự tương tác nguyên tử thành phần j với tường dẫn đến điều kiện biên khác (Dirichlet, Robin Neumann) Dùng phương pháp gần parabol kép (DPA) cho hệ phương trình GrossPitaevskii, luận án nghiên cứu kĩ điều kiện biên hệ bị giới hạn hai tường cứng, từ khẳng định có điều kiện Neumann điều kiện Dirichlet, Robin Neumann đảm bảo quán không gian bị hạn chế không gian vô hạn Luận án chứng minh được, lượng hệ trạng thái ứng với điều kiện biên Neumann nhỏ dẫn đến trạng thái hệ ứng với điều kiện biên Neumann ổn định Trong hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần bị giới hạn tường cứng có hai loại chuyển pha ướt bắt nguồn từ hai trạng thái không ổn định ứng với điều kiện biên Robin Dirichlet Tuy nhiên, loại chuyển pha ướt ứng với điều kiện Robin ưu tiên tương ứng với lượng nhỏ Trong hệ BEC bị giới hạn hai tường cứng bên cạnh lực Casimir thơng thường xuất loại lực tương tác tầm xa có đặc điểm tương tự lực Casimir, gọi lực Casimir-like lực Casimir-like ứng với điều kiện Neumann vượt trội lực Casimir-like ứng với điều kiện biên khác B KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Bên cạnh kết đạt luận án, kiến nghị áp dụng phương pháp sử dụng luận án nghiên cứu hai vấn đề sau đây: Ảnh hưởng nhiệt độ tới tính chất tĩnh bề mặt ngưng tụ tượng chuyển pha ướt 78 Hiệu ứng Casimir hệ BEC hai thành phần bị giới hạn tường cứng với điều kiện biên Robin 79 Danh sách công bố kết nghiên cứu luận án Hoang Van Quyet, Nguyen Van Thu, Dinh Thanh Tam, Tran Huu Phat, On the finite-size effects in two segregated Bose-Einstein condensates restricted by a hard wall, Condensed Matter Physics Vol 22, No 1, 13001 (2019) Hoang Van Quyet, Dinh Thanh Tam, Tran Huu Phat, On the Casimir - like effect in system of two segregated Bose-Einstein condensates restricted by two hard walls, Journal of Low Temperature Physics, Volume 196, Issue 5–6, pp 473–493 (2019) Tran Huu Phat, Hoang Van Quyet, Ripplon modes of two segregated Bose-Einstein condensates in confined geometry, Communications in Physics Vol 26, 1, (2016) Hoang Van Quyet, Phan Thi Oanh, Location of interface BoseEinstein condensate mixtures in semi-infinite space under robin boundary condition, Journal of Science (HPU2) 50, 71 (2017) Nguyen Van Thu, Hoang Van Quyet, Antonov wetting line phase transition of two-component bose-einstein condensates under constraint of robin boundary condition, Dalat University journal of science Volume 8, Issue 3, 61–68 (2018) Hoang Van Quyet, Tran Huu Phat, Nambu-Goldstone modes of two immiscible bose-einstein condensates limited by one soft wall, Đăng toàn văn kỷ yếu Hội thảo khoa học cán trẻ trường Đại học sư phạm toàn quốc lần thứ (2015) 80 Tài liệu tham khảo [1] M H Anderson, E A Cornell, J R Ensher, M R Matthews, and C E Wieman, Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor, Science 269, 198 (1995) [2] M R Andrews, K B Davis, D S Durfee, W Ketterle, D M Kurn, M O Mewes, and N J van Druten, Bose-Einstein condensation in a gas of sodium atoms, Phys Rev Lett 75, 3969 (1995) [3] J R Anglin and Th Busch, Dark-Bright Solitons in Inhomogeneous Bose-Einstein Condensates, Phys Rev Lett 87, 010401 (2001) [4] P Ao, S T Chui, Binary Bose-Einstein condensate mixtures in weakly and strongly segregated phases, Phys Rev A 58, 4836 (1998) [5] R A Barankov, Boundary of two mixed Bose-Einstein condensates, Phys Rev A 66, 013612 (2002) [6] Christoph Becker, Simon Stellmer, Parvis Soltan-Panahi, Săoren Dăorscher, Mathis Baumert, Eva-Maria Richter, Jochen Kronjăager, Kai Bongs and Klaus Sengstock, Oscillations and interactions of dark and dark–bright solitons in Bose–Einstein condensates, Nature Phys 4, 496, (2008) [7] A Bezett, V Bychkov, E Lundh, D Kobyakov and M Marklund, Magnetic Richtmyer-Meshkov instability in a two-component BoseEinstein condensate, Phys Rev A 82, 043608 (2010) 81 [8] K Binder, ”Critical behavior at surface” in Phase Transitions and Critical Phenomena, Vol X, 8, (1983) (C Domb and J L Lebowitz, eds.) [9] Shyamal Biswas, Bose–Einstein condensation and the Casimir effect for an ideal Bose gas confined between two slabs, J Phys A: Math Theor 40, 9969 (2007) [10] Shyamal Biswas, Bose-Einstein condensation and Casimir effect of trapped ideal Bose gas in between two slabs, Eur Phys J D 42, 109112 (2007) [11] Shyamal Biswas, J K Bhattacharjee, Dwipesh Majumder, Kush Saha, and Nabajit Chakravarty, Casimir force on an interacting BoseEinstein condensate, J Phys B: At Mol Opt Phys 43, 085305 (2010) [12] R Blaauwgeers, V B Eltsov, G Eska, A P Finne, R P Haley, M Krusius, J J Ruohio, L Skrbek, and G E Volovik, Shear Flow and Kelvin-Helmholtz Instability in Superfluids, Phys Rev Lett 89, 155301 (2002) [13] Daniel Bonn, Jens Eggers, Joseph Indekeu, Jacques Meunier, and Etienne Rolley, Wetting and spreading, Rev.Mod.Phys 81,739 (2009) [14] M Bordag, V Mohideen, and V M Mostpetanenko, New developments in the Casimir effect, Phys.Rep 353, (2001) [15] M Bordag, The Casimir Effect 50 Years Later: Proceedings of the Fourth Workshop on Quantum Field Theory under the Influence of External Conditions, Leipsig, Germany, 14-18 September (1998) [16] S N Bose, Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese, Zeits hrift fur Physik 26, 178 (1924) 82 [17] C C Bradley , R G Hulet, and C A Sackett, and J J Tollett, Evidence of Bose-Einstein condensation in an atomic gas with attractive interactions, Phys Rev Lett 75, 1687 (1995); C C Bradley, R G Hulet, and C A Sackett, Bose-Einstein condensation of lithium: Observation of limited condensate number, Phys Rev Lett 78, 985, (1997) [18] H B G Casimir, On the attraction between two perfectly conducting plates Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie van Wentenschappen, 51, 793, (1948) [19] H.B.G Casimir and D Polder, The Influence of Retardation on the London-van der Waals Forces, Phys.Rev 73, 360 (1948) [20] S Coen, M Haelterman, Domain Wall Solitons in Binary Mixtures of Bose-Einstein Condensates, Phys Rev Lett 87, 140401 (2001) [21] E A Cornell and C E Wieman, Nobel Lecture: Bose-Einstein condensation in a dilute gas, the first 70 years and some recent experiments, Rev Mod Phys 74, 875 (2002); Ketterle, Nobel Lecture: When atoms behave as waves: Bose-Einstein condensation and the atom laser, Rev Mod Phys 74, 1131 (2002) [22] F Dalfovo, S Giorgini, L P Pitaevskii, and S Stringari, Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases, Rev Mod Phys 71, 463 (1999) [23] A Einstein, Quantentheories des einatomigen idealen gases, Sitzungber Preuss Akad Wiss 3, 1925; A Einstein, The λ-phenomenon of liquid helium and the Bose-Einstein degeneracy, Nature 141, 643 (1938) [24] S Gautam and D Angom, Dual-species Bose-Einstein condensate of Rb87 and Cs133 , Phys Rev A 81, 053616 (2010) [25] E A L Henn, J A Seman, E R F Ramos, M Caracanhas, P Castilho, E P Olímpio, G Roati, D V Magalhães, K M F Maga83 lhães, and V S Bagnato, Observation of vortex formation in an oscillating trapped Bose-Einstein condensate, Phys Rev A 79, 043618 (2009) [26] J Ieda, T Miyakawa, and M Wadati, Exact Analysis of Soliton Dynamics in Spinor Bose-Einstein Condensates, Phys Rev Lett 93, 194102, (2004) [27] F Igloi, I Peschel and L Turban, Inhomogeneous Systems with Unusual Critical Behaviour, Adv in Phys 42, 683 (1993) [28] J O Indekeu, C.-Y Lin, N.V Thu, B Van Schaeybroeck, T.H Phat, Static interfacial properties of Bose-Einstein-condensate mixtures, Phys Rev A 91, 033615 (2015) [29] J O Indekeu, N V Thu, C -Y Lin, and T H Phat, Capillary-wave dynamics and interface structure modulation in binary Bose-Einstein condensate mixtures, Phys.Rev A 97, 043605 (2018) [30] J O Indekeu, B Van Schaeybroeck, Extraordinary Wetting Phase Diagram for Mixtures of Bose-Einstein Condensates, Phys Rev Lett 93, 210402 (2004) [31] J O Indekeu and B V Schaeybroeck, Critical wetting, first-order wetting, and prewetting phase transitions in binary mixtures of BoseEinstein condensates, Phys Rev A 91, 013626 (2015) [32] S Inouye, M R Andrews, J Stenger, H -J Miesner, D M Stamper-Kurn, W Ketterle, Observation of Feshbach resonances in a Bose–Einstein condensate, Nature (London) 392, 151 (1998) [33] K Kasamatsu, M Tsubota and M Ueda, Vortices in multicomponent Bose-Einstein condensates, Int J Mod Phys B 19, 1835 (2005) [34] M Krech Casimir Effect in Critical Systems World Scientific, Singapore, (1994) 84 [35] I K Kundu, I M Cohen and D R Dowling, Fluid Mechanics, 5th edition, Elsevier (2012), Amsterdam, Netherlands [36] B A Malomed, A A Nepomnyashchy, and M I Tribelsky, Domain boundaries in convection patterns, Phys Rev A 42, 7244 (1990) [37] I E Mazets, Waves on an interface between two phase-separated BoseEinstein condensates, Phys Rev A 65, 033618 (2002) [38] P W Milonni, The Casimir Effect: Physical Manifestations of ZeroPoint Energy, Physics Today 56, (2007) [39] V M Mostepanenko and N N Trunov The Casimir Effect and its Applications (Oxford Science Publications), Oxford, (1997) [40] C J Myatt, E A Burt, R W Ghrist, E A Cornell, and C E Wieman, Production of Two Overlapping Bose-Einstein Condensates by Sympathetic Cooling, Phys Rev Lett 78, 586 (1997) [41] P Ohberg and L Santos, Dark Solitons in a Two-Component BoseEinstein Condensate, Phys Rev Lett 86, 2918 (2001) [42] C J Pethick and H Smith, Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge University Press, Cambridge (2002) [43] Tran Huu Phat, Nguyen Van Thu, Finite-size effects of linear sigma model in compactified space–time, Int J Mod Phys A 29, 1450078 (2014) [44] L P Pitaevskii and A Stringari, Bose-Einstein Condensation, Clarendon Press, Oxford, (2003) [45] A Recati, J N Fuchs, C S Peca and W Zwerger, Casimir forces between defects in one-dimensional quantum liquids, Phys Rev A 72, 023616 (2005) [46] A W Rodriguez, F Capasso and S G Johnson, The Casimir effect in microstructured geometries, Nature Photonics 5, (2011) 85 [47] K Sasaki, N Suzuki and H Saito, Capillary instability in a twocomponent Bose-Einstein condensate, Phys Rev A 83, 053606 (2011) [48] B V Schaeybroeck, Interface tension of Bose-Einstein condensates, Phys Rev A 78, 023624 (2008); Ibid 80, 065601 (2009) (addendum); PhD thesis, KU Leuven, (2007) [49] D T Son and M Stephanov, Domain walls of relative phase in two-component Bose-Einstein condensates, Phys Rev A 65, 063621 (2002) [50] D A Takahashi, M Kobayashi, and M Nitta, Nambu-Goldstone modes propagating along topological defects: Kelvin and ripple modes from small to large systems, Phys Rev B 91, 184501 (2015) [51] H Takeuchi, N Suzuki, K Kasamatsu, H Saito and M Tsubota, Quantum Kelvin-Helmholtz instability in phase-separated twocomponent Bose-Einstein condensates, Phys Rev A 81, 094517 (2010) [52] Hiromitsu Takeuchi and Kenichi Kasamatsu, Nambu-Goldstone modes in segregated Bose-Einstein condensates, Phys Rev A 88, 043612 (2013) [53] Nguyen Van Thu, Tran Huu Phat, Pham The Song, Wetting phase transition of two segregated Bose–Einstein condensates restricted by a hard wall, Phys Rev Lett A 380, 1487 (2016) [54] Nguyen Van Thu, Static properties of Bose–Einstein condensate mixtures in semi-infinite space, Phys Rev Lett A 380, 2920 (2017) [55] Nguyen Van Thu, Tran Huu Phat, Pham The Song, Finite-Size Effects of Surface Tension in Two Segregated BECs Confined by Two Hard Walls, J Low Temp Phys 186, 127 (2017) 86 [56] Nguyen Van Thu, Luong Thi Theu, Casimir Force of Two-Component Bose–Einstein Condensates Confined by a Parallel Plate Geometry, J Stat Phys 168, 1, (2017) [57] E Timmermans, Phase Separation of Bose-Einstein Condensates , Phys Rev Lett 81, 5718 (1998) [58] Marek Trippenbach, Krzysztof Góral, Kazimierz Rzazewski, Boris Malomed and Y B Band, Structure of binary Bose-Einstein condensates, J Phys B : At Mol Opti Phys 33, 4017 (2000) [59] ZehuiDengab, Bert VanSchaeybroeck, Chang-You Lin, Nguyen Van Thu, Joseph O.Indekeu, Interfacial tension and wall energy of a Bose–Einstein condensate binary mixture: Triple-parabola approximation, Physica A 444, 1027 (2016) [60] G E Volovik, On the Kelvin–Helmholtz Instability in Superfluids, JETP Letters, 75, 8, (2002) 87 ... tiến hành không gian bị giới hạn với nhiều điều kiện biên khác Chính lí trên, chúng tơi định chọn đề tài luận án "Nghiên cứu ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần không gian bị hạn chế " Trong luận... hệ ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách Chương Hệ thức tán sắc mặt phân cách hệ ngưng tụ BoseEinstein hai thành phần Chương Các hiệu ứng kích thước hữu hạn hệ BEC hai thành phần bị. .. sở lý thuyết hệ ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần phân tách 1.1.Tổng quan nghiên cứu lý thuyết hệ ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần