CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM a/ Định nghĩa: Cho hai hàm số F  x  , f  x xác định khoảng a, b F  x  gọi nguyên hàm f x F ' x   f x , x  a, b b/ Định lý: Nếu F  x  nguyên hàm f  x khoảng a, b f  x có vơ số nguyên hàm khoảng a, b Các nguyên hàm có dạng F x   c (c số) Người ta thường ký hiệu  f x dx tập hợp nguyên hàm f x  f x  dx  F x  c c/ Các tính chất: / 1)   f ( x)  f (x) 2)  k f ( x)dx  k. f ( x)dx (k  0)   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx  f (t )dt  F (t )  C   f (u( x)).u '( x)dx  F (u( x))  C 3) 4) d/ Các công thức nguyên hàm Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp  0dx  C;   x dx    dx  x  C x 1  C (  1)  1 dx  ln x  C ( x  0) x x  e dx  e x  a dx  x C ax  C (0  a  1) ln a  coxdx  sin x  C  sin xdx   cos x  C dx  cos x dx  sin x Nguyên hàm hàm số hợp ( với u = u(x) )  u ' dx   du  u  C   u ' u dx     u du  u  1 C  1 u' du dx    ln u  C u u  u 'e u (   1) ( u  0) dx   e u du  e u  C u  u ' a dx  u  a du  au C ln a (0  a  1)  u' cos udx   cos udu  sin u  C  u' sin udx   sin udu   cos u  C u ' dx du   tan u  C u cos u u ' dx du    cot u  C sin u sin u  tan x  C  cos  cotx  C  e/ Công thức nguyên hàm thường gặp dx 1 0.  c x x 2.  ax  b  dx  4. xdx  6. 8. x ax  bx  C   x dx ax  b n  1 n1 a n  1ax  b  ax  b  3.  ax  b  dx  a n 1 C 7. dx  ln ax  b  c ax  b a 9. e kx C k a kx 12. a kx dx  C k.ln a  dx ax  b   1 c a ax  b axb e c a 13. a px  q dx  a px  q  c p ln a dx 1 15.  cot  ax  b   c sin  ax  b  a dx 17.  tan  ax  b   c 2 cos ax  b  a dx ax  b 19.  ln tan c sin  ax  b  a 11. eaxb dx  14  sin ax  b dx   a cos ax  b  c 16  cos ax  b dx  a sin ax  b  c dx ax  b  ln tan c sin  ax  b  a 20. tan xdx   ln cos x  c 21  cot xdx  ln sin x  c 22. tan  ax  b  dx   ln cos  ax  b   c a 23. cot  ax  b  dx  24  tan xdx  tan x  x  C  c ax  b  c 3a dx  ax  b  C a ax  b 5. ax  bdx  dx  x  C c n 1 n 10. e kx dx  18. 1. ln sin  ax  b   c a 25  cot xdx   cot x  x  C    26  tan x  dx  tan x  C 27  co t x  dx   cot x  C 28  tan  ax  b  dx  tan  ax  b   x  C a 29  30  cot  ax  b  dx   cot  ax  b   x  C a 32. ln  ax  b  dx  x ln  ax  b   x  33. 35  31. dx x a  ln c 2a x a x a b  ln ax  b   c a x x   ln x  x   c 2 x k x2  kdx  x2  k  ln x  x2  k  c 2 34. lnx dx  x lnx  x  c x  1dx  37.  x dx , đặt x = sin t dx x 1  ln c x 1 x 1 36. 38. dx x k 1  x2  ln x  x  k  c dx , đặt x = sin t 39. a  x dx , đặt x = a.sin t dx , đặt x = tan t x 1 sin n 1 x 43. sin n x.cosx dx  C n 1 45. esin x cos xdx  esin x  C 41. dx , đặt x = a.sin t a  x2 42. dx , đặt x =a tan t x  a2 cos n 1 x 44. cos n x.sinx dx   C n 1 46. e cos x sin xdx  e cos x  C 40. 2 1.1.1 Tích Phân: a/ Định nghĩa: Cho hàm số f x lên tục đoạn a, b , F  x  nguyên hàm f  x Tích phân f  x   đoạn a, b số thực Kí hiệu:   b  f x dx xác định : a b  f x dx  F b  F a  a b b Người ta thường dùng kí hiệu F x  (hoặc F x  ) để F b  F a   a a b Khi đó:  a b f x  dx   F x   a b/ Các tính chất : Giả sử hàm số f(x) g(x) liên tục khoảng  ;   có nguyên hàm khoảng đó, a, b, c   ;   , ta có: a 1) b  f ( x)dx  a b 4)  a b a b f ( x)dx    f ( x)dx 3) b b  k f ( x)dx  k. f ( x)dx a a b   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx a c 5) 2)  a a b a c f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx a b b 6) f ( x)  đoạn [a; b] =>  f ( x)dx  a b 7) f ( x)  g ( x) đoạn [a; b] =>  a b f ( x)dx   g ( x )dx a b 8) m  f ( x)  M đoạn [a; b] => m(b  a )   f ( x)dx  M (b  a ) a t 9) Cho t biến thiên đoạn [a; b] => G (t )   f ( x)dx nguyên hàm f(t) G(a) = a ỨNG DỤNG HINH HỌC CỦA TÍCH PHÂN 1.1.1.1 Tính diện tích hình phẳng : a/ Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C):y = f(x), đường thẳng b x = a, x = b trục hoành Ox : S   f ( x) dx (đvdt) a * Chú ý : - Nếu f(x) không đổi dấu đoạn [a;b] (hay phương trình f(x) = vơ nghiệm, có nghiệm kép b đoạn [a;b]) S  (đvdt)  f ( x)dx a - Nếu f(x) đổi dấu đoạn [a;b] ( phương trình f(x) = có nghiệm đơn đoạn [a;b], giả sử x2 x1 nghiệm x1, x2 S   f ( x ) dx + a  b f ( x)dx +  f ( x)dx x1 ( đvdt) x2 b/ Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C1): y = f(x), (C2) : y = g(x) đường b thẳng x = a, x = b : S   f ( x)  g ( x) dx ( đvdt) a ( Lập luận tương tự ta có trường hợp phần a) ) 1.1.1.2 Tính thể tích vật thể tròn xoay : - Vật thể tròn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường (C):y = f(x) b x = a, x = b y = quay quanh Ox tích là: V    y dx a - Vật thể tròn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường (C):x = g(y) b x = a, x = b x = quay quanh Oy tích là: V    x dx a ...  f ( x ) dx + a  b f ( x)dx +  f ( x)dx x1 ( đvdt) x2 b/ Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C1): y = f(x), (C2) : y = g(x) đường b thẳng x = a, x = b : S   f ( x)  g ( x) dx ( đvdt)