ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— DƯƠNG THỊ VÂN VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH LIÊN QUAN ĐẾN GIẢ THYẾT BRUCK LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— DƯƠNG THỊ VÂN VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH LIÊN QUAN ĐẾN GIẢ THYẾT BRUCK Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - Năm 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn "Vấn đề cho hàm phân hình liên quan đến giả thuyết Bruck" trung thực không chép từ đề tài khác, thơng tin trích dẫn luận văn có nguồn gốc rõ ràng, tơi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2019 Người viết Luận văn Dương Thị Vân Xác nhận Xác nhận Trưởng khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học PGS.TS Hà Trần Phương i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Hà Trần Phương, người bảo tận tình trực tiếp hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thành tốt luận văn Tơi xin gửi lời biết ơn chân thành tới thầy cô giáo dạy cao học trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln cổ vũ, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tồn q trình học tập Thái Ngun, tháng năm 2019 Người viết luận văn Dương Thị Vân ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục ii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Các hàm Nevanlinna tính chất 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Hai định lý 10 Các kết bổ trợ Giả thuyết Bruck vấn đề 13 22 2.1 Một số dạng tổng quát giả thuyết Bruck 22 2.2 Vấn đề liên quan đến giả thuyết Bruck 35 Tài liệu tham khảo 46 iii Mở đầu Cho f g hàm phân hình C Ta nói f g chung giá trị phức a không kể bội f −1 (a) = g −1 (a) Ta nói f g chung giá trị phức a kể bội Ef (a) = Eg (a), Ef (a) = (z, m) ∈ C × Z+ : ordf −a (x) = m Năm 1979, E Mues and N Steinmetz chứng minh: "Với hàm nguyên khác f , f f chung hai giá trị phức phân biệt khơng kể bội đồng nhau" Như mở rộng tự nhiên, năm 1996, Bruck [2] đặt giả thuyết tiếng mà ta quen gọi giả thuyết Bruck : Giả thuyết Bruck "Cho f hàm nguyên khắc C cho ρ2 (f ) số tự nhiên ρ2 (f ) < ∞ Nếu f f chung giá trị a kể bội f −a f −a = c, c số khác " Ở ρ2 (f ) = lim sup r→∞ log log T (r, f ) log r Trong báo ([2]) tác giả chứng minh trường hợp a = Ngồi Ơng chứng minh: "Cho f hàm nguyên khắc C Nếu f f chung giá trị kể bội N (r, 0, f ) = S(r, f ) số khác " f −1 f −1 Về sau, có nhiều nhà tốn học quan tâm đến việc tổng quát giả thuyết Bruck sử dụng giả thuyết để nghiên cứu vấn đề Có nhiều cách mở rộng, nghiên cứu giả thuyết Bruck cho trường hợp hàm phân hình, thay đạo hàm f đạo hàm cấp cao, Và tác giả thu nhiều kết Với mong muốn tìm hiểu vấn đề có liên quan đến giả thuyết Bruck, tơi chọn đề tài:"Vấn đề cho hàm phân hình liên quan đền giả thuyết Bruck".Mục đích đề tài trình bày lại kết nghiên cứu gần A Banerjee and B Chakraborty [2] năm 2016 B Chakraborty [3] năm 2018 số dạng tổng quát giả thuyết Bruck sử dụng để nghiên cứu số kết vấn đề Nội dung luận văn gồm có chương: Chương trình bày số khiến thức lý thuyết Nevanlinna bổ đề để chứng minh số kết chương Chương chương luận văn, chương giới thiệu số dạng tổng quát giả thuyết Bruck vấn đề liên quan đến giả thuyết Bruck Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các hàm Nevanlinna tính chất 1.1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm chỉnh hình f mặt phẳng phức C, điểm z0 không điểm bội k f tồn hàm chỉnh hình h(z) khơng triệt tiêu lân cận U z0 cho lân cận hàm f biểu diễn dạng: f (z) = (z − z0 )k h(z) Nghĩa f (z0 ) = f (z0 ) = = f k−1 (z0 ) = f k (z0 ) = Với z ∈ C, ta kí hiệu: ordf (z0 ) = k z0 không điểm bội k f ordf (z0 ) = f (z0 ) = Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm phân hình f mặt phẳng phức C f = f1 f2 f1 , f2 hai hàm chỉnh hình Điểm z0 không điểm bội k f z0 không điểm bội k f1 , z0 cực điểm bội k f z0 không điểm bội k f2 Trong mặt phẳng C, ta kí hiệu: D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} ; D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} ; ∂D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | = r} ; tương ứng hình tròn mở, hình tròn đóng đường tròn tâm z0 , bán kính r Với z0 = ta kí hiệu ngắn gọn DR = D(0, R); DR = D(0, R) Định lý 1.1.3 (Công thức Poison-Jensen [4]) Giả sử f (z) ≡ hàm phân hình đĩa đóng DR , < R < ∞ Giả sử a1 , a2 , , ap không điểm kể bội f DR , b1 , , bp cực điểm kể bội f DR Khi với z {|z| < R} khơng phải không điểm hay cực điểm f , ta có log |f (z)| = 2π 2π p − i=1 R2 − |z|2 log f (Reiϕ ) dϕ iϕ |Re − z | R − z log − R(z − ) q log j=1 R − aj z R(z − aj ) Với số thực x > 0, ta kí hiệu log+ x = max {log x, 0} Khi log x = log+ x − log+ x1 Bây ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ hàm đặc trưng hàm phân hình Cho f hàm phân hình DR số thực r > 0, < R ≤ ∞, r < R Dễ thấy 2π 2π 2π log f (re ) dϕ = 2π iϕ log + f (re ) dϕ− 2π 2π log+ iϕ dϕ f (reiϕ ) Định nghĩa 1.1.4 ([4]) Hàm m(r, f ) = 2π 2π log+ f (reiϕ ) dϕ gọi hàm xấp xỉ hàm f Kí hiệu n(r, f1 ) số không điểm kể bội, n(r, f1 ) số không điểm không kể bội f , n(r, f ) số cực điểm kể bội, n(r, f ) số cực điểm không kể bội f Dr , nk (r, f ) số cực điểm bội cắt cụt k f (tức cực điểm bội l > k tính k lần tổng nk (r, f ) Dr Định nghĩa 1.1.5 ([4]) Hàm r N (r, f ) = n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t gọi hàm đếm kể bội f (còn gọi hàm đếm cực điểm) Hàm r N (r, f ) = n(r, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t hàm đếm không kể bội Hàm r Nk (r, f ) = nk (t, f ) − nk (0, f ) dt + nk (0, f ) log r t hàm đếm bội cắt cụt k , n(0, f ) = limt→0 n(t, f ); n(0, f ) = limt→0 n(t, f ); nk (0, f ) = limt→0 nk (r, f ) Số k nk (r, f ) số bội cắt cụt Ví dụ 2.6 Cho f (z) = ez ez +1 P [f ] = f − f , Q [f ] = f − 3f f + f f − f f f + f f f Khi P [f ] Q [f ] chung kể bội Q[f ]−1 P [f ]−1 = 1, (2.7) khơng thỏa mãn Ví dụ 2.7 Cho f (z) = ez +1 P [f ] = (f )2 − f f , Q [f ] = 2f f − f f Khi P [f ] Q [f ] chung kể bội Q[f ]−1 P [f ]−1 = 1, (2.7) không thỏa mãn Ơ lưu ý = d (Q) > 2d (P ) − d (P ) = Ví dụ 2.8 Cho f (z) = Q [f ] = f (z) = e2z z (e +1)4 ez +1 P [f ] = f , Q [f ] = f f − f f Khi P [f ] = chung z Q[f ]− z1 P [f ]− z1 kể bội = 1, (2.7) không thỏa mãn Bây xem xét năm ví dụ, hai ví dụ cho thấy hai điều kiện nêu (ii) cần thiết để có kết luận (a) Định lý 2.1.10 cho đa thức vi phân P [f ], ba ví dụ lại chứng minh tương tự cho đa thức vi phân không Ví dụ 2.9 Cho f (z) = sin z P [f ] = f 2if f − f 2 − f + 2if f , Q [f ] = f − Khi P [f ] = −e−2iz Q [f ] = −e2iz chung kể bội Ở T (r, Q) = 2r π + O (1 ), (2.7) thỏa mãn, Q[f ]−1 P [f ]−1 = e2iz , tức P [f ] Q [f ] = Ví dụ 2.10 Cho f (z) = sin z P [f ] = 3f + f − 2if f , Q [f ] = f − 2if f − f Khi P [f ] = − e2iz Q [f ] = e−2iz chung kể bội Ở (2.7) thỏa mãn, Q[f ]−1 P [f ]−1 = e−2iz , tức P [f ] Q [f ] + = Ví dụ 2.11 Cho f (z) = cos z P [f ] = f − 3if f Q [f ] = 3f − 4f + 3if f + if + 3if f − 3if − if , Khi P [f ] = e3iz Q [f ] = e−3iz 33 chung kể bội Ở T (r, Q) = Q[f ]−1 P [f ]−1 2r π + O (1 ), (2.7) thỏa mãn, = −e−3iz , tức P [f ] Q [f ] = Chúng lưu ý d (P ) = d (P ), = d (Q) ≯ 2d (P ) − d (P ) = Ví dụ 2.12 Cho f (z) = cos z P [f ] = −2f f + f −ff − f + if , Q [f ] = −f + if Khi rõ ràng P [f ] = eiz + Q [f ] = −e−iz chung kể bội Ở T (r, Q) = Q[f ]−1 P [f ]−1 2r π + O (1 ), (2.7) thỏa mãn, = −e−iz , P [f ] Q [f ] − 2Q[f ] + = Lưu ý d (P ) = d (P ), = d (Q) ≯ 2d (P ) − d (P ) = Ví dụ 2.13 Cho f (z) = cos z P [f ] = −f − if + (1 + i)f + (1 + i)f , Q [f ] = if − f Khi P [f ] = + i − e−iz Q [f ] = ieiz chung i kể bội Ở (2.7) thỏa mãn P [f ] Q [f ] − (1 + i)Q[f ] + i = Khi ta coi i giá trị chung xét giá trị chung Q[f ]−1 P [f ]−1 Q[f ]−i P [f ]−i = ieiz , mặt khác = eiz Lưu ý d (P ) = d (P ), = d (Q) ≯ 2d (P ) − d (P ) = Hai ví dụ sau cho thấy để có kết luận (a) (b) Định lý 2.1.10, điều kiện (2.7) điều cần thiết Ví dụ 2.14 Cho f (z) = sin z P [f ] = if + f , Q [f ] = 2f − (f + f ) Khi P [f ] = eiz Q [f ] = eiz + e−iz − chung kể bội Khi kết luận Định lý 2.1.10 khơng điều kiện (2.7) không thỏa mãn Chú ý Q[f ]−1 P [f ]−1 = eiz −1 eiz P [f ] Q [f ] − eiz Q[f ] = Ví dụ 2.15 Cho f (z) = cos z P [f ] = f − if , Q [f ] = 2f − (f + f ) Khi P [f ] = eiz Q [f ] = eiz + e−iz − chung kể bội Khi kết 34 Định lý 2.1.10 không điều kiện (2.7) không thỏa mãn Chú ý 2.2 Q[f ]−1 P [f ]−1 = eiz −1 eiz P [f ] Q [f ] − eiz Q[f ] = Vấn đề liên quan đến giả thuyết Bruck Trong phần giới thiệu số kết vấn đề liên quan đến giả thuyết Bruck Vào năm 2005, Zhang [9] tiếp tục mở rộng kết Lahiri Sarkar đến hàm nhỏ chứng minh kết sau: Định lý 2.2.1 ([9]) Cho f hàm phân hình khác cho k(≥ 1) l(≥ 0) số nguyên Cho a ≡ a(z) (≡ 0, ∞) hàm phân hình nhỏ Giả sử f − a f (k) − a chung (0, l) Nếu l ≥ 2N (r, ∞; f ) + N2 r, 0; f (k) + N2 r, 0; f a < (λ + o(1)) T r, f (k) , f a < (λ + o(1)) T r, f (k) , l = 2N (r, ∞; f ) + N2 r, 0; f (k) + 2N r, 0; l = 4N (r, ∞; f ) + 3N2 r, 0; f (k) + 2N r, 0; f a < (λ + o(1)) T r, f (k) với r ∈ I , < λ < I tập hợp độ đo tuyến tính vơ hạn, f (k) −a f −a = c với số c ∈ C/ {0} Cho aj (j = 0, 1, , k − 1) hàm phân hình nhỏ f Đặt L(f ) = f (k) + ak−1 f (k−1) + + a0 f Năm 2007, Zhang Yang [3] chứng minh kết sau: 35 Định lý 2.2.2 ([3]) Cho f hàm phân hình khác hằng, cho k(≥ 1) l(≥ 0) số nguyên Cho a ≡ a(z) (≡ 0, ∞) hàm phân hình nhỏ Giả sử f − a L(f ) − a chung (0, l) Nếu l ≥ δ2+k (0, f ) + δ2 (0, f ) + 3θ (∞, f ) + δ (a, f ) > 4, l = k+7 k δ2+k (0, f ) + δ2 (0, f ) + δ1+k (0, f ) + θ (∞, f ) + δ (a, f ) > + 5, 2 l = δ2+k (0, f )+2δ1+k (0, f )+δ2 (0, f )+Θ (0, f )+(6+2k)θ (∞, f )+δ (a, f ) > 2k+10, f = L(f ) Gần Li, Yang Liu [7] cải thiện định lý thu kết sau: Định lý 2.2.3 ([7]) Cho f hàm phân hình khác cho P [f ] đa thức vi phân khác với bậc d trọng số Γp thỏa mãn Γp ≥ (k + 2) d − Cho l ≥ số nguyên, cho a ≡ a(z) (≡ 0, ∞) hàm phân hình nhỏ Giả sử f − a P [f ] − a chung (0, l) Nếu l ≥ dδ2+Γp −d 0, f d + δ2 (0, f ) + 3θ (∞, f ) + δ (a, f ) > 4, l = d + Γp − d dδ2+Γp −d 0, f d + δ2 (0, f ) + δ1+Γp −d 0, f d + θ (∞, f ) + δ (a, f ) 2 Γp + > , l = dδ2+Γp −d 0, f d +2δ1+Γp −d 0, f d +δ2 (0, f )+θ (0, f )+[6 + (Γp − d)] θ (∞, f ) 36 +δ (a, f ) > 2Γp + 8, P [f ]−a f −a (2.21) = c với số c ∈ C/ {0} Đặc biệt l = điều kiện (2.21) thỏa mãn, P [f ] ≡ f Năm 2018, Chakraborty mở rộng định lý thay đa thức vi phân đa thức vi phân tùy ý thu được: Định lý 2.2.4 ([3]) Cho hàm phân hình khác f cho P [f ] đa thức vi phân khác có bậc d (P ) trọng số Γ thỏa mãn Γ > (k + 1) d (P )−2 Cho l (≥ 0) số nguyên Ngoài cho a ≡ a (z) (≡ 0, ∞) hàm nhỏ phân hình Giả sử f − a P [f ] − a chung (0, l) Nếu l ≥ 3Θ (∞, f ) + δ2 (0, f ) + d (P ) δ2+Γ−d(P ) (0; f ) + δ (a, f ) > 4, (2.22) l = 1, 2d (P ) > d (P ) + Γ − d (P ) d (P ) Θ (∞, f ) + δ1+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) 2 +d (P ) δ2+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) + δ2 (0, f ) + δ (a, f ) > 9+Γ + d (P ) − d (P ) , (2.23) l = 0, 5d (P ) > 4d (P ) (Γ − d (P ) + 3) Θ (∞, f ) + Θ (0, f ) + δ2 (0, f ) + d (P ) δ2+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) +2d (P ) δ1+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) + δ (a, f ) > (Γ + 4) + d (P ) − d (P ) , (2.24) P [f ]−a f −a = c với c số khác 37 Chứng minh Cho F = f a G = P [f ] a Do F − = f −a a G − = P [f ]−a a Khi f P [f ] chung (a, l), F G chung (1, l) trừ không điểm cực điểm a(z) Bây xét trường hợp sau: Trường hợp Cho H ≡ Trường hợp 1.1 Giả sử l ≥ Sử dụng Định lí thứ hai Bổ đề 1.2.16 Bổ đề 1.2.18, nhận T (r, F ) + T (r, G) ≤N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; F ) + N (r, 0; G) (2 + N (r, H) + N E (r, 1; F ) + N L (r, 1; F ) + N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) − N (r, 0, F ) − N (r, 0; G ) + S (r, f ) ≤2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) (2 + N E (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; G) +N (r, 1; G) + S (r, f ) (2.25) Trương hợp 1.1.1 Tiếp theo giả sử l ≥ Bây sử dụng Bất đẳng thức (2.25) bổ đề 1.2.14, nhận T (r, F ) + T (r, G) ≤2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) (2 + N E (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S (r, f ) ≤3N (r, ∞; f ) + N2 (r, 0; f ) + N2 (r, 0; G) + N (r, 1; F ) + S (r, f ) ≤ 3N (r, ∞; f ) + N2 (r, 0; f ) + N2+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) + T (r, P ) − d (P ) T (r, f ) + T (r, f ) − m r, 38 f −a + S (r, f ) , với ε > 0, d (P ) T (r, f ) ≤ − 3Θ (∞, f ) − δ2 (0, f ) + d (P ) − d (P ) δ2+Γ−d(P ) (0; f ) +δ (a, f ) + ε} T (r, f ) + S (r, f ) Khi 3Θ (∞, f ) + δ2 (0, f ) + d (P ) δ2+Γ−d(P ) (0, f ) + δ (a, f ) ≤ 4, mâu thuẫn với (2.22) Định lí 2.2.4 Trường hợp 1.1.2 Tiếp theo giả sử l = Bây Bất đẳng thức (2.25) từ Bổ đề 1.2.17, Bổ đề 1.2.14 Bổ đề 1.2.15, ta có T (r, F ) + T (r, G) (2 ≤2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) + N E (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S (r, f ) ≤2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; G) + N2 (r, 0; f ) + N2 (r, 0; G) 2 (2 + N E (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; F ) + N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S (r, f ) ≤ N (r, ∞; f ) + N1 (r, 0; G) + N2 (r, 0; f ) + N2 (r, 0; G) + N (r, 1; F ) 2 + S (r, f ) ≤ + Γ − d (P ) N (r, ∞; f ) + N1+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) 2 + N2+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) + N2 (r, 0; f ) d (P ) − d (P ) m r, + T (r, f ) + T (r, P ) − d (P ) T (r, f ) f + T (r, f ) − m r, + S (r, f ) , f −a + 39 2d (P ) − d (P ) T (r, f ) ≤ + Γ − d (P ) N (r, ∞; f ) + N1+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) 2 + N2+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) + N2 (r, 0; f ) − m r, f −a + S (r, f ) Khi đó, với ε > 0, 2d (P ) − d (P ) T (r, f ) ≤ − + d (P ) + 7+Γ − + Γ − d (P ) Θ (∞, f ) d (P ) δ1+Γ−d(P ) r, 0; f (d(P ) − d (P ) δ2+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) −δ2 (0, f ) − δ (a, f ) + ε} T (r, f ) + S (r, f ) , + Γ − d(P ) d(P ) Θ (∞, f ) + δ1+Γ−d (P ) r, 0; f d(P ) 2 + d(P )δ2+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) + δ2 (0, f ) + δ (a, f ) 9+Γ + d(P ) − d(P ) Khi mâu thuẫn (2.23) định lí 2.2.4 ≤ Trường hợp 1.2 Giả sử l = Từ áp dụng Định lí thứ hai Bổ đề 1.2.18, Bổ đề 1.2.16, Bổ đề 1.2.17, Bổ đề 1.2.14 Bổ đề 1.1.15, nhận T (r, F ) + T (r, G) ≤N (r, ∞; F ) + N (r, 0; F ) + N (r, 1; F ) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; G) + N (r, 1; G) − N (r, 0; F ) − N (r, 0; G ) + S (r, F ) + S (r, G) ≤N (r, ∞; F ) + N (r, 0; F ) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; G) (2 + N (r, ∞; H) + N E (r, 1; F ) + N L (r, 1; F ) + N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) − N (r, 0; F ) − N (r, 0; G ) + S (r, f ) 40 ≤2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) (2 + N E (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; F ) + 2N L (r, 1; G) + N (r, 1; G) + S (r, f ) ≤2N (r, ∞; F ) + N (r, ∞; G) + N2 (r, 0; F ) + N2 (r, 0; G) + N (r, ∞; F ) + N (r, 0; F ) + N (r, ∞; G) + N (r, 0; G) (2 + N E (r, 1; F ) + N L (r, 1; F ) + N (r, 1; G) + S (r, f ) ≤6N (r, ∞; f ) + N2 (r, 0; f ) + N2 (r, 0; G) + 2N (r, 0; G) + N (r, 0; F ) + N (r, 1; F ) + S (r, f ) ≤6N (r, ∞; f ) + N2 (r, 0; f ) + N (r, 0; f ) + N2+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) + T (r, P ) − d (P ) T (r, f ) + 2N1+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) + (Γ − d(P )) N (r, ∞; f ) + d(P ) − d(P ) + T (r, f ) − m r, f −a m r, f + T (r, f ) + S (r, f ) , với ε > 0, 5d(P ) − 4d(P ) T (r, f ) ≤2 (Γ − d(P ) + 3) N (r, ∞; f ) + N (r, 0; f ) + N2 (r, 0; f ) + N2+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) + 2N1+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) − m r f −a + S (r, f ) ≤ {2 (Γ + 4) + d(P ) − (Γ − d(P ) + 3) Θ (∞, f ) − Θ (0, f ) −δ2 (0, f ) − δ (a, f ) − d(P )δ2+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) −2d(P )δ1+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) + ε T (r, f ) + S (r, f ) Khi đó, (Γ − d (P ) + 3) Θ (∞, f ) + Θ (0, f ) + δ2 (0, f ) + d (P ) δ2+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) + 2d(P )δ1+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) + δ (a, f ) ≤ (Γ + 4) + d(P ) − d(P ) , 41 mâu thuẫn với (2.24) Định lí 2.2.4 Trường hợp Nếu H ≡ 0, cách lấy tích phân ta có C ≡ + D, F −1 G−1 (2.26) C , D số C = Từ (2.26) rõ ràng F G chung kể bội Ta có giả sử D = Khi từ (2.26) nhận N (r, ∞; f ) = S (r, f ) (2.27) Bây (2.26) viết sau D G−1+ = F −1 G−1 C D Do đó, N r, − C ; G = N (r, ∞; F ) = N (r, ∞; G) = S (r, f ) D Trường hợp 2.1 Nếu C D = 1, từ Định lí thứ hai Bổ đề 1.2.15, có T (r, G) ≤ N (r, ∞; G) + N1 (r, 0; G) + N r, − C ; G + S (r, G) D ≤ N (r, 0; G) + S (r, f ) ≤ N2 (r, 0; G) + S (r, f ) ≤ N2+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) + T (r, P ) − d (P ) T (r, f ) + S (r, f ) Khi đó, δ1+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) = δ2+Γ−d(P ) r, 0; f d(P ) = Như Θ (∞, f ) = Bây phần lại chứng minh Trường hợp 1.1 42 Trường hợp 2.2 Nếu C D = 1, từ (2.26) có F −1− f d(P ) C G≡− , C (2.28) C P [f ] ≡ − a2 f d(P ) f − (1 + C1 )a (2.29) Từ (2.28) N (r, 0; f |≥ k + 1) ≤ N (r, 0; P [f ]) ≤ N (r, 0; G) ≤ N (r, 0; a) = S (r, f ) (2.30) Áp dụng Định lí thứ nhất, (2.27), (2.29), (2.30), Bổ đề 1.2.5 Bổ đề 1.2.6, ta có n + d(P ) T (r, f ) + S(r, f ) f d(P ) f − (1 + C1 )a P [f ] P [f ] + N r, + S(r, f ) ≤ m r, f d(P ) f d(P ) =T r, ≤ d(P ) − d(P ) [T (r, f ) − {N (r, 0; f |≤ k) + N (r, 0; f | k + 1)}] + d(P ) − d(P ) N (r, 0; f |≥ k + 1) + µN (r, 0; f |≥ k + 1) + d(P )N (r, 0; f ≤ k) + S(r, f ) ≤ d(P ) − d(P ) T (r, f ) + d(P )N (r, 0; f |≤ k) + S(r, f ) Từ (2.31) ta có nT (r, f ) ≤ S (r, f ) , khơng Vì D = 0, G−1 F −1 = C P [f ]−a f −a = C Từ định lí chứng minh 43 (2.31) Chú ý 2.1 Nếu P [f ] đa thức vi phân khác hằng, d(P ) = d(P ) Do Định lý 2.2.4 mở rộng Định lý 2.2.3 44 Kết luận Với mục đích nghiên cứu vấn đề liên quan đến giả thuyết Bruck, đề tài thực số việc sau: • Giới thiệu số khái niệm lý thuyết phân bố giá trị cho hàm phân hình hàm nhỏ; • Giới thiệu số kết số dạng tổng quát giả thuyết Bruck, chứng minh chi tiết Định lý 2.1.10 Chakraborty tổng quát giả thuyết Bruck • Phát biểu chứng minh kết vấn đề cho hàm phân hình liên quan đến giả thuyết Bruck (Định lý 2.2.4) 45 Tài liệu tham khảo [1] A Banerjee and B Chakraborty (2015), Further investigations on a question of Zhang and Lu, Ann Univ Paedagog Crac Stud Math 14, 105119 [2] A Banerjee and B Chakraborty (2016), On the generalizations of Bruck conjecture, Commun Korean Math Soc 31, no 2, 311-327 [3] B Chakraborty (2018), Some uniqueness results related to the Bruck conjecture, Analysis, DOI: 10.1515/anly-2017-0060 [4] W K Hayman (1964), Meromorphic Functions, Oxford Math Monogr Clarendon Press, Oxford [5] P C Hu , P Li, C C Yang (2003), Unicity of meromorphic mappings, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp 119-144 [6] I Lahiri and S Dewan (2003), Value distribution of the product of a meromorphic function and its derivative, Kodai Math J 26, no 1, 95-100 [7] N Li, L Yang and K Liu (2016), A further result related to a conjecture of R Bruck, Kyungpook Math J 56, no 2, 451-464 46 [8] N Li and L.-Z Yang (2010), Meromorphic function that shares one small function with its differential polynomial, Kyungpook Math J 50, no 3, 447-454 [9] Q Zhang (2005), Meromorphic function that shares one small function with its derivative, J Inequal Pure Appl Math 6, no 4, Article ID 116 [10] T D Zhang and W R Lu (2008), Notes on meromorphic function sharing one small function with its derivative, Complex Var Ellip Eqn 53, no 9, 857-867 47 ... kết Với mong muốn tìm hiểu vấn đề có liên quan đến giả thuyết Bruck, chọn đề tài: "Vấn đề cho hàm phân hình liên quan đền giả thuyết Bruck" .Mục đích đề tài trình bày lại kết nghiên cứu gần A Banerjee... cứu vấn đề Có nhiều cách mở rộng, nghiên cứu giả thuyết Bruck cho trường hợp hàm phân hình, thay đạo hàm f đạo hàm cấp cao, Và tác giả thu nhiều kết Với mong muốn tìm hiểu vấn đề có liên quan. .. 22 2.1 Một số dạng tổng quát giả thuyết Bruck 22 2.2 Vấn đề liên quan đến giả thuyết Bruck 35 Tài liệu tham khảo 46 iii Mở đầu Cho f g hàm phân hình C Ta nói f g chung giá trị