ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– LÊ THỊ TRANG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN G METRIC ĐẦY ĐỦ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– LÊ THỊ TRANG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G METRIC ĐẦY ĐỦ Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả Lê Thị Trang i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả Lê Thị Trang ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảmơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ KHƠNG GIAN G 1.1 Khơng gian G METRIC Metric 1.2 Một số tính chất 1.3 Tôpô không gian G Metric 1.4 Sự hội tụ không gian G metric CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G METRIC ĐẦY ĐỦ 13 2.1 Ngun lí ánh xạ co Banach khơng gian G 2.2 Định lý điểm bất động không gian G metric 13 metric đầy đủ 14 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 iii MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Như biết, nguyên lí điểm bất động Banach phát biểu chứng minh từ năm 1922 định lý quan trọng giải tích hàm cổ điển Nghiên cứu lý thuyết điểm bất động đóng vai trò quan trọng tìm ứng dụng nhiều lĩnh vực quan trọng phương trình vi phân, vận trù học, toán kinh tế Trong nghiên cứu sau, tổng quát khác không gian metric đưa số nhà toán học Gahler [3] (không gian – metric) Dhage [2] (không gian D – metric) Năm 2004, Mustafa Sims [6] hầu hết kết liên quan đến tính chất tơpơ D metric khơng xác Để sửa chữa hạn chế này, họ đưa khái niệm mới, thích hợp hơn, gọi G metric Đồng thời, Mustafa cộng ([7-8]) nghiên cứu số định lí điểm bất động ánh xạ thỏa mãn điều kiện co khác khơng gian G metric Việc tổng qt hóa số kết Mustafa, thực S.K Mohanta [4] Trong tác giả chứng minh số định lí điểm bất động khơng gian G metric đầy đủ Theo hướng nghiên cứu này, chọn đề tài: “Định lý điểm bất động không gian G metric đầy đủ” Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu trình bày số kết điểm bất động không gian G metric đầy đủ Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích hàm Bố cục luận văn Nội dung luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [1], [4] [9], gồm 40trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống vài tính chấtcủaG metric,tơpơ khơng gian G metric, hội tụ không gian G ánh xạ liên tục không gian G metric metric Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày lại chi tiết kết nghiên cứu S.K Mohantavề điểm bất động không gian G metric đầy đủ Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ KHÔNG GIAN G METRIC Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm G metric tập E số tính chất 1.1 Khơng gian G Metric Năm 2004, Mustafa Sims [6] đưa khái niệm không gian metric, đồng thời chomột số ví dụ khơng gian G metric số tính chất Tác giả không gian G metric trang G bị tôpô Hausdorff, cho phép xem xét số khái niệm tôpô dãy hội tụ, dãy Cauchy, ánh xạ liên tục, tính đầy đủ Định nghĩa 1.1.1 Một không gian G metric cặp (E,G ) , E là hàm cho với r, s, t, a tập khác rỗng G : E E, điều kiện sau thỏa mãn: (G1) G(r, s, t ) r s (G2 ) G(r, r, s) với r s; (G3 ) G(r, r, s) G(r, s, t ) với t (G4 ) G(r, s, t ) G(r, t, s) (G5 ) G(r, s, t ) G(r, a, a ) G(a, s, t ) (bất đẳng thức hình chữ nhật) t; s; G(s, t, r ) (đối xứng với biến); Hàm G gọi G metric E Các tính chất giải thích dễ dàng theo nghĩa khơng gian metric Cho (E, d ) không gian metric G : E hàm số xác định G(r, s, t ) d(r, s) d(r, t ) Khi (E,G ) khơng gian G d(s, t ) với r, s, t E metric Trong trường hợp này, G(r, s, t ) hiểu chu vi tam giác với đỉnh r, s t Ví dụ, (G1 ) có nghĩa với điểm ta khơng thể có chu vi dương, (G2 ) tương đương với khoảng cách hai điểm khác Hơn nữa, chu vi tam giác khơng phụ thuộc vào thứ tự đỉnh nó, nên ta có (G4 ) Cuối cùng, (G5 ) mở rộng bất đẳng thức tam giác sử dụng đỉnh thứ tư Ví dụ 1.1.2 Mỗi tập E khác rỗng trang bị mộtG xác định với r, s, t metric E G : E G (r, s, t ) G E , 0, neáu r s t 1, trường hợp khác G(r , s, t ) Ví dụ 1.1.3 Nếu G G metric rời rạc, ) xác định [0, G(r, s, t ) với r, s, t G(r, s, t ) E metric E 1.2.Một số tính chất Một tính chất hữu ích G Bổ đề 1.2.1.Nếu (E,G ) không gian G G(r, s, s) metric bổ đề sau metric 2G(s, r, r ) với r, s E Hệ 1.2.2.Cho {rn } {sn } hai dãy khơng gian G metric (E,G ) Khi lim G(rn , rn , sn ) n lim G(rn , sn , sn ) n Bổ đề 1.2.3.Cho (E,G ) không gian G r, s, t,a G(r, r, s) G(r, r, t ) 2)G(r, s, t ) G(r, a, a) G(s, a, a) 3) G(r, s, t ) G(r, s, a ) 4) Nếu n metric Khi đó, với E , ta có tính chất sau 1)G(r, s, t ) G(t, a, a) max{G(a, t, t ),G (t,a,a )} r1, r2, , rn E G(r1, rn , rn ) n G(r1, r1, rn ) n 5) Nếu G(r, s, t ) i i G(r, a, t ) 7)G(r, s, t ) [G(r, s, a ) s t G(a, s, t ) G(r, a, t ) E \ {t, a} G(r, s, t ) 9)G(r, s, s) (1.1) G(ri , ri , ri 1) r 6)G(r, s, t ) 8)Nếu r G(ri , ri 1,ri 1) G(a, s, t )] G(s, t, a) G(a, r, t ) 2G(r, s, t ) Chứng minh.1) Áp dụng (G4 ) (G5 ) với a G(r, s, t ) G(s, r, t ) G(r, r, s) r , ta có G(s, r, r ) G(r, r, t )  G(r, r, t ) 2) Bằng cách áp dụng (G5 ) hai lần sử dụng (G4 ) , ta có G(r, s, t ) G(r, a, a ) G(a, s, t ) G(r, a, a ) G(r, a, a ) G(s, a, a ) G(a, a, t ) G(s, a, t )  3) Theo (G4 ) (G5 ) , ta có G(r, s, t ) G(t, s, r ) G(a, s, r ) G(t, a, a) G(a, t, t ) G(a, s, t ), G(t, s, r ) Vì thế, G(r, s, t ) G(a, s, r ) G(a, s, r ) G(r, s, t ) G(t, a, a ) G(a, t, t ) Do đó, G(r, s, t ) G(r, s, a ) max{G(a, t, t ),G(t, a, a )}  4) Nếu n , điều hiển nhiên, n cho r r1 , a r2 s t (1.1) tính chất (G5 ) r3 Bằng cách quy nạp, (1.1) xảy với Chứng minh Theo Định lý 2.2.2, ta thấy Rm có điểm bất E Rm G động z liên tục z Vì Rz R(Rmz ) Rm 1z Rm (Rz ) nên Rz điểm bất động Rm Do tính z , nên ta có Rz z Chú ý 2.2.4.Định lý 2.2.1 mở rộng củaĐịnh lí 2.1 [10], Định lí 2.1[10] nhận cách lấy k5 Định lí 2.2.2 Định lý 2.2.5 Cho (E,G ) không gian G metric đầy đủ R : E E ánh xạ thỏa mãn G(Rs, Rt, Ru) k1{G(s, Rt, Rt ) G(t, Rs, Rs )} k2 {G(t, Ru, Ru)) k3 {G(u, Rs, Rs ) G(u, Rt, Rt )} G(s, Ru, Ru)} k4G(s, t, u) k5 max {G(s, Rs, Rs),G(t, Rt, Rt ),G(u, Ru, Ru)} (2.6) với s, t, u E , k1, k2, k3, k4, k5 với 2k1 Khi R có điểm bất động z Chứng minh Lấy s0 sn sn 2k2 2k3 E R G 2k4 2k5 liên tục z E tùy ý xác định dãy {sn } sn Rn (s0 ) Giả sử với n Khi theo (2.6), ta có G(sn , sn 1, sn 1) k1{G(sn 1, sn 1, sn 1) G(sn , sn , sn )} k2 {G(sn , sn 1, sn 1) G(sn , sn 1, sn 1)} k3 {G(sn , sn , sn ) G(sn 1, sn 1, sn 1)} k4G(sn 1, sn , sn ) k5 max{G(sn 1, sn , sn ),G(sn , sn 1, sn 1),G(sn , sn 1, sn 1)} k1{G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1)} 2k2G(sn , sn 1, sn 1) k3 {G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1)} k4G(sn 1, sn , sn ) k5 {G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1)} 19 Suy k1 k3 k4 k5 G(sn 1, sn , sn ) k1 2k2 k3 k5 G(sn , sn 1, sn ) k1 k3 k4 k5 , k1 2k2 k3 k5 Đặt 2k1 2k2 2k3 2k4 2k5 Áp dụng liên tiếp (2.7), tađược n G(sn , sn 1, sn 1) Khi đó, với m, n (2.7) N,n G(s0, s1, s1) (2.8) m , cách sử dụng liên tiếp bất đẳng thức hình chữ nhật (2.8), ta có G(sn , sm , sm ) G(sn , sn 1, sn 1) G(sn 1, sn 2, sn ) G(sn 2, sn 3, sn ) G(sm 1, sm , sm ) n ( n m )G(so, s1, s1) n G(s0, s1, s1 ) n Khi lim G(sn , sm , sm ) n ,m Với n, m, l lim n ,m G (s0 , s1, s1 ) N theo (G5 ) ta có G(sn , sm , sl ) lấy giới hạn n, m, l G(sn , sm , sm ) G(sl , sm , sm ), , ta nhận đượcG(sn , sm , sl ) Do đó, {sn } dãy G Cauchy Vì (E,G ) khơng gian đầy đủ nên tồn z G hội tụ đến z Giả sử Rz G(sn , Rz, Rz ) E cho {sn } z , ta có k1{G(sn 1, Rz, Rz ) k2 {G(z, Rz, Rz ) G(z, sn , sn )} G(z, Rz, Rz )} k3 {G(z, sn , sn ),G(sn 1, Rz, Rz )} k4G(sn 1, z, z ) k5 max {G(sn 1, sn , sn ),G(z, Rz, Rz ),G(z, Rz, Rz )} 20 Lấy giới hạn n sử dụng tính chất hàm G liên tục theo tất biến nó, ta có G(z, Rz, Rz ) (k1 k1 điều mâu thuẫn 2k2 2k2 k3 k3 k5 )G(z, Rz, Rz ), k5 Vậy z Đối với tính z , ta giả sử tồn w Rz z cho Rw w , theo (2.6) ta có G(z, w, w) G(Rz, Rw, Rw) k1{G(z, w, w) k3 {G(w, z, z ) G(w, z, z )} 2k2G(w, w, w) G(z, w, w)} k4G(z, w, w,) k5 max {G(z, z, z ),G(w, w, w),G(w, w, w)} (k1 k3 ){G(z, w, w) G(w, z, z )} k4G(z, w, w) Suy G(z, w, w) k1 k3 G(w, z, z ) k1 k3 k4 k1 k3 G(z, w, w) k1 k3 k4 k1 k3 G(z, w, w) k1 k3 k4 Tương tự ta có G(w, z, z ) Do G(z, w, w) Suy z w , Để chứng minh R G G k1 k3 k1 k3 k4 liên tục z , ta lấy {tn } hội tụ đến z Ta có G(Rtn , Rz, Rz ) k1{G(tn , Rz, Rz ) G(z, Rtn , Rtn )} k2 {G(z, Rz, Rz ) G(z, Rz, Rz )} 21 E tùy ý cho {tn } k3 {G(z, Rtn , Rtn ) G(tn , Rz, Rz )} k4G(tn , z, z ) k5 max {G(tn , Rtn , Rtn ),G(z, Rz, Rz ),G(z, Rz, Rz )} Do G(Rtn , z, z ) k1{G(tn , z, z ) k3 {2G(Rtn , z, z ) k5 {G(tn , z, z ) 2G(Rtn , z, z )} G(tn , z, z )} 2k2G(z, z, z ) k4G(tn , z, z ) 2G(Rtn , z, z )} Từ suy k1 k3 k4 2k1 2k3 G(Rtn , z, z ) Lấy giới hạn n {Rtn } G k5 G(tn , z, z ) 2k5 , ta G(Rtn , z, z ) hội tụ đến z Theo Mệnh đề 1.4.5,dãy Rz Do theo Mệnh đề 1.4.10, R G liên tục z Nhận xét Định lý 2.2.5 mở rộng Định lí 2.9 [10], Định lí 2.9 thu cách lấy k2 k3 k4 k5 Định lí 2.2.5 Áp dụng Định lý 2.2.5, ta có kết sau Hệ 2.2.6 Cho (E,G ) không gian G metric đầy đủ R : E E ánh xạ thỏa mãn: G(Rms, Rmt, Rmu) k1{G(s, Rmt, Rmt ) G(t, Rms, Rms)} k2 {G(t, Rmu, Rmu) G(u, Rmt, Rmt )} k3 {G(u, Rms, Rms) G(s, Rmu, Rmu)} k4G(s, t, u) k5 max G(s, Rms, Rms ),G(t, Rmt, Rmt ),G(u, Rmu, Rmu) với m 2k1 N s, t, u 2k2 Rm G 2k3 k4 2k5 E , k1, k2, k3, k4, k5 thỏa mãn Khi R có điểm cố định z liên tục z 22 E Hệ 2.2.7 Cho E không gian G cho ánh xạ R : E G [0,1) E thỏa mãn G(Rs, Rt, Ru) với s, t, u metric đầy đủ Giả sử E Khi G(s, t, u) , R có điểm bất động z E R liên tục z Định lý 2.2.8 Cho (E,G ) không gian G metric đầy đủ R : E E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau G(Rs, Rt, Ru) G (s, Rs, Rs ),G (t, Rt, Rt ),G (u, Ru, Ru ),G (s, Rt, Rt ), G (t, Ru, Ru ),G (u, Rs, Rs ),G (s, Ru, Ru ),G (t, Rs, Rs ), (2.9) max G (u, Rt, Rt ),G (s, Rt, Ru ),G (t, Ru, Ru ),G (u, Rs, Rt ), G (s, t, Ru ) ,G (t, u, Rs ) ,G (u, s, Rt ) ,G (s, t, u ) với s, t, u z E E R G liên tục z E tùy ý dãy {sn } xác định sn Chứng minh Lấy s0 sn sn 1 / Khi R có điểm bất động Rn (s0 ) Giả sử với n Khi theo (2.9), ta có G (sn , sn 1, sn ) G (sn G (sn G (sn max G (sn G (sn G (sn , sn , sn ),G (sn , sn 1, sn ),G (sn , sn 1, sn ), , s , s ),G (sn , sn 1, sn ),G (sn , sn , sn ), n n , s , s ),G (sn , sn , sn ),G (sn , sn 1, sn ), n n , s , s ),G (sn , sn 1, sn ),G (sn , sn , sn ), n n , s , s ),G (sn , sn , sn ),G (sn , sn 1, sn ), n n ,s ,s ) n n Do G(sn , sn 1, sn ) max G(sn 1, sn , sn ),G(sn 1, sn 1, sn 1), (2.10) G(sn , sn , sn ),G(sn 1, sn , sn 1) 23 Nhưng theo (G5 ) , ta có G(sn 1, sn , sn 1) G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn , sn 1) G(sn 1, sn , sn ) 2G(sn , sn 1, sn 1) G(sn 1, sn 1, sn 1) G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1) Vì vậy, (2.10) trở thành G(sn , sn 1, sn 1) {G(sn 1, sn , sn ) 2G(sn , sn 1, sn 1)} suy ra, G(sn , sn 1, sn ) Đặt k , k (2.11) Áp dụng (2.11) liên tiếp, ta có k nG(s0, s1, s1) G(sn , sn 1, sn 1) Khi với n, m G(sn 1, sn , sn ) (2.12) m , cách sử dụng liên tiếp bất đẳng thức N, n hình chữ nhật (2.12) ta có G(sn , sm , sm ) G(sn , sn 1, sn 1) G(sn 1, sn 2, sn ) G(sn 2, sn 3, sn ) G(sm 1, sm , sm ) (k n kn kn k Khi đó, lim G(sn , sm , sm ) n ,m Với n, m, l k m 1)G(s0, s1, s1) G(s0, s1, s1 ) , lim n ,m kn k G(s0, s1, s1 ) N , theo (G5 ) ta có G(sn , sm , sl ) Lấy giới hạn n, m, l G(sn , sm , sm ) G(sl , sm , sm ) , ta nhận G(sn , sm , sl ) 24 Vậy {sn } dãyG Cauchy không gian đầy đủ (E,G ) nênG Giả sử Rz hội tụ đến z E z , G (sn , Rz, Rz ) G (sn 1, sn , sn ),G (z, Rz , Rz ),G (z, Rz , Rz ),G (sn 1, Rz , Rz ), max G (z, Rz, Rz ),G (z, sn , sn ),G (sn 1, Rz , Rz ),G (z, sn , sn ), G (z, Rz, Rz ),G (sn 1, Rz, Rz ),G (z, Rz, sn ),G (z, sn , Rz ), G (sn 1, z, Rz ),G (z, z, sn ),G (z, sn 1, Rz ),G (sn 1, z, z ) Lấy giới hạn n sử dụng tính liên tục hàm G theo tất biến nó, ta có G(z, Rz, Rz ) max{G(z, Rz, Rz ),G(z, Rz, z )} max{G(z, Rz, Rz ),2G(z, Rz, Rz )} G(z, Rz, Rz ) Vì vậy, z Điều mâu thuẫn Đối với tính u , giả sử tồn w Rz z cho Rw w Khi (2.10) trở thành G(z, w, w) G(Rz, Rw, Rw) max{G(z, w, w),G(w, z, z )} Suy G(z, w, w) kG(w, z, z ) G(w, z, z ) G(z, w, w) Tương tự ta có Do G(z, w, w) suy z w , Để chứng minh R G G(z, w, w) liên tục z , ta lấy {tn } đó, ta có 25 EG hội tụ đến z Khi G (Rtn , Rz, Rtn ) G (tn , Rtn , Rtn ), G (z, z, z ), G (z, z, z ), G (tn , z, z ), max G (z, z, z ),G (z, Rtn , Rtn ),G (tn , z, z ),G (z, Rtn , Rtn ), G (z, z, z ), G (tn , z, z ), G (z, z, Rtn ), G (z, Rtn , z ), G (tn , z, z ), G (z, z, Rtn ), G (z, tn , z ), G (tn , z, z ) Do G(Rtn , z, z ) max {G(t, Rtn , Rtn ),G(z, Rtn , Rtn ),G(tn , z, z )} Theo (G5 ) ta có G(tn , Rtn , Rtn ) G(tn , z, z ) G(z, Rtn , Rtn ) {G(tn , z, z ) G(z, Rtn , Rtn )} Do G(Rtn , z, z ) Suy G(Rtn , z, z ) Cho n G , ta G(Rtn , z, z ) hội tụ đến z G(tn , z, z ) , theo Mệnh đề 1.4.5, dãy {Rtn } Rz Từ theo Mệnh đề 1.4.10, R G liên tục z Áp dụng Định lý 2.2.8, ta có kết sau Hệ 2.2.9 Cho (E,G ) không gian G E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau với m R:E metric đầy đủ, N: G (Rms, Rmt, Rmu ) G (s, Rms, Rms ),G (t, Rmt, Rmt ),G (u, R mu, R mu ),G (s, R mt, R mt ), max G (t, Rmu, Rmu ),G (u, Rms, R ms ),G (s, R mu, R mu ),G (t, R ms, R ms ), G (u, Rmt, Rmt ),G (s, Rmt, Rmu ),G (t, R mu, R ms ),G (u, R ms, R mt ), G (s, t, Rmu ) với s, t, u z E E , Rm G , G (t, u, Rms ) , G (u, s, Rmt ) , G (s, t, u ) / Khi R có điểm bất động liên tục z 26 Chứng minh Chứng minh dựa theoĐịnh lý 2.2.8 sử dụng lập luận tương tự Hệ 2.2.3 Định lý 2.2.10 Cho (E,G ) không gian G metric đầy đủ R : E E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau G (Rs, Rt, Ru ) G (s, Rt, Rt ) G (t, Rs, Rs ) G (u, Ru, Ru ), (2.13) max G (t, Ru, Ru ) G (u, Rt, Rt ) G (s, Rs, Rs ), G (u, Rs, Rs ) G (s, Ru, Ru ) G (t, Rt, Rt ) với s, t, u z E Rm G liên tục z Chứng minh Lấy s0 sn sn 1 Khi R có điểm bất động E E tùy ý dãy {sn } xác định sn Rn (so ) Giả sử với n Khi theo (2.13), ta có G (sn , sn 1, sn ) G (sn 1, sn 1, sn ) G (sn , sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1), (2.14) max G (sn , sn 1, sn ) G (sn , sn 1, sn ) G(sn 1, sn , sn ), G (sn , sn , sn ) G (sn 1, sn 1, sn ) G(sn , sn 1, sn 1) Theo (G ), ta có G(sn 1, sn 1, sn 1) G(sn 1, sn , sn ) G(sn , sn 1, sn 1) Do đó, (2.14) trở thành G(sn , sn 1, sn 1) {G(sn 1, sn , sn ) 2G(sn , sn 1, sn 1)} suy G(sn , sn 1, sn ) Đặt k , k G(sn 1, sn , sn ) (2.15) áp dụng liên tiếp (2.15), ta G(sn , sn 1, sn 1) 27 k nG(so , s1, s1) (2.16) Khi với n, m m , áp dụng liên tiếp bất đẳng thức hình chữ N, n nhật (2.16) ta nhận G(sn , sm , sm ) G(sn , sn 1, sn 1) G(sn 1, sn 2, sn ) G(sn 2, sn 3, sn ) G(sm 1, sm , sm ) (k n kn kn Khi đó, lim G(sn , sm , sm ) n ,m Với n, m, l k k m 1)G(s0, s1, s1) G(s0, s1, s1 ) kn , lim n ,m k G(s0, s1, s1 ) N , từ (G5 ) suy G(sn , sm , sl ) G(sn , sm , sm ) G(sl , sm , sm ) , suy lim G(sn , sm , sl ) Vì vậy, {sn } dãyG gian đầy đủ (E,G ) , nên G hội tụ đến z n ,m ,l Cauchy không E Giả sử Rz z , ta có G (sn , Rz, Rz ) G (sn 1, Rz, Rz ) G (z, sn , sn ) G (z , Rz , Rz ), max G (z, Rz, Rz ) G (z , Rz , Rz ) G (sn 1, sn , sn ), G (z, sn , sn ) G (sn 1, Rz, Rz ) G (z , Rz , Rz ) Lấy giới hạn n hàm G liên tục theo biến nó, ta có G(z, Rz, Rz ) điều mâu thuẫn G(z, Rz, Rz ) Do đó, z Rz Để chứng minh tính z , ta giả sử tồn w z cho Rw G (z, w, w) G (z, w, w) G(w, z, z ) G(w, w, w), max G(w, w, w) G(w, w, w) G(z, z, z ), G (w, z, z ) 28 G (z, w, w) G(w, w, w) w, Do G(z, w, w) {G(z, w, w) G(w, z, z )} Suy G(z, w, w) G(w, z, z ) Lập luận tương tự ta có G(w, z, z ) G(z, w, w) Do đó, ta suy G(z, w, w) Suy z G(z, w, w) 1 w , Để chứng minh R G liên tục z , ta lấy {tn } E dãy G tụ đến z Khi ta có G (Rtn , Rz, Rz ) G (tn , Rz, Rz ) G (z, Rtn , Rtn ) G (z, Rz , Rz ),  max G (z, Rz, Rz ) G (z, Rz , Rz ) G (tn , Rtn , Rtn ), G (z, Rtn , Rtn ) G (tn , Rz, Rz ) G (z, Rz , Rz ) suy G(Rtn , z, z ) max {G(tn , z, z ) G(z, Rtn , Rtn ),G(tn , Rtn , Rtn )} (2.17) Theo (G5 ) ta có G(tn , Rtn , Rtn ) G(tn , z, z ) G(z, Rtn , Rtn ) Do đó, (2.17) trở thành G(Rtn , z, z ) {G(tn , z, z ) G(z, Rtn , Rtn )} Lại theo (G5 ) ta có G(z, Rtn , Rtn ) 29 2G(Rtn , z, z ) (2.18) hội Do (2.18) trở thành G(Rtn , z, z ) {G(tn , z, z ) 2G(Rtn , z, z ) Suy G(Rtn , z, z ) Cho n , ta G(Rtn , z, z ) hội tụ đến z G(tn , z, z ) Theo Mệnh đề1.4.5, dãy {Rtn } G Rz Theo Mệnh đề1.4.10, R G liên tục z Hệ 2.2.11 Cho (E,G ) không gian G R:E E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau với m metric đầy đủ, N: G (Rms, Rmt, Rmu ) G (s, Rmt, Rmt ) G (t, Rms, Rms ) G (u, R mu, R mu ), max G (t, Rmu, Rmu ) G (u, Rmt, Rmt ) G (s, R ms, R ms ), G (u, Rms, Rms ) G (s, Rmu, Rmu ) G (t, R mt, R mt ) với s, t, u z E m E R G / Khi R có điểm bất động liên tục z Chứng minh Chứng minh suy từ Định lý 2.2.10 sử dụng lập luận tương tự Hệ 2.2.3 Định lý 2.2.12 Cho (E,G ) không gian G R:E metric đầy đủ, E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: G (Rs, Rt, Ru ) G (s, Rt, Rt ) G (t, Rs, Rs ) G (u, Rs, Rt ), max G (t, Ru, Ru ) G (u, Rt, Rt ) G (s, Rt, Ru ), G (u, Rs, Rs G (s, Ru, Ru ) G (t, Ru, Ru với s, t, u z E E R G / Khi R có điểm bất động liên tục z Chứng minh Phép chứng minh suy từ lập luận tương tự sử dụng Định lý 2.2.10 30 Định lý 2.2.13 Cho (E,G ) không gian G R:E metric đầy đủ, E ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: G (Rs, Rt, Ru ) G (s, Rt, Rt ) G (t, Rs, Rs ) G (s, t, Ru ), max G (t, Ru, Ru ) G (u, Rt, Rt ) G (t, u, Rs ), G (u, Rs, Rs ) G (s, Ru, Ru ) G (u, s, Rt ) với s, t, u z E E R G / Khi R có điểm bất động liên tục z Chứng minh.Tương tự với lập luận chứng minh Định lý 2.2.10 31 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - tổng quan hệ thống vài tính chất G không gian G metric, hội tụ không gian G tục không gian G metric, tôpô metric ánh xạ liên metric - số kết điểm bất động không gian G metric đầy đủ Các kết trình bày Định lí 2.2.2, Hệ 2.2.3, Định lí 2.2.5, Hệ 2.2.6, Hệ 2.2.7, Định lí 2.2.8, Hệ 2.2.9, Định lí 2.2.10, Định lí 2.2.12 Định lí 2.2.13 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] AgarwalR.P., KarapınarE., O’ReganD., Roldan-Lopez-de-HierroA.F (2015), Fixed point theory in metric type spaces, ISBN 978-3-31924082-4 DOI 10.1007/978-3-319-24082-4 385 pages [2] DhageB.C (1992), ”Generalised metric spaces and mappings with fixed point,”Bulletin of the Calcutta Math Soc, vol.84, no 4, pp 329-336 [3] GahlerS.(1963), 2-metrische Răaume und ihre topologische Struktur,” Mathematische Nachrichten, vol.26, pp 115-148 [4] MohantaS.K (2012), “Some fixed point theorems in G-metric spaces”, An S¸t Univ Ovidius Constan¸ta Vol 20(1), 285–306 [5] Mohanta S.K., BaisnabA.P (2005), ”A class of Ciric operatorsand their fixed points,” Bulletin of the Allahabad Math Soc,vol 20, pp 79-88 [6] Mustafa Z., Sims B (2004), ”Some remarks concerning D-metric spaces,” in Proceedings of the International Conference on Fixed Point Theory and Applications, pp 189-198, Valencia, Spain [7] Mustafa Z., Sims B (2006), ”A new approach to generalized metric spaces,”Journal of Nonlinear and convex Analysis, vol 7, no 2, pp 289-297 [8] Mustafa Z., Sims B (2009), ”Fixed point theorems for contractive mappingsin complete G-metric spaces,” Fixed Point Theory and Applications, vol.2009, Article ID 917175, 10 pages [9] Mustafa Z., Obiedat H., Awawdeh F (2008), ”Some fixed point theorem formapping on complete G-metric spaces,” Fixed Point Theoryand Applications, vol 2008, Article ID 189870, 12 pages [10] Mustafa Z., Awawdeh F., Shatanawi W (2010), ”Fixed point theorem for expansive mappings in G-metric spaces,” Int J Contemp Math Sciences, vol 5, no 50, pp 2463-2472 33 ... tụ không gian G metric CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN G METRIC ĐẦY ĐỦ 13 2.1 Nguyên lí ánh xạ co Banach không gian G 2.2 Định lý điểm bất động không gian G metric. .. metric (E ,G ) g i G Định nghĩa 1.4.7 Một không gian G (hay không gian G G metric đầy đủ) dãy G Cauchy (E ,G ) hội tụ (E ,G ) Định nghĩa 1.4.8 Cho (E ,G ) (E ,G ) không gian G xạ f : E E Khi f g i... có điểm bất động Chứng minh Định lý 2.1.2 tương tự cách chứng minh Định lý 2.1.1 2.2 Định lý điểm bất động không gian G metric đầy đủ Trong phần chúng tơi trình bày số định lí điểm bất động tự