PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP §6 PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT - Hai phân thức gọi đối tổng chúng Phân thức đối phân thức A −A phân thức B B - Muốn trừ phân thức A C A cho phân thức , ta cộng với phân thức đối B D B C A C A  C : − = +−  D B D B  D B BÀI TẬP MẪU Bài 1: Thực phép tính: a c y 15 y − 25 x − 2 xy − x y − 25 x 3x + 3x − − − 2 x − 2x + x −1 x + 2x + b − 3x2 − −3 x2 + x x2 − d x + 3xy + y x − xy + y − x − xy + 12 y −2 x + xy − y Hướng dẫn giải: a y 15 y − 25 x y 15 y − 25 x − = + 2 xy − x y − 25 x xy − x 25 x − y = y 15 y − 25 x −y 15 y − 25 x + = + x ( y − x ) ( x − y )( x + y ) x ( x − y ) ( x − y )( x + y ) MTC = x ( x − y )( x + y ) − y ( 5x + y ) (15 y − 25 x ) x −y 15 y − 25 x + = + x ( x − y ) ( x − y )( x + y ) x ( x − y )( x + y ) x ( x − y )( x + y ) ( − 25 x − 10 xy + y −5 xy − y 15 xy − 25 x = + = x ( x − y )( x + y ) x ( x − y )( x + y ) x ( x − y )( x + y ) = − (5x − y ) x ( x − y )( x + y ) = ) y − 5x x (5x + y ) Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 82 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP b − 3x 3x − − − = + + ( −3 ) x2 + 6x x2 − x ( x + 3) ( x − )( x + 3) MTC = x ( x + 3)( x − 3) 3x − + + ( −3) x ( x + 3) ( x − 3)( x + 3) ( x − 3) ( ) = ( −3) x ( x + 3)( x − 3) x ( x + 3)( x − 3) x ( x + 3)( x − 3) x ( x + 3)( x − 3) = x − 15 x3 − x −6 x + 54 x + + x ( x + 3)( x − 3) x ( x + 3)( x − 3) x ( x + 3)( x − ) x 3x − + + x − x + 59 x − 15 = x ( x + 3)( x − 3) c − ( 3x − ) 3x + 3x − 3x + −6 − − = + + x − x + x − x + x + ( x − 1) ( x − 1)( x + 1) ( x + 1)2 MTC : ( x + 1) ( x − 1) 3x + + − ( 3x − ) −6 + ( x − 1)( x + 1) ( x + 1)2 ( x − 1) 2 x + )( x + 1) −6 ( x − 1)( x + 1) − ( x − )( x − 1) ( = + + 2 2 2 ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1) −6 ( x − 1) − ( x − ) ( x − x + 1) ( 3x + ) ( x + x + 1) = + + 2 2 2 ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x − 1) = = 3x + x + x + ( x − 1) ( x + 1) 2 + −6 x + ( x − 1) ( x + 1) 2 + −3 x + x + x + ( x − 1) ( x + 1) 2 10 x + x + ( x − 1) ( x + 1) 2 d Ta cần rút gọn phân thức: x + xy + y ( x + y )( x + y ) x + y = = x + xy − y ( x + y )( x − y ) x − y ( x − y )( x − y ) = x − y x − xy + y = 2 −2 x + xy − y −2 ( x − y ) −2 ( x − y ) Vậy: x + xy + y x − xy + y x + 2y x − 4y − = − 2 2 x − xy + 12 y −2 x + xy − y x − y −2 ( x − y ) Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 83 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP = x + 2y x − 4y + 5x − y ( x − y ) MTC = ( x − y )( x − y ) = ( x + y )( x − y ) ( x − y )( x − y ) x + 2y x − 4y + = + x − y ( x − y ) ( x − y )( x − y ) ( x − y )( x − y ) = x + xy − y x − 21xy − y x − 19 xy − y + = ( x − y )( x − y ) ( x − y )( x − y ) ( x − y )( x − y ) Nhận xét: Cũng phép cộng, ta cần lưu ý đến việc Rút gọn phân thức kết phân thức khác (nếu được) Bài 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức: a x2 + − +1 x2 − x + x3 + với x=999 3y y − − b với x=3; y=-1 x − xy x − xy x + xy + x y c 1 1 + + + + với x=3 x ( x + 1) ( x + 1)( x + ) ( x + )( x + 3) ( x + 3)( x + ) ( x + )( x + ) Hướng dẫn giải: − ( x2 + 2) x2 + a Ta có: − +1 = + +1 x − x + x3 + x − x +1 x3 + ( ) − x2 + = + +1 x − x + ( x + 1) x − x + ( ) Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 84 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP ( ) − ( x + 2) + +1 x − x + ( x + 1) ( x − x + 1) − ( x + 2) ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) = + + ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) − ( x + 2) ( x + 1) x +1 = + + ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) x ( x − x + 1) x −x +x x = = = ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) x + MTC = ( x + 1) x − x + 2 2 2 2 2 3 2 2 2 Khi x=999, ta có giá trị biểu thức là: 999 1000 b Ta có: 3y y − − x − xy x − xy x + xy + x y = −3 y −y + + 3 x (x − y) x x − y x x + y + xy = −3 y −y + + 2 x ( x − y ) x ( x − y ) x + xy + y x x + y + xy ( ) ( ( ( MTC = x ( x − y ) x + xy + y ) ) ) ( −3 y −y + + 2 x ( x − y ) x ( x − y ) x + xy + y x x + y + xy ( ) ( ) ) = −y ( x − y) x + xy + y −3 y + + x ( x − y ) x + xy + y x ( x − y ) x + xy + y x ( x − y ) x + xy + y ) = x + xy + y − yx + y −3 y + + x ( x − y ) x + xy + y x ( x − y ) x + xy + y x ( x − y ) x + xy + y ) ( ( ) ( ) ( x2 − y x+ y = = 2 x ( x − y ) x + xy + y x x + xy + y ( ) ) ( ) ( ( ) Khi x=3; y=-1, Ta có gi biểu thức là: 21 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 85 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP c Ta có: ( x + 1) − x = x + − x = − 1 = x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1) x x + Tương tự: = ( x + 1)( x + ) ( x + )( x + 3) ( x + 3)( x + ) ( x + )( x + ) 1 − x +1 x + = 1 − x+2 x+3 = 1 − x+3 x+4 = 1 − x+4 x+5 Do đó: 1 1 + + + + x ( x + 1) ( x + 1)( x + ) ( x + )( x + 3) ( x + 3)( x + ) ( x + )( x + ) = 1 − = x x + x ( x + 5) Khi x=3, ta có giá trị biểu thức là: 24 Nhận xét: Tổng quát hóa c: m m m m1  + + + =  −  x ( x + 1) ( x + 1)( x + 2l )  x + ( n − 1) l  ( x + nl ) l  x x + nl  C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Thực phép tính: a c 1 − + 2x − y 2x + y y − x2 x3 + − −x x −9 x+3 b d x2 − x+3 − x − x + 3x + 3 − − ( x + 1)( x + ) ( x + )( x + 3) ( x + 3)( x + 1) Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 86 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP e x+ z x+ y y+z − − ( x − y )( y − z ) ( x − z )( y − z ) ( x − y )( x − z ) Bài 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức: a 10 15b − − a +1 a − a2 +1 a b + b b 2x +1 x − − x − x2 x2 − c x3 x2 1 − − + x −1 x + x −1 x + d 2x + 1 − 2x với x= + − 4x − 4x + 1− 4x ( với a=-2; b= ) 2004 với x = với x=100 Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: a 2a + x − ax a2 + − − ( a − 3)( a + ) ( a+3)( x + ) a − b ( x − a )( x − b ) − ( b − x )( x − c ) − ( x − c )( x − a ) ( c − a )( c − b ) ( a-b )( a − c ) ( b − c )( a − b ) c d x − ( x − 1) (x ) 2 + − x2 ( x − 1) − x + x ( x − 1) − − x ( x + 1) − x − ( x + 1) x3 2 y3 2 2 − 2 − z3 ( x − y )( x − z ) ( x − y )( y − z ) ( y − z )( z − x ) với x+y+z=1 Bài 4: Chứng tỏ rằng: a Nếu a+b+c=2p 1 1 abc + + + = p − a p − b p − c p p ( p − a )( p − b )( p − c ) b Nếu a+b=1 ( − ab ) a b + − 2 =0 b −1 a −1 a b + 3 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 87 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP Hướng dẫn giải: Bài 1: y −1 x2 − y a MTC = ( x − y )( x + y ) ĐS: b MTC = ( x − 1)( x + 1) ĐS: c MTC = x − 9 x − x + 10 ĐS: x2 − d MTC = ( x + 1)( x + )( x + 3) ĐS: e MTC = ( x − y )( y − z )( x − z ) ĐS: a MTC = ( a + 1) ( a − a + 1) ĐS: 5a −10 ; a − a +1 b MTC = x ( x − 1) ĐS: −3 x − x + x x2 − ( ) x2 −1 ( x + 1)( x + )( x + 3) Bài 2: ( ) c x=100, ta có giá trị biểu thức là: 10002 d MTC = x − ĐS: ; −4 2x −1 Bài 3: a MTC = ( a + 3)( a − 3)( x + ) ĐS:0 b MTC = ( a − b )( b − c )( c − a ) ĐS:1 c Chú ý sử dụng đẳng thức: a − b = ( a + b )( a − b ) để rút gọn phân thức Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 88 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP  x − ( x − 1)   x + ( x − 1)  = 2 x + − x  x + − x   x + + x  x − ( x − 1) ( ( ) ) ( )  x − ( x − 1)   x + ( x − 1)  x + x − = =  x2 + − x  x2 + + x x2 + x +    ( ) ( ) Tương tự: ( x − 1) − x = x x ( x + 1) − x 2 Vậy: 2 x − ( x − 1) (x ) 2 + − x2 − x − x ( x − 1) − x − x + ; = 2 + x + x − ( x + 1)2 x + x +1 2 ( x − 1) − x + x ( x − 1) − =1 x ( x + 1) − x − ( x + 1) 2 2 2 2 d Rút gọn phân thức với MTC = ( x − y )( y − z )( z − x ) , ta thu kết là: x + y + z =1 Bài 4: a 1 1  1   1 + + − = + −  + p −a p −b p −c p  p −a p −b   p −c p  = p − (a + b) ( p − a )( p − b ) + c c c = + p ( p − c ) ( p − a )( p − b ) p ( p − c )   c  p − p ( a + b + c ) + ab  1 = c + =  ( p − a )( p − b ) p ( p − c )  p ( p − a )( p − b )( p − c )   abc = p ( p − a )( p − b )( p − c ) b Thay a=1-b; b=1-a vào tử hai phân thức đầu để Rút gọn phân thức sau tính tốn Nguyễn Quốc Tuấn (Tởng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 89 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP Quý thầy cô nhận bạn file WORD Zalo 0918.972.605 TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN MỚI NHẤT-2019 Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 90 PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO - ĐẠI SỐ - TẬP Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://xuctu.com/ FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach.toan.online@gmail.com Đặt online biểu mẫu: https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF89 Đọc trước sách tại: https://xuctu.com/sach-truc-tuyen/ Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) - quoctuansp@gmail.com Trang số 91 ...  x2 + − x  x2 + + x x2 + x +    ( ) ( ) Tương tự: ( x − 1) − x = x x ( x + 1) − x 2 Vậy: 2 x − ( x − 1) (x ) 2 + − x2 − x − x ( x − 1) − x − x + ; = 2 + x + x − ( x + 1 )2 x + x +1 2 (... biểu thức: a 10 15b − − a +1 a − a2 +1 a b + b b 2x +1 x − − x − x2 x2 − c x3 x2 1 − − + x −1 x + x −1 x + d 2x + 1 − 2x với x= + − 4x − 4x + 1− 4x ( với a= -2; b= ) 20 04 với x = với x=100 Bài 3:... 1) x − x + 2 2 2 2 2 3 2 2 2 Khi x=999, ta có giá trị biểu thức là: 999 1000 b Ta có: 3y y − − x − xy x − xy x + xy + x y = −3 y −y + + 3 x (x − y) x x − y x x + y + xy = −3 y −y + + 2 x ( x −