Chương I: PHƯƠNG TR̀NH LƯỢNG GIÁC A. CƠ SỞ LƯ THUYẾT 1. Cung liên kết a) Cung đối: ( ) ( ) cos cos ; sin sin ; x x x x− = − = − b) Cung bù: ( ) ( ) cos cos ; sin sin ; x x x x π π − = − − = c) Cung phụ: cos sin ; sin cos ; tan( ) cot ; cot tan 2 2 2 2 x x x x x x x x π π π π       − = − = − = − =  ÷  ÷  ÷       d) Cung hơn kém π : ( ) ( ) cos cos ; sin sin ; x x x x π π + = − + = − e) Cung hơn kém 2 π : cos sin ; sin cos ; 2 2 x x x x π π     + = − + =  ÷  ÷     2. Công thức lượng giác a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi ( ) cos cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin tan tan tan( ) 1 tan tan cota cot 1 cot( ) cota cot a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a b b + = − + = + + + = − − + = + 2 2 2 2 2 sin 2 2sin .cos cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2tan tan 2 1 tan a a a a a a a a a a a = = − = − = − = − c) Công thức nhân ba d) Công thức hạ bậc 3 3 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos a a a a a a = − = − 2 2 3 3 1 cos2 1 cos2 sin ; cos 2 2 3sin sin3 3cos cos3 sin ; cos 4 4 a a a a a a a a a a − + = = − + = = e) Công thức tích thành tổng f) Công thức tổng thành tích [ ] [ ] [ ] 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + − − = + − − = + + − cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + − + = + − − = − + − + = + − − = 3. Hằng đẳng thức thường dùng ( ) 2 2 4 4 2 6 6 2 2 2 2 2 2 1 3 sin cos 1 sin cos 1 sin 2a sin cos 1 sin 2 2 4 1 1 1 tan 1+cot 1 sin 2 sin cos cos sin a a a a a a a a a a a a a a + = + = − + = − + = = ± = ± 4. Phương tŕnh lượng giác cơ bản khi 1 2 sin ( ) ; sin sin ( ) arcsin 2 2 khi 1 ( ) arcsin 2 VN m x k f x m x f x m k x k m f x m k α π α π π α π π π >  = +   = ⇔ = ⇔ = +    = − + ≤    = − +   khi 1 2 cos ( ) ; cos cos ( ) arccos 2 2 khi 1 ( ) arccos 2 VN m x k f x m x f x m k x k m f x m k α π α π α π π >  = +   = ⇔ = ⇔ = +    = − + ≤    = − +   tan ( ) ( ) arctan ; tan tanf x m f x m k x x k π α α π = ⇔ = + = ⇔ = + cot ( ) ( ) arccot ; cot cotf x m f x m k x x k π α α π = ⇔ = + = ⇔ = + 5. Phương tŕnh thường gặp a. Phương tŕnh bậc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .sin ( ) .cos ( ) 0 sin ( ) 1 cos ( ) .cos ( ) .sin ( ) 0 ( ) 1 sin ( ) cos2 ( ) cos ( ) 0 cos2 ( ) 2cos ( ) 1 cos2 ( ) sin ( ) 0 cos2 ( ) 1 2sin ( ) .t a f x b f x c Thay f x f x a f x b f x c Thay f x f x a f x b f x c Thay f x f x a f x b f x c Thay f x f x a + + = ⇒ = − + + = ⇒ = − + + = ⇒ = − + + = ⇒ = − cos 1 an ( ) cot ( ) 0 cot ( ) tan ( ) f x b f x c Thay f x f x + + = ⇒ = b. Phương tŕnh dạng sin ( ) cos ( )a f x b f x c+ = 1 Điều kiện có nghiệm: 2 2 2 a b c+ ≥ 2 Chia 2 vế cho 2 2 a b+ , dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin hoặc cos. c. Phương tŕnh đẳng cấp 1 Dạng 2 2 .sin .sin cos .cosa x b x x c x d+ + = 2 Xét cosx = 0 có thỏa măn phương tŕnh hay không. 3 Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho cos 2 x để được phương tŕnh bậc 2 theo tanx. 4 Có thể thay v́ xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx. 5 Dạng 3 2 2 3 .sin .sin cos .sin .cos .cos 0a x b x x c x x d x+ + + = 6 Xét cosx = 0 có thỏa măn phương tŕnh hay không. 7 Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho cos 3 x để được phương tŕnh bậc 3 theo tanx. 8 Có thể thay v́ xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx. d. Phương tŕnh đối xứng loại 1: (sin cos ) .sin cosa x x b x x c± + = 1 Đặt t = sinx ± cosx, điều kiện 2t ≤ 2 Thay vào phương tŕnh ta được phương tŕnh bậc 2 theo t. e. Phương tŕnh đối xứng loại 2 : ( ) tan cot ) (tan cot 0 n n a x x b x x + + ± = 1 Đặt t = tanx - cotx th́ t ∈ R ; Đặt t = tanx + cotx th́ 2t ≥ . 2 Chuyển về phương tŕnh theo ẩn t. f. Các phương pháp giải phương tŕnh lượng giác tổng quát 1 Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản 2 Phương pháp biến đổi phương tŕnh đă cho về dạng tích. 3 Phương pháp đặt ẩn phụ. 4 Phương pháp đối lập. 5 Phương pháp tổng b́nh phương. B. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Dạng 1 : Phương tŕnh lượng giác cơ bản. Bài 1 : Giải các phương tŕnh lượng giác sau : 1. cos sin 2 0 3 x x π   + + =  ÷   2. cos cos 1 3 3 x x π π     + + − =  ÷  ÷     3. tan 2 .tan 1x x = − 4. 2 2 2 sin sin .tan 3x x x+ = 5. 2 2 5cos sin 4x x+ = 3. 1 3sin cos cos x x x + = 7. 4 4 cos 2 sin3 sin 2x x x= − 8. tan 1 tan 4 x x π   − = −  ÷   9. 3 3 1 sin cos cos sin 4 x x x x= + 10. 4 4 sin cos cos4x x x+ = 11. cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x) 12. sin + cos = 13. 2 2 sin 5 cos 3 1x x+ = 14. 2 cos cos2 cos4 16 x x x − = 15. ( ) sin sin 1x π = 16. 2 2 cos sin 1 sin 1 cos x x x x = − − 17. 1 1 2 cos sin 2 sin 4x x x + = 18. 3 2 4sin 2 6sin 3x x+ = Bài 2 : Cho phương tŕnh ( ) ( ) tan cos cot sinx x π π = 1. T́m điều kiện xác định của phương tŕnh. 2. T́m tất cả các nghiệm thuộc đoạn [ ] 3 ; π π − của phương tŕnh. Bài 3 : Cho phương tŕnh sin 6 x + cos 6 x = m. 1. Xác định m để phương tŕnh có nghiệm. 2. Xác định m để phương tŕnh có đúng 2 nghiệm trong khoảng ( ) 0; π Bài 4: Giải và biện luận phương tŕnh ( ) 2 2 1 cos2 2 sin 3 2 0m x m x m− + + − = Dạng 2 : Phương tŕnh bậc nhất, bậc hai. Bài 1 : Giải các phương tŕnh lượng giác sau : 1. 2 2cos 5sin 4 0 3 3 x x π π     + + + − =  ÷  ÷     2. 5 cos2 4cos 0 2 x x− + = 3. 4 4 sin cos cos2x x x+ = 4. 4 4 1 cos sin sin 2 2 x x x+ = − 5. ( ) 2 2 2 cos 3 2 2 cos3 1 0x x− + + = 6. 4 4 cos sin 2sin 1 2 2 x x x+ + = 7. ( ) 6 6 4 sin cos cos 2 0 2 x x x π   + − − =  ÷   8. 2tan 3cot 4x x+ = 9. 4 2 1 cos sin 4 x x= − 10. 2 2 6 6 cos sin 4cot 2 sin cos x x x x x − = + 11. 1 2tan cot 2sin 2 sin 2 x x x x + = + 12. 8 8 2 17 sin cos cos 2 16 x x x+ = 13. 4cos cos4 1 2cos2x x x− = + 14. 5 5 2 4sin cos 4cos sin cos 4 1x x x x x− = + 15. 2 2 cos4 cos 3 cos 1x x x= − + 16. sin3 cos2 1 2sin cos2x x x x+ = + Bài 2 : Cho phương tŕnh sin3 cos2 ( 1)sin 0x m x m x m− − + + = 1. Giải phương tŕnh khi m = 2. 2. Xác định m để phương tŕnh có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng ( ) 0;2 π Dạng 3 : Phương tŕnh bậc nhất theo sinx, cosx. Bài 1 : Giải các phương tŕnh lượng giác sau : 1. 3sin cos 2 0x x− + = 2. 3 3sin 1 4sin 3cos3x x x− = + 3. 4 4 sin cos 1 4 x x π   + + =  ÷   4. ( ) 4 4 2 cos sin 3sin 4 2x x x + + = 5. 2sin 2 2sin 4 0x x+ = 6. 3sin 2 2cos2 3x x+ = 7. 9 3cos 2 3sin 2 x x+ = 8. 4cos3 3sin3 5 0x x− + = 9. 2 sin cos sin cos2x x x x− = 10. ( ) tan 3cot 4 sin 3cosx x x x− = + 11. 2sin3 3cos7 sin 7 0x x x+ + = 12. ( ) cos5 sin3 3 cos3 sin5x x x x− = − 13. ( ) ( ) 2 2sin cos 1 cos sinx x x x− + = 14. 1 cos sin3 cos3 sin 2 sinx x x x x+ + = − − 15. 3 3sin 1 4sin 3cos3x x x− = + 16. 3sin cos 2cos 2 3 x x x π   + + − =  ÷   Bài 2 : Cho phương tŕnh ( ) 3 sin 2 1 cos 3 1m x m x m+ − = + 1. Giải phương tŕnh khi m = 1. 2. Xác định m để phương tŕnh có nghiệm. Bài 3 : T́m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. cos sin 1 sin 2cos 4 x x y x x − + = + − 2. cos3 sin3 1 cos3 2 x x y x + + = + 3. 1 3sin 2cos 2 sin cos x x y x x − + = + + 4. 2 sin cos cos sin cos 1 x x x y x x + = + Dạng 4 : Phương tŕnh đẳng cấp Bài 1 : Giải các phương tŕnh lượng giác sau : 1. 2 2 2sin sin cos 3cos 0x x x x+ − = 2. 2 2sin 2 3cos 5sin cos 2 0x x x x− + − = 3. 2 2 sin sin 2 2cos 0,5x x x+ − = 4. 2 sin 2 2sin 2cos2x x x− = 5. 2sin 2 x + 3sinx.cosx - 3cos 2 x = 1 6. 2 2 1 4 3 3 2 2 2 os sin sin x x c x+ + = 7. ( ) 2 2 3sin 4sin 2 8 3 9 cos 0+ + − =x x x 8. 3 3 2cos 3cos 8sin 0x x x+ − = 9. 3 3 8 3cos 5sin 7sin cos 0 3 x x x x− + − = 10. 3 5sin 4 cos 6sin 2cos 2cos2 x x x x x − = 11. 2 sin 2 sin 4 x x π   + =  ÷   12. 3 2 cos sin cos3 3 2 sin sin 2x x x x x− = + 13. 2 2 3sin 2sin 2 cos 0x x x− + = 14. 3 12 sin 2 sin 4 x x π   − =  ÷   Bài 2 : Cho phương tŕnh ( ) ( ) 2 2 sin 3 sin 2 2 cos 0m x m x m x− − + − = 1. Xác định m để phương tŕnh có nghiệm. 2. Xác định m để phương tŕnh có nghiệm duy nhất thuộc khoảng 0, 4 π    ÷   . Dạng 5 : Phương tŕnh đối xứng loại 1 Bài 1 : Giải các phương tŕnh lượng giác sau : 1. ( ) 2 sin cos sin 2 1 0x x x+ + + = 2. ( ) sin cos 6 sin cos 1x x x x= − − 3. sin 2 2sin 1 4 x x π   + − =  ÷   4. tan 2 2 sin 1x x− = 5. 3 3 sin cos 1x x+ = 6. ( ) ( ) 1 sin 1 cos 2+ + =x x 7. 2sin tan cot 4   + = +  ÷   x x x p 8. ( ) 3 sin cos sin cos 1 0x x x x+ + − = 9. ( ) 4 sin cos 3sin 2 1 0x x x+ − − = 10. 3 3 cos sin cos2x x x− = 11. ( ) 3 3 sin cos 2 sin cos 3sin 2 0x x x x x+ + + − = 12. ( ) 3 sin cos 1 sin cosx x x x− = + 13. 1 1 sin cos 2 tan cot 0 sin cos x x x x x x + + + + + + = 14. ( ) ( ) 1 sin 2 sin cos cos2x x x x− + = Bài 2 : Cho phương tŕnh 3 3 cos sinx x m− = . Xác định m để phương tŕnh có nghiệm. Dạng 5 : Phương tŕnh đối xứng loại 2 Bài 1 : Giải các phương tŕnh lượng giác sau : 1. ( ) ( ) 2 2 3 tan cot 2 tan cot 2 0x x x x+ − + − = 2. 7 7 tan cot tan cotx x x x+ = + 3. 2 3 2 3 tan tan tan cot cot cot 6x x x x x x+ + + + + = 4. ( ) ( ) 4 2 2 9 tan cot 48 tan cot 96x x x x + = + + 5. ( ) 2 2 3 tan cot tan cot 6x x x x− + + = 6. ( ) ( ) 4 2 2 3 tan cot 8 tan cot 21+ − + =x x x x Bài 2 : Cho phương tŕnh ( ) ( ) 2 2 2 tan cot 2 2 tan cotx x m x x m m+ + + + = − . Xác định m để phương tŕnh có nghiệm. Dạng 6 : Biến đổi tương đương dưa về dạng cơ bản Giải các phương tŕnh lượng giác sau : 1. 3 3 3 sin cos sin cos 8 x x x x− = 2. 2 2 2 2 cos cos 2 cos 3 cos 4 2x x x x+ + + = 3. ( ) 3 3 5 5 sin cos 2 in cosx x s x x+ = + 4. ( ) 8 8 10 10 5 sin cos 2 sin cos cos2 4 x x x x x + = + + 5. sin cot5 1 cot x x x = 6. 6tan 5cot3 tan 2 + = x x x Dạng 7 : Biến đổi biến đổi tích bằng 0 1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x- 2sinxcosx=0 3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin 3 x+2cosx-2+sin 2 x=0 5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/ 3 2 sin2x+ 2 cos 2 x+ 6 cosx=0 7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ sin 3 sin5 3 5 x x = 9/ 2cos2x-8cosx+7= 1 cos x 10/ cos 8 x+sin 8 x=2(cos 10 x+sin 10 x)+ 5 4 cos2x 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin 2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 14/ 2sin3x- 1 sin x =2cos3x+ 1 cos x 15/cos 3 x+cos 2 x+2sinx-2=0 16/cos2x- 2cos 3 x+sinx=0 17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1 cos x )=0 18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x Dạng 7 : Biến đổi biến đổi tích thành tổng, hoặc tổng thành tích Bài 1 : Giải các phương tŕnh lượng giác sau : 1. sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x 2. sin 2 x + sin 2 2x = sin 2 3x + sin 2 4x 2. sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x + sin 2 4x = 2 4. 2 2 2 3 cos cos 2 cos 3 2 x x x + + = 5. sin5x.cos6x+ sinx = sin7x.cos4x 6. 1 sin sin 3 3 2 x x π π     − + =  ÷  ÷     7. 1 sin cos 4 12 2 x x π π     + + =  ÷  ÷     8. cosx. cos4x - cos5x=0 9. sin6x.sin2x = sin5x.sin3x 10. 2 + sinx.sin3x = 2 cos 2x Bài 2 : Giải các phương tŕnh lượng giác sau : 1/ sin 2 x+sin 2 3x=cos 2 2x+cos 2 4x 2/ cos 2 x+cos 2 2x+cos 2 3x+cos 2 4x=3/2 3/sin 2 x+ sin 2 3x-3 cos 2 2x=0 4/ cos3x+ sin7x=2sin 2 ( 5 4 2 x π + )-2cos 2 9 2 x 5/ sin 2 4 x+ sin 2 3x= cos 2 2x+ cos 2 x 6/sin 2 4x-cos 2 6x=sin( 10,5 10x π + ) 7/ cos 4 x-5sin 4 x=1 8/4sin 3 x-1=3- 3 cos3x 9/ sin 2 2x+ sin 2 4x= sin 2 6x 10/ sin 2 x= cos 2 2x+ cos 2 3x 11/ 4sin 3 xcos3x+4cos 3 x sin3x+3 3 cos4x=3 12/ 2cos 2 2x+ cos2x=4 sin 2 2xcos 2 x Dạng 8 : Đặt ẩn phụ Giải các phương tŕnh lượng giác sau : 1. tan 2 2tan sin 2 0x x x− + = 2. 2 2 cos 2 cos cos 2 cos 3x x x x+ − + − = 3. 5 3sin cos 3 3sin cos 3 x x x x + + = + + 4. 2 cos 2 2 cos 2x x + + = Dạng 9 : Phương pháp đối lập Giải các phương tŕnh lượng giác sau : 1. 3 4 sin cos 1x x+ = 2. 2010 2010 sin cos 1x x+ = 3. 2 2 3cos 1 sin 7x x+ = 4. sin3 .cos4 1x x = 5. 3 3 2 sin cos 2 sin 2x x x+ = − 6. cos2 .cos5 1x x = − Dạng 10 : Phương pháp tổng b́nh phương Giải các phương tŕnh lượng giác sau : 1. ( ) 3 cos2 cos6 4 3sin 4sin 1 0x x x x − + − + = 2. 2 3sin 2 2sin 4cos 6 0x x x− − + = 3. 2sin 2 cos2 2 2 sin 4 0x x x+ + − = 4. 2 cos2 3sin 2 4sin 2sin 4 2 3 cosx x x x x − + − + = C. BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1 2 2 cos 3 sin 2 1 sinx x x− = + Bài 2 3 3 2 cos 4sin 3cos .sin sin 0x x x x x− − + = Bài 3 Giải phương tŕnh: sin 2 2 tan 3x x + = 3 sin .sin 2 sin 3 6cosx x x x+ = Bài 4 2 cos 2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x x − = + − + Bài 5 sin 3 cos3 2cos 0x x x+ + = Bài 6 3 sin 4sin cos 0x x x− + = Bài 7 2 2 tan .sin 2sin 3(cos2 sin cos )x x x x x x− = + Bài 8 cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x − + − = Bài 9 (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sinx x x x x− + = − Bài 10 cos cos 2 cos3 cos4 0x x x x+ + + = . pháp tổng b́nh phương. B. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Dạng 1 : Phương tŕnh lượng giác cơ bản. Bài 1 : Giải các phương tŕnh lượng giác sau : 1. cos sin 2 0 3 x. cosx+cos2x Dạng 7 : Biến đổi biến đổi tích thành tổng, hoặc tổng thành tích Bài 1 : Giải các phương tŕnh lượng giác sau : 1. sinx + sin2x + sin3x = cosx