NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU (Phục vụ cho chương trình lớp ơn thi vào lớp 10) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = (a ≠0) (1) *Trong trường hợp giải biện luận, cần ý a = phương trình trở thành bậc ẩn A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Các dạng cách giải  x 0 Dạng 1: c = đó:  1  ax  bx 0  x  ax+b  0   b  x  a  Dạng 2: b = c  1  ax  c 0  x  a c c 0 x  - Nếu a a c  phương trình vơ nghiệm - Nếu a Dạng 3: Tổng quát CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN  b  4ac  ' b '2  ac   : phương trình có nghiệm phân biệt  b    b   x1  ; x2  2a 2a  0 : phương trình có nghiệm kép b x1 x  2a   : phương trình vơ nghiệm  '  : phương trình có nghiệm phân biệt  b'  '  b'  ' x1  ; x2  a a  ' 0 : phương trình có nghiệm kép  b' x1 x  a  '  : phương trình vơ nghiệm Dạng 4: Các phương trình đưa phương trình bậc hai Cần ý dạng trùng phương, phương trình vơ tỉ dạng đặt ẩn phụ, dạng chứa ẩn mẫu dạng tích Hệ thức Viet ứng dụng - Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì: b  S  x  x   a  P x x  c  a NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT u  v S - Nếu có hai số u v cho   S 4P  u, v hai nghiệm uv P phương trình x2 – Sx + P = c - Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = a c - Nếu a – b + c = phương trình có nghiệm x1 = -1; x2 =  a Điều kiện có nghiệm phương trình ax + bx + c = (a ≠0) - (1) có nghiệm  0 ; có nghiệm phân biệt    0 - (1) có nghiệm dấu  P   0  - (1) có nghiệm dương P  S    0  - (1) có nghiệm âm P  S   - (1) có nghiệm trái dấu ac < P < Tìm điều kiện tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện 1 a) x1   x ; b) x 12  x 22 m; c)  n x1 x d) x12  x 2 h; e) x13  x 23 t; Trong trường hợp cần sử dụng hệ thức Viet phương pháp giải hệ phương trình B MỘT SỐ VÍ DỤ VD1 Giải phương trình sau a) 3x  2x 0 b)  x  0 c) x  3x  10 0 2 d) 2x   x   2 0; e) x  x  0; f )  x 1  x    x    x   3   Giải  x 0 a) 3x  2x 0  x  3x   0    x   Vậy phương trình có nghiệm phân biệt … b)  x  0  x 16  x 4 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt … NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT c) a 1; b 3; c  10  b  4ac 32  4.1.  10  49   b      b      2; x2    2a 2.1 2a 2.1 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt … d) a  2; b   1; c 1  2 Có a  b  c      2 0 x1  c 1 2 2 Theo hệ thức Viet, có: x1 1; x    a 2 e) Đặt t  x 0 , ta có pt mới: t – 4t + = Có a + b + c = + (-4) + = Vậy t1 = 1; t2 = Suy ra: x1 = 1; x2 = 2 f)  x  1  x    x  3  x   3   x  5x    x  5x   3 Đặt x2 + 5x + = t, ta có:  t 1 t (t + 2) =  t  2t  0   t  1  t  3 0    t   x  5x  1  x  5x  0    13   13    x1  ; x2  Suy ra:  2   x  5x    x  5x  0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt … VD2 Cho phương trình x2 + 3x – m = (1) a) Giải phương trình với m = b) Giải biện luận theo m số nghiệm phương trình (1) c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2 Tìm nghiệm cịn lại d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện sau: 2x1 + 3x2 = 13 Nghiệm lớn nghiệm ba đơn vị x12 + x22 = 11 1 e) Chứng tỏ ; nghiệm phương trình mx2 – 3x – = Trong x1, x1 x x2 hai nghiệm (1) f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dấu Em có nhận xét hai nghiệm Giải a) Với m = ta có: x2 + 3x – = (a = 1; b = 3; c = -4) Nhận thấy: a + b + c = + + (-4) = c Theo hệ thức Viet, có: x1 = 1; x2 =  a b) có:  b  4ac 9  4m NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT  b      4m  b      4m x1   ; x2   2a 2a  0   4m 0  m  b x1 x   2a     4m   m   phương trình vơ nghiệm c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, đó: (-2)2 + 3(-2) – m =  m = -2 - Tìm nghiệm thứ hai cách 1: Thay m = -2 vào phương trình cho: x2 + 3x + = c  có a – b + c = – + = nên x1 = -1; x2 = a Vậy nghiệm lại x = - b b Cách 2: Ta có x1 + x2 =   x   x1       a a c c m  x  : x1   Cách 3: Ta có x1x2 = a a 2  0  b  x1  x   a d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 13    x1x  c  a 2x  3x 13   m      x1  x  giải hệ tìm x1 = -22; x2 = 19; m = 418  x1x  m  2x1  3x 13 - Tương tự ta tìm (x1 = -2; x2 = -3; m = -6); (m=1) x1  x 1  x  x  x x m   4m 2  3  1 e) Ta có  mà          0 m m2 m  m m     x1 x x1.x m     4m   m   NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT 1 ; hai nghiệm phương trình x1 x x2  x  0  mx  3m  0 m m Vậy  0  f) Phương trình có hai nghiệm dấu   P    m    m    m  Hai nghiệm ln âm Vì S = - C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Giải phương trình sau a) x  5x 0 e) x  7x  12 0 g)   b) 2x  0 c) x  11x  30 0 d) x   x  0 f)  x  2 x   0 x  x  x  2 x  x  2 2  x   0 h)  x  1  x    x    x    20 1   4,5  x    0 x x  Bài 2: Cho phương trình x  3x  0 , có hai nghiệm x1, x2 Khơng giải phương trình Hãy tính giá trị biểu thức sau: 3x12  5x1x  3x 2 2 3 A x1  x ; B x1  x ; C 4x13x  4x1x 23 Bài 3: Cho phương trình x2 + mx + m+3 = a) Giải phương trình với m = -2 b) Giải biện luận số nghiệm phương trình c) Tính x12 + x22 ; x13 + x23 theo m d) Xác định giá trị m để x12 + x22 = 10 e) Tìm m để 2x1 + 3x2 = f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3 Tính nghiệm cịn lại g) Tìm m để phương trình có nghiệm dấu dương i) 2x  8x  2x  4x  12 k) x  Bài 4: Cho phương trình bậc hai: mx2 – (5m-2)x + 6m – = a) Giải phương trình với m = b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có nghiệm đối d) Tìm m để phương trình có nghiệm nghịch đảo e) Tìm m để phương trình có nghiệm x = Tìm nghiệm cịn lại f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm Bài 5: Cho phương trình x2 – mx + m – = 0, ẩn x, tam số m a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1, x2 với m Tính nghiệm kép (nếu có) giá trị tương ứng m NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT b) Đặt A = x12 + x22 – 6x1x2 +) Chứng minh A = m2 – 8m + +) Tìm m để A = +) Tìm giá trị nhỏ A giá trị tương ứng m Bài 6*: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = với abc ≠ a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2 b) Lập phương trình nhận hai số  x1    ;  x    làm nghiệm c) Lập phương trình nhận hai số x1; x làm nghiệm 1 d) Lập phương trình nhận hai số ; làm nghiệm x1 x x1 x ; e) Lập phương trình nhận hai số làm nghiệm x x1 Bài 7: Cho phương trình x2 + (m + 2)x + 2m = a) Giải biện luận số nghiệm phương trình b) Phương trình có nghiệm x = Tìm m nghiệm cịn lại x1 x  2 c) Tìm m để x x1 d) Tìm m để  2x1  x   x1  2x  0 e) Tìm biểu thức liên hệ x1 x2 mà không phụ thuộc vào m f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dấu Có nhận xét hai nghiệm Bài 8: Cho phương trình x2 – (m + )x + m2 - 2m + = (1) a) Giải phương trình với m = b) Xác định giá trị m để (1) có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm Bài 9: Cho phương trình x2 – ( m+1)x + m2 – 2m + = (1) a) Giải phương trình với m = b) Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Với giá trị m x12  x22 đạt giá trị bé , lớn Bài 10 : Cho phương trình : x2 - 2(m - 2)x + 2m - = (1) 1/ Giải phương trình với m = 2/ CMR: phương trình ln có nghiệm với m 3/ Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình (1): Tìm m để: B = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) < NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT Bài 11 : Cho phương trình: 2x  (2m  1)x  m  0 a, Giải phương trình với m = b, Cmr: phương trình ln có nghiệm với giá trị cuả m c, Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn 3x1- 4x2= Bài 12: Cho phương trình bặc hai: x  2(m  1)x  m 0 a, Giải phương trình với m = b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm -2, tìm nghiệm cịn lại Bài 13: Cho phương trình: x2 + ( 2m - ).x - m = a) Giải phương trình m = b) CMR: Phương trình ln có nghiệm phân biệt với m x1 x2 c) Tìm m để nghiệm x1, x2 thỏa mãn : x   x  2 Bài 14: Cho phương trình : x2 - 2m x + m2 - = a) Định m để phương tình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x1.x2 - ( x1 + x2 ) < 23 Bài 15 : Cho phương trình : 3x2 – ( 3k – 2) x – ( 3k + 1) = với x ẩn số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị k b) Giải phương trình với k = c) Tìm k để phương trình có nghiệm kép d) Tìm k để phương trình có nghiệm dương e) Tìm k để nghiệm x1 ; x2 phương trình thoả mãn : 3x1 – 5x2 = HÀM SỐ - ĐỒ THỊ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Tính chất hàm số bậc y = ax + b (a ≠0) - Đồng biến a > 0; nghịch biến a < - Đồ thị đường thẳng nên vẽ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị + Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số qua gốc tọa độ + Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số cắt trục tung điểm b - Đồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc  , mà tg a - Đồ thị hàm số qua điểm A(xA; yA) yA = axA + b Vị trí hai đường thẳng mặt phẳng tọa độ Xét hai đường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ - Hai đường thẳng song song a1 = a2 b1 ≠ b2 - Hai đường thẳng trùng a1 = a2 b1 = b2 - Hai đường thẳng cắt a1 ≠ a2 +Nếu b1 = b2 chúng cắt b1 trục tung +Nếu a1.a2 = -1 chúng vng góc với NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT Tính chất hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0) - Nếu a > hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > Nếu a < hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > - Đồ thị hàm số Parabol qua gốc tọa độ: +) Nếu a > parabol có điểm thấp gốc tọa độ +) Nếu a < Parabol có điểm cao gốc tọa độ - Đồ thị hàm số qua điểm A(xA; yA) yA = axA2 Vị trí đường thẳng parabol - Xét đường thẳng x = m parabol y = ax2: +) ln có giao điểm có tọa độ (m; am2) - Xét đường thẳng y = m parabol y = ax2: +) Nếu m = có giao điểm gốc tọa độ +) Nếu am > có hai giao điểm có hồnh độ x =  m a +) Nếu am < khơng có giao điểm - Xét đường thẳng y = mx + n ( m ≠ 0) parabol y = ax2: +) Hoành độ giao điểm chúng nghiệm phương trình hoành độ ax = mx + n B MỘT SỐ VÍ DỤ VD1: Cho (P): y = x2 Vẽ (P) hệ trục Oxy Trên (P) lấy hai điểm A B có hồnh độ Hãy viết phương trình đường thẳng qua A B Lập phương trình đường trung trực (d) AB Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) Tính diện tích tứ giác có đỉnh A, B điểm 1; trục hoành VD2: Trong hệ trục tọa độ, gọi (P), (d) đồ thị hàm số x2 y  ; y x  a) Vẽ (P) (d) b) Dùng đồ thị để giải phương trình x  4x  0 kiểm tra lại phép tốn x2 Phương trình cho   x  Nhận thấy đồ thị hai hàm số vừa x2 vẽ đồ thị y  y x  Mà đồ thị hai hàm số đo tiếp xúc A nên phương trình có nghiệm kép hồnh độ điểm A c) Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) cắt (P) điểm có tung độ - Tìm giao điểm cịn lại (d1) với (P) VD3: Cho (P): y = x đường thẳng (d) qua hai điểm A, B (P) có hồnh độ – NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d) c) Tìm M cung AB (P) tương ứng với hoành độ x chạy khoảng từ - đến cho tam giác MAB có diện tích lớn Do đáy AB khơng đổi nên để diện tích lớn đường cao MH lớn MH lớn khoảng cách từ AB đến đường thẳng (d)//AB tiếp xúc với (P)  1 Tìm tọa độ M  1;   4 C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Câu 1: a) Tìm giá trị a , b biết đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm A( ; - ) B ( ;2) b) Với giá trị m đồ thị hàm số y = mx + ; y = 3x –7 đồ thị hàm số xác định câu ( a ) đồng quy 3x Câu 2: Cho hàm số : y = (P) a) Tính giá trị hàm số x = ; -1 ;  b) Biết f(x) = ; -2 ; 8; ; tìm x c) Xác định m để đường thẳng (D) : y = x + m – tiếp xúc với (P) Câu 3: Cho hàm số y = ( m –2 ) x + m + a) Tìm điều kiệm m để hàm số ln nghịch biến b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hành độ c) Tìm m để đồ thị hàm số y = - x + ; y = 2x –1và y = (m – )x + m + đồng quy Câu4: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A( -2 , ) đường thẳng (D): y = - 2(x +1) a) Điểm A có thuộc (D) hay khơng ? b) Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A c) Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với (D) Câu 5: Cho hàm số : y = - x a) Tìm x biết f(x) = - ; - ;0;2 b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A B nằm đồ thị có hồnh độ -2 Câu 6: Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*) 1) Tính giá trị m để đồ thị hàm số qua : a) A( -1 ; ) ; b) B( - ; ) 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ - NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ƠN THI VÀO LỚP 10 THPT 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ - Câu 7: Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = mx - m - parabol (P) có x2 a) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) b) Tính toạ độ tiếp điểm phương trình y = x2 Câu 8: Cho parabol (P): y =  đường thẳng (d): y =  x + n a) Tìm giá trị n để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) b) Tìm giá trị n để đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm c) Xác định toạ độ giao điểm đường thẳng (d) với (P) n = Câu 9: Cho hàm số y = -2.x2 có đồ thị (P) đường thẳng (Dk) : y = - k.x + k Định k để (Dk) a) Không cắt (P) b) Cắt (P) c) Tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm trường hợp PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Bậc nhất) A KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương trình bậc ẩn - Quy đồng khử mẫu - Đưa dạng ax + b = (a ≠ 0) b - Nghiệm x  a Phương trình chứa ẩn mẫu - Tìm ĐKXĐ phương trình - Quy đồng khử mẫu - Giải phương trình vừa tìm - So sánh giá trị vừa tìm với ĐKXĐ kết luận Phương trình tích Để giái phương trình tích ta cần giải phương trình thành phần Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) =  A  x  0    B  x  0  C x 0    Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải biện luận phương trình) ... 10 3x x:  10 2x x:  2x 3x  20 , giải x = 200 km 10 Vận tốc (km/h) Xe máy Thời gian (h) 10 3h20ph = h 2h30ph = h x Thời gian (h) 10 3h20ph = h 2h30ph = h Quãng đường (km) 10  x  20  x 10. .. THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT x–3 x-7 - Xét x < 3: - - + - + + (*)   x    x  ? ?10  24  4x ? ?10   4x  14  x  (loại) - Xét x  : (*)  x     x  ? ?10   2x  18 ? ?10   2x ... trình NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT Xe máy Ơtơ x x + 20 10 h 2h30ph = h 10 x 3h20ph =  x  20  10 x   x  20  , giải x = 60 km/h *Nhận xét: Trong cách làm cách thứ ngắn gọn