Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP VÀ SUY LUẬN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em chuyên đề toán tổ hợp suy luận Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán toán tổ hợp suy luận thường kì thi gần Chuyên đề gơm chủ đề tốn sau: - Chủ Chủ Chủ Chủ đề đề đề đề 1: 2: 3: 4: Các Các Các Một dạng toán nguyên lý Dirichlet toán ứng dụng nguyên lý cực hạn toán đại lượng bất biến ứng dụng số toán tổ hợp suy luận tổng hợp Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chun đề tốn tổ hợp suy luận để giúp em học tập Hy vọng chun đề giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP Chủ đề CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET I Ngun lí Dirichlet Ngun lí Dirichlet - gọi nguyên lí chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) nguyên lý lồng nhốt thỏ nguyên lí xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer Principle) - đưa nguyên tắc phân chia phần tử lớp �Nguyên lý Dirichlet bản: Nếu nhốt n thỏ vào n chuồng có chuồng chứa hai thỏ �Nguyên lý Dirichlet tổng quát: Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp � N� �k � �� x tồn hộp chứa � �đồ vật (Ở ��là số nguyên nhỏ có giá trị nhỏ x) �Nguyên lí Dirichlet mở rộng: Nếu nhốt n thỏ vào m �2 chuồng tồn � n m 1� � m � � thỏ chuồng có � �Ngun lí Dirichlet dạng tập hợp: Cho A B hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử A lớn số lượng phần tử B Nếu với quy tắc đó, phần tử A cho tương ứng với phần tử B, tồn hai phần tử khác A mà chúng tương ứng với phần tử B II Phương pháp ứng dụng Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng đơn giản vậy, cơng cụ có hiệu dùng để chứng nhiều kết sâu sắc tốn học Ngun lí Dirichlet áp dụng cho tốn hình học, điều thể qua hệ thống tập sau: Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất tình nhốt “thỏ” vào “chuồng” thoả mãn điều kiện: + Số ‘thỏ” phải nhiều số chuồng + “Thỏ” phải nhốt hết vào “chuồng”, không bắt buộc chuồng phải có thỏ Thường phương pháp Dirichlet áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng Ngồi áp dụng với nguyên lý khác III Một số ví dụ minh họa Ví dụ Cho bảng vng kích thước 10.10 gồm 100 vng đơn vị Điền vào ô vuông bảng số nguyên dương không vượt 10 cho hai số hai ô vuông chung cạnh chung đỉnh nguyên tố Chứng minh bảng vng cho có số xuất 17 lần Lời giải Xét hình vng cạnh 2x2 , hình vng có hình vng nhỏ chung cạnh chung đỉnh nên tồn nhiều số chẵn, nhiều số chia hết cho có số lẻ không chia hết cho Bảng 10x10 chia thành 25 hình vng có cạnh 2x2 nên có 50 số lẻ không chia hết cho Từ đến có số lẻ khơng chia hết cho 1, 5, Áp dụng � 50� �3 � 17 nguyên lí Dirichlet ta ba số xuất � � lần Ví dụ Giả sử bàn cờ hình chữ nhật có 3x7 vng sơn đen trắng Chứng minh với cách sơn màu bàn cờ ln tồn hình chữ nhật gồm góc màu Lời giải Mẫu sơn màu xảy với bàn cờ có dạng từ đến Giả sử số cột thuộc dạng Bài toán chứng minh tất cột lại thuộc dạng 1, 2, Giả sử tất cột lại thuộc dạng 5, 6, 7, theo ngun lí Dirichlet hai số sau cột có cột dạng toán chứng minh Chứng minh hoàn toàn tương tự cột có dang Giả sử khơng có cột cột 1, theo ngun lí Dirichlet có cột dạng tốn đựoc chứng minh Ví dụ Trong hình chữ nhật kích thước 1.2 ta lấy 6n điểm với n số nguyên dương Chứng minh tồn hình tròn có bán kính n chứa khơng số điểm cho Lời giải Chia cạnh hình chữ nhật thành n đoạn 2n đoạn ,mỗi đoạn có độ dài n Nối điểm chia đường thẳng song songvới cạnh hình chữ nhật ta n.2n 2n hình vng nhỏ với cạnh n Nếu hình vng 2 chứa khơng q điểm tổng số điểm cho không 3.2n 6n (trái với giả thiết) Do phải tồn hình vng chứa khơng điểm Rõ ràng hình vng cạnh n nội tiếp đường tròn bán kính 2n đường tròn chứa đường tròn đồng tâm bán kính n Ví dụ Cho bảng vuông gồm n.n ô vuông Mỗi ô vuông ghi số 1; 0; Chứng minh khơng tìm bảng vng mà tổng số cột, hàng, đường chéo số khác Lời giải Do nhận ba số 0; 1; nên có trường hợp tất hàng cột đường chéo nhận giá trị nhận giá trị Do tổng số cột hàng đường chéo có giá trị nhỏ 0.n giá trị lớn 2.n 2n Như tổng số hàng, cột, đường chéo nhận 2n giá trị 0;1;2; ;2n Do bảng ô vuông n.n nên có n hàng, n cột hai đường chéo Do có 2n 2tổng nhận 2n giá trị số nguyên từ đến 2n Theo ngun tắc Dirichlet phải có tổng có giá trị Điều có nghĩa khơng tìm bảng vng mà tổng số cột, hàng, đường chéo số khác Ví dụ Ở vòng chung kết cờ vua có bạn tham gia Hai bạn phải đấu với trận người phải gặp đủ đấu thủ Chứng minh thời điểm đấu, có hai đấu thủ đấu số trận Lời giải Giả sử số trận thi đấu bạn tham gia thi đấu cờ vua bạn thi đấu với trận nên ta có a1;a2; ;a8 Do hai �ai �7,1�i �8 Xét trường hợp sau: �Tính đến thời điểm có bạn chưa đấu trận suy khơng có bạn đấu đủ trận Khi �ai �6,1�i �8 tồn ak am có nghĩa có hai đấu thủ đấu số trận �Tính đến thời điểm xét, bạn đấu ván Khi ta có �ai �7,1�i �8 , tồn ak am có nghĩa có hai đấu thủ đấu số trận Vậy tốn chứng minh Ví dụ Cho 40 số nguyên dương a1 ,a2 , ,a19 b1 ,b2 , ,b21 thoả mãn hai điều kiện: 1�a1 a2 a19 �200 1�b1 b2 b21 �200 Chứng minh tồn bốn số ;aj ;bk ;bp với 1�i,j �19;1�k,p �21 mãn � aj ;bk bp � � aj bp bk � Lời giải Xét tổng có dạng am bn với am � a1;a2 ; ;a19 bn � b1;b2 ; ;b21 thỏa Do tập hợp a ;a ; ;a 19 có 19 phần tử tập hợp b ;b ; ;b 21 có 21 phần tử nên, a bn nên ta có tất 19.21 399 tổng dạng m Chú ý 1�a1 a2 a19 �200 Nên tổng am bn nhận giá trị nguyên dương từ đến 400 Đến ta xét 1�b1 b2 b21 �200 nên �am bn �400 trường hợp sau: �Nếu tổng nhận đủ 399 giá trị từ đến 400 Khi từ giả thiết cảu toán ta � � a1 b1 a b1 � �1 � a19 b21 400 � a19 b21 200 � � a1 a19 ;b1 b21 � a a1 b21 b1 199 Từ ta suy �19 �Nếu tổng không nhận đủ 399 giá trị từ đến 400 Khi với 399 tổng theo ngun lí Dirichlet tồn hai tổng có giá trị � aj ;bk bp � � a bk bp Không tính tổng qt ta giả sử hai tổng � j � aj ;bk bp � � a bp bk Từ suy � j Vậy tốn chứng minh Ví dụ Trong tranh giải vơ địch quốc gia bóng đá có 20 đội tham gia Số nhỏ trận đấu để đội ln tìm đội chơi với Lời giải Ta chia 20 đội thành nhóm, nhóm 10 đội đội cùng1 nhóm thi đấu với Rõ ràng cách xếp thoả mãn điều kiện tốn tất có 90 trận đấu Ta chứng minh điều kiện tốn thoả mãn số trận đấu lớn 90 Giả sử ngược lại ta tìm đội A đấu số trận k �8 Ta ký hiệu đội đấu với A X Các đội khơng đấu với A Y, X k;Y 19 k Dĩ nhiên đội Y đấu với không hai đội thuộc Y A đội mà khơng có đội chơi với Giả sử X có P cặp khơng chơi với Do đội Y phải đấu với đội P cặp X đội X có mặt khơng q k cặp số P cặp (X có tất k đội) Vì đội X Y đấu số trận bé 19 k 19 k P �P k Mặt khác k �8 nên k Như thay trận đội X đấu với đội Y trận đấu cần thiết giảm Như số trận đấu cần phải tiến hành là: k k 1 19 k 18 k k 2 18k 9.19 k 9 90 �90 Vậy số trận đấu cần phải tiến hành 90 Ví dụ Chứng minh 39 số tự nhiên liên tiếp ln tồn số có tổng chữ số chia hết cho 11 Lời giải Xét tập hợp 39 số tự nhiên liên tiếp Trong tập a ;a ; ;a 20 S a1;a2 ; ;a39 , a i 1 1,1�i �38 tồn hai số có tận 10 Do hai số tồn số có chữ số hàng chục nhỏ 9, kí hiệu số A Bc0 �c �8, c��, B �� Xét 11 số A ;A 1;A 2; ;A 9;A 19 Nhận xét rằng: + 11 số thuộc tập S + 11 số có tổng chữ số 11 số tự nhiên liên tiếp tổng là: s A ;s A 1;s A 2; ;s A 9;s A 10 ,với s A tổng chữ số A Trong 11 số tự nhiên liên tiếp tồn số chia hết cho 11 Do vậy, ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho tập A 1;2;3; ;16 Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ cho 2 tập gồm k phần tử A tồn hai số phân biệt a, b mà a b số nguyên tố Lời giải Nếu phân biệt a,b a,b 2 chẵn a b hợp số Do tập X A có hai phần tử 2 mà a b số nguyên tố X chứa số chẵn Suy k �9 Ta chứng tỏ k giá trị nhỏ cần tìm Điều có ý nghĩa với tập X gồm phần tử A tồn hai phần tử phân biệt a,b mà a2 b2 số nguyên tố Để chứng minh khẳng định ta chia tập A thành cặp hai phần tử phân biệt a,b mà a2 b2 số nguyên 1;4 , 2;3 , 5;8 , 6;11 , 7;10 , 9;16 , 12;13 , 14;15 tố, ta có tất cặp Theo nguyên lý Dirichlet phần tử X có hai phần tử thuộc cặp ta có điều phải chứng minh Ví dụ 10 Cho 2014 số tự nhiên Chứng minh số số có số chia hết cho 2014 có số số mà tổng số chia hết cho 2014 Lời giải Gọi 2014 số tự nhiên cho Xét dãy a1 ,a2 ,L ,a2014 S1 a1; S2 a1 a2; ; S2014 a1 a2 L a2014 Chia tất số hạng dãy cho 2014 ta có trường hợp sau: �Trường hợp 1: Nếu có số hạng dãy chia hết cho 2014 tốn chứng minh �Trường hợp 2: Nếu khơng có số hạng dãy chia hết cho 2014 có tất 2014 phép chia mà số dư gồm 1, 2, , 2013 theo ngun lý Dirichle có hai số hạng dãy có số dư chia cho 2014 Gọi hai số hạng Khơng tính tổng qt, giả sử 1�i j �2014 Si Sj Si a1 a2 L Sj a1 a2 L L aj Lúc Sj Si M2014 � 1 L aj M2014 Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ 11 Chứng minh từ 53 số tự nhiên ln chọn 27 số mà tổng chúng chia hết cho 27 Lời giải Ta chứng minh từ số tự nhiên ln tìm số mà tổng chúng chia hết cho Thật vậy, số tự nhiên chia cho có phần dư 0, Nếu số dư có số 0, số 1, số tổng ba số tự nhiên tương ứng với ba số dư chia hết cho Nếu số dư nhận không số 0, 1, theo nguyên tắc Dirichlet tồn số dư nhận giá trị tổng ba số tự nhiên tương ứng chia hết cho Từ 53 số tự nhiên cho chọn số mà tổng chúng a chia hết cho Xét 50 số lại chọn số mà tổng a chia hết cho Lặp lại lập luận từ 53 số ta chọn 17 bộ, gồm số có tổng a 1, a2, … a17 cho tổng chia hết cho Chứng minh tương tự nhận thấy từ số tự nhiên mà số chia hết cho ta chọn số có tổng chia hết cho Vậy từ 17 số ta chọn gồm số có tổng b1 , b2 , � , b5 Từ số chia hết cho cho b1, b2 , � , b5 bi M9 với i � 1; 2; 3; 4; 5 chọn số mà tổng chúng chia hết cho 27 Tổng số tổng 27 số ban đầu Vậy từ 53 số tự nhiên ln chọn 27 số mà tổng chúng chia hết cho 27 Ví dụ 12 Trong giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn lượt(hai đội thi đấu với trận) a) Chứng minh sau bốn vòng đấu(mỗi đội thi đấu trận) ln tìm ba đội đôi chưa thi đấu với b) Khẳng định khơng đội thi đấu trận Lời giải a) Có 12 đội mà đội thí đấu trận nên ln tìm hai đội chưa thi đấu với Gọi hai đội A B Vì A B thi đấu trận nên 10 đội lại ln tìm hai đội chưa thi đấu với A B Gọi hai đội C Ba đội A, B, C chưa thi đấu với trận nên ba đội A, B, C ba đội cần tìm b) Ta chia 12 đội bóng thành hai nhóm, nhóm đội Trong nhóm đơi thi đấu với Như 12 đội này, đội thi đấu trận Xét ba đội tùy ý, theo nguyên lí Dirichlet ln tìm hai đội nhóm Như ba đội bóng ln tìm hai đội thí đấu với Do khẳng định khơng đội thi đấu trận Ví dụ 13 Cho X tập hợp gồm 700 số nguyên dương đôi khác nhau, số không lớn 2006 Chứng minh tập hợp X ln tìm hai phần tử x, y cho x – y thuộc tập hợp E 3;6;9 Lời giải � 700� �3 � 1 234 Theo ngun lý Dirichlet 700 số có � � số có số dư chia cho Gọi 234 số ;aj thỏa mãn số trên, hai số 1�a1 a2 a234 �2006 Giả sử không tồn hai số aj � 3;6;9 kề a234 a1 �233.12 2796 2006 aj �12 (vì a a M3 a �a ) Trong 234 i j i 12 j đơn vị nên , điều vơ lý Như ta có điều phải chứng minh Chú ý: + Ta làm chặt toán cách giảm số số cho ban đầu tăng giá trị cho số nhận Ta làm chặt tốn cách thay 700 số thành 504 số Gọi 504 số nguyên dương đôi khác cho 1�a1 a2 a504 �2006 Xét 504�4 2016 số nguyên dương sau: a1 a2 … a503 a504 Cách 1: Giả sử có điều trái với kết luận tốn Ta có Do x z t 40; x y t 40; y z t 40 x z t x y t y z t 40 40 40 � 2 x y z t t 120 Kết hợp (1) ta có t Điều vơ lí Điều giả sử sai Vậy có tốn mà có 40 thí sinh giải Cách 2: Ta có số học sinh khơng giải A y, không giải B z, không giải C x Nếu x 20; y 20; z 20 x y z 60 Mâu thuẫn (1) Do ba số x, y, z phải có số khơng vượt q 20 Như có tốn mà có nhiều 20 thí sinh khơng giải Do tốn có 40 thí sinh giải Vậy có tốn mà có 40 thí sinh giải Ví dụ 14 Có tập hợp A tập hợp 1;2;3;4; ;2014 thỏa mãn điều y2 �A x �A,y �A,x y x y kiện A có hai phần tử Lời giải Ta chứng minh có tập A thỏa mãn u cầu tốn có dạng y; 2y Thật giả sử x y hai phần tử A z x 2y theo giả thiết y2 �A z y , ta x y z thuộc A x 2y 2z Áp dụng giả x y thiết cho cặp x; z , ta z1 �A x y z1 , ta suy A có vơ số phần tử, điều mâu thuẫn Vậy Nếu x 2y x �2y đặc biệt y �z x� y y �2 x z z �2y y z ta Từ ta nhận hay y z x , cặp y; z thuộc A Áp dụng giả thiết cho cặp y; z , z x Vậy ta z1 �A ta x z1 y , ta suy A có vơ số phần tử, điều mâu thuẫn Như dạng x 2y y; 2y , A có dạng với y; 2y y � 1;2;3;4; ;2014 với y � 1;2;3;4; ;2014 Số tập A có 1007 Thử lại ta thấy tập A thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 15 Giả sử A tập tập số tự nhiên N Tập A có phần tử nhỏ 1, phần tử lớn 100 X thuộc A x �1 , tồn a, b thuộc A cho x a b (a b) Hãy tìm tập A có số phần tử nhỏ Lời giải Giả sử A có n số, xếp chúng theo thứ tự Suy với Áp k � 1,2,3,K ,n 1 dụng ta có kết x1 x2 x2 L L xn 100 1 xk1 xi xj �xk xk 2xk 2 (2) ta với 1�i,j �k thu x2 �1 2;x3 �2 4; x4 �8; x5 �16; x6 �32; x7 �64 Suy tập A phải có phần tử + Giả sử n � x8 100 Vì x6 x7 �32 64 96 � x8 2x7 � x7 50 Vì x5 x6 �16 32 48 � x7 2x6 � x6 25 Vì x4 x5 �8 16 24 25 � x6 2x5 � x5 25 (mâu thuẫn) 1; 2; 3; 5; 10; 20; 25; 50; 100 + Nếu n , ta có tập thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 16 Một bảng hình vng kích thước 10x10 Hỏi điền số 1, 2, 3, 99, 100 vào ô bảng (mỗi ô điền số) cho tính chất sau đồng thời thoả mãn: (i) Tổng số hàng, cột S (ii) Với số i j k k 1;2;3; ;10 tổng số ô (i; j) ( ô hàng i, cột j) với chia hết cho 10, có tổng S Lời giải Giả sử điền số thỏa mãn u cầu tốn Khi S 1 2 L 100 505 10 số lẻ Chia ô i; j bảng thành loại: Loại gồm ô mà i;j lẻ, gọi S1 tổng tất số ô loại j S Loại gồm ô mà i lẻ, chẵn, gọi tổng tất số ô loại j S Loại gồm ô mà i chẵn, lẻ, gọi tổng tất số ô loại Loại gồm ô mà i;j chẵn, gọi S4 tổng tất số loại Khi + S1 S2 tổng số tất hàng lẻ, nên S1 S2 5S + S2 S4 tổng số tất cột chẵn, nên S2 S4 5S + Loại loại gồm ô mà i j chẵn, S1 S4 5S Suy 2 S1 S2 S4 15S Do S lẻ nên vế phải số lẻ vế trái số chẵn Điều vô lý Vậy khơng thể điền số thỏa mãn Ví dụ 17 Trong bảng 11x11 ô vuông ta đặt số tự nhiên từ đến 121 vào ô cách tùy ý(mỗi ô đặt số hai ô khác đặt hai số khác nhau) Chứng tỏ tồn hai ô vuông kề nhau(tức hai có chung cạnh) cho hiệu hai số đặt hai vng lớn Lời giải Giả sử khơng có hai vng kề có hiệu hai số đặt hai lớn Đánh dấu số hàng số cột hình vẽ xét ghi số Xét ô ghi số 121 ô c,d a,b ứng với hàng a cột b … … khơng tính tổng quát ta giả sử x c,d số ghi ô a,b c �a; d �b c,d Đặt x a,b ta có 121 x c,d �x c1,d �x c 2,d 10 � �x a,d 5 c a �x a,b 5 c a 5 d b 1 5 11 1 5 11 1 101 Điều vơ lí Do điều giả sử sai nên ta có điều phải chứng minh Ví dụ 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh điểm nguyên (một điểm gọi điểm ngun hồnh độ tung độ điểm số nguyên).Chứng minh hai lần diện tích tam giác ABC số nguyên Lời giải Đặt A x2 ;y2 , B x3 ; y3 , C x1;y1 P có hồnh độ x1 D có hồnh độ x2, N có hồnh độ x3 R có tung độ y2, S có tung độ y1 T có tung độ y3 Ta có SABC SCBNP SABND SADPC 1 y3 y2 x3 x1 y3 y2 x3 x2 y2 y1 x2 x1 2 y x y3x1 y2x1 y2x3 y3x3 y3x2 y2x3 y2x2 y2x2 y2x1 y1x2 y1x1 3 1 y3x1 y2x1 y3x2 y2x1) x1 y2 y1 y3 x2 x1 2 ên ta N 2SABC x1 y2 y1 y3 x2 x1 Vì tọa độ số nguyên diên tích hai lần diện tích tam giác ABC số nguyên i,j Ví dụ 19 Cho bảng vng 2015�2015 Kí hiệu ô hàng thứ i, cột thứ j Ta viết số nguyên dương từ đến 2015 vào ô bảng theo quy tắc sau: i) Số viết vào ô 1,1 ii) Nếu số k viết vào ô i,j , i 1 k 1được viết vào ô i 1,j 1 số … … … Hình 10 … … iii) Nếu số k viết vào viết vào 1,j số k j 1,1 (Xem hình 1) Khi số 2015 viết vào m,n Hãy xác định m n Lời giải Theo đề bài, số nguyên dương xếp theo hàng chéo bảng: Hàng chéo thứ có số, hàng chéo thứ hai có số, … Giả sử số x nằm hàng chéo thứ k ta có k k 1 k k 1 � x � 1 1 8x k 1 1 8x k � 1 1 8x � � � � � � 1 1 8.2015 � k� � 63 � � Áp dụng x 2015 ta có k k 1 Số hàng chéo thứ k 63 1954 Như số 2015 nằm vị trí thứ 2015 1954 1 62 hàng chéo thứ 63 (Vị trí áp chót) Tọa độ 2; 62 Ví dụ 20 Gọi T tập hợp tam giác mà đỉnh tam giác có tọa độ nguyên cạnh tam giác số nguyên Chứng minh tam giác cân thuộc tập hợp T chia thành hai tam giác vuông thuộc tập hợp T Lời giải Trong tam giác cân đường cao hạ từ đỉnh tam giác cân chia tam giác cân thành hai AB y x,y �N * tam giác vuông Xét tam giác ABC có CA CB x với Khơng tính tổng qt ta giả sử tọa độ điểm C A a1;a2 ,B b1;b2 với số nguyên a1;b1;a2 ;b2 C 0;0 2 2 y2 a1 b1 a2 b2 x2 a1b1 a2b2 x a a b b 2 Khi ta 2 Gọi M trung điểm AB, ta CM vng góc với AB �a b a b2 � M �1 ; � � � Từ tọa độ điểm M Từ y2 x2 a1b1 a2b2 suy y2 chia hết a1 b1 ; a2 b2 số chẵn Do a1 b1 a1 b1 2b1;a2 b2 a2 b2 2b2 số chẵn Từ dẫn đến M có tọa độ nguyên Từ ta tam giác vng CAM CBM có đỉnh có toạn độ nguyên Lại thấy AM BM y số nguyên y số chẵn Như ta cần chứng minh CM số nguyên Ta có CM 2 1� a1 b1 a2 b2 � � �nên CM số nguyên a1 b1;a2 b2 số chẵn Ta xét hai trường hợp sau �Nếu a1 b1 0, CM a b2 a2 b2 � CM số nguyên 2 �a1 b1 �� �a2 b2 �� CM � 1 � �� �� a1 b1 �� � �� � � � �Nếu a1 b1 �0, Từ 2 2 x2 a12 a22 b12 b22 ta a1 b1 a2 b2 hay ta a Nếu a2 b2 Do a2 b2 �0 a1 b1 b1 a1 b1 a2 b2 a2 b2 , suy A B trùng nhau, điều vơ lí , ta a2 b2 a b 1 a1 b1 a2 b2 2 �a1 b1 �� �a1 b1 �� �a1 b1 � y2 � � CM � � � � 1 � � a2 b2 �� � � a b � �� � 2 � � Từ dẫn đến 2 2 Suy CM bình phương số hữu tỉ, mà CM số nguyên nên suy CM số phương Do CM số ngun Vậy tốn chứng minh xong Ví dụ 21 Trong mặt phẳng cho điểm có tọa độ ngun, khơng có điểm thẳng hàng Hỏi số tam giác tạo thành từ điểm có tam giác có diện tích nguyên? Lời giải Với tam giác ABC có tọa độ đỉnh SA BC A xA ; yA , B xB ; yB , C xC ; yC x xA yB yA xB xA yC yA (1) C �Xét điểm A, B, C, D, F, G, H, I có tọa độ ngun tọa độ điểm thuộc dạng sau: (chẵn, chẵn), (lẻ, lẻ), (lẻ, chẵn), (chẵn, lẻ) Do theo nguyên � 9� 1 � 4� lí Dirichlets tồn � � điểm thuộc dạng, tức tọa độ tính chẵn lẻ, giả sử A, B, C �Với hai điểm A, B có tọa độ tính chẵn lẻ yB yA xB xA số chẵn nên diện tích tam giác có cạnh AB ngun (do(1)) Tương tự diện tích tam giác có cạnh AC, BC nguyên �Với điểm A, B, C kết hợp với điểm lại tam giác có diện tích ngun Vậy có 3.6 19 tam giác có diện tích ngun Ví dụ 22 Trong hộp có chứa 2011 viên bi màu (mỗi viên bi có màu), có 655 viên bi màu đỏ, 655 viên bi màu xanh, 656 viên bi màu tím 45 viên bi lại viên bi màu vàng màu trắng (mỗi màu viên) Người ta lấy từ hộp 178 viên bi Chứng minh số viên bi lấy ln có 45 viên bi màu Nếu người ta lấy 177 viên bi kết tốn khơng? Lời giải Gọi x, y, z số màu đỏ, màu xanh, màu tím lần lấy Số bi có màu khác với ba màu nhỏ 45 Vì x,y,z �N , x 45, y 45, z 45 x y z �178 45 133 x y z 132 133 , Điều mâu thuẫn với x y z �133 Vậy ba số x, y, z có số lớn 45 Bài toán chứng minh Nếu lấy số bi 177 viên kết luận sai Chẳng hạn x y z 44 45 viên bi màu khác tổng số viên bi lấy 177 viên Nhưng có 45 viên bi gồm màu trắng màu vàng nên số bi màu lớn 1, khơng thể lấy 44 viên màu lần lấy Ví dụ 24 Có 2008 gà nhốt vào 1004 chuồng, chuồng có con.Sau ngày người ta lại thay đổi vị trí gà cho khơng có hai gà nhốt chung chuồng trước đólại nằm chuồng lần Hỏi tối đa có ngày làm vậy? Lời giải Vẽ đa giác 2007 cạnh nội tiếp đường tròn Ký hiệu tâm 2008 đỉnh 1, 2, 3, ….2007 Ký hiệu đoạn thẳng nối i với j i – j với i,j 1,2008 Xét bán kính 1 2008 Do tính chất đa giác nên ta thấy 1003 dây cung vuông góc với bán kính 2– 2007;3– 2006;4– 2005; ;1004– 1005 Xét bán kính 2008 Tương tự ta có 1003 dây cung vng góc với bán kính 1 3;2007– 4;2006– 5; Xét bán kính 3 2008 Tương tự ta có 1003 dây cung vng góc với bán kính 2– 4;1– 5;2007– 6; Cứ làm cuối xét bán kính 2007 2008 , ta có 1003 dây cung vng góc với bán kính 2006– 1;2005– 2;2004– 3; Dựa vào nhận xét cách đánh số gà từ 1 2008, ta cách xếp gà theo yêu cầu toán sau: + Ngày thứ xếp vào chuồng đôi gà sau: 1– 2008; 2007; ;1004– 1005 + Ngày thứ hai xếp vào chuồng đôi gà sau: 2007;1 3;2007– 4; ;1006– 1005 + Ngày thứ ba xếp vào chuồng đôi gà sau: 3– 2008;2 4;1 5; ;1007– 1006 ……………………… + Ngày thứ 2007 xếp vào chuồng đôi gà sau: 2007– 2008;2006 1; ;1004– 1003 Mặt khác khơng có qua 2007 ngày gà chuồng với 2007 gà lại Vậy tối đa có 2007 ngày để xếp gà theo u cầu đề Ví dụ 25 Có bàn vừa màu xanh vừa màu đỏ xếp thành hàng dọc cách Chứng minh có bàn xếp cách bàn màu với khoảng cách Lời giải + Gọi tên theo thứ tự bàn B1;B2 ;B3;B4 ;B5;B6;B7 ;B8;B9 Giả sử khơng có bàn xếp cách hai bàn màu với + Khơng tổng qt ta giả sử B bàn màu xanh, B B6 khơng thể màu xanh Có hai khả năng: �B4 B6 màu đỏ Do B4 cách B2 B6, B6 cách B4 B8 nên B2 B8 màu xanh, suy B xếp cách hai bàn màu xanh B B8, trái với giả thiết �B4 B6 khác màu, không tổng quát, giả sử B màu xanh B6 màu đỏ Do B4 cách B3 B5 nên B3 bàn màu đỏ Do B6 cách B3 B9 nên B9 bàn màu xanh Do B5 cách B1 B9 nên B1 màu đỏ Do B2 cách B1 B3 nên B2 màu xanh Do B5 cách B2 B8 nên B8 có màu đỏ Do B6 B8 có màu đỏ nên B7 có màu xanh Như B7 xếp cách hai bàn màu xanh B B9, trái với giả thiết Vậy hai khả dẫn đến vô lý nên điều giả sử sai Như có bàn xếp cách với hai bàn màu với Ví dụ 26 Mỗi vng đơn vị bảng hữu hạn m �n (m, n số nguyên dương) ghi số thực Xét quy tắc biến đổi sau: Mỗi lần đổi dấu tất số hàng cột Chứng minh sau số hữu hạn bước thực quy tắc trên, ta thu bảng mà tổng số hàng cột không âm Lời giải Xét tổng số bảng thực phép đổi dấu Tổng tăng tổng số hàng (hoặc cột) trước đổi dấu âm; tổng không đổi khi tổng số hàng (hoặc cột) trước đổi dấu tổng giảm tổng số hàng (hoặc cột) trước đổi dấu dương Khi thực phép biến đổi số ô trùng với số ban đầu số đối số ban đầu, thực phép biến đổi m.n nhận tối đa bảng khác nhau, tổng tất số bảng nhận hữu hạn giá trị khác Ta xét bảng ban đầu: Nếu khơng có hàng khơng có cột có tổng số âm tốn chứng minh Ngược lại, ta chọn hàng cột có tổng số âm, ta thực phép biến đổi hàng cột Khi bảng vừa nhận có hàng cột có tổng số âm ta lại thực phép biến đổi hàng cột nhận bảng tiếp tục Như lần thực phép biến đổi tổng số bảng tăng lên Do tổng nhận hữu hạn giá trị nên bước thực ta nhận bảng cần tìm, nhận bảng có tổng đạt giá trị lớn Bảng có tổng đạt lớn thỏa mãn tốn có vệt có tổng âm thực phép biến đổi vệt ta bảng có tổng tăng lên lớn tổng lớn đó, vơ lý Vậy trường hợp ta có điều phải chứng minh Ví dụ 27 Một thùng đựng n lít rượu (n số nguyên dương) Người ta muốn đong hết để làm rỗng thùng rượu mà dùng hai bình: bình có dung tích lít bình có dung tích lít; thao tác đong dùng loại bình Gọi S(n) số cách đong theo thứ tự thao tác đong để làm rỗng thùng đựng n lít rượu Hãy liệt kê cách đong để tính S(1), S(2), S(3), S(4), S(5), S(6) Từ rút quy luật để tính S(n) (khơng cần chứng minh) Áp dụng để tính S(10) Lời giải Ta có bảng sau n Các cách đong để làm rỗng thùng rượu {1} (chỉ dùng bình lít) {1+1; 2} {1+1+1; 2+1; 1+2} {1+1+1+1; 2+1+1; 1+2+1; Số cách đong S(n) S(1) S(2) S(3) S(4) = = = = 1+1+2; 2+2} {1+1+1+1+1; 2+1+1+1; 1+2+1+1; 1+1+2+1; S(5) = 1+1+1+2; 2+2+1 2+1+2; 1+2+2} {1+1+1+1+1+1; 2+1+1+1+1; 1+2+1+1+1; 1+1+2+1+1; 1+1+1+2+1; 1+1+1+1+2; S(6) = 13 2+2+1+1; 1+2+2+1; 1+2+1+2; 2+1+2+1; 2+1+1+2; 1+1+2+2; 2+2+2} S(n) S(n 2) S(n 1) Từ kết ta suy ra: với n �3 Dãy số S 1 , S 2 , S 3 , , S n Suy S 7 21; S 8 34; S 9 55; S 10 89 dãy số Fibonacci Ví dụ 28 Trong hộp có chứa 2011 viên bi màu (mỗi viên bi có màu), có 655 viên bi màu đỏ, 655 viên bi màu xanh, 656 viên bi màu tím 45 viên bi lại viên bi màu vàng màu trắng (mỗi màu viên) Người ta lấy từ hộp 178 viên bi Chứng minh số viên bi lấy ln có 45 viên bi màu Nếu người ta lấy 177 viên bi kết tốn khơng? Lời giải Gọi x, y, z số màu đỏ, màu xanh, màu tím lần lấy Số bi có màu khác với ba màu nhỏ 45 Vì x,y,z �N , x y z �133 x 45, y 45, z 45 x y z 132 133 x y z �178 45 133 , Điều mâu thuẫn với Vậy ba số x, y, z có số lớn 45 Bài toán chứng minh Nếu lấy số bi 177 viên kết luận sai Chẳng hạn x y z 44 45 viên bi màu khác tổng số viên bi lấy 177 viên Nhưng có 45 viên bi gồm màu trắng màu vàng nên số bi màu lớn 1, khơng thể lấy q 44 viên màu lần lấy Ví dụ 29 Cho tập hợp A 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 Chứng minh với tập B gồm năm phần tử tập hợp A tổng x �y x y với x,y �B tồn hai tổng có chữ số hàng đơn vị giống Lời giải C 0;2;4;6;8 ,D 1;3;5;7;9 Ta có A C �D, C �D � Như với tập B gồm phần tử tập A, ln tồn phần tử có tính chẵn lẻ Trường hợp 1: Tập B có phần tử tính chẵn (lẻ) phần tử lại tính lẻ (chẵn) Nếu phần tử B tính chẵn a, b, c phần tử tính lẻ d, e tổng: d a,d b,d c,e a,e b,e c tính lẻ, nên phải có hai tổng có chữ số hàng đơn vị Nếu B có phần tử tính lẻ phần tử lại tính chẵn chứng minh tương tự Trường hợp 2: Tập hợp B có phần tử tính chẵn (hoặc tính lẻ), gọi phần tử a, b, c, d tổng: a b,a c,a d,b c,b d,c d ln tính chẵn, nên có tổng có chữ số hàng đơn vị Vậy yêu cầu tốn chứng minh Ví dụ 30 Cho đa giác lồi số thực ak A 1A K A 100 Tại đỉnh A k ( k 1,2, ,100 ), người ta ghi cho giá trị tuyệt đối hiệu hai số hai đỉnh kề Tìm giá trị lớn giá trị tuyệt đối hiệu hai số ghi cặp đỉnh đa giác cho, biết số ghi đỉnh cho đôi khác Lời giải A 1A K A 100 Xét đa giác lồi ak ak1 A1 hình vẽ Khi ak ak1 k 1,2, ,99 ( ) Khơng tính tổng qt, coi A100 A3 a1 nhỏ an lớn (dễ thấy n �2 ) Đặt d max aj i �j A2 A4 d an a1 Ta chứng minh d 149 Nằm A ,A n , theo chiều kim đồng hồ có n đỉnh có 100 n đỉnh, theo chiều ngược kim đồng hồ Hơn giá trị tuyệt đối hiệu hai số kề khơng vượt q Do d a1 an �a1 a2 a2 a3 an1 an �3 n 1 Tương tự ta có d �3 100 n 1 Suy 3(n 1) 3(100 n 1) 300 150 d� 2 + Ta có d 150 hiệu hai số ghi hai đỉnh kề Từ ta có 1 3, i 1,2, ,99 � a 1 1 � 1 1 � �i i 1, ,98 � � a1 a100 a1 a2 a2 a3 a99 a100 99 a1 a2 � a1 a100 99 a1 a2 � 99.3 Đi ều không xảy suy d 150 không thỏa mãn a 0,a2 2,ak ak1 Ta xây dựng trường hợp cho d 149 sau: với k 2,3,� ,52;a53 a52 2,ak ak1 3,k 54,55,�,100 Khi hiệu lớn a54 ,a55 ,�,a100 có a53 a1 149 dạng 147 3t Các số Rõ 3t 147 3k � 3 k t 145 k,t �� ( ) a2 ,a3 ,� ,a53 ràng khơng có dạng 3t , số tồn k,t cho Suy điều phải chứng minh Ví dụ 31 Giả sử A tập tập số tự nhiên � Tập A có phần tử nhỏ 1, phần tử lớn 100 X thuộc A x �1 , tồn a, b thuộc A cho x a b (a b) Hãy tìm tập A có số phần tử nhỏ Lời giải Giả sử A có n số, xếp chúng theo thứ tự Suy với Áp k � 1,2,3,K ,n 1 dụng ta có kết x1 x2 x2 L L xn 100 1 xk1 xi xj �xk xk 2xk 2 (2) ta với 1�i,j �k thu x2 �1 2;x3 �2 4; x4 �8; x5 �16; x6 �32; x7 �64 Suy tập A phải có phần tử + Giả sử n � x8 100 Vì x6 x7 �32 64 96 � x8 2x7 � x7 50 Vì x5 x6 �16 32 48 � x7 2x6 � x6 25 Vì x4 x5 �8 16 24 25 � x6 2x5 � x5 25 (mâu thuẫn) 1; 2; 3; 5; 10; 20; 25; 50; 100 + Nếu n , ta có tập thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 32 a) Trên ván hình chữ nhật có ba cọc Ở cọc có n đĩa hình tròn có đường kính nhỏ dần từ lên (hình bên) Số lần cần có để chuyển đĩa sang cọc khác ? Biết lần di chuyển đĩa sang cọc khác cho đĩa với đường kính lớn ln nằm đĩa có đường kính bé b) Theo quy tắc trên, số lần cần có để chuyển chồng đĩa có n đĩa; có n 10 đĩa sang cọc khác ? Hãy viết công thức tổng qt để tính số lần cần có để chuyển chồng n đĩa sang cọc khác với n số tự nhiên lớn Lời giải ... tập hợp gồm phần tử tập hợp minh tồn hai tập hợp B1,B2 tập hợp A( B1 ,B2 0;1;2; ;14 Chứng khác khác rỗng ) cho tổng tất phần tử tập hợp hợp B2 B1 tổng tất phần tử tập Lời giải Do A tập hợp. .. điền vào ô lưới số 1;0; 1 Xét tổng số tính theo cột, theo hàng theo đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Lời giải Có tất 12 tổng gồm tổng theo cột, tổng theo hàng tổng theo... tập hợp có phần tử nên số tập hợp khác rỗng khác A tập hợp A 26 62 Xét tập hợp X tập hợp 62 tập hợp S X tổng phần tưt X Tập hợp X có nhiều phần tử thuộc tập hợp 0;1;2; ;14 �S X �10