CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG CHUYÊN ĐỀ 18 ĐT:0946798489 NGUYÊN HÀM, PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM MỤC LỤC PHẦN A CÂU HỎI Dạng Nguyên hàm (dùng bảng nguyên hàm) Dạng 1.1 Tìm ngun hàm khơng có điều kiện Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện 11 Dạng Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm 16 Dạng 2.1 Tìm ngun hàm khơng có điều kiện 16 Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện 17 Dạng Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm 18 Dạng 3.1 Tìm ngun hàm khơng có điều kiện 18 Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện 21 Dạng Nguyên hàm phần 22 Dạng 4.1 Tìm nguyên hàm khơng có điều kiện 22 Dạng 4.2 Tìm ngun hàm có điều kiện 25 Dạng Sử dụng nguyên hàm để giải toán 26 Dạng Một số toán khác liên quan đến nguyên hàm 30 PHẦN B ĐÁP ÁN THAM KHẢO 33 Dạng Nguyên hàm (dùng bảng nguyên hàm) 33 Dạng 1.1 Tìm ngun hàm khơng có điều kiện 33 Dạng 1.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện 38 Dạng Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm 44 Dạng 2.1 Tìm ngun hàm khơng có điều kiện 44 Dạng 2.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện 45 Dạng Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm 47 Dạng 3.1 Tìm ngun hàm khơng có điều kiện 47 Dạng 3.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện 51 Dạng Nguyên hàm phần 53 Dạng 4.1 Tìm ngun hàm khơng có điều kiện 53 Dạng 4.2 Tìm nguyên hàm có điều kiện 57 Dạng Sử dụng nguyên hàm để giải toán 60 Dạng Một số toán khác liên quan đến nguyên hàm 69 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 PHẦN A CÂU HỎI Dạng Nguyên hàm (dùng bảng nguyên hàm) Dạng 1.1 Tìm ngun hàm khơng có điều kiện Câu (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A Câu x  x C B x  x  C B 2x  C Câu B x2  6x  C Câu C 2x2  C D x  x  C A  sin xdx  2 cos x  C B C  sin xdx  sin x  C D  sin xdx  sin x  C  sin xdx  cos x  C (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm hàm số f  x   x3  x x  x C B x   C C x  x  C D x  x  C (Mã 103 - BGD - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f  x   x  A x  x  C Câu D x  x  C (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   sin x A Câu C x  x  C (Mã 102 - BGD - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f  x   x  A x  C Câu D x  x  C (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f  x   x  A x  C Câu C x  x  C B x  x  C C x  C D 2x  C (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  A  f  x  dx   x  1 C  f  x  dx   x   C x   C B  f  x  dx   x  1 D  f  x  dx  2 x   C x   C (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  A  f  x  dx  x3  C x B  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong f  x  dx  x2 x3  C x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 C Câu Câu 10  f  x  dx  x  C x D  f  x  dx  x  C x (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   dx A  x   ln x   C C  x    ln x   C dx B 5x  dx  x   ln x   C dx D  x   5ln x   C (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   cos x A  cos xdx  sin x  C C  cos xdx  sin x  C sin x C sin x D  cos xdx   C B  cos xdx  Câu 11 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm hàm số f  x   x3  x A x  x C B x  x  C C x  x  C D x  x  C Câu 12 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   e x  x A e x   C B e x  x2  C C e x  x C D x e  x C x 1 Câu 13 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x)  x  A x  C B x2  x  C C x  x  C D 2x  C Câu 14 (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x A  x dx  7x C ln B  x dx  x 1  C C  x dx  x 1 C x 1 D  x dx  x ln  C Câu 15 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   cos x A  f  x  dx  sin x  C C  f  x  dx  sin x  C B  f  x  dx  2 sin x  C D  f  x  dx   sin x  C Câu 16 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Nguyên hàm hàm số f  x   x  x Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A x3   C B x5  x2  C C ĐT:0946798489 x  x C D x4  x  C Câu 17 (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  3x  x3 B  xC 3 A x  C D x  x  C C x  C Câu 18 (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm nguyên hàm A x 7  16  C B  x 7 32  16   C C x 7 16  16  C D  xx 7 x 7 32  15  16  dx ? C Câu 19 (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm hàm số f (x)  e3 x hàm số sau đây? A 3e x  C B 3x e C Câu 20 (THPT CẨM GIÀNG NĂM 2018-2019) Tính  A x2  sin x  C B x2  cos x  C C x e C D 3e3 x  C  x  sin x dx C x  cos x C D x cos x  C 2 Câu 21 (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Nguyên hàm hàm số y  e2 x 1 A 2e x 1  C B e2 x 1  C C x 1 e C D x e C Câu 22 (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ ngun hàm hàm số f  x   2x  A ln x   C B ln x   C C 1 ln x   C D lg  x  3  C ln 2 Câu 23 (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ ngun hàm hàm số y  x  3x  x A x 3x    C, C   ln x B x3  3x   C , C   x C x3 3x   ln x  C , C   ln D x3 3x   ln x  C , C   ln Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 24 (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x  sin 3x A 3cos3x  C B 3cos3x  C C cos3 x  C D  cos3 x  C Câu 25 (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm hàm số f  x   3x  sin x A x  cos x  C B x  cos x  C C x  cos x  C D x  cos x  C Câu 26 (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Công thức sau sai? A  ln x dx  C x B  cos x dx  tan x  C D  e x dx  e x  C C  sin x dx   cos x  C Câu 27 (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Nếu  f  x  dx  x  x  C hàm số f  x  A f  x   x  x3  Cx B f  x   12 x  x  C C f  x   12 x  x D f  x   x  x3 Câu 28 (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A  cos xdx  sin x  C C  dx  ln x  C x B e  x dx  x e1 C e 1 e x 1 C D  e dx  x 1 x Câu 29 (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Nguyên hàm hàm số y  x A  x dx  ln 2.2 x  C B x x  dx   C x C  dx  2x 2x  C D  x dx  C ln x 1 Câu 30 (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x A F  x   x  C B F  x   x3 C C F  x   x3  C D F  x   x  C Câu 31 (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   3x  sin x Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A  f  x dx  3x2  cos x  C C  f  x dx  B  f  x dx  3x2  cos x  C 3x  cos x  C D  f  x dx   cos x  C Câu 32 (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  x  s inx A x  cos x+C B x  cos x+C C x2  cos x+C D x2  cos x+C Câu 33 (THPT MINH KHAI HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  cos x là: A cos x  C B  cos x  C C  sin x  C D sin x  C Câu 34 (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  x D x  x  C x  x C Câu 35 (THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm hàm số f  x   e x  x A x  x  C B x  x  C C A e x  x  C B e x  x  C C x e  x2  C x 1 D e x   C Câu 36 (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm hàm số y  cos x  x A sin x  x C B sin x  x  C C  sin x  x C D  sin x  x  C Câu 37 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm hàm số y  x  3x  x A x3 3x x3 3x2   ln x  C B   ln x  C 3 C x3 3x x3 3x   ln x  C D    C 3 x Câu 38 (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Họ nguyên hàm hàm số f  x    sin x x A ln x  cos x  C B   cos x  C x2 C ln x  cos x  C Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D ln x  cos x  C CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 39 (THPT YÊN PHONG BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Hàm số F  x   x nguyên hàm hàm số sau  ;   ? A f  x   x B f  x   x C f  x   x D f  x   x Câu 40 (THPT YÊN PHONG BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   x A C  f  x  dx   x C B  2x f  x  dx  C ln f  x  dx  x ln  C D  f  x  dx  x 1 C x 1 Câu 41 (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HĨA 2018 2019- LẦN 2) Tìm ngun hàm hàm số x4  f  x  x2 A C  f  x  dx  x3  C x B  f  x  dx  x3  C x D  f  x  dx  x3  C x  f  x  dx  x3  C x Câu 42 (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Hàm số nào các hàm số sau là một nguyên hàm của hàm số y  e x ? A y  B y  e x C y  e  x D y  ln x x Câu 43 (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính F ( x)   e dx , e số e  2, 718 A F ( x)  e2 x C B F ( x)  e3 C C F ( x)  e x  C D F ( x)  2ex  C Câu 44 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nguyên hàm hàm số 1    ;  f  x   2x 2  A ln x   C B ln 1  x   C C  ln x   C D ln x   C Câu 45 (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Nguyên hàm hàm số x  x ? Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A x  x  C B x  x C ĐT:0946798489 C x  x  C D x  x  C x Câu 46 (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Nguyên hàm hàm số f  x    x 2x x2  C A ln2 x B  x  C 2x  x2  C C ln x2 D   C x Câu 47 (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm hàm số f  x    sin x A  cos x  C B  cos x  C C x  cos x  C D x  cos x  C Câu 48 (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Nguyên hàm hàm số f (x )  x  x  x  2019 A x2 x  x  C 12 B x2 x  x   2019 x  C C x2 x  x   2019 x  C 12 D x2 x  x   2019 x  C Câu 49 (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm hàm số t ( x )  x  x A 2x x3  C ln B 2x  2x  C x C ln  x3 C D 2x  2x  C ln Câu 50 (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  3x  1  khoảng  ;  là: 3  A ln(3x  1)  C B ln(1  3x)  C C ln(1  3x)  C D ln(3x  1)  C Câu 51 (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A  x dx  x ln  C B  e x dx  C  cos xdx  sin x  C e2 x C D  x  dx  ln x   C  x  1 Câu 52 (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số 2x4  f ( x)  Khẳng định sau đúng? x2 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A  f ( x)dx  C f ( x)dx   2x  C 2x B  f ( x)dx  2x  C x x3  C x D  f ( x)dx  x  C x x  f  x dx Câu 53 (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho hàm số f  x    x  Tìm A C  f  x  dx  2x  x2  x  C  f  x  dx  2x  B x  xC D  f  x  dx  x 2  x  xC ln 2  f  x  dx  x 2  x  xC x 1 Câu 54 (LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   3x  sin x A  f  x dx  3x2  cos x  C C  f  x dx  B  f  x dx  3x  cos x  C 3x  cos x  C D  f  x dx   cos x  C Câu 55 (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hàm số F  x   e x nguyên hàm hàm số hàm số sau: x2 A f ( x)  xe x2 B f ( x)  x e  2x C f ( x)  e ex D f ( x )  2x Câu 56 (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tất nguyên hàm hàm số f ( x)  3 x A  3 x C ln B  3 x  C C 3 x ln  C D 3 x C ln Câu 57 (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Họ nguyên hàm hàm số f  x   x3  x A x4 x3  C B x  x  C C x  x  C D x x3  C Câu 58 (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hàm số hàm số sau không nguyên hàm hàm số y  x 2019 ? A x 2020 1 2020 B x 2020 2020 C y  2019 x 2018 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D x 2020 1 2020 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 59 (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tìm họ nguyên hàm hàm số y  x  3x  x A x 3x   ln x  C , C  R ln B x 3x   ln x  C , C  R ln C x3  3x   C , C  R x D x 3x    C, C  R ln x Câu 60 (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nguyên hàm hàm số  2018e  x  f  x   e x  2017   x5   x  2018 C x4 B  f  x  dx  2017e x  2018 C x4 x  504,5 C x4 D  f  x  dx  2017e x  504,5 C x4 A  f  x  dx  2017e C  f  x  dx  2017e  e x  Câu 61 (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Họ nguyên hàm hàm số y  e x    cos x   A 2e x  tan x  C B 2e x  tan x  C C 2e x  C cos x D 2e x  có dạng: 2x 1 Câu 62 (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Nguyên hàm hàm số f  x   A  f  x  dx  2x 1  C B  f  x  dx  C  f  x  dx  2x   C D  f  x  dx   x  1 C cos x 2x 1  C 2x 1 Câu 63 (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm nguyên C F  x hàm số f  x    x  1 x   x  3 ? A F  x   x4 11  x3  x2  x  C B F  x   x  x  11x  x  C C F  x   x4 11  x3  x2  6x  C D F  x   x  x  11x  x  C Câu 64 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f  x    2;  3x   x  2 khoảng Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x x 1 1 Mà f 1  nên từ   có: f 1  13  C    C  C   f  x   2 2 42 Vậy f     16 Câu 162 Ta có: f  x f  x f  x 1  dx   dx  ln  f  x    x   C f  x x 1 x 1  Mà f    nên C  2  f  x   e x 1   f  3  e  Câu 163 Ta có: f   x   0, x   2; 4 nên hàm số y  f  x  đồng biến  2; 4  f  x   f   mà f  2  Do đó: f  x   0, x   2; 4 Từ giả thiết ta có: x3 f  x    f   x    x3  x3  f  x   1   f   x    x f  x    f   x   Suy ra: f  2   f  x f  x 1 f  x f  x 1 dx   xdx   x d  f  x   1 x 33 x2   C   f x    C     f  x 1    2C  C   2 Vậy: f  x   Câu 164 4    x  1   40   f  4  4 f  x  f  x  x (1) Nhân vế (1) với e x ta e x f  x   e x f   x   x.e x Hay e x f  x    x.e x  e x f  x    x.e x dx Xét I   x.e xdx  u  x  du  dx Đặt  x x e dx  dv  v  e I   x.e x dx  x.e x   e xdx  x.e x  e x  C Suy e x f  x   x.e x  e x  C Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG x Theo giả thiết f (0)  nên C   f  x   ĐT:0946798489 x x.e  e  2  f 1  x e e Câu 165 Ta có:  xf   x     x 1  f  x  f "  x   ; x   x  f '  x     x 1  f  x  f "  x     f  x  f " x  x2 '  x    f  x  f "  x    x '  x  f '  x     x   f '  x      f   f ' 1  Do đó:   f  x  f '  x   dx   1  .dx  f  x  f '  x   x   c1 x  x  Vì f 1  f ' 1     c1  c1  1 Nên   f  x Vậy   f  x  f '  x  dx    x  x 1.dx  f  x     f  x  d  f  x      x   1.dx x   1 x2  ln x  x  c2 Vì f 1      c2  c2  2 x2   ln x  x   f    2ln  Câu 166 Có ( f '( x))  f ( x) f ''( x)  x3  x  ( f ( x) f '( x)) '  x3  x  f ( x) f '( x)   ( x3  x)dx  x  x C Từ f (0)  f '(0)  Suy C  Vậy f ( x) f '( x)  Tiếp, có f ( x) f '( x)  x  x 1 4 x  x   ( f ( x)) '  x  x  2 1  f ( x)   ( x  x  2)dx  x5  x3  x  C 10 Từ f (0)  Suy C  Vậy f ( x)  x  x  2x 1 10 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Do T  ĐT:0946798489 43 15 Câu 167 Chọn D f  x   tan x f   x   x x  cos x f  x   sin x f   x   cos x cos x x  sin x f  x    cos x x x dx  sin x f  x    dx Do  sin x f  x   dx   cos x cos x Tính I   x dx cos x u  x  du  dx  Đặt  Khi dx   v  tan x dv  cos x I  d  cos x  x dx  x tan x   tan xdx  x tan x   dx  x tan x  ln cos x cos x cos x Suy f  x   x.tan x  ln cos x sin x   a  b ln  f    3  ln cos x x  cos x sin x 3  2 ln      f    3     ln      6   5 a    ln Suy  b  1 Vậy P  a  b   Câu 168 Chọn E khơng có đáp án Xét f   x    x   f  x      f  x  f  x  2x    dx=   x   dx f  x f  x  x2  4x  C f  x Vì f    1 1 1   C   f  x      x  4x   x  x   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Vậy S   f    f     f  2018     f 1  f  3   f  2017   S 1 1 1  1 1 1                  2 3 2019 2021   4 2018 2020  S 1 1   2020 1009  1       2020 2021   2021 2.2020  Câu 169 Chọn A Ta có với x   0;   y  f  x   ; x   Hàm số y  f  x  đồng biến  0;   nên f   x   0, x   0;   Do  f   x     x  1 f  x   f   x   Suy  f  x Vì f  3  f  x dx    x  1dx  x  1 f  x   f  x    x  1 f  x f  x   x  1 C nên C    2 3 1 Suy f  x    3  x  1   , suy f    49  Câu 170 Chọn D Từ giả thiết ta có: f   x    f  x   x2 1 x  1  với x  1; 2 Do f  x   f 1   với x  1; 2 Xét với x  1; 2 ta có: x  1 f   x    f  x   x  1  f  x f  x x2  x2    d x   f  x   x2  dx f  x   x  12   1  d x    f  x 1 x x dx  f   x  dx    dx    C 2     f  x f  x f  x 1 1   x x  x  x x x     x2  Mà f 1     C  C  Vậy f  x    f  2  x 1 Câu 171 TH1: f  x    f   x   trái giả thiết Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG TH2: f  x    f   x     x  1 f  x    ĐT:0946798489 f  x f  x    x  1   dx     x  1dx f  x f  x 1    x2  x  C  f  x Ta có: f    1 1  C   f  x    x  x x x 1 1 1 2019  P        2 2020 2020 Câu 172 Ta có:  f  x   f   x   3x  x  (*) Lấy nguyên hàm vế phương trình ta   f  x 2 f   x dx    3x  x  dx    f  x   d  f  x    x3  x  x  C  f  x   3  x3  x  x  C   f  x     x  x  x  C  1   Theo đề f    nên từ (1) ta có  f     03  2.02  2.0  C  27  3C  C    f  x     x3  x  x    f ( x)  3  x  x  x   Tiếp theo tìm giá trị lớn hàm số y  f  x  đoạn  2;1 CÁCH 1: Vì x3  x  x   x  x     x     0, x   2;1 nên f  x  có đạo hàm  2;1  3x  x   f  x  3  x  x  x    3 2 3x  x   3  x  x  x      2  0, x   2;1  Hàm số y  f  x  đồng biến  2;1  max f  x   f 1  42  2;1 Vậy max f  x   f 1  42  2;1 CÁCH 2: 2  223   f  x   3 x  2x  2x  9  3 x     x    3 3   3 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 2  223   Vì hàm số y   x   , y   x    đồng biến  nên hàm số 3 3   2  223   y  3 x     x    đồng biến  Do đó, hàm số y  f  x  đồng biến  2;1 3 3   Vậy max f  x   f 1  42  2;1 Câu 173   x  3dx  x Do đó, f ( x)  x f ( x) 2 x  x  f ( x )     x   x  x2 x2 f ( x) là một nguyên hàm của hàm số g  x   x  x Suy ra, Ta có f ( x)  xf ( x)  2 x3  3x   3x  C , C   f ( x)  x  3x  C1 , (1) với C1   nào đó x Vì f (1)  theo giả thiết, nên thay x  vào hai vế của (1) ta thu được C1  , từ đó f ( x)  x3  x Vậy f (2)  20 Câu 174 Ta có f  x  f   x    x  1  f  x   Suy  f  x f   x 1 f  x dx    x  1dx   f  x f  x d 1  f  x   1 f  Theo giả thiết f    2 , suy  2   x 1 f  x   x  1    x  1dx   f  x   x  x  C Với C   f  x   x  x   f  x    C  C  x 2  x  3  Vậy f 1  24 Câu 175 Ta có  f  x  f   x     f   x    f  x  f   x  Do theo giả thiết ta  f  x  f   x    x  x  x2 Suy f  x  f   x   x3   x  C Hơn f    f     suy C   x2    2      Tương  f  x    f  x  f  x  nên  f  x     x   x   Suy 3  2  x2 x3 f  x     x   x   dx  x   x  18 x  C , f    suy 3 3  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 f  x  x x   x  18 x  Do  f 1   28 3 Câu 176 Ta có  x   f  x    x  1 f   x   e x   x  1 f  x   f  x    x  1 f   x   e x   x  1 f  x     x  1 f  x    e x  e x  x  1 f  x    e x  x  1 f  x    e x  e x  x  1 f  x    e2 x   e x  x  1 f  x  dx   e x dx  e x  x  1 f  x   e2 x  C Mà f    1 ex  C  Vậy f  x   2 x 1 Khi f    e2 Câu 177 Từ giả thiết, ta có x  x  1 f   x   f  x   x  x  x x f  x  f  x  x 1 x 1  x  1 x  x   f  x   , với x   \ 0;  1  x 1  x 1 Suy x x x f  x   dx hay f  x   x  ln x   C x 1 x 1 x 1 Mặt khác, ta có f 1  2 ln nên C  1 Do x f  x   x  ln x   x 1 Với x  3 3 f     ln  f     ln Suy a  b   2 2 Vậy a  b  Câu 178 Ta có f  x   f   x  3x    d  f  x  f  x Mà f 1  nên e C  f  x f  x  f  x 1  dx   dx f  x 3x  3x  2  ln f x  x   C  f x  e dx     3x  x 1  C 4   C   Suy f    e  3, 794 Câu 179 Từ f  x   f   x  x  ta có f  x f  x  3x  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Suy ra: f  x  f  x d x   Ta có ln f 1  Nên ln f  x   Vậy f    e 3x   C d x  ln f  x   3x  4 3.1   C  ln1   C  C   3 2 3x    f  x   e 3 3.51  3 x 1  f  x f  x  e   3;  Câu 180 Ta có f   x    x  3 f  x    ĐT:0946798489 dx    x   dx   f  x f  x  2x   x  3x  C f  x Vì f      C  Vậy f  x     x  1 x    1  x  x 1 Do f 1  f    f  3   f  2017   f  2018   1 1009   2020 2020 Vậy a  1009 ; b  2020 Do b  a  3029 Câu 181 f   x  f   x  x4  x2  x  x2   f x    f  x x2 x2 d f  x x4  x2  x  x2   f  x  dx   x2 dx   f  x    x2 dx  1 1 C  x3  x   C  f  x   f  x x x  x x f   x Do f 1    d f  x f  x      x2    dx  x   x 1 1  =   C   f  x   2 x  x   x  x  x  x    1 11 1 1 1 1 1  f 1     ; f       ; f  3     ;.; f  80       1 2 3  13   6481 6321  1 3240 = f 1  f     f  80     2 6481 6481 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 68 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 Câu 182 Theo đề bài, ta có  f  x    f  x  f   x    f   x     ĐT:0946798489 f  x  f   x    f   x    f  x  2 1  f   x   f  x x2   x  C  ln f  x    C.x  D  1 f  x  f  x  x2  f    2 x C  2 Mà   Suy : f x  e  f  e      D    f    e Dạng Một số toán khác liên quan đến nguyên hàm ln  x  1  C1 x  1 dx  ln x   C   Câu 183 Ta có f  x    x 1 ln 1  x   C2 x  Lại có f    2017  ln 1    C2  2017  C2  2017 f    2018 ln   1  C1  2018  C1  2018 Do S  ln   1  2018  2018  ln 1   1   2017  2017   ln 2 1 dx   d  ln x   ln ln x   C Câu 184 Ta có f  x    f   x  dx   x  ln x  1 ln x  ln ln x   C1  x  e  f  x   ln ln x   C2 x  e 1 Do f    ln  ln ln   C1  ln  ln  C1  ln  C1  ln e e  Đồng thời f  e    ln ln e2   C2   C2  1 Khi đó: f    f  e3   ln ln   ln  ln ln e3     ln  1 e e Câu 185 1  ln  1 f  x   dx   ln x  x2 3 1  ln 3 x 1  C1 , x   ; 2  x2 x 1  C2 , x   2;1 x2 x 1  C3 , x  1;   x2 1 Ta có f  3  ln  C1 , x   ;2  , f    ln  C1 , x   2;1 , 3 2 f  3  ln  C3 , x  1;   , Theo giả thiết ta có f     f  1  1  C2  1  ln  3 ln  3 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 69 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1 Và f  3  f  3   C1  C3  ln 10 1 1 1 Vậy f  4   f  1  f    ln  C1  ln   ln  ln  C2  ln  3 3 3 Câu 186 Ta có f  x    f  Khi  f   ln   1   f   x  dx   dx      dx  ln x 1  x 1 x 1    ln  x 1  C1 x  1 x 1 x 1  C2   x  x 1 x 1  C3 x  x 1  ln  C1  ln  C3  C1  C3      1         f    ln  C  ln  C  C2  2  2 2   2   f    Do f  3  f    f    ln  C1  C2  ln  C3  ln  5 1 dx   d  ln x   ln ln x   C Câu 187 Ta có f  x    f   x  dx   x  ln x  1 ln x  ln ln x   C1  x  e  f  x   ln ln x   C2 x  e 1 Do f    ln  ln ln   C1  ln  ln  C1  ln  C1  ln e e  Đồng thời f  e    ln ln e2   C2   C2  1 Khi đó: f    f  e3   ln ln   ln  ln ln e3     ln  1 e e Câu 188 Ta có F   x   f  x   2x  5ax   3b  6a  x  3b  c  Tính F   x    2ax  b  x   ax  bx  c   2ax  b  x  3  ax  bx  c 2x  5ax   3b  6a  x  3b  c  2x  20 x  30 x  11 2x  2x  2  5ax   3b  6a  x  3b  c  20 x  30 x  11 Do  5a  20 a     3b  6a  30  b  2  T  3b  c  11 c    Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 70 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG   ĐT:0946798489 Câu 189 Ta có F   x   f  x   ax  bx  c  2ax  b e   x  1 e x   x x a  a    Đồng hệ số hai vế ta có: 2a  b  2  b  4 Từ S  a  2b  c     2 c  b  c    Câu 190 Ta có f  x     f  x  dx   x e x3    xe x  me x 2  nxe x  pe x  C   x e x   xe2 x  3mx e x   ne2 x  2nxe2 x  pe2 x  2x2 ex 2  xe x  3mx e x 2   n  p  e x  2nxe x  m  3m   13    2n   n   m  n  p  n  p    p   Câu 191 Vì F  x  nguyên hàm hàm số f  x  nên F   x   f  x  , x   3m   m   3mx   3m  n  x   3x  10 x  4, x      n  2  3m  n   10 Vậy m.n  Câu 192 Vì F  x  nguyên hàm f  x  nên 3 3 1 f  x   F   x    cos 3x   x  a  sin 3x   cos 3x   x  a  sin 3x     cos 3x b c b c b Đồng hai vế f  x  ta  a  a   3   b   1 b c   3    c b Vậy ab  c  2.3   15 Câu 193 Ta có f  x     f  x  dx   x e x3    xe x  me x   nxe2 x  pe x  C   x e x   xe2 x  3mx e x   ne2 x  2nxe2 x  pe2 x  2x2 ex 2  xe x  3mx e x 2   n  p  e x  2nxe x Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 71 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  m  3m   13    2n   n   m  n  p  n  p    p   Câu 194 Ta có F   x    2ax  b  x    ax  bx  c  2x  2  2ax  b  x  3  ax  bx  c  5ax   3b  6a  x  c  3b  2x  2x  Vì F   x   f  x   5ax   3b  6a  x  c  3b  20 x  30 x  11 5a  20 a     3b  6a  30  b  2 c  3b  11 c    Do T  a  b  c     Câu 195 Chọn A  f ( x)  F ( x) F '( x)  f ( x) F '( x)   f ( x)   2019 x  x   x  3x     2019 x  x    x  1 x    Vậy số điểm cực trị F ( x) Câu 196 Ta có F   x   f  x           F  x  x  f x  x x  x   2x  1 x  x e   2x  1 x  x  1 e 2  x  x   4 2  x  x x2  x  x2  x         2x  1 x  x  1 x   x  1 x  x  e   x  x   x  x  1     x   2; 1; ;0;1    F  x  x  có nghiệm đơn nên F x  x có điểm cực trị Câu 197 + Tính  F  x      ax  bx  c  e  x     ax     a  b  x  b  c  e  x  x  x  e  x a  2 a  2   Suy 2a  b  5  b  nên F  x    2 x  x  1 e  x b  c  c  1   + Tính F    1 suy f  F     f  1  9e Câu 198 Chọn Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 72 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Ta có: F  x    4 1  cos x  cot x dx B  1  cos x  sin x dx A  sin x sin x Gọi ĐT:0946798489 1  cos x   sin x  cot x  dx  1  cos x  sin x dx  1  cos x  cot x dx  sin x  sin x sin x 2 4 Ta có: 1  cos x  cot x dx  1  cot x  cot x dx   cot x  cot x d cot x      sin x sin x A  cot x cot x       C1   1  cos x  sin x dx  1  cos x  sin x dx B   cos x sin x   2 2 Đặt t  cos x , suy dt   sin x.dx Khi đó: B   1 t2 t  1 dt    1 t2  t  1  t  1 dt    1  1 1   dt       C2 2    t  1  t  1   t 1 t   1 1       C2  cos x  cos x   Do đó: 1 1   cot x cot x  F  x  A  B      C    cos x  cos x    2  Suy ra:   F  x  F    2 1 1   cot x cot x    C C    cos x  cos x    2   1   cot x  cot x  cos x  cos x   cos x cos x cos x   0 sin x sin x sin x Với điều kiện sin x  , Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 73 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 cos x  cos x   *    cos x 1  cos x   cos x 1  cos x   cos3 x   cos x      sin x cos x  cos x    cos x   17  cos x  cos x     Theo giả thiết x   0;4  nên x   ;x  3  3 ; x   2 ; x   2 ; 2 x   ; x    2 ; x   ; x    2 Khi tổng nghiệm lớn 9 Câu 199 Ta có:  f  x  dx    2 d  sin x  sin x 2cos x  cos x dx  2 dx   dx sin x sin x sin x  dx    cot x  C sin x sin x Do F  x  nguyên hàm hàm số f  x   thức dạng F  x     cot x  C với x   0;   sin x Xét hàm số F  x    F ' x  f  x  2cos x  khoảng  0;   nên hàm số F  x  có cơng sin x  cot x  C xác định liên tục  0;   sin x 2cos x  sin x Xét F '  x    2cos x  1    cos x   x    k 2  k   sin x Trên khoảng  0;   , phương trình F '  x   có nghiệm x   Bảng biến thiên: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 74 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   max F  x   F      C  0;  3 Theo đề ta có,   C   C  Do đó, F  x     cot x  sin x Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 75 ... 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f  x   sin x A Câu C x  x  C (Mã 102 - BGD - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm số f  x   x  A x  C Câu D x  x  C (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất nguyên hàm hàm... ĐT:0946798489 PHẦN A CÂU HỎI Dạng Nguyên hàm (dùng bảng nguyên hàm) Dạng 1.1 Tìm nguyên hàm khơng có điều kiện Câu (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A Câu x  x... ĐT:0946798489 Dạng Sử dụng phương pháp VI PHÂN để tìm nguyên hàm Dạng 2.1 Tìm ngun hàm khơng có điều kiện Câu 94 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Nguyên hàm hàm số f ( x )  3sin x