TỔNG HỢP LÝ THUYẾT + CƠNG THỨC TỐN HỌC 12 ươm mầm BÁC SỸ tương lai facebook.com/luyenthidaihockhoib66/ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THƯỜNG GẶP CỦA THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Tính chất Hình vẽ Ví dụ S Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên b Khi đó: VS.ABC = b − a2 a · b C A VS.ABCD = a 12 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên a· Thể tích khối chóp H M B a3 · = a2 · 3(a 3)2 − a2 12 S Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy a Khi đó: A a3 VS.ABC = ·tan α 12 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy C ◦ 60 Thể tích khối chóp α a H M VS.ABC = a3 a3 · · tan 60◦ = 12 12 B S Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy a Khi đó: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy 2a, góc mặt bên mặt đáy C ◦ 60 Thể tích khối chóp A a VS.ABC = ·tan α 24 a H B α M (2a)3 a3 ◦ VS.ABC = · tan 60 = 24 hình chóp S.ABC có cạnh đáy b, góc cạnh bên mặt đáy a Khi đó: S Cho VS.ABC = Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên a góc cạnh bên với mặt đáy 60◦ Thể tích khối chóp C b A α 3· b3 · sin α· cos2 α H VS.ABC = M = B a3 32 a3 · sin 60◦ · cos2 60◦ S hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên b Khi đó: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên a Thể tích khối chóp Cho VS.ABCD = b A D a2 · b − a2 a VS.ABCD = O a2 · 4(a 5)2 − 2a2 B C = a · 2 S Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy α Khi đó: A Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60◦ Thể tích khối chóp α D VS.ABCD = a a3 · · tan α VS.ABCD = O B = C a3 6 a3 tan 60◦ S Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy α Khi đó: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a 2, góc mặt bên mặt đáy 45◦ Thể tích khối chóp A α a a3 VS.ABCD = · tan α O B = C D VS.ABCD = a3 (a 2)3 tan 45◦ S hình chóp S.ABCD có cạnh bên b, góc mặt bên mặt đáy α Khi đó: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên a 3, góc mặt bên mặt đáy 45◦ Thể tích khối chóp Cho b A α 4·a3 · tan α VS.ABCD = B = C Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a góc đáy mặt bên α với b α D a3 · tan2 α − O B VS.ABCD = = C a3 tan2 60◦ − a A Cho hình chóp S.ABC có ba mặt phẳng (S AB), (S AC ), (SBC ) đơi vng góc có diện tích S1 , S2 , S3 Khi đó: VS.ABC = (2 + tan2 45◦ )3 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a 3, góc mặt bên mặt đáy 60◦ Thể tích khối chóp A 2· S · S · S 3 4a 3 4(a 3)3 tan 45◦ S π π α∈ ; VS.ABCD = VS.ABCD = O 3· (2 + tan2 α) D Cho hình chóp S.ABC có ba mặt phẳng (S AB), (S AC ), (SBC ) đôi vng góc diện tích tam giác 15 cm2 ,20 cm2 12 cm2 C Thể tích khối chóp S VS.ABC = B 2·15·20·12 = 20 A Cho hình chóp S.ABC có ba mặt phẳng S A , SB, SC đôi vng góc.Biết S A = a, SB = b, SC = c Khi đó: a c VS.ABC = ·abc b S Cho hình chóp S.ABC có ba mặt phẳng S A , SB, SC đơi vng góc Biết S A = 5, SB = SC = Thể tích khối chóp C VS.ABC = ·5·4·3 = 10 B Cho hình chóp S.ABC có S A , SB, SC đơi vng góc Biết AB = a, BC = b, A Cho hình chóp S.ABC có S A , SB, SC đơi vng góc Biết AB = 5, BC = 13 AC = 10 Thể tích khối chóp S C VS.ABC = =1 12 (10 + − 13)(5 + 13 − 10)(10 + 13 − 5) C A = c B VS.ABC = a2 + b − c a2 + c − b b + c − a2 ĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄǸĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄ 10 XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP 2.1 Phương pháp chung Bước 1: Xác định tâm đa giác đáy: - Tam giác đều: Giao đường trung tuyến - Tam giác vuông: trung điểm cạnh huyền - Tam giác thường: giao đường trung trực (ít gặp) - Hình vng, hình chữ nhật: giao điểm đường chéo Bước 2: Kẻ (d ) qua tâm vng góc với đáy (trục đáy) Bước 3: Trong mặt phẳng chứa cạnh bên trục (d ) Kẻ trung trực (∆) cạnh bên, (∆) cắt (d ) I I tâm mặt cầu 10 11 2.2 Các mơ hình thường gặp Mơ hình 2: Hình chóp S.ABC có S A ⊥ ( ABC ), tam giác ABC Mơ hình 1: Hình chóp S.ABC S S N d N I C A H I C A M H B B +) Ưu tiên tính R = SI +) Cơng thức: SN ·S A = SI ·SH +) Ưu tiên tính R = SI +) Cơng thức: AI = AN + AH Mơ hình 3: Hình chóp S.ABC có Mơ hình 4: Hình chóp S.ABCD có S A ⊥ ( ABCD ), ABCD hình vng (hình chữ S A ⊥ ( ABC ),tam giác ABC vuông A nhật) S S N d I A A I C D B B C +) Ưu tiên tính R = SI = IC +) Ưu tiên tính R = AI +) Cơng thức: AI = AN + AM +) Công thức: SI = IC = 11 BC 12 Mơ hình 6: Hình chóp S.ABCD có S AB cân, (S AB) ⊥ ( ABCD ), ABCD hình vng (hình chữ nhật) Mơ hình 5: Hình chóp S.ABCD S S N d I A D A G I D O B H C B +) Ưu tiên tính R = SI +) Cơng thức: SN ·SD = SI ·SO E O C +) Ưu tiên tính R = SI +) Cơng thức: IS = IG + SG ĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄǸĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄĄ 12 13 XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP 3.1 Phương pháp chung Bước 1: Xác định tâm đa giác đáy: - Tam giác đều: Giao đường trung tuyến - Tam giác vuông: trung điểm cạnh huyền - Tam giác thường: giao đường trung trực (ít gặp) - Hình vng, hình chữ nhật: giao điểm đường chéo Bước 2: Kẻ (d ) qua tâm vng góc với đáy (trục đáy) Bước 3: Trong mặt phẳng chứa cạnh bên trục (d ) Kẻ trung trực (∆) cạnh bên, (∆) cắt (d ) I I tâm mặt cầu 13 14 3.2 Các mơ hình thường gặp Mơ hình 2: Hình chóp S.ABC có S A ⊥ ( ABC ), tam giác ABC Mơ hình 1: Hình chóp S.ABC S S N d N I C A H I C A M H B B +) Ưu tiên tính R = SI +) Công thức: SN ·S A = SI ·SH +) Ưu tiên tính R = SI +) Công thức: AI = AN + AH Mơ hình 3: Hình chóp S.ABC có Mơ hình 4: Hình chóp S.ABCD có S A ⊥ ( ABCD ), ABCD hình vng (hình chữ S A ⊥ ( ABC ),tam giác ABC vuông A nhật) S S N d I A A I C D B B C +) Ưu tiên tính R = SI = IC +) Ưu tiên tính R = AI +) Công thức: AI = AN + AM BC Mơ hình 6: Hình chóp S.ABCD có S AB cân, (S AB) ⊥ ( ABCD ), ABCD hình +) Cơng thức: SI = IC = Mơ hình 5: Hình chóp S.ABCD vng (hình chữ nhật) S S N d I A D A G I D O B C 14 H B E O C 54 Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp dx = C α+1 x dx = x + C (α = −1) α+1 dx = x + C α+1 16 (ax + b)α dx = ax + b α α+1 1 dx = − + C x x 17 x2 − x + x dx d x = ln | x| + C x 18 dx = ln |ax + b| + C ax + b a e x dx = e x + C 19 e ax+b d x = ax a dx = +C ln a 20 a cos x dx = sin x + C 21 cos (ax + b) d x = sin x dx = − cos x + C 22 sin (ax + b) d x = − cos (ax + b) + C a 10 tan x d x = − ln |cos x| + C 23 tan(ax + b) d x = − ln |cos (ax + b)| + C a 11 cot x d x = ln |sin x| + C 24 cotg (ax + b) d x = 12 d x = tan x + C cos2 x 25 13 14 15 α x sin2 x d x = − cot x + C + tan2 x d x = tan x + C + cot2 x d x = − cot x + C kx+ b x +C, α = −1 ax+b e +C a a kx+b dx = +C k ln a cos2 (ax + b) sin (ax + b) + C a dx = ln |sin (ax + b)| + C a tan (ax + b) + C a 1 d x = − cot (ax + b) + C a sin2 (ax + b) 26 + tan2 (ax + b) dx = 27 C tan (ax + b) + a 1 + cot2 (ax + b) d x = − cot (ax + b) + a 28 C 54 55 Bảng nguyên hàm mở rộng dx a2 + x2 dx a2 − x2 = x arctg + c a a arcsin x x dx = x arcsin + a a a2 − x2 + c = a+x ln +c 2a a−x arccos x x d x = x arccos − a a a2 − x2 + c arctan x x a d x = x arctan − ln a2 + x2 + c a a arccot x x a d x = x arccot + ln a2 + x2 + c a a dx x2 + a2 dx a2 − x2 x2 + a2 + c = ln x + = arcsin dx x x2 − a2 = x +c | a| x arccos +c a a dx a+ = − ln a x x2 + a2 ln (ax + b) d x = x + a2 − x2 d x a2 x arcsin + c a = dx sin ax + b x2 + a2 +c x ax + b ln tg +c a dx ax + b = ln tan +c sin (ax + b) a b ln(ax + b) − x + c a x a2 − x2 = e ax cos bx d x = e + ax e ax (a cos bx + b sin bx) +c a2 + b e ax (a sin bx − b cos bx) sin bx d x = +c a2 + b 3.1.4 Các phương pháp tính nguyên hàm Phương pháp biến đổi a Đổi biến dạng 1: Nếu: f ( x) = F ( x) + C với u = ϕ( t) hàm số có đạo hàm thì: f ( u) d u = F ( u) + C PHƯƠNG PHÁP CHUNG • Bước 1: Chọn x = ϕ ( t), ϕ t hàm số mà ta chọn thích hợp • Bước 2: Lấy vi phân hai vế: d x = ϕ ( t) d t • Bước 3: Biến đổi: f ( x) d x = f ϕ ( t) ϕ ( t) d t = g ( t) d t • Bước 4: Khi tính: f ( x) d x = g ( t) d t = G ( t) + C 55 56 * Các dấu hiệu đổi biến thường gặp: Cách chọn Dấu hiệu π π Đặt x = |a| sin t; với t ∈ − ; 2 |a| cos t; với t ∈ [0; π] a2 − x2 x = | a| π π , với t ∈ − ; \ {0} sin t 2 | a| π x= với t ∈ [0; π] \ cos t π π Đặt x = |a| tan t; với t ∈ − ; x = 2 |a| cot t với t ∈ (0; π) Đặt x = x2 − a2 a2 + x2 a+x a−x a−x a+x Đặt x = a cos t Đặt x = a + (b − a) sin2 t ( x − a)( b − x) π π a + x2 Đặt x = a tan t; với t ∈ − ; 2 b Đổi biến dạng 2: Nếu hàm số f ( x) liên tục đặt x = ϕ ( t) Trong ϕ ( t) với đạo hàm (ϕ ( t) hàm số liên tục) ta được: f ( x) dx = f ϕ ( t) ϕ ( t) dt = g( t) dt = G ( t) + C PHƯƠNG PHÁP CHUNG • Bước 1: Chọn t = ϕ ( t), ϕ ( x) hàm số mà ta chọn thích hợp • Bước 2: Lấy vi phân hai vế: d t = ϕ ( t) d t • Bước 3: Biểu thị: f ( x) d x = f ϕ ( t) ϕ ( t) d t = g ( t) d t • Bước 4: Khi đó: I = f ( x) d x = g( t) dt = G ( t) + C * Các dấu hiệu đổi biến thường gặp: Dấu hiệu Cách chọn Hàm số mẫu số có Hàm số: f x; Hàm f ( x) = ϕ ( x) a · sin x + b · cos x c · sin x + d · cos x + c t mẫu số t= ϕ ( x) x x t = tan ; cos = 2 56 57 Hàm f x = Với: x + a > Đặt: t = Với: x + a < Đặt: t = ( x + a) ( x + b ) x + b > x+a+ x+b x+b : x1 = β α = +) Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: A ax2 + bx + c mx + n B A (2ax + b) B = + = + 2 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c β β A (2ax + b) β mx + n B +) Ta có I = d x = d x + dx 2 a ax + bx + c α ax + bx + c α ax + bx + c β A (2ax + b) β Tích phân d x = A ln ax + bx + c α α ax + bx + c β dx Tích phân thuộc dạng 2 α ax + bx + c b P ( x) Tính tích phân I = d x với P(x) Q(x) đa thức x a Q ( x) • Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) dùng phép chia đa thức • Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) xét trường hợp: + Khi Q(x) có nghiệm đơn α1 , α2 , , αn đặt P ( x) A1 A2 An = + + + Q ( x) x − α1 x − α2 x − αn + Khi Q(x) có nghiệm đơn vơ nghiệm Q ( x) = ( x − α) x2 + px + q , ∆ = p2 − q < đặt P ( x) A B C = + + Q ( x) x − α x − β ( x − β)2 + Khi Q(x) có nghiệm bội 61 62 Q ( x) = ( x − α)( x − β)2 với α = β đặt P ( x) A B C = + + Q ( x) x − α x − β ( x − β)2 Q ( x) = ( x − α)2 ( x − β)3 với α = β đặt P ( x) A B C D E = + + + + ( x − α)2 ( x − β)3 ( x − α)2 ( x − α) ( x − β)3 ( x − β)2 x − β 3.3.2 Tích phân hàm vơ tỉ b R ( x, f ( x)) dx R ( x, f ( x)) có dạng: a a−x π Đặt x = a cos t, t ∈ 0; a+x 2 +) R x, a − x Đặt x = |a| sin t x = |a| cos t +) R x, ax + b ax + b Đặt t = n cx + d cx + d +) R ( x, f ( x)) = Với α x2 + β x + γ = k(ax + b) (ax + b) α x + β x + γ Đặt t = α x2 + β x + γ đặt t = ax + b π π 2 +) R x, a + x Đặt x = |a| tan t, t ∈ − ; 2 | a | π +) R x, x2 − a2 Đặt x = , t ∈ [0; π]\ cos x +) R ( n x; n x; , n x) Gọi k = BSCN N (n1 ; n2 ; ; n i ) Đặt x = t k +) R x, n a Tích phân dạng: ρ I= α ax2 + bx + c dx Từ f ( x) = ax + bx + c = a (a = 0) b x+ 2a − ∆ a2 Khi ta có: - Nếu ∆ < 0, a > ⇒ f ( x) = a u2 + k ⇔ b - Nếu ∆ = ⇒ f ( x) = a x + 2a ⇔  b    x+ =u a ⇒ ↔ du = d x ∆    =K 2a f ( x) =  a>0  f ( x) = a · u2 + k2 (1) a x+ b = 2a a| u|(2) (2) - Nếu ∆ > + Với a > f ( x) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) ⇔ f ( x) = a · ( x − x1 ) ( x − x2 ) (3) + Với a < f ( x) = −a ( x1 − x) ( x2 − x) ⇔ f ( x) = −a · ( x1 − x) ( x2 − x) (4) Căn vào phân tích trên, ta có số cách giải sau: Phương pháp: ∗ Trường hợp: ∆ < 0, a > ⇒ f ( x) = a u2 + k2 ⇔ f ( x) = a · u2 + k2 Khi đặt: ax2 + bx + c = t − ax ⇒ bx + c = t − ax x = α → t = t , x = β → t = t ⇔ x = 62 t2 − c b+2 a ; dx = ( b + a) t dt 63 t − ax = t − a t2 − c b+2 a ∗ Trường hợp: ∆ = ⇒ f ( x) = a x + β Khi đó: I = b 2a ∗ Trường hợp: ∆ > 0, a > Đặt: α dx = a a x+ ax2 + bx + c = b 2a ⇔ f ( x) =   β   a>0   dx =   b x+ 2a α b = a| u | 2a b β b ln x + : x+ >0 2a α 2a a b β b − ln x + : x+ 0, a < -Đặt ax2 + bx + c = a ( x1 − x) ( x2 − x) = β b Tích phân dạng: I = mx + n dx ax2 + bx + c α Phương pháp (a = 0) ax2 + bx + c Ad mx + n + Bước 1: Phân tích f ( x) = ( x1 − x ) t ( x2 − x ) t ax2 + bx + c = + ax2 + bx + c B ax2 + bx + c (1) + Bước 2: Quy đồng mẫu số, sau đồng hệ số hai tử số để suy hệ hai ẩn số A, B + Bước 3: Giải hệ tìm A, B thay vào (1) + Bước 4: Tính I = A β Trong đó: α ax2 + bx + c ax2 + bx + c c Tích phân dạng: I = dx α β +B α ax2 + bx + c ( mx + n) ax2 + bx + c α d x(2).(2) (a = 0) biết cách tính β Phương pháp + Bước 1: Phân tích β = ( mx + n) ax2 + bx + c dx (a = 0) n m x+ m ax2 + bx + c · (1) n n = x+ ⇒ y= t= → dy = − dx y m x+t m x+t 1 x = − t ⇒ ax + bx + c = a − t + b − t + c y y y + Bước 2: Đặt: β + Bước 3: Thay tất vào (1) I có dạng: I = ± β d Tích phân dạng: I = α β R ( x; y) d x = α R x; m dy L y2 + M y + N αx + β dx γx + δ α Trong R ( x; y) hàm số hữu tỉ hai biến số x, y α, β, γ, δ số biết Phương pháp 63 64 + Bước 1: Đặt t = m αx + β γx + δ + Bước 2: Tính x theo t: Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế ta có dạng x = ϕ( t) + Bước 3: Tính vi phân hai vế: dx = ϕ ( t) d t β + Bước 4: Tính: α R x; m αx + β γx + δ β dx = a R (ϕ( t); t)ϕ ( t) d t 3.3.3 Tích phân hàm lượng giác Một số công thức lượng giác a Công thức cộng: cos(a ± b) = cos a · cos b sin a · sin b sin(a ± b) = sin a · cos b ± sin b · cos a tan a ± tan b tan(a ± b) = ∓ tan a · tan b b Công thức nhân: 2 2 cos 2a = cos a − sin a = cos a − = − sin a = sin 2a = sin a · cos a = tan a ; tan 2a = − tan2 a + tan2 a tan a + tan2 a − tan2 a cos 3α = cos α − cos α; sin 3α = sin α − sin3 α c Công thức hạ bậc: − cos 2a + cos 2a − cos 2a ; cos2 a = ; tan2 a = 2 + cos 2a sin α − sin 3α cos 3α + cos α sin6 α = ; cos3 α = 4 a d Cơng thức tính theo t: t = tan sin2 a = sin a = 2t + t2 cos a = − t2 + t2 tan a = 2t − t2 e Công thức biến đổi tích thành tổng: cos α · cos β = [cos(α + β) + cos(α − β)] sin α · sin β = [cos(α − β) − cos(α + β)] sin α · cos β = [sin(α + β) + sin(α − β)] f Cơng thức biến đổi tổng thành tích: 64 65 α+β cos α + cos β = cos · cos α−β 2 α+β α−β cos α − cos β = −2 sin · sin 2 α+β α−β sin α + sin β = sin · cos 2 α+β α−β sin α − sin β = cos · sin 2 sin(α + β) tan α + tan β = cos α cos β sin(α − β) tan α − tan β = cos α cos β Hệ cos α + sin α π sin α + cos α − sin α π − sin α − = cos α − = cos α + π π = = Công thức thường dùng + cos 4α + cos 4α 6 cos α + sin α = cos4 α + sin4 α = Một số dạng tích phân lượng giác b • Nếu gặp I = f (sin x) · cos x d x ta đặt t = sinx a b • Nếu gặp dạng I = b a f (cos x) · sin x d x ta đặt t = cosx dx ta đặt t = tan x cos2 x a b dx • Nếu gặp I = f (cot x) ta đặt t = cot x sin x a • Nếu gặp I = f (tan x) (sin x)n d x ; I a Dạng 1: I = (cos x)n d x Phương pháp • Nếu n chẵn dùng cơng thức hạ bậc • Nếu n = sử dụng cơng thức hạ bậc biến đổi theo 2.3 • Nếu ≤ n lẻ ( n = p + 1) thực biến đổi: I1 = =− (sin x)n d x = (sin x)2p+1 d x = (sin x)2 p sin x d = − C 0p − C 1p cos2 x + + (−1)k C kp cos2 x k − cos2 x p + + (−1) p C p cos2 x p d(cos x) p d(cos x) (−1)k k (−1) p p = − C 0p cos x − C 1p cos3 x + + C p (cos x)2k+1 + + C p (cos x)2 p+1 + C 2k + 2p + I2 = = (cos x)n d x = (cos x)2p+1 d x = (cos x)2 p cos x d x = C 0p − C 1p sin2 x + + (−1)k C kp sin2 x k − sin2 x p + + (−1) p C p sin2 x p p d(sin x) d(sin x) (−1)k k (−1) p p = C 0p sin x − C 1p sin3 x + + C p (sin x)2k+1 + + C p (sin x)2 p+1 + C 2k + 2p + b Dạng 2: I = sinm x cosn x d x ( m, n ∈ N ) Phương pháp: a Trường hợp 1: m, n số nguyên • Nếu m chẵn, n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng • Nếu m chẵn, n lẻ ( n = p + 1) biến đổi: 65 66 (sin x)m (cos x)2 p+1 d x = I= (sin x)m (cos x)2 p cos x d x = (sin x)m C 0p − C 1p sin2 x + + (−1)k C kp sin2 x = C 0p k (sin x)m − sin2 x p + + (−1) p C p sin2 x p p d(sin x) d(sin x) = p+1+ m (sin x)m+1 (sin x)m+3 (sin x)2k+1+m p (sin x) − C 1p + + (−1)k C kp + + (−1) p C p +C m+1 m+3 2k + + m 2p + + m • Nếu m lẻ ( n = p + 1), n chẵn biến đổi: (cos x)n (sin x)2 p sin x d x = − I= (sin x)2p+1 (cos x)n d x = =− (cos x)n C 0p − C 1p cos2 x + + (−1)k C kp cos2 x − C 0p k (cos x)n − cos2 x p + + (−1) p C p cos2 x p p d(cos x) d(cos x) = p+1+ n (cos x)n+1 (cos x)n+3 (cos x)2k+1+n p (cos x) − C 1p + + (−1)k C kp + + (−1) p C p +C n+1 n+3 2k + + n 2p + + n Nếu m lẻ, n lẻ sử dụng biến đổi 1.2 1.3 cho số mũ lẻ bé b Trường hợp 2: m, n số hữu tỉ biến đổi đặt u = sinx ta có: B= sinm x cosn x d x = (sin x)m n−1 cos2 x cos x d x = u m − u2 m−1 d u(∗) m+1 n−1 m+k ; ; số nguyên 2 (cot x)n d x (n ∈ N) Tích phân (*) tính ⇔ số c Dạng 3: I = (tan x)n d x; I = Cơng thức sử dụng: • • • • dx = d(tan x) = tan x + c cos2 x dx + cot2 x d x = − = − d(cot x) = − cot x + C sin2 x sin x d(cos x) tan x d x = dx = − = − ln | cos x| + C cos x cos x cos x d(sin x) cot x d x = dx = = ln | sin x| + C sin x sin x + tan2 x d x = 3.4 Ứng dụng tích phân 3.4.1 Diện tích hình phẳng a) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [a, b], trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b xác định: b S= a | f ( x )| d x b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x), y = g( x) liên tục đoạn [a, b] hai đường thẳng x = a, x = b xác định: b S= a | f ( x ) − g ( x )| d x 66 67 - Nếu đoạn [a; b], hàm số f ( x) không đổi dấu thì: b a b | f ( x )| d x = f ( x) d x a - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích hình phẳng giới hạn đường x = g( y), x = h( y) hai đường thẳng y = c, y = d xác định: d S= | g( y) − h( y)| d y 3.4.2 Thể tích vật thể thể tích khối tròn xoay a) Thể tích vật thể: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S ( x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục điểm x, (a ≥ x ≥ b) Giả sử S ( x) hàm số liên tục đoạn [a, b] b V= S ( x) d x b) Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f ( x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox : y x b Vx = π [ f ( x)]2 d x a - Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x = g( y), trục hoành hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục O y: d Vy = π [ g( y)]2 d y - Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường 67 68 y = f ( x), y = g( x) hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox: b V =π a f ( x) − g ( x) d x 68 ... x| = x ln a Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: ax + b cx + d = ad − bc ; ( cx + d )2 ax2 + bx + c dx2 + cx + f a b a c b c x +2 x+ d c d f c f = dx2 + cx + f Đạo hàm cấp 2: + Định nghĩa:... khối nón: +) VN = πR h +) S xq = πRl +) S = πR (R + l ) h l R O Hình nón cụt, khối nón cụt: +) S xq = π l (R + r ) +) S = π(R + r + l (R + r )) r +) VNC = π h(R + r + Rr) h R Thiết diện: +) Thiết... +) S xq = π l (R + r ) r Hình nón cụt +) VNC = π h R + r + Rr h R O h=l Hình trụ +) S xp = 2πRh +) VKT = πR h l R Hình trụ cụt +) Sxq = πR (h1 + h2 ) HÌNH +) VTC = πR (h1 + h2 ) Nửa khối trụ HÌNH +) V