100 4.5 Bài tập minh họa Lời giải (−1)k k=0 n (x − k)n+2 k n (−1)k k=0 n+2 = r=0 = 65 Như đẳng thức cần chứng minh tương đương với: n = 3.3 Một số toán Ví dụ minh hoạ n+2 n k r=0 S= k=0 n + n+2−r x (−1)r k r r n + n+2−r x (−1)r r n (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!! 23n (n!)3 k = 2k + (2n + 1)! n Ta có: n (−1)k k=0 n r k k n−1 (2k − 3)!!(2n − 2k + 1)!! = k−1 n−1 n−1 = (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!! − (2k − 3)!!(2n − 2k + 1)!! k k−1 n =− (2k − 3)!!(2n − 2k − 1)!! k ∆ n+2 n+2 n+2 n n+1 n! + n! − x x n n n+2 n+1 n n+2 n! n x2 xn 3n + (n + 2)! − (n + 2)! + n(n + 2)! 2 24 3n2 + n + 12x2 − 12nx = (n + 2)! 24 = Như thừa số “sót” lại − 2k − 2k + với: Nhận xét p Bằng việc sử dụng định lý: G (k p ) = k=0 ∆ − p k k!tk (1 − t)k+1 2k − 2k + =− 2k + 2k − + =− 2k + 2k + (2k + 1)(2k + 3) bạn có Áp dụng SPTP 3.2, ta được: thể tự luyện tập toán sau: n k=0 n k r kr = k=0 n k 2n − k n r k! k S= k=0 = Ví dụ 4.19 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: n k=0 4n 2n − 2k k+n n n−1 2k − (2k − 3)!!(2n − 2k + 1)!! − k−1 2k + n−1 (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!!(−4) n k − (2k + 1)(2k + 3) n−1 = Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp n+1 k=0 k=0 3n = · 4n n k=0 Diễn đàn Toán học n (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!! k 2k + n n−1 (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!! k (2k + 1)(2k + 3) Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 66 3.3 Một số tốn Ví dụ minh hoạ Quan sát thay đổi tổng thu được, sau lần áp dụng SPTP, ta nhận thấy dạng tổng quát tổng cần tính là: n−p [(2p)!!]2 S(p,n) = 4.5 Bài tập minh họa Trở lại với vấn đề Ta có: n−p (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!! k n (−1)k p (2p − 1)!! k=0 (2k + + 2j) k=0 n j=0 k = (−1) k=0 n+1 Thật vậy: = ∆ n−p−1 (2k − − 2p)!!(2n − 2k + 1)!! = k−1 n−p−1 = (2k − − 2p)!!(2n − 2k − 1)!! k n−p−1 (2k − − 2p)!!(2n − 2k + 1)!! − k−1 n−p−1 = (2k − − 2p)!!(2n − 2k − 1)!! (2k − − 2p) k n−p−1 − (2n − 2k + 1) k−1 n−p = −(2p + 1) (2k − − 2p)!!(2n − 2k − 1)!! k 99 r=0 n (x − k)n+1 k n k n+1 r=0 n = n+1−r x (−1)r k r r n + n+1−r x (−1)r r n (−1)k k=0 n r k k n+1 n (−1)n n! = x(−1)n n n n+1 n+1 (−1)n n! + (−1)n+1 n n+1 n(n + 1) = x(n + 1)! − n! 2x − n = (n + 1)! Nên từ suy điều phải chứng minh Còn lại:  p  p p 2k − − 2j  2k + − 2j 2k − − 2j ∆ = − 2k + + 2j 2k + + 2j 2k + + 2j j=0 j=0 j=0 n p−1 (2p + 2)2 = Ví dụ 4.18 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: (−1)k (2k − − 2j) j=0 k=0 p+1 n 3n2 + n + 12x2 − 12nx (x − k)n+2 ≡ (n + 2)! k 24 (2k + + 2j) j=0 Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 98 4.5 Bài tập minh họa Lời giải Ta có: n k=0 p−k p−n n q+k+1 m p−k n−k = k=0 3.3 Một số toán Ví dụ minh hoạ 67 Áp dụng SPTP 3.2, ta được:  n−p−1  [(2p)!!] k−1 S(n,p) =  − (2p − 1)!!(2p + 1) (2k − − 2p)!!(2n − 2k + 1)!! q+k+1 m um−q−1 t m+1 u = + t (1 − u) tm−q−1 m+1 = [tn ] (1 + t)p m−q−1 (1 + t) (1 + t) B = [tn ] (1 + t)p  2k − − 2j  · 2k + + 2j j=0 p = − p+q+2 n−m+1+q k=0 p−1 · j=0 Ví dụ 4.17 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: k (−1) k=0 n 2x − n (x − k)n+1 ≡ (n + 1)! k = p+1 k=0 (2p + 1)!! (2k + + 2j) Từ suy ra: n n j k = k (−1)k k=0 S = S(0,n) = S(1,n) = = S(n,n) = j (−1)n n! n n−n [(2n)!!]2 = Chứng minh n E (−1)k k j = [tn ] k 1−t j n = [t ] k=0 = Diễn đàn Toán học [(2p + 2)!!]2 = S(p+1,n) Bổ đề 4.1– k=0 n−p−1 n−p−1 (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!! k j=0 Lời giải Trước tiên ta cần điểm qua bổ đề sau: n  (2k − − 2j)  j=0   p+1  (2k + + 2j) (2p + 2)2 Đẳng thức lại chứng minh hồn tồn tương tự Nên từ suy điều phải chứng minh n k=0 n−p−1 [(2p)!!]2 (−1) (2k − − 2p)!!(2n − 2k − 1)!! k (2p − 1)!!(2p + 1) n−p = tn−m+q+1 (1 + t)p+q+2 n−p+1 j k=0 n k=0 j k k!(−u)k (1 + u)k+1 t u= 1−t j k!(−1)k tk k j (−1)n n! n Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp n−n (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!! k (2n − 1)!! (2k + + 2j) j=0 [(2n)!!]2 (2n + 1)!! [(2n)!!]3 = (2n + 1)!!(2n)!! 23n (n!)3 = (2n + 1)! = Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 68 3.4 Bài tập tự luyện Nhận xét Luyện tập sử dụng phương pháp Sai Phân Từng Phần giúp cho bạn có nhiều kỹ biến đổi Đại Số nhìn thấy biểu thức tổng bạn tự tin đỡ chống ngợp hơn! Bên cạnh SPTP tương tự Tích Phân Từng Phần vậy, có ưu nhược điểm nó! Nếu khơng tinh ý, bạn dễ rơi vào vòng “luẩn quẩn” tổng sau lấy SPTP, sau lấy SPTP tổng thu khó hơn! Nhược điểm lớn phương pháp bạn phải “nhìn thấy” Sai Phân biểu thức lấy tổng cho, giống kiểu bạn phải tìm nguyên hàm v(x) d(V (x)) = v(x)dx sau áp dụng cơng thức Tích Phân Từng Phần Việc làm khơng phải lúc thực được! Để kết thúc phần này, mời bạn luyện tập với tập sau: 3.4 4.5 Bài tập minh họa Ta có: n (−1)k k=0 n n − k (−1/4)k k k+1 k=0    −1 t  A = 4n [tn ] ln u u= 1−t 1−t u 1+ 4 −4 (1 − t) (1 − t) = 4n [tn ] · ln 2 1−t t t −t+1    =4  = 4n+1 tn+2 ln Bài Cho n số nguyên dương Chứng minh đẳng thức: n k=0 n k n+k 1−t  − ln   t  1− 2 − n+2 n+2 (n + 2) n+1 n+1 −2 = n+2 = 4n+1 2n = n n −1 Bài Tính tổng: Nên từ suy điều phải chứng minh n S= k=0 n (−1)k k (k + 1)(k + 3) Bài (dark templar) Tính tổng: Ví dụ 4.16 Cho trước số nguyên dương p, m, q Chứng minh ∀n ∈ N∗ : n n S= k=0 Diễn đàn Toán học n − k 4n−k k k+1 n Bài tập tự luyện (−1)k 97 n k 4k − k=0 (−1)k Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp p–k p–n q+k+1 m Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp m = k=0 q–k q–n p+k+1 n = p+q+2 n–m + q + Diễn đàn Toán học 96 4.5 Bài tập minh họa Lời giải Ta có: 3.4 Bài tập tự luyện 69 Bài Tính tổng: n n k (−1) k=0 n k 2k E n n 1 t = [t ] √ u= k 1−t − t + 4u Bài Chứng minh đẳng thức: (1 − t)(1 + 3t) n = [t ] k=0 = 4n [tn ] (1 − 4t)(1 + 12t) n k=0 n k = (2k + 1)(2k + 3) (−1)k Bài Tính tổng: Đồng thời ta có: k=0 4n 2n + (2n + 3) n n (−1)k (n − k) S= n n (2k + 5k + 2) k k+3 (−1)k n k=0 2n − 2k n−k 2k 1 conv (−3)k = [tn ] √ ·√ k − 4t + 12t = [tn ] Bài Tính tổng: n S= k=0 (1 − 4t)(1 + 12t) 2n k 2k + k 2n n+k n+k+1 Bài Tính tổng: 2n Từ suy điều phải chứng minh (−2)k S= k=0 2n + k 2k Bài Với số nguyên dương n số thực α Tính tổng: Ví dụ 4.15 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: n S= k=0 n (−1)k k=0 4n−k n−k = k k+1 4n+1 2n+1 − n+2 Bài 10 Chứng minh đẳng thức: 2n Lời giải Diễn đàn Toán học (−1)k k+α k=0 Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp − k 2k k 2n + k+1 = (2n + 1)!! (2n)!! Diễn đàn Toán học 70 3.4 Bài tập tự luyện (−1)k k=0 Bài 12 Tính tổng: 2k k n k=0 4n − 2k 2n − k = 22n k=0 n 2n n n sin(x + 2k) k 4n k=0 n k n k=0 n k n = k=0 2n − 2k n−k 2k k k 2k E n n 1 t = [t ] √ u= k 1−t − t − 4u = 4n [tn ] 2n cos[2(n − k)x] = 4n cos2n (x) k Bài 14 Cho dãy Fibonacci 2k k Lời giải Ta có: n Bài 13 Chứng minh đẳng thức: 2n 95 Ví dụ 4.13 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: Bài 11 Chứng minh đẳng thức 2n 4.5 Bài tập minh họa = [tn ] (1 − t) (1 − 5t) (1 − 4t) (1 − 20t) Đồng thời ta có: F0 = 0; F1 = Fn+2 = Fn+1 + Fn n (n ≥ 0) k=0 2n − 2k n−k 2k k conv n 1 = [t ] √ ·√ k − 4t − 20t Chứng minh đẳng thức: n k=0 = [tn ] n F3k = 2n F2n k (1 − 4t) (1 − 20t) Nên từ suy điều phải chứng minh n dấu hiệu hay k để áp dụng phép chuyển đổi Euler Đồng thời, cách biến đổi hàm sinh để làm số 4n kỹ thuật đẹp cần lưu ý Nhận xét Có thể nói, tổng tổ hợp có chứa Ví dụ 4.14 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: n 4n (−1)k k=0 Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp n k Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp 2k k n = k=0 2n − 2k n−k 2k (−3)k k Diễn đàn Toán học 94 4.5 Bài tập minh họa Chương Thật vậy, tinh ý chút ta nhận ra: ∞ (1 + x)3/2 2k k (−1/4) (2k + 1) x k Sử dụng hàm sinh chứng minh đẳng thức tổ hợp k = k=0 Hoặc viết theo ngôn ngữ hàm sinh : G (−1/4)k (2k + 1) 2k k = (1 + x)3/2 Tức hệ số xk khai triển thành chuỗi luỹ thừa hình thức 2k (−1/4)k (2k + 1) 3/2 k (1 + x) Ta có: n n k (−1)k+1 k=0 2k 2k + E t u= = − [tn ] k 3/2 k − t (1 + u) 1−t √ = − [tn ] − t 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 (−1)n n (−1)n (−1)n (2n − 1)!! = 2n n! 2n = n 4n (2n − 1) = − 4.1 4.2 Thay lời mở đầu 72 Những biến đổi đại số thường gặp n với 74 k Những dạng khai triển hàm sinh cần biết 75 Những định lý tính tổng dùng hàm sinh 76 Bài tập minh họa 81 Các toán không mẫu mực 108 Bài tập tự luyện 121 Bùi Đức Lộc (supermember) Lê Kim Nhã (gogo123) Nên từ suy điều phải chứng minh Nhận xét Theo quan điểm chủ quan tác giả, bạn đọc cần nhớ , tất thật kỹ dạng khai triển luỹ thừa hình thức hàm √ − 4x dãy số có liên quan như: G k 2k k ;G 2k 2k + k ; G (2k + 1) 2k k , Khi cần thiết, ta tự thiết lập hàm sinh tương ứng thông qua phép biến đổi, lấy đạo hàm tương đối đơn giản Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Tóm tắt nội dung Hàm sinh (General Funtion), biến đến công cụ mạnh toán Tổ Hợp Rời Rạc Rất nhiều tốn tổ hợp, rời rạc khó, đưa ngơn ngữ hàm sinh giải cách nhanh chóng sáng tỏ Hàm sinh có nhiều ứng dụng, đặc biệt dùng để tính tổng Để bạn đọc hiểu rõ phương pháp vai trò hàm sinh tốn chứng minh ĐTTH, người viết bước nêu lên tốn, ví dụ, từ đơn giản đến phức tạp Qua 71 72 4.1 Thay lời mở đầu ví dụ đúc kết ngắn gọn đặc điểm tính chất tốn 4.1 4.5 Bài tập minh họa Ta có : n−1 Thay lời mở đầu = t2n Câu chuyện số Cách khoảng tháng (tháng 11/2012), VMF xuất toán sau: Bài toán 4.1 Chứng minh rằng: (−1)k ∀n ∈ N∗ : k=0 2n k = (−1)n 2n n Bài Toán người gửi đưa vào box THPT số thành viên VMF dành cho quan tâm đặc biệt Tuy nhiên, tuần sau có lời giải sử dụng so sánh hệ số khai triển đa thức sau đó; thành viên perfectstrong có đưa thêm lời giải sử dụng nội suy Lagrange Cả lời giải không làm hài lòng người viết chuyên đề Thực ra; bạn học sinh học Toán mức độ bình thường; có rảnh rỗi nhà khơng khó để tìm lời giải 2n “sơ cấp-cơ bản-ngắn gọn” dựa vào khai triển đa thức: − x2 = 2n 2n (1 − x) (1 + x) Tuy nhiên, có bạn tự đặt vào hồn cảnh đối diện toán kỳ thi kiểu Đại Học: có 20 phút để làm sao? Bài tốn đâu khó đến mức chiếm vị trí chốt điểm đề BĐT? Khơng lẽ bạn chấp nhận quan điểm: “Tìm đa thức để có khai triển phù hợp may 2n mắn”? Thực đa thức − x2 có may mắn từ đâu? Suy nghĩ thêm thấy có nét hao hao n n 2n giống toán quen thuộc: = với lời giải dựa vào k n k=0 khai triển (1 + x)2n = (1 + x)n (1 + x)n Diễn đàn Toán học 4n − 4k − 2n − 2k − k=0 2n Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp 93 √ 4k + 2k + = 2n t 1 + − − 4t + 4t = 2n t − − 16t2 = 2n t − − 16t2 = 16n − 4n 1 −√ − 4t + 4t − (4t2 ) − (4t2 ) 1 − (4t2 ) 2n n Nên từ suy điều phải chứng minh 1 √ −√ − 4x + 4x tương đối quen thuộc Cách nhìn chung hữu ích với tổng dạng ak an−k ; a2k an−2k ; a2k+1 an−2k−1 Cũng Nhận xét Cách xét (C (x))2 với C (x) = để ý thêm dãy (ak )k≥0 khơng thiết phải có hàm sinh tương ứng hàm C (x), trường hợp toán điển hình Ví dụ 4.12 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: n (−1)k+1 k=0 n k 2k 2k + = k 4k 2n n (2n − 1) 4n Lời giải Bài cần chút “gia cố - thêm thắt” từ khai triển quen thuộc √ − 4x Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 92 4.5 Bài tập minh họa 73 Câu chuyện số Lời giải Ta có : Cách khoảng tháng (tháng 11/2012), tác giả Dark Templar có đưa toán sau: k i (−1) i=0 4.1 Thay lời mở đầu k n+k−i−1 k−i n i = i=0 n n+k−i−1 (−1)i i k−i t (1 − u) u = = t (1 + t) 1+t = tk (1 + t)n+k−1 (1 + t)n B k = t Với k = : t0 (1 + t)−1 = t0 n+k−1 k (1 + t) = t0 1+t k−1 − t + t2 − t3 + = Suy tk (1 + t)k−1 = Nên từ suy thẳng điều phải chứng minh Ví dụ 4.11 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: k=0 4n − 4k − 2n − 2k − 4k + 2k + = 16n − n n Còn với k ≥ hiển nhiên bậc lớn t khai triển nhị thức (1 + t)k−1 k − n−1 Bài toán 4.2 Với Fn số Fibonacci thứ n Chứng minh 2n n n k=0 n−k k = Fn+1 Tác giả yêu cầu lời giải dựa vào đại số tuý, người viết để mở vấn đề thời gian để tiết lộ chuyên đề Thực ra, toán cũ, điểm vài vũ khí để tiêu diệt nó: tìm cơng thức truy hồi, sử dụng phép đặt quân domino Tuy nhiên, để ý kỹ hàm sinh cho dãy Fibonacci đơn giản để thiết lập Vậy từ hàm sinh đó, ta không bước thêm n bước, chứng minh k=0 n−k k hệ số xn+1 khai triển hàm sinh đó? Thật vậy, theo cách ta thường làm, dự đoán hàm sinh tương ứng để chứng minh đẳng thức tổ hợp, thường ta biến đổi hàm sinh theo cách khác - mục đích để mơ tả hệ số xk (k ∈ N) theo cách khác Ở rõ ràng ta có số vốn lớn hàm sinh tương ứng cách mơ tả tìm Vậy bước ngắn tìm thêm cách để mơ tả mà thơi Trên điều trăn trở tác giả tiếp cận chuyên đề Tác giả muốn chia sẻ trăn trở cho người xem, nhận xét chuyên đề này; để từ có hứng thú định việc mở cánh cửa mà tác giả đặt cho bạn phần Nào, tạm quên trước hết trang bị cho vài thứ Lời giải Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 74 4.2 4.2 Những biến đổi đại số thường gặp với Những biến đổi đại số thường gặp với n k n k 4.5 Bài tập minh họa Ví dụ 4.9 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: n Tích chéo hệ số tổ hợp x − 2k 2k = n−k 2x ; ∀x ∈ R 2n Lời giải Ta có : n k k j n j = n−j n−k n x − 2k 2k n−k k=0 √ x √ x t B n x (1 + u) + (1 − u) = [t ] (1 + t) u = (1 + t)2 √ √ x x 1+2 t+t + 1−2 t+t x n = [t ] (1 + t) 2(1 + t)x √ 2x √ 2x + 1− t n 1+ t = [t ] = t2n (1 + t)2x Giảm tử-mẫu hệ số tổ hợp [quy tắc hút] n k = n n−1 k k−1 Hệ số tổ hợp viết dạng truy hồi [Công thức Pascal] n+1 k+1 = n n + k k+1 n−k n n−k k x+k k x+k = = x 2k 2x 2n = Nên từ suy thẳng điều phải chứng minh Hệ số tổ hợp kèm phân số n−k n−k−1 + k k−1 x+k x+k−1 − x k k−1 Nhận xét Với cách giải trên, ta giải toán sau giáo sư H.W.Gould đề xuất: n k=0 Nhận xét Từ nay, ta cần hiểu tổ hợp chập dạng suy rộng nó: Với x số thực tuỳ ý  1 với k = x = x(x − 1)(x − 2) (x − k + 1)  k với k ∈ N∗ k! Diễn đàn Toán học x 2k k=0 [Tập tập con] 91 Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp x+1 2k + x − 2k 2k+1 = n−k 2x + 2n + ∀n ∈ N Ví dụ 4.10 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: k (−1)i i=0 n i Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp n+k−i−1 k−i = k ≥ k = Diễn đàn Toán học 90 4.5 Bài tập minh họa 4.3 Lời giải Ta có: n k=1 n k k n = k=1 −1 x k−1 y−k n−k n k=1 Hệ số tổ hợp đơn giản y−k x−k+1 G k=j Gợi ý: f (u) = Diễn đàn Toán học x+1 = x−z+1 uj z j x+1 j (k ∈ N) −1 z − n+1 p+k m = tm−p (1 − t)m+1 (k ∈ Z) Hệ số tổ hợp tăng dần tử mẫu x+k k a k G = (1 − at)x+1 (k ∈ N) Hệ số tổ hợp trung tâm 2k k x k G =√ 1 − 4xt (k ∈ N) Dãy Fibonacci Nhận xét Cái khôn khéo người giải toán cần phải linh hoạt sử u − un+1 dụng hàm thay hàm quen thuộc Các bạn tự lý 1−u 1−u giải lại chọn Ngoài ra, cách làm hoàn toàn tương tự, bạn giải toán: −1 = (1 + at)s Hệ số tổ hợp với mẫu số số Nên từ suy thẳng điều phải chứng minh x k s k a k G u − un+1 t B x! (y − x − 1)! x+1 = t (1 + t)y u= n! (y − n)! 1−u 1+t n+1 t t − + t (1 + t)n+1 x! (y − x − 1)! x+1 t (1 + t)y = t n! (y − n)! 1− 1+t x! (y − x − 1)! x = [t ] (1 + t)y − tx−n (1 + t)y−n n! (y − n)! x! (y − x − 1)! y! (y − n)! = − n! (y − n)! x! (y − x)! (y − x)! (x − n)! x y − = x−y n n z k 75 Những dạng khai triển hàm sinh cần biết x! (y − k)!k! (n − k)! k! (x − k + 1)! (n − k)! (y − n)!n! x! (y − x − 1)! = n! (y − n)! n 4.3 Những dạng khai triển hàm sinh cần biết x+1 n+1 G (Fn ) = t − t − t2 (n ∈ N) Dãy Fibonacci số chẵn −1 G (F2n ) = t − 3t + t2 (n ∈ N) Tức hệ số xn khai triển chuỗi luỹ thừa hình thức hàm t F2n − 3t + t2 un+1 − 1−u Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 76 4.4 Những định lý tính tổng dùng hàm sinh 4.5 Bài tập minh họa Ví dụ 4.7 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: Dãy Fibonacci số lẻ 1−t − 3t + t2 G (F2n+1 ) = n (n ∈ N) Tức hệ số xn khai triển chuỗi luỹ thừa hình thức hàm 1−t F2n+1 − 3t + t2 2k k+1 k = 1− (k ∈ N) k=j n 2k 2k k k j • G 1 − at = ln √ − − 4t r + 2k =√ 2t k − 4t (Chứng minh quy nạp) p • G(k p ) = p k k!tk k+1 (trong đó, 2n − 2j n n j n j n k n k=j n−k k k n−2k j n−j k−j n−k 2n−2k n − 2k n t2 [tn ] (1 + 2t)n uj (1 + u)n−j u = j + 2t n−j r = (r, k ∈ N) = p k j=1 không muốn đề cập đến chứng minh tương đối dài không thẳng vào chuyên đề 4.4 k=j = số Stirling loại 2) (1 − t) Chứng minh đẳng thức dựa vào đẳng thức: k p = k k p j! , vốn quen thuộc số Stirling loại Tác giả j j k=0 = B (n ∈ N∗ ) • G k n−2k = j n = Một số dạng khác an n 2k k Lời giải Ta có : √ − 4t 2t n 2k k=j n Số Catalan G 89 Những định lý tính tổng dùng hàm sinh = + 2t + t2 n tj [tn ] (1 + 2t)n j (1 + 2t)j (1 + 2t)n−j n tn−2j (1 + 2t)2n−2j j n 2n − 2j j n Nên từ suy đpcm Ví dụ 4.8 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: n k=1 n k k −1 x k−1 y−k n−k x+1 = = x−y Quy ước: ký hiệu [tn ]f (t) hiểu hệ số tn khai triển chuỗi luỹ thừa hình thức hàm số f (t) (x, y số nguyên y ≥ x + > n) Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp n k=1 x+1 k y k −1 x y − n n Diễn đàn Toán học 88 4.5 Bài tập minh họa Lời giải n k=0 4.4 Những định lý tính tổng dùng hàm sinh 77 Định lý 4.1 (Định lý so sánh hệ số (Convolution))– 4n + 2n − 2k k+n n n = k=0 A 4n + 2n + 2k + k+n k n tk f (t) y n−k g (y) [tn ] f (t) g (t) = t2n+1 t2 u = (1–t)2n+2 (1–u)n+1 (1–t)2 1 t2 u = (1 − t)2n+2 (1–u)n+1 (1–t)2 k=0 = t4n+1 = t2n (1 − t)2n+2 (1 − t)2n+2 (1 − 2t)n+1 = t2n (1 − 2t)n+1 n + + 2n − = 22n 2n 3n 3n = 4n = 4n 2n n Đây định lý ứng dụng nhiều giải toán ĐTTH dùng hàm sinh Chẳng hạn sau: = t2n [tn ] rn+1 − sn+1 = (−1)n (1 + rt)(1 + st) r−s Cơng thức đơi hữu ích tránh cho ta khỏi phải tính tốn q phức tạp Định lý 4.2 (Định lý A)– Nên từ suy điều phải chứng minh Nhận xét Không phải lúc tổng tổ hợp dấu hiệu để ta áp dụng định lý Đôi ta cần phải thực vài biến đổi, trường hợp này: 4n + 2n − 2k → 4n + 2n + 2k + n+k n → n+k k Với này, ta thấy đầy đủ sức mạnh định lý A (4.2) Vì theo cách làm dự đoán hàm sinh mà đa số người dùng thường chọn, dù có dự đốn hàm sinh: khó để hồn (1 − 2t)n+1 thành tốn, bước biến đổi đòi hỏi tương đối lòng vòng, thiếu tự nhiên k n + ak n−m+(a−b)k tm z fk = [tn ] f m + bk (1 − zt)m+1 tb−a (1 − zt)b (b > a) (fk hệ số xk khai triển thành luỹ thừa hình thức hàm f) Do đa số trường hợp xét với z = nên ta thường dùng định lý dạng: k n + ak tm f fk = [tn ] m + bk (1 − t)m+1 tb−a (1 − zt)b (b > a) Chứng minh Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 78 4.4 Những định lý tính tổng dùng hàm sinh Ta chứng minh định lý 4.2 dạng tổng quát n + ak n−m+(a−b)k z m + bk n + ak = z n−m+(a−b)k n + ak − m − bk −n − ak + n + ak − m − bk − = (−z)n−m+(a−b)k n + ak − m − bk −m − bk − (−z)(n−m)+(a−b)k = n + ak − m − bk = t(n−m)+(a−b)k (1 − zt)m+bk+1 tm = [t ] (1 − zt)m+1 n 2n − n −1 = 2n − n −1 = 2n − n −1 = 2n − n −1 = [tn ] (1 + t)2n−1 t (1 + t)2 1+t [tn ] (1+t)2n t tn−1 (1+t)2n 2n n−1 = 2n n+1 Nên từ suy điều phải chứng minh (1 − zt)b Bài toán 4.3 (Bài toán 4.2) Chứng minh ∀n ≥ 1: k=0 87 k tb−a Nhận xét Bây thử dùng viên kim cương để cắt bánh số n 4.5 Bài tập minh họa n−k k Nhận xét Thơng thường tính tổng có tổ hợp chập mẫu số đòi hỏi kỹ biến đổi, ta thường khơng có hàm sinh tương ứng cho dạng phân thức có tổ hợp chập mẫu số Chú ý công thức A, B hệ số cần xét khác nhau, cần ý để tránh nhầm lẫn Ngoài ra, từ toán trên, bạn tự giải tương tự sau: n ∗ Chứng minh rằng: ∀n ∈ N : = Fn+1 k=0 n k 2n − k −1 =2 Lời giải Ta có: n k=0 Ví dụ 4.6 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: t2 n−k A n 1 = [t ] u= 1−t 1−u 1−t k t = [tn ] = tn+1 = Fn+1 1−t−t − t − t2 n k=0 4n + 2n − 2k k+n n = 4n 3n n Còn để nói ngồi từ “khơng tưởng” cho lời giải ? Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 86 4.5 Bài tập minh họa  2n  = + t − (4t)2 = + − (4t)2 2n t 2 = = 42n + 4n n 16 + n  − (4t)2  1− (4t2 ) 4.4 Những định lý tính tổng dùng hàm sinh Tuy nhiên, đến tác giả khơng thích phải chứng minh lại định lý A (4.2) Nên cần dùng, bạn dùng tư tưởng lời giải để lách qua trình chứng minh lại định lý, cụ thể sau: t 1 = [tn ] = [tn ] − t − t2 − t − t2 1−t Fn+1 = tn+1 2n n 2n n = [t ] · 1−t ∞ n = [t ] Nên từ suy đpcm Ví dụ 4.5 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: n = k=0 (1 − t) n−k n − 2k = [t ] k=0 n t2k k+1 k=0 n (1 − t)k k=0 n ∞ t2k n Nhận xét Một lần nữa, ta lại sử dụng khai triển √ quen thuộc − 4x Tuy có phức tạp chút chất tổ hợp chập trung tâm (central binomial); xét phần mẫu số để định hướng: 2k + (2n − 2k) = 2n Bài đòi hỏi chút khơn khéo để “loại” phần tử không cần thiết khai triển 79 = k=0 n = k=0 1− t2 1−t t2k (1 − t)k+1 n − 2k + k + − n − 2k n−k k (Hơi dài chút xem sơ cấp chút, dù chất nhau) Rõ ràng: ta tận dụng tối đa lợi ban đầu có sẵn hàm sinh tương ứng dãy Fibonacci Định lý A (4.2) cách mô tả vế ĐTTH Định lý 4.3 (Định lý B)– n k=0 2n − k n k k −1 2n = n+1 k Lời giải n k k=0 n k n + ak fk = [tm ] (1 + zt)n f t−b (1 + zt)a m + bk (b < 0) Do đa số trường hợp xét với z = nên ta thường dùng định lý dạng: 2n − k n −1 = k=0 = B = Diễn đàn Toán học k n!k! (2n − − k)! k! (n − k)! (2n − 1)! 2n − n −1 n 2n − n −1 k=0 k 2n − − k k n−k [tn ] (1+t)2n–1 u t u = 1+t (1–u) Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp n + ak fk = [tm ] (1 + t)n f t−b (1 + t)a m + bk (b < 0) Chứng minh n + ak m+bk z = tm+bk (1 + zt)n+ak = [tm ] (1 + zt)n t−b (1 + zt)a m + bk Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học k 80 4.4 Những định lý tính tổng dùng hàm sinh Nhận xét Đôi ta cần cân nhắc lựa chọn định lý A (4.2), B (4.3) , đơi điều kiện áp dụng thoả mãn Hãy xem dao cắt bánh nhé! 4.5 Bài tập minh họa Lời giải (−1)k k=0 2n k = (−1)n n k Sử dụng cơng thức Bài tốn 4.4 (Bài toán 4.1) Chứng minh rằng:∀n ∈ N∗ : 2n n k=0 2n n n k k m k (−1)k k=0 2n k 2n = k=0 = t2n (1 + t)2n (1 − u)2n u = t 2n = (−1)n =n k=1 n−1 k−1 m k t u(1 + u)n−1 u = 1−t 1−t t = n [tm ] · · − t − t (1 − t)n−1 = n tm−1 (1 − t)n+1 n+1+m−1−1 =n m−1 n+m−1 =n n B − t2 n E 2n 2n (−1)k 2n − k k = t2n n n−1 , ta có: k k−1 = = n [tm ] Chứng minh 2n 85 2n n Nên từ suy điều phải chứng minh Nhận xét Rất ấn tượng với dòng! Quan trọng từ lời giải không sơ cấp trên, ta lại gợi ý lời giải sơ cấp Để ý kỹ lời giải rõ ràng khai triển Ví dụ 4.4 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: n (1 − x2 )2n = (1 − x)2n (1 + x)2n k=0 trước mắt ta Rõ ràng may mắn cả! Tất nhiên với cơng cụ mạnh định lý ta tiếp sức nhiều, điều khơng có nghĩa khơng cần khéo léo xoay sở Chẳng hạn: áp dụng thẳng định lý A cho tốn tốn lại vào ngõ cụt! Các bạn sử dụng định lý để làm ln tốn quen thuộc: n k=0 Diễn đàn Toán học n k = 4n − 4k 2n − 2k = 2n n + 16n n Lời giải n k=0 4n − 4k 2n − 2k 4k 2k 2n n conv = t2n = Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp 4k 2k Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp  √ 1 +√ − 4t + 4t 2n  t + − 4t  + − (4t)  + 4t Diễn đàn Toán học 84 4.5 Bài tập minh họa hệ số xn sau: n ak an−k = k=0 = n k=0 n 2k k ⇒ 4n = k=0 2k 2n − 2k k n−k k n−k k 2n − 2k n−k 2k k k=0 n n n−k z fk = [tn ] f k − zt n fk = [tn ] k=0 Nhận xét Đây Toán - đẹp tiêu biểu cho việc áp dụng hàm sinh chứng minh ĐTTH Lời giải dùng hàm sinh dựa 2k khai triển liên quan đến hàm số √ (hoặc k 1−x √ ); đồng thời phần “mẫu số” với k, n − k thoả : k + n − k = n − 4x góp phần định hướng lời giải cho ta Đẳng thức đóng vai trò bổ đề nhiều tốn khác Chẳng hạn: dùng đẳng thức tính tổng: 4.5 Ví dụ 4.1 Chứng minh ∀n ∈ N∗ : n k=0 n k n k=0 n k n = k=0 n 2k 2k n−2k k 2k E n 1 t = [t ] √ |u= k 1−t 1−t − 4u = [tn ] n k n k m k =n m+n−1 n Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp (1 − t) (1 − 5t) = [tn ] √ − 6t + 5t2 1 = [tn ] · − 3t t2 1−4 (1 − 3t)2 Ví dụ 4.3 Chứng minh với số nguyên dương n, m, ta có: Diễn đàn Toán học 2k k Lời giải (Coi (−1)!! = 1) Gợi ý: = (2n)!! Trong đường link trên, có lời giải sáng tạo - đẹp, sử dụng đếm cách với ý tưởng tô màu n đoạn thẳng liên tiếp màu khác Lời giải đẹp sử dụng phương pháp truyền thống đếm cách: tơ màu, chia thẻ, xét khía cạnh hiệu lời giải hàm sinh đòi hỏi lượng kiến thức tối thiểu k=0 f (t) 1−t Bài tập minh họa n (2i − 1)!! (2 (n − i) − 1)!! i i=0 t − zt Định lý 4.5 (Định lý P (Formula of Partial sums))– 2n − 2k n−k Và ta có điều phải chứng minh n 81 Định lý 4.4 (Định lý E (Phép chuyển đổi Euler))– n 1= 4.5 Bài tập minh họa Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 82 4.5 Bài tập minh họa = [tn ] 1 − 3t ∞ = [tn ] k=0 n = [tn ] k=0 n ∞ 2k t2k k (1 − 3t)2k k=0 k=0 n 2k t2k k (1 − 3t)2k+1 http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/ 65986-cm-sum-k0n-c-2kkc-2n-2kn-k4n/ 2k t2k k (1 − 3t)2k+1 (Bài viết số 2-3) Xét khai triển hàm: 2k n−2k n k n − 2k = k=0 n k=0 • Nên từ suy điều phải chứng minh • Nhận xét Bài có cách làm khác dựa hàm sinh đa thức Đó cách xét đa thức (x2 + 3x + 1)n Chú ý ta có cách để n khai triển đa thức thông qua nhị thức Newton: x2 + 3x + = n k=0 n k 2k k n = (−1)n k=0 n k=0 2k k 2(n − k) n−k = (1 + (−x))−1/2 = 1−x n=0 −1 n (−x)n với |x| < −1 n = n = − 12 − − 12 − n + (−1)n (2n − 1)!! = n! 2n n! (−1)n n!2n (2n − 1)!! (−1)n (2n)!!(2n − 1)!! = = 4n (n!)2 4n (n!)2 n n (−1) (2n)! (−1) 2n = = n ≥ n (n!) 4n n = − 12 − 12 − ∞ an xn với an = Suy A(x) = n=0 n 2k 2k k (n ≥ 1) 2n 4n n Ta có ∞ Ví dụ 4.2 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có : Diễn đàn Toán học n n nhường cho bạn đọc Đây cách thú vị, nhiên theo quan điểm tác giả, lời giải ban đầu tự nhiên Ngoài ra, với cách giải hồn tồn tương tự, ta giải toán sau: (−1)k −1 x2 + + 3x Cụ thể xét hệ số nào, xin = n ∞ A(x) = √ Trong 2k n−2k n k 2k = 83 Lời giải Tham khảo lời giải địa 2k n−2k 2k + + n − 2k − n − 2k k = (x + 1)2 + x 4.5 Bài tập minh họa n (A(x)) = an x n=0 = = 1−x ∞ xn (|x| < 1) n=0 n =4 Nên vận dụng tính chất chuỗi số nhau, ta đồng Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học ... Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp n−n (2k − 1)!!(2n − 2k − 1)!! k (2n − 1)!! (2k + + 2j) j=0 [(2n)!!]2 (2n + 1)!! [(2n)!! ]3 = (2n + 1)!!(2n)!! 23n (n! )3 = (2n + 1)! = Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn... xét Có thể nói, tổng tổ hợp có chứa Ví dụ 4.14 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: n 4n (−1)k k=0 Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp n k Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp 2k k n = k=0... (−1)k k+α k=0 Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp − k 2k k 2n + k+1 = (2n + 1)!! (2n)!! Diễn đàn Toán học 70 3. 4 Bài tập tự luyện (−1)k k=0 Bài 12 Tính tổng: 2k k n k=0 4n − 2k