Lời giải chi tiết mã đề 101 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019 MƠN TỐN Hà Nội, ngày 12 tháng 03 năm 2020 LỜI NĨI ĐẦU Tơi soạn tài liệu “Lời giải chi tiết mã đề 101 đề thi THPT Quốc gia năm 2019 mơn Tốn” - Để tự trải nghiệm mã đề thi (đối với mã đề khác, câu hỏi có nội dung tương tự) - Để nghiên cứu phần mềm toán học hỗ trợ giải toán hay để minh hoạ cho lời giải - Có thể chia sẻ với bạn đọc, em học sinh thân yêu, cô cậu học trò u tốn - Có thể trao đổi, học hỏi từ bạn đọc, thầy cô đồng nghiệp người yêu toán Tài liệu gồm phần - Đề thi mơn tốn THPT Quốc Gia năm 2019, mã đề 101; - Đáp án mã đề 101; - Lời giải chi tiết mã đề 101 Ở câu, phần lời giải thường trình bày gồm ý: + Ý thứ thường công thức, phương pháp chung giải toán gợi ý cần thiết + Ý thứ hai trình bày lời giải, hầu hết giải theo hướng tự luận Ngoài ra, vài câu có nhận xét bình luận Tơi mong phê bình, góp ý bạn đọc để tài liệu xác phong phú Tơi muốn có lời khích lệ, cổ vũ từ bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Liên hệ: - Bùi Lương Phúc, giáo viên THPT Ngọc Tảo- Phúc Thọ- Hà Nội - Điện thoại: 0986510719 - Email: phuctnt@gmail.com Trang 1/40 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có … trang) Bài thi: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề Họ, tên thí sinh: …………………………………………… Số báo danh: …………………………………………… Mã đề thi 101 Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x  y  z   Vectơ vectơ pháp tuyến ( P) ? uu r uu r uu r uu r n3  (1; 2; 1) n4  (1;2;3) n1  (1;3; 1) n2  (2;3; 1) A B C D Câu 2: Với a số thực dương tuỳ ý, A log a log a  log a  log a C B Câu 3: Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau: Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A (2;0) B (2; �) C (0;2) log a D D (0; �) x1  27 Câu 4: Nghiệm phương trình A x  B x  C x  D x  u u  u2  Câu 5: Cho cấp số cộng  n  với , Công sai cấp số cộng cho A 6 B C 12 D Câu 6: Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ bên? A y  x  3x  B y   x  3x  C y  x  x  D y   x  x  Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng vectơ phương d ? uu r uu r uu r u3  (1;2;1) u  (2;1;1) u4  (1; 2; 3) A B C Câu 8: Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r r h r h A B  r h C Câu 9: Số cách chọn học sinh từ học sinh A B A 72 C Trang 2/40 C 72 Vectơ D uu r u1  (2;1; 3) D 2 r h D Câu 10: Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm M (2;1; 1) trục Oz có toạ độ A (2;1;0) B (0;0; 1) C (2;0;0) D (0;1;0) 1 f ( x)dx  2 �  f ( x)  g ( x) dx � g ( x)dx  � Câu 11: Biết ,  5 A B C 1 D Câu 12: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h Bh Bh A 3Bh B Bh C D Câu 13: Số phức liên hợp số phức  4i A 3  4i B 3  4i C  4i D 4  3i Câu 14: Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau: Hàm số cho đạt cực tiểu A x  B x  C x  1 Câu 15: Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x)  x  2 A x  x  C B x  x  C C 2x  C Câu 16: Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau: D x  3 D x  C Số nghiệm thực phương trình f ( x)   A B C D Câu 17: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA  2a , tam giác ABC vuông B , AB  a BC  a (minh hoạ hình vẽ bên) Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) A 90� B 45� C 30� D 60� Câu 18: Gọi A 16 z1 , z 2 B 56 x Câu 19: Hàm số y  x A (2 x  3).2 2 z  z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  10  Giá trị 3 x 3 x ln C 20 D 26 có đạo hàm x B Trang 3/40 3 x ln x C (2 x  3).2 3 x x D ( x  3x).2 3 x 1 Câu 20: Giá trị lớn hàm số f ( x)  x  x  đoạn [  3;3] A 16 B 20 C D 2 Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  z   Bán kính mặt cầu cho A B C D 15 Câu 22: Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a AA '  3a (minh hoạ hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ cho 3a A a3 C 3a B a3 D ( x )  x( x  2) , x �R Số điểm cực trị hàm số Câu 23: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f � cho A B C D 4log a  log b Câu 24: Cho a b hai số thực dương thoả mãn a b  16 Giá trị A B C 16 D Câu 25: Cho hai số phức 3z  z2 số phức A (4; 1) z1   i có toạ độ B (1;4) z2   2i Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm biểu diễn C (4;1) log ( x  1)   log (4 x  1) D (1;4) 3 Câu 26: Nghiệm phương trình x  x   x  A B C D x  Câu 27: Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy m 1,2 m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết đây? A 1,8 m B 1, m C 2, m D 1,6 m Câu 28: Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên sau: Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho A B C D Câu 29: Cho hàm số y  f ( x) liên tục R Gọi S diện tích Trang 4/40 hình phẳng giới hạn đường y  f ( x), y  0, x  1, x  (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? A S  � f ( x)dx  � f ( x)dx 1 S 1 1 f ( x)dx �f ( x)dx  � S B 1 f ( x)dx �f ( x)dx  � S  � f ( x) dx  � f ( x)dx 1 D Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;3;0) B (5;1; 2) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có phương trình C A x  y  z   C x  y  z   B x  y  z   D 3x  y  z  14  f ( x)  2x 1 ( x  1) khoảng (1; �) Câu 31: Họ tất nguyên hàm hàm số 2ln( x  1)  C 2ln( x  1)  C x 1 x 1 A B 2ln( x  1)  C 2ln( x  1)  C x  x  C D  �f ( x)dx � f ( x ) f (0)  f ( x )  cos x  1,  x �� Câu 32: Cho hàm số Biết , 2 4   14   16    16  16 16 16 C D Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;2;0) , B (2;0;2) , C (2; 1;3) D (1;1;3) Đường thẳng qua C vuông góc với mặt phẳng ( ABD) có phương trình A 16 �x  2  4t � �y  2  3t � A �z   t B 16 �x   4t � �y  1  3t � B �z   t �x  2  4t � �y  4  3t � C �z   t �x   2t � �y   t � D �z   3t   Câu 34: Cho số phức z thoả mãn z  i  (2  i ) z   10i Môđun z A B C D ( x) sau: Câu 35: Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu f � Hàm số y  f (3  x ) nghịch biến khoảng đây? A (4; �) B ( 2;1) C (2;4) Trang 5/40 D (1;2) ( x) liên tục R có đồ thị Câu 36: Cho hàm số f ( x) , hàm số f � hình vẽ bên Bất phương trình f ( x)  x  m ( m tham số thực) nghiệm với x �(0;2) A m �f (2)  B m �f (0) C m  f (2)  D m  f (0) Câu 37: Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 25 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn 13 12 313 A B 25 C 25 D 625 Câu 38: Cho hình trụ có chiều cao Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 1, thiết diện thu có diện tích 30 Diện tích xung quanh hình trụ cho A 10  B 39  C 20  D 10 39  log x  log (3 x  1)   log m m Câu 39: Cho phương trình ( tham số thực) Có tất giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm? A B C D Câu 40: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh hoạ hình vẽ bên) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD) A 21 a C 2a B 21 a D 21 a 28 Câu 41: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  Biết f (4)  xf (4 x) dx  � , x f� ( x)dx � 31 A B 16 C D 14 Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(0;4; 3) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d qua điểm đây? A P (3;0; 3) B M (0; 3; 5) C N (0;3; 5) D Q (0;5; 3) Câu 43: Cho hàm số bậc ba y  f ( x) có đồ thị hình vẽ bên f ( x  3x )  Số nghiệm thực phương trình Trang 6/40 A C B D Câu 44: Xét số phức z thoả mãn z  Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , tập hợp điểm  iz  z đường tròn có bán kính biểu diễn số phức A 34 B 26 C 34 y  x2  a Câu 45: Cho đường thẳng y  x parabol w D 26 S S ( a tham số thực dương) Gọi diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên S  S2 Khi a thuộc khoảng đây? �3 � � 1� 0; � �; � � 3� � � � A B �1 � �; � C �3 � �2 � �; � D �5 � ( x) sau: Câu 46: Cho hàm số f ( x) , bảng biến thiên hàm số f � Số điểm cực trị hàm số y  f ( x  x) A B C D Câu 47: Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M , N P tâm mặt bên ABB ' A ' , ACC ' A ' BCC ' B ' Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P A 27 B 21 C 30 D 36   Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x  y  z   Có tất điểm A( a; b; c) ( a, b, c số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy ) cho có hai tiếp tuyến ( S ) qua A hai tiếp tuyến vng góc với nhau? A 12 B C 16 D x  x  x 1 x y    x  x 1 x x  y  x   x  m ( m tham số Câu 49: Cho hai hàm số (C ) (C2 ) thực) có đồ thị bốn điểm phân biệt A (�;2] B [2; �) 2 (C ) (C ) Tập hợp tất giá trị m để cắt C (�;2) Trang 7/40 D (2; �) (4log 22 x  log x  5) x  m  m Câu 50: Cho phương trình ( tham số thực) Có tất m giá trị nguyên dương để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt ? 49 47 A B C Vô số D 48 -Hết - Trang 8/40 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUỐC GIA NĂM 2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài thi: TOÁN Đáp án mã đề thi 101 1B 16C 31B 46C 2A 17B 32C 47A 3C 18A 33C 48A 4C 19A 34C 49B 5D 6A 7C 8A 9C 10B 11A B 13C 14C 15A 20B 21C 22A 23D 24A 25A 26D 27D 28D 29B 30B 35B 36B 37C 38C 39A 40B 41B 42C 43B 44A 45C 50B LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x  y  z   Vectơ vectơ pháp tuyến ( P) ? uu r uu r uu r uu r n3  (1; 2; 1) n4  (1;2;3) n1  (1;3; 1) n2  (2;3; 1) A B C D Chú ý: Cho mặt phẳng ( P ) : ax  by  cz  d  Ta có r - Một vectơ pháp tuyến ( P ) n  (a; b; c) ur n ( P ) - Mọi vectơ pháp tuyến phải có dạng '  (ka; kb; kc), k �0 Lời giải Một vectơ pháp tuyến ( P) : x  y  z   Chọn B Câu 2: Với a số thực dương tuỳ ý, A log a B  log a log a uu r n4  (1;2;3)  log a C Chú ý: Cho a  0,1 �c  0, k �R ta có log c  a k   k log c a log c k a  k log c a ; Lời giải a  , log a  2log a Chọn A Trang 9/40 log a D Chú ý: Xét phép thử có khơng gian mẫu gồm hữu hạn biến cố sơ cấp đồng khả Xác suất biến cố A , kí hiệu P( A) xác định P ( A)  n( A) so� bie� n co� thua� n l� � i cho A  n ( ) so� bie� n co� co� the� xa� y Lời giải Ta có 25 số nguyên dương đầu tiên: 1, 2, 3, …., 24, 25 gồm 12 số chẵn 13 số lẻ Số cách chọn số từ 25 số nguyên dương Gọi X = “chọn hai số có tổng số chẵn” Để tìm n( X ) ta xét trường hợp: 2 C25 � n()  C25 + Chọn số 12 số chẵn: 2, 4, 6, …, 24, có + Chọn số 13 số lẻ: 1, 3, 5, …, 25, có 2 � n( X )  C12  C13 C12 C13 cách chọn cách chọn � P( X )  Xác suất cần tìm Chọn C 2 C12  C13 C25  12 25 P( X )  Cách khác: Có thể chọn theo chỉnh hợp, ta có A12  A13 A25  12 25 Câu 38: Cho hình trụ có chiều cao Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 1, thiết diện thu có diện tích 30 Diện tích xung quanh hình trụ cho A 10  B 39  C 20  D 10 39  Chú ý: (xem thêm ý câu 8, câu 27) Lời giải Xét thiết diện song song với trục OO ' hình trụ hình chữ nhật ABB ' A ' (hình bên) Gọi H trung điểm AB OH  AB Gọi bán kính đáy hình trụ r tam giác AOH vuông H nên AH  r  � AB  r  Trang 29/40 Vì AA '  OO ' nên AA '  Vì diện tích hình chữ nhật ABB ' A ' 30 nên AA ' AB  30 � 3.2 r   30 �r  S xq  2 rl  2 2.5  20  Chọn C log x  log (3 x  1)   log m m Câu 39: Cho phương trình ( tham số thực) Có tất giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm? A B C D Chú ý: log a x + Với điều kiện  a �1 , biểu thức xác định x  + Phép tính logarit: Với x  0, y  , log a x  log a y � x  y log a x  log a y  log a ( xy ) �x � log a x  log a y  log a � � �y �  log a x  log a x Lời giải Điều kiện: x Phương trình 3, m0 log x  log (3 x  1)   log m � log x  log (3 x  1)   log m x  log 3x  m x �  3x  m �x  m ( m �3 ) � log Điều kiện thoả mãn 1 m  � 0 �  m  3 m 3 m Do m �Z nên m �{1;2} Chọn A Câu 40: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc Trang 30/40 với mặt phẳng đáy (minh hoạ hình vẽ bên) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD) A 21 a C 2a B 21 a D 21 a 28 Chú ý: + Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách từ điểm đến hình chiếu mặt phẳng d ( A,( P)) OA  d ( A ',( P )) OA ' (hình bên) + Tỷ số khoảng cách A A' h h' O Lời giải + Gọi H hình chiếu S AB SH  ( ABCD) Kẻ HE  BD, ( E �BD ) ; HK  SE , ( K �SE ) ; Khi HK  d ( H ,( SBD)) Do tam giác ABS nên H trung điểm AB nên d ( A,( SBD))  HK + Gọi I tâm hình vng ABCD cạnh a Ta có AI  BD HE  BD nên HE đường trung bình tam giác AIB HE  AI AC a   4 SH chiều cao tam giác ABS cạnh a nên HE  + Tam giác vng SHE có HE.SH 21a HK   2 14 HE  SH d ( A,( SBD ))  Vậy Chọn B SH  a a a SH  , nên chiều cao HK 21 a Trang 31/40 Câu 41: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  Biết f (4)  xf (4 x) dx  � x f� ( x)dx � 31 A B 16 C D 14 Chú ý:  + Công thức đưa vào vi phân:  f (ax  b) dx  � f (ax  b)d (ax  b) � a  b + Cơng thức tích phân phần: Lời giải + Đặt y  x , ta có Vì � vdu a (lưu ý kỹ chọn u dv ) 4 nên yf ( y ) dy  16 � 4 + Mặt khác, a b 1 xf (4 x) dx  � (4 x) f (4 x) d (4 x)  � yf ( y)dy � 16 16 0 xf (4 x)dx  � udv  uv � b a yf ( y )dy � = (1) y f ( y )  �y f � ( y )dy 02 du  f � ( y) � � u  f ( y) � � � v y � dv  ydy � � (bằng cách đặt , ta có ) �� yf ( y )dy = 2 f (4)  � y f� ( y) dy   � y f� ( y ) dy 20 20 Từ (1), (2) suy 8 � y f� ( y )dy  16 20 �� y f� ( y ) dy  16 hay �� x f� ( x)dx  16 Chọn B Trang 32/40 (2) , Câu 42: Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A(0;4; 3) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d qua điểm đây? A P(3;0; 3) B M (0; 3; 5) C N (0;3; 5) D Q (0;5; 3) Chú ý: + Cho mặt trụ (T ) trục  bán kính r Khi - Đường thẳng tuỳ ý song song với  , cách  khoảng r đường sinh (T ) - Giao (T ) với mặt phẳng vng góc với  đường tròn bán kính r Lời giải + Vì d / / Oz , d(d , Oz )  nên d nằm mặt trụ (T ) có trục Oz , bán kính + Gọi ( P) mặt phẳng qua A vng góc với Oz phương trình ( P) z  3 Giao ( P ) với (T ) đường tròn (C ) tâm O '(0;0; 3) bán kính (xem hình vẽ) + Đường kính (C ) qua A cắt (C ) hai điểm D (0;3; 3), D '(0; 3; 3) Khi khoảng cách từ A đến d khoảng cách từ A đến giao điểm d (C ) Khoảng cách nhỏ giao điểm d (C ) điểm D(0;3; 3) + Ta có d / / Oz , qua điểm D (0;3; 3) nên có phương trình tham số �x  � �y  �z  3  t � Thay toạ độ điểm P, M , N vào phương trình thấy điểm N thoả mãn Chọn C Câu 43: Cho hàm số bậc ba y  f ( x) có đồ thị hình vẽ bên f ( x  3x )  Số nghiệm thực phương trình A C B D Chú ý: Trang 33/40 + Số nghiệm thực phương trình f ( x)  m số giao điểm đồ thị hàm số y  f ( x) đường thẳng y  m (đường thẳng song song trùng với trục hoành) Lời giải � �f ( x  x)  �� �f ( x  x)   f ( x  3x )  � 3 + Phương trình + Từ đồ thị hình ta có ước lượng sau: t1 �(2; 1) � � t �(1;2) � � f (t )  t �(3;5) Phương trình có nghiệm �3 + Vẽ đồ thị hàm số t  x  x Quan sát đồ thị hàm số t  x  3x (xem hình 2) ta có - Phương trình ( có nghiệm x1 �1,9; x2 �0,7; x3 �1,3 - Phương trình ( x  x  t1 x  3x  t ) có nghiệm x4 �1,9; x5 �0,5; x6 �1,5 - Phương trình x  x  t3 ) có nghiệm x �2, ( ) + Cũng từ đồ thị hình ta có ước lượng sau: 4 f (t )  có nghiệm t �(3; 2) Phương trình Quan sát đồ thị hàm số t  x  x (xem hình 2) ta có x  2 x  3x  t - Phương trình có nghiệm ( ) Vậy phương trình cho có tất nghiệm Chọn B Câu 44: Xét số phức z thoả mãn z  Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức A 34 w  iz  z đường tròn có bán kính B 26 C 34 Chú ý: Trang 34/40 D 26 + Cho số phức z  a  bi (a, b �R) biểu diễn điểm M (a; b) uuuu r 2 Ta có z  OM  x  y 2 2 + Đường tròn x  y  2ax  2by  c  có tâm I (a; b) , bán kính r  a  b  c Lời giải + w  iz w  � w(1  z )   iz � z  ( z �1) 1 z wi �z  w  w  � z  wi wi � wi  w4 Gọi w  x  yi w  i  w  � x  ( y  1)i  ( x  4)  yi � x  ( y  1) 2  ( x  4)  y � x  y  x  y  14  2 r  (  4)   14  34 I (  4; 2) Đây phương trình đường tròn tâm , bán kính Chọn A y x a Câu 45: Cho đường thẳng y  x parabol S S ( a tham số thực dương) Gọi diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên S  S2 Khi a thuộc khoảng đây? �3 � � 1� 0; � �; � � � � � � A B �1 � �; � C �3 � �2 � �; � D �5 � Chú ý: (xem thêm ý câu 29) + Nghiệm phương trình f ( x)  g ( x) hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y  f ( x) y  g ( x) + Cho hàm số y  f ( x), y  g ( x) liên tục đoạn [a; b] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  f ( x), y  g ( x), x  a, x  b Khi b S� f ( x)  g ( x) dx a Trang 35/40 b �f ( x)  g ( x) dx + Để tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối a ta làm sau:  Tìm nghiệm phương trình f ( x)  g ( x) khoảng (a; b) ;  Giả sử phương trình có nghiệm c , b c b a a c �f ( x)  g ( x) dx  �f ( x)  g ( x) dx  �f ( x)  g ( x) dx ;  Bỏ dấu giá trị tuyệt đối tuỳ theo dấu f ( x )  g ( x ) đoạn Lời giải + Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng parabol là: x a x  a; c ,  c; b  � x  x  2a  � ( x  1)   2a � x  �  2a (điều kiện S1  0a 1 1 a �1 � x  a  x dx  � � � �2 � 1 1 a ( x  1) � �� S2  Vì  2a  1� �dx 1 1 a � 1� ( x  1)  �  (2a  1) x � 2� �0 )  (1  2a )  2a  a   1 1 a 1 12 a 1 � � � 1 � ( x  1) x  x  a dx   (2 a  1) x � � � � �� � � �1 1 a S1  S nên (1  2a )  2a  2a 2(1  2a )  2a    � (1  2a)  2a  2a   0 (1  2a )   2a   2a �   0 �   2a     a    �  2a  �a 2 (loại giá trị  2a  1 ) Trang 36/40 1 a  2(1  2a )  2a Chọn C ( x) sau: Câu 46: Cho hàm số f ( x) , bảng biến thiên hàm số f � Số điểm cực trị hàm số y  f ( x  x) A B C D Chú ý: (xem ý câu 14) Lời giải ( x) ta có + Từ bảng biến thiên hàm số f � x �(�; 1), x2 �( 1;0), x3 �(0;1), x4 �(1; �) Tồn số f� ( x)  (xem hình trên) nghiệm phương trình + Để tìm số cực trị hàm số y  f ( x  x ) ta tính đạo hàm hàm số � y� � ( x  x).( x  x)�  (2 x  2) f � ( x  x ) �f ( x  x ) � � f � y�  � (2 x  2) f � ( x  x)  (*) x 1 � �� ( x  x)  �f � Phương trình � x  x  x1 � � x  x  x2 f� ( x  x)  � � � x  x  x3 � � x  x  x4 � (1) (2) (3) (4) y  x  x (hình vẽ) + Xét đồ thị hàm số Suy số nghiệm phương trình (1), (2), (3), (4) 0; 2; 2; � f� ( x  x)  có nghiệm phân biệt (khác 1) Tóm lại, phương trình (*) có tất nghiệm phân biệt Trang 37/40 ( x) ) suy ra) đạo hàm hàm số y  f ( x  x) đổi + Hơn nữa, (từ tính liên tục hàm số f � dấu x qua giá trị nêu Vậy hàm số y  f ( x  x) có cực trị Chọn C Câu 47: Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M , N P tâm mặt bên ABB ' A ' , ACC ' A ' BCC ' B ' Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P A 27 B 21 C 30 D 36 Chú ý: (xem ý câu 22) + Ta để ý khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' phân chia thành khối tứ diện A ' ABC , A ' BB ' C ', A ' BCC ' tích 1/3 thể tích khối lăng trụ V A ' ABC  V A ' BB 'C '  V A ' BCC '  V ABC A ' B ' C ' + Hai hình chóp có chiều cao tỷ số thể tích tỷ số diện tích hai đáy + Hai hình chóp có diện tích hai đáy tỷ số thể tích tỷ số chiều cao Lời giải + Nhận xét: MN / / AC , NP / / AB (tính chất đường trung bình tam giác) � ( MNP) / /( ABC ) AB S 9 + Gọi diện tích tam giác ABC S , ; Khoảng cách hai mặt phẳng đáy lăng trụ ABC A ' B ' C ' h , h  ; Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' V V  Sh , V  72 Ta có S S/4 - Hai tam giác MNP, ABC đồng dạng với tỷ số / nên MNP - Khoảng cách ( MNP) với ( ABC ),( A ' B ' C ') h / + Chia khối đa diện ABCMNP mặt phẳng ( A ' BC ) ta hai khối chóp chung đáy BCPM có đỉnh A N 1 V A.BCPM  S BCPM d ( A,( A ' BC ))  S A ' BC d ( A,( A ' BC )) 3 V  3V AA ' BC  4 1 VN BCPM  S BCPM d ( N ,( A ' BC ))  S A ' BC d (C ',( A ' BC )) 3 V  3VC ' A ' BC  8 Trang 38/40 V ABCMNP  V V 3V 3.72   � V ABCMNP   27 8 Vậy Chọn A Cách khác: Mặt phẳng ( MNP ) cắt cạnh AA ', BB ', CC ' A1, B1, C1 Ta có V ABCMNP  V ABCA B C  V AA MP  VBB MN  VCC NP 1   1  V S h V V 3V     342 8 2   Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x  y  z   Có tất điểm A( a; b; c) ( a, b, c số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy ) cho có hai tiếp tuyến ( S ) qua A hai tiếp tuyến vng góc với nhau? A 12 B C 16 D Chú ý: + Bổ đề 1: Trong không gian, cho điểm A mặt cầu ( S ) Từ A kẻ hai T ,T tiếp tuyến ( S ) Gọi tiếp điểm Góc T� AT2 (T AT ) lớn mặt phẳng qua tâm I ( S ) Thật vậy, ta có AT1 , AT2 hai đường sinh tuỳ ý hình nón có đỉnh A , trục AI , góc đỉnh ( R bán kính mặt cầu ( S ) ) 2arcsin R AI Hơn nữa, góc hai đường sinh tuỳ ý hình nón khơng vượt q góc đỉnh T�AT Vậy góc lớn mặt phẳng (T1 AT2 ) qua trục nón nên qua I + Bổ đề 2: Trong mặt phẳng, cho điểm I cố định Xét tứ giác IPAQ thoả mãn điều kiện: - IP có độ dài không đổi; - Các tam giác IPA, IQA tam giác vuông chung cạnh huyền IA nhau; Trang 39/40 � - PAQ �90� Khi (xem hình vẽ) ( I , IB0 ) - Điểm A nằm ngồi đường tròn - Điểm A nằm hình tròn Nói cách khác, Lời giải ; ( I , IA0 ) IA0  IB0 , IB0  IA �IB0 + Vì từ A kẻ hai tiếp tuyến ( S ) hai tiếp tuyến vng góc T� AT  90� AT1 , AT2 Giả sử hai tiếp tuyến góc Từ A vẽ hai tiếp tuyến AP, AQ ( S ) cho mặt phẳng  APQ  qua I Khi theo bổ đề ta có � �T�AT  90� PAQ Theo bổ đề ta có R �IA �R (*)   + Mặt cầu ( S ) có tâm I 0;0;  bán kính R  + Vì A(a; b; c) thuộc mp (Oxy ) nên c  Vậy A(a; b;0) Từ điều kiện (*), ta có   �a  b  �  ۣ ۣ �1 a b 2 (**) 2 Vậy ta cần tìm cặp số nguyên (a; b) cho �a  b �4 Cho a  �1 b  b  �1 ; cho b  �1 a  a  �1 Cho a  �2 b  ; cho b  �2 a  Trang 40/40 Vậy có 12 điểm thoả mãn điều kiện (**) Đảo lại, kiểm tra trực tiếp 12 điểm nói ta kết 12 điểm thoả mãn Chọn A Câu 49: Cho hai hàm số y x  x  x 1 x    x  x 1 x x  y  x   x  m ( m tham số (C ) (C2 ) thực) có đồ thị bốn điểm phân biệt A (�;2] B [2; �) (C ) (C ) Tập hợp tất giá trị m để cắt C (�;2) D (2; �) Chú ý: + Hàm số f có đạo hàm dương khoảng f đồng biến khoảng đó; Hàm số f có đạo hàm âm khoảng f nghịch biến khoảng + Trên khoảng, đồ thị hàm số đồng biến (nghịch biến) cắt đường thẳng song song với trục hoành (hoặc trục hoành) nhiều điểm Lời giải + Phương trình hoành độ giao điểm x  x  x 1 x     x2 xm x  x 1 x x 1 x  x  x 1 x �     x2  x  m x  x 1 x x 1 (*) + Xét hàm số (1): f ( x)  x  x  x 1 x     x2  x x  x 1 x x 1 1 � �1  4�    � x   x �x  x  x x  � � �1 1 � 2�    � x �2 ( x �1;0;1;2) � � �x  x  x x  � � �6  x  �    �khi x  2 � � � �x  x  x x  � � Trang 41/40 1 �    x  2 ( x �1;0;1;2) �( x  2) ( x  1) x ( x  1) � f� ( x)  � 1 1 �2     x  2 � ( x  1) x ( x  1) � ( x  2) ( x)  0x ��\{2; 1;0;1;2} Ta có f � nên hàm số đồng biến khoảng ( �; 1),( 1;0),(0;1),(1;2),(2; �) Ngoài ra, đồ thị hàm số y  f ( x) có bốn tiệm cận đứng x  1, x  0, x  1, x  , tiệm cận ngang y  lim f ( x)  � x �� Bảng biến thiên hàm số f ( x ) + Từ bảng biến thiên hàm số f ( x) suy Phương trình (*) có nghiệm m �2 (C ) Tóm lại, với m �2 cắt phân biệt (tham khảo thêm hình vẽ bên) (C ) bốn điểm Chọn B x (4log x  log x  5)  m  m Câu 50: Cho phương trình ( tham số thực) Có tất giá trị nguyên dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt ? A 49 B 47 C Vô số Lời giải � �x  �x  �� �x �m �x �log m Điều kiện: � * Nếu m  điều kiện x  Trang 42/40 D 48 x2 � log x  � � 5 � � � � log x   � x24 � � 4log x  log x   � �� � x0 �x � x �  �   � Phương trình cho Đối chứng điều kiện thấy phương trình có hai nghiệm x  2, x  Vậy m  thoả mãn 5 24 x �log m * Nếu m  điều kiện x2 � log x  � � � 5 � � log x   � � x24 � 4log 22 x  log x   � � �� � x  log m � x x � �  m �  m  � Phương trình cho Nhận xét: x  log m nghiệm (thoả mãn điều kiện) 5 24  nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt (thoả mãn điều kiện) Ngoài ra, �5 � 45 �  log m  �  m  49 � � � 5 5 �5 �2 4 2  log m � � m �2, 27 ) � � (7 Vì m nguyên dương nên m �{3;4;5; ;48} Tóm lại hai trường hợp ta có m �{1} �{3;4;5; ;48} Tập hợp {1} �{3;4;5; ;48} có 47 phần tử Chọn B -Hết - Trang 43/40