BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THÀNH HƯNG SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM HỮU TỶ VÀ CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THÀNH HƯNG SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM HỮU TỶ VÀ CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TS Nguyễn Quang Diệu HÀ NỘI - NĂM 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận án thực tác giả Khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Quang Diệu; kết Luận án mới, đề tài Luận án không trùng lặp chưa cơng bố cơng trình cơng trình khác Nghiên cứu sinh Lê Thành Hưng Lời cảm ơn Trước tiên, tất kính trọng mình, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS TS Nguyễn Quang Diệu Người Thầy trực tiếp giảng dạy hướng dẫn khoa học giúp tơi hồn thành Luận án Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Trong trình làm luận án, vô may mắn thường xuyên nhận dẫn khoa học nghiêm túc với chia sẻ, động viên khích lệ thầy để tơi có tự tin lịng đam mê từ chặng đường nghiệp nghiên cứu khoa học Được làm việc thường xuyên tập thể khoa học nghiêm túc, vô biết ơn thầy, bạn đồng nghiệp toàn thể thành viên Seminar Bộ môn Lý thuyết hàm Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đặc biệt GS TSKH Lê Mậu Hải, TS Tăng Văn Long PGS TS Phùng Văn Mạnh dẫn góp ý trực tiếp đề tài luận án Cuối cùng, xin cảm ơn Trường Cao đẳng Vĩnh Phúc, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đơn vị chức tạo cho điều kiện thuận lợi mặt quản lý nhà nước suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2018 NCS Lê Thành Hưng Mục lục Kí hiệu Mở đầu Tổng quan vấn đề nghiên cứu 1.1 10 Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình khơng bị chặn 10 1.2 Hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn 15 1.3 Hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn 17 Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình khơng bị chặn 20 2.1 Một số kết bổ trợ 20 2.2 Hội tụ nhanh hàm chỉnh hình hàm hữu tỉ 24 2.3 Một ví dụ hội tụ nhanh hàm hữu tỷ 41 Hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn 49 3.1 Một số kiến thức sở 49 3.2 Hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức 52 Hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn 63 4.1 Một số kết bổ trợ 63 4.2 Hội tụ có trọng hàm hữu tỉ 66 Kết luận kiến nghị 78 Tài liệu tham khảo 81 Tài liệu tham khảo 81 KÍ HIỆU • C ∞ (Ω) - Tập hàm trơn vơ hạn Ω • C 0,α () - Tp cỏc hm liờn tc -Hăolder trờn • L∞ (Ω) - Không gian hàm bị chặn Ω • L∞ loc (Ω) - Khơng gian hàm bị chặn địa phương Ω • P SH(Ω) - Tập hàm đa điều hòa Ω • P SH − (Ω) - Tập hàm đa điều hịa âm Ω • M P SH(Ω) - Tập hàm đa điều hòa cực đại Ω • SH(Ω) - Tập hàm điều hịa Ω • HP SH(Cn ) tập hàm đa điều hòa Cn • cap(E, D) = sup{ E (dd c u)n : u ∈ P SH(D), −1 < u < 0}.-Dung lượng tương đối tập Borel E D • {hm }m≥1 dãy hàm nhận giá trị thực, C −trơn định nghĩa (0, ∞) • {χm }m≥1 nhận giá trị thực, liên tục xác định [0, ∞) • uj ↑ u - Kí hiệu dãy {uj } hội tụ tăng tới u • uj ↓ u - Kí hiệu dãy {uj } hội tụ giảm tới u • 1A = χA - Kí hiệu hàm đặc trưng tập A Mở đầu Lý chọn đề tài Các dạng hội tụ hàm hữu tỷ Cn phần quan trọng giải tích phức đại, lĩnh vực hay có nhiều ứng dụng thực tế làm tiền đề cho việc nghiên cứu vấn đề khác Một toán cổ điển đồng hành q trình phát triển Giải tích tốn học tốn liên quan đến tính hội tụ dãy hàm Các vấn đề liên quan đến tính hội tụ dãy hàm đặt thường để trả lời câu hỏi: Các dãy hàm cho có hội tụ hội tụ hay không? hội tụ hay hội tụ đến hàm nào? hàm biết hay chưa biết? giả thiết dãy hàm hội tụ nhanh, nhanh đều? Hội tụ điểm hội tụ đều? v.v Trong lý thuyết Giải tích phức, tính hội tụ, hội tụ dãy hàm có liên quan chặt chẽ tới cực Những năm gần cách sử dụng số công cụ lý thuyết đa vị nhà toán học Việt Nam giới chứng minh nhiều kết quan trọng có tính ứng dụng cao Gonchar, T Bloom, Z Blocki, Molzon, Alexander Việt Nam có Nguyễn Quang Diệu, Lê Mậu Hải, Nguyễn Xuân Hồng, Phạm Hoàng Hiệp Định lý Montel cổ điển khẳng định hàm chỉnh hình bị chặn tập compact tập mở D Cn compact tương đối tô pô mở compact Một kết mở rộng thú vị định lý định lý hội tụ Vitali (tìm đầu kỷ 20) nói giả thiết thêm dãy hàm cho hội tụ điểm tập S đủ lớn dãy phải hội tụ tập compact miền xác định Một vấn đề tự nhiên đặt liệu ta thay giả thiết bị chặn tốc độ hội tụ dãy hàm xấp xỉ không? Để làm rõ câu hỏi này, cần nhắc lại số kết Gonchar (vào năm 70 kỷ trước) Cho R tập hàm chỉnh hình f lân cận U ∈ Cn mà xấp xỉ nhanh theo độ đo dãy hàm hữu tỷ {rm }m≥1 , degrm ≤ m Bằng cách sử dụng khai triển Taylor ta chứng minh hàm phân hình Cn chỉnh hình lân cận thuộc lớp R Khái niệm đưa Gonchar vào cuối năm 70 kỷ trước nhằm nghiên cứu cấu trúc miền tồn hàm chỉnh hình f Gonchar chứng minh f xấp xỉ nhanh rm miền tồn f đơn trị tức tập Cn Hơn 20 năm sau, cách sử dụng số công cụ lý thuyết đa vị, Bloom chứng minh định lý Gonchar thay hội tụ nhanh theo độ đo hội tụ nhanh theo dung lượng tương đối Các kết xấp xỉ nhanh hàm chỉnh hình cịn có ứng dụng việc xây dựng bao đa cực tập đa cực Cn toán thác triển hàm chỉnh hình Có thể thấy vấn đề hội tụ xấp xỉ dãy hàm chỉnh hình đa điều hòa vấn đề truyền thống giải tích có ứng dụng vào nhiều tốn khác giải tích thực phức Tiếp tục hướng nghiên cứu đó, luận án này nghiên cứu Định lý hội tụ kiểu Vitali hàm chỉnh hình, hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn Các kết liên quan đến đề tài tìm thấy cơng trình sử dụng luận án Mục đích nghiên cứu Luận án Từ kết quan trọng có hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn nghiên cứu gần đây, đặt số mục đích nghiên cứu cho Luận án sau: - Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình khơng bị chặn - Đưa dãy hàm hữu tỷ hội tụ nhanh hội tụ cần xét biên - Sự hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn - Sự hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn - Cố gắng mở rộng nêu hướng mở rộng kết nghiên cứu trường hợp thực Đối tượng nghiên cứu - Các tính chất kết hội tụ hàm chỉnh hình, hàm hữu tỷ, hàm đa điều hịa - Các tính chất chuỗi lũy thừa hình thức điều kiện cho hội tụ - Các hàm hữu tỉ điều kiện đủ cho hội tụ Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết nghiên cứu toán học với công cụ kỹ thuật truyền thống lý thuyết chuyên ngành Giải tích hàm Giải tích phức - Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận, công bố kết nghiên cứu 68 tiếp ta có đồng thức sau D ∂ 2u = |f |2 (ϕ (|f |2 ) + |f |2 ϕ (|f |2 )) ∂z∂z Hơn quy tắc đạo hàm hàm hợp, ta có ϕ (|f |2 ) = χ(|f |2 )χ (|f |2 ) − χ (|f |2 )2 χ (|f |2 ) , ϕ (|f | ) = χ(|f |2 ) χ(|f |2 )2 Bằng cách kết hợp điều với áp dụng (b) ta nhận ∂2u ∂z∂z ≥ D Từ u hàm điều hịa D Ta ý {z : f (z) = 0} rời rạc D, theo Định lý 2.9.22 [13], u thác triển tới hàm điều hòa u˜ D Cuối cùng, eu liên tục D nên thực chất u = u˜ D Vì u điều hịa D Chứng minh (của Định lý 4.2.1) Vì {rm }m≥1 A−hội tụ điểm tới f X, nhận xét sau Định nghĩa 4.1.1, ta có limm→∞ rm (z) = f (z) với z ∈ X Hơn nữa, cách thu hẹp lại tập X lại ta coi rm (z) ∈ C với z ∈ X m ≥ Với N ≥ ta đặt XN := {z ∈ X : sup |rm (z)| ≤ N } m≥1 Khi ta có X = ∪N ≥1 XN Bởi X khơng đa cực, suy tồn N0 ≥ cho X := XN0 khơng đa cực Khi ta viết rm = pm /qm , pm , qm đa thức bậc khơng m Do X bị chặn ta giả sử 69 qm cho qm X = Bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bernstein-Walsh (2.1), ta tìm với tập compact K D, số CK > cho max{ pm K, qm K} ≤ eCK m ∀m ≥ (4.1) Điều suy qm f − pm K ≤ eCK m (1 + f K) ≤ eCK m ∀m ≥ (4.2) Tiếp theo, sử dụng Bổ đề 4.2.2 ta có hàm um := log χm (|f − rm |2 ) + log χ˜m (|qm |2 ) đa điều hòa Dm := {z ∈ D : qm (z) = 0} Cố định tập compact K D Trước hết, ta chứng minh dãy {um }m≥1 bị chặn trên Dm ∩ K Thật vậy, cố định z ∈ Dm ∩ K Theo tính chất (1.3), (4.1) (4.2) ta có um (z) = log χm |qm (z)f (z) − pm (z)|2 χ˜m (|qm (z)|2 ) ≤ CK |qm (z)| Ở CK > không phụ thuộc vào z m Từ đó, Định lý 2.9.22 [13], um thác triển tới hàm đa điều hịa (vẫn kí hiệu um ) D Hơn nữa, đánh giá trên, um bị chặn đều tập compact D Tương tự, (4.1) Bổ đề 4.1.2(d) ta suy 70 vm := log χ˜m (|qm |2 ) bị chặn D Bây giờ, ta giả sử dãy {um }m≥1 không hội tụ tới −∞ tập compact D Khi đó, theo Bổ đề 2.2.8, tồn dãy {umj }j≥1 u ∈ P SH(D) cho tập {z ∈ D : lim sup umj (z) = u(z)} đa cực Bởi {vm }m≥1 bị chặn j→∞ địa phương giả thiết nên ta suy umj → −∞ hội tụ điểm X j → ∞ Vậy u = −∞, tập compact không đa cực X Điều vơ lý Do {um }m≥1 tiến tới −∞ tập compact D Cuối cùng, ý qm X = 1, nên ta có −∞ < inf log χ˜m (1) ≤ sup vm m≥1 X Ở bất đẳng thức vế trái suy từ tính chất (1.1) dãy {χ˜m }m≥1 Bởi {vm }m≥1 hội tụ tới ∞ X Kết hợp với Bổ đề 2.2.9, ta suy χm (|rm − f |2 ) hội tụ tới theo dung lượng D (b) Theo chứng minh (a), dãy {vm }m≥1 bị chặn trên tập compact Cn Hơn nữa, {vm }m≥1 không hội tụ đến −∞ tập compact Cn Vì vậy, Bổ đề 2.2.8 (c), tập không đa cực E Cn cho lim sup vm > −∞ on D \ E m→∞ Ta tập E có tính chất mong muốn Cố định z0 ∈ D \ E 71 không gian affine phức L chứa z0 Chọn dãy {vmj }j≥1 cho lim vmj (z0 ) > −∞ j→∞ Kí hiệu vj vj hạn chế D∩L hai dãy vmj log χmj (|f − rmj |2 ) Theo kết chứng minh (a), ta có vj + vj hội tụ tới −∞ j → ∞ tập compact Dz0 Bây theo cách chọn vmj , ta áp dụng Bổ đề 2.2.9 để suy dãy evj = χmj (|rmj − f |2 ) hội tụ theo dung lượng tới Dz0 (c) Ta giả sử U hình cầu Cn , cho {rm } không A−hội tụ tới f K Khi ta tìm dãy {rmj }j≥1 cho inf sup χmj (|rmj (z) − f (z)|2 ) > j≥1 z∈K (4.3) Bởi kết chứng minh (a), {rmj }j≥1 A-hội tụ theo dung lượng tới f D Bởi vậy, theo Bổ đề 2.1.2 cách chuyển qua dãy con, ta giả sử rmj A-hội tụ điểm tới f tập đa cực D Sử dụng lập luận tương tự cho mệnh đề đầu (a), ta tìm tập compact khơng đa cực F U cho sup rmj F < ∞ j≥1 Bây ta viết rmj := pmj qmj , qmj F = với j ≥ Bởi lý tương 72 tự (a) ta có log χmj (|rmj − f |2 ) + log χ˜mj (|qmj |2 ) → −∞ K Chú ý từ rmj khơng có cực hình cầu U , hàm hj := mj (4.4) log |qmj | đa điều hòa U Áp dụng bất đẳng thức Bernstein-Walsh (??) chứng minh (a), ta suy dãy {hj } bị chặn trên tập compact D Mặt khác, từ supF hj = với j, suy điểm tụ dãy {hj } lấy tôpô hội tụ địa phương không đồng −∞ Vậy giới hạn dãy phải đa điều hòa U Bởi {hj } bị chặn trên tập compact U Vậy ta có số a > (phụ thuộc vào K) cho amj ≤ |qmj (z)|, ∀z ∈ K Bởi vậy, sử dụng Bổ đề 4.1.2 (c) giả thiết dãy {χ˜m }m≥1 ta có inf inf log χ˜mj (|qmj (z)|2 ) > inf log χ˜mj (a2mj ) > −∞ j≥1 z∈K j≥1 (4.5) Kết hợp (4.3), (4.4) (4.5) ta có điều phải chứng minh Chứng minh Định lý 4.2.1 (c) cho kết tương tự Định lý 4.2.1 dãy đa thức 73 Mệnh đề 4.2.3 Cho {pm }m≥1 dãy đa thức Cn (1 ≤ degpm ≤ m) f hàm chỉnh hình xác định miền bị chặn D ⊂ Cn Giả sử A := {χm }m≥1 dãy hàm liên tục giá trị thực xác định [0, ∞) thỏa mãn (1.1), (1.2) điều kiện bổ sung sau đây: sup χm (am ) < ∞, ∀a > m≥1 Giả sử {pm }m≥1 A−hội tụ điểm f tập Borel không đa cực X D Khi {pm }m≥1 A−hội tụ tới f tập compact D Chứng minh Chứng minh kết tương đối giống với Định lý 4.2.1 Ta trình bày ngắn gọn sau: Trước hết ta đặt tập um := χm (|pm − f |2 ) Theo Bổ đề 4.2.2, um đa điều hòa với m ≥ Hơn nữa, sử dụng điều kiện mở rộng χm ta suy dãy {um }m≥1 bị chặn trên, tập compact D Do {um }m≥1 hội tụ điểm tới −∞ tập không đa cực X nên theo Bổ đề 2.2.8 (d), {um }m≥1 phải hội tụ tới −∞ tập compact D Ta có kết tương tự dãy đa thức Rn Hệ 4.2.4 Cho f hàm giải tích thực xác định miền D ⊂ Rn(x1 ,··· ,xn ) {pm }m≥1 dãy đa thức (1 ≤ degpm ≤ m) Giả sử A := 74 {χm }m≥1 dãy hàm trơn không âm thuộc lớp C Mệnh đề 4.2.3 Giả sử {pm }m≥1 A−hội tụ điểm tới f tập có độ đo dương X D Khi đó, {pm }m≥1 A−hội tụ tới f tập compact D Chứng minh Ta lấy miền mở D ⊂ Cn(z1 ,··· ,zn ) , zj = xj + iyj , cho D ⊂ D ∩ Rn f chỉnh hình D Do X có độ đo Lebesgue dương Rn , nên ta suy X không đa cực Cn Kết luận hệ Mệnh đề 4.2.3 Kết tổng quát cho định lý Bloom nhắc đến phần giới thiệu Hệ 4.2.5 (Định lý 2.1 [5]) Cho f hàm chỉnh hình miền D ⊂ Cn {rm }m≥1 dãy hàm hữu tỉ hội tụ nhanh theo dung lượng tới f tập compact không đa cực K D Khi đó, {rm }m≥1 hội tụ nhanh theo dung lượng tới f D Chứng minh Xét dãy có trọng chấp nhận A := {χm }m≥1 χm (t) = t 2m Giả sử ngược lại khẳng định sai, tồn tập compact không đa cực K D, dãy {mj } số dương ε, δ > cho cap (Kj , D) > δ, ∀j ≥ 1, 75 Kj := {z ∈ K : χmj (|rmj (z) − f (z)|2 ) > ε} Theo Bổ đề 2.1.2 giả thiết, cách sử dụng dãy ta giả sử {rmj }j≥1 A-hội tụ điểm tới f tập không đa cực K K Theo Định lý 4.2.1 ta có điều cần chứng minh Bằng cách sử dụng Định lý 4.2.1, ta có kết sau tính đơn trị hàm chỉnh hình liên tục có [9] (trang 306,307) [5] (Hệ 2.1) Hệ 4.2.6 Cho {rm }m≥1 dãy hàm hữu tỉ Cn , f chỉnh hình hình cầu mở B A := {χm }m≥1 dãy chấp nhận Giả sử {rm }m≥1 A−hội tụ điểm tới f tập Borel khơng đa cực X B Khi miền tồn tự nhiên f , kí hiệu bới Wf , tập Cn {rm }m≥1 A−hội tụ theo dung lượng tới f Wf Để kết thúc chương ta đưa số ví dụ dãy chấp nhận thỏa mãn giả thiết Định lý 4.2.1 Mệnh đề 4.2.7 Cho {hm }m≥1 dãy hàm trơn giá trị thực lớp C xác định (0, ∞) thỏa mãn điều kiện sau: (a) hm dãy tăng; (b) < hm (t) ≤ 2m ∀m ≥ 1, ∀t > 76 Khi đó, dãy {χm }m≥1 xác định χm (t) := e t hm (x) x dx , t > 0, chấp nhận thỏa mãn điều kiện cho Định lý 4.2.1 (c) Nhận xét Bằng cách chọn hm ≡ 2m ta có dãy chấp nhận χm (t) = t 2m (với χ˜m = χm ) Chứng minh Cố định m ≥ Khi χm ∈ C (0, ∞) hm (t) = tχm (t) χm (t) Theo tính toán cho Bổ đề 4.1.2 (b) giả thiết (a) ta thấy χm thỏa mãn (1.2) Hơn ta suy từ (b) đánh giá sau: t hm (x) log t dx ≤ [1, ∞) x 2m hm (x) log t dx ≤ − (0, 1) x 2m 0≤ 0< t Điều dẫn đến 1 ≤ χm (t) ≤ t 2m [1, ∞), t 2m ≤ χm (t) < (0, 1) Hơn ta có lim χm (t) = e− t→0 hm (x) x dx := χm (0) 77 Vì dãy {χm }m≥1 thỏa mãn điều kiện (1.1), (1.2) Tiếp theo, ta đặt χ˜m (t) := t 2m , ∀m ≥ Bởi đánh giá ta suy (1.3) Cuối cùng, dãy {χ˜m }m≥1 thỏa mãn điều kiện cho Định lý 4.2.1 (c) Kết luận kiến nghị I Kết luận Luận án nghiên cứu hội tụ hàm hữu tỷ ứng dụng đạt kết sau đây: Chứng minh dạng cho định lý hội tụ Vitali cho dãy hàm hữu tỷ với điều kiện cực điểm dãy hàm hữu tỷ (Định lý 2.2.4) Chứng minh dạng mở rộng định lý Bloom (Định lý 2.2.6) hội tụ dãy hàm hữu tỷ xét biên miền bị chặn cho trước Đưa ví dụ hồn cảnh mà Định lý 2.2.6 áp dụng Định lý 3.2.2 đưa điều kiện tập A Cn cho với dãy chuỗi lũy thừa hình thức {fm }m≥1 với {fm |la }m≥1 (a ∈ A) dãy hội tụ hàm chỉnh hình định nghĩa đĩa có bán kính r0 với tâm ∈ C biểu diễn dãy hội tụ hàm chỉnh hình hình cầu (có thể nhỏ hơn) có bán kính r1 Định lý 4.2.1 tổng quát hóa Định lý 2.1 [5] hội tụ nhanh thay hội tụ điểm dãy trọng chấp nhận II Kiến nghị Từ kết thu luận án trình nghiên cứu, 79 chúng tơi đề xuất số vấn đề nghiên cứu sau: Trong Định lý 3.2.2 hội tụ họ {fm |la }m≥1 tập compact ∆(0, r0 ) thay tính chuẩn tắc họ ∆(0, r0 ) hay không? Giả thiết phân bố cực điểm (ii) Định lý 2.2.4 chặt Chúng muốn tìm ví dụ để thấy điều kiện cần thiết chứng minh Định lý 2.2.4 mà khơng có điều kiện Khái niệm hội tụ theo dãy trọng chấp nhận áp dụng cho hàm khơng thiết chỉnh hình hàm hữu tỷ Liệu ta có định lý tương tự Định lý 4.2.1 cho dãy hàm đa điều hịa hay chí hàm khả vi hay khơng? Câu trả lời cịn địi hỏi chúng tơi tiếp tục nghiên cứu Cuối cùng, xin trân trọng tiếp thu thảo luận hướng nghiên cứu liên quan tới đề tài luận án Danh mục cơng trình sử dụng luận án [1] N.Q Dieu, P.V Manh, P.H Bang and L.T Hung (2016), "Vitali’s theorem without uniform boundedness", Publ Mat 60, 311-334 [2] T.V Long, L.T Hung (2017), " Sequences of formal power series", J Math Anal Appl 452, 218-225 [3] D.H Hung, L.T Hung (2017), "Convergence of sequences of rational functions on Cn ", Vietnam J Math 45, 669-679 Các kết luận án báo cáo tại: • Seminar Bộ mơn Tốn giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2017; • Hội thảo nghiên cứu khoa học đào tạo Nghiên cứu sinh, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2017; • Đại hội Tốn học tồn quốc lần thứ Nha Trang, 2018 80 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Nguyễn Quang Diệu, Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa vị, Nxb ĐHSP, Hà Nội Tiếng Anh: [2] H Alexander (1974), "Volume of varieties in projective and Grassmanian spaces", Trans Amer Math Soc 189, 237-249 [3] S Benelkourchi, B Jenanne and A Zeriahi (2005), "Polya’s inequalities, global uniform integrability and the size of plurisubharmonic lemniscates", Ark Mat., 43, 85-112 [4] Z Blocki, Lecture notes in pluripotential theory, http://gamma.im.uj.edu.pl/ blocki /publ/ln/wykl.pdf preprint, [5] T Bloom (2001), "On the convergence in capacity of rational approximants", Constr Approx 17, 91-102 [6] E Chirka (1976), "Meromorphic continuation and the degree of rational approximations in Cn ", Math USSR Sbornik 28, 553-561 [7] P Colwell (1966), "On the boundary behavior of Blaschke products in the unit disk", Proc Amer Math Soc 17, 582-587 [8] K Davidson (1983), "Pointwise limits of analytic functions", Amer Math Monthly 90, 391-394 [9] A Gonchar (1974), "A local condition for the single valuedness of analytic functions of several - variables", Math USSR Sbornik 22, 305-322 [10] F Forelli (1977), "Pluriharmonicity in terms of harmonic slices", Math Scand 41, 358-364 81 82 [11] F Hartogs (1906), "Zur Theorie der analytischen Funktionen mehreren unabhangiger Veranderlichen", Math Ann 62, 1-88 [12] L Hăomander (1993), Notations of Convexity, Birkhăauser Press [13] M Klimek (1991), Pluripotential Theory, Oxford Science Publications, Oxford New York Tokyo [14] N Levenberg and R Molzon (1988), "Convergent sets of a formal power series", Math Z 197, 411-420 [15] N Levenberg (2006), "Approximation in C n ", S in Approximation Theory 2, 92-140 [16] D Ma and T Neelon, On convergence sets of formal power series, Complex Analysis and its Synergies (2015) 1:4, https://doi.org/10.1186/s40627-015-0004-4 [17] R Narasimhan (1971), Several Complex Variables, University of Chicago Press, Chicago [18] A Sadullaev (1981), "Plurisubharmonic measures and capacities on complex manifolds", Uspekhi Mat Nauk 36, 53-105 [19] A Sadullaev (1986), "A criterion for rapid rational approximation", Math USSR Sbornik 53, 271-281 [20] A Sathaye (1976), " Convergence sets of divergent power series", J Reine Angew Math 283, 86-98 [21] J Siciak (1981), "Extremal plurisubharmonic functions in Cn ", Ann Pol Math 39, 175-211 [22] Vitali (1904), "Sopra le serie di funzioni analitiche", Ann Mat Pura Appl 10, 65-82