BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— NGUYỄN TRUNG DŨNG TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NHẢY MARKOV RỜI RẠC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— NGUYỄN TRUNG DŨNG TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HĨA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NHẢY MARKOV RỜI RẠC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ VĂN HIỆN TS HÀ BÌNH MINH HÀ NỘI, 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Hiện TS Hà Bình Minh Các kết trình bày luận án trung thực, trí đồng tác giả, chưa công bố luận văn hay luận án khác Tác giả LỜI CẢM ƠN Luận án tiến sĩ thực khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn khoa học PGS.TS Lê Văn Hiện TS Hà Bình Minh Tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy tập thể hướng dẫn, đặc biệt PGS.TS Lê Văn Hiện, định hướng dẫn sát suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Sự chuyên nghiệp, nghiêm túc nghiên cứu định hướng đắn thầy tiền đề quan trọng giúp tơi có kết trình bày luận án Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Tốn thầy giáo, giáo mơn Tốn Ứng dụng, tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian làm nghiên cứu sinh Tôi chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp, nghiên cứu sinh thành viên Xêmina Giải tích quan tâm, trao đổi, góp ý cho tơi q trình học tập làm luận án Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phịng Sau đại học Phòng, Ban chức trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Đặc biệt, thực thấy hạnh phúc tự hào họ bên tôi, chia sẻ động viên, động lực để tơi cố gắng hồn thành luận án bố, mẹ, vợ Tác giả MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Kí hiệu MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15 1.1 Kỳ vọng kỳ vọng có điều kiện 15 1.1.1 Kỳ vọng 15 1.1.2 Kỳ vọng có điều kiện 17 1.2 Xích Markov rời rạc hữu hạn 17 1.2.1 Các định nghĩa 17 1.2.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov 19 1.2.3 Phân phối ban đầu 20 1.3 Mô hình hệ nhảy Markov rời rạc 21 1.4 Tính ổn định hệ nhảy Markov tuyến tính rời rạc 23 1.5 Một số kết bổ trợ 26 ĐÁNH GIÁ TẬP ĐẠT ĐƯỢC CỦA LỚP HỆ NHẢY MARKOV RỜI RẠC TUYẾN TÍNH CĨ TRỄ BIẾN THIÊN 30 2.1 Phát biểu toán 30 2.2 Đánh giá tập đạt 33 2.3 Ví dụ minh họa 40 2.4 Kết luận Chương 43 3 TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NHẢY MARKOV RỜI RẠC CÓ TRỄ BIẾN THIÊN 45 3.1 Tính ổn định lớp hệ nhảy Markov phi tuyến rời rạc có trễ biến thiên 46 3.1.1 Thiết lập toán 46 3.1.2 Bất đẳng thức tổng có trọng 49 3.1.3 Điều kiện ổn định 51 3.1.4 Ví dụ 57 3.2 Ổn định hóa lớp hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính với trễ biến thiên điều khiển phản hồi đồng 62 3.2.1 Mô tả hệ điều khiển 62 3.2.2 Phân tích tính ổn định hệ đóng 63 3.2.3 Tổng hợp điều khiển 69 3.2.4 Ví dụ minh họa 70 3.3 Kết luận Chương 74 ĐIỀU KHIỂN KHƠNG ĐỒNG BỘ ỔN ĐỊNH HĨA LỚP HỆ NHẢY MARKOV RỜI RẠC VỚI NHIỄU NHÂN TÍNH 76 4.1 Phát biểu toán 77 4.2 Tính ổn định ổn định hóa hệ nhảy Markov rời rạc với nhiễu nhân tính 79 4.2.1 Trường hợp xác suất chuyển biết đầy đủ 79 4.2.2 Trường hợp xác suất chuyển biết thông tin phần 84 4.3 Ví dụ minh họa 86 4.4 Kết luận Chương 89 Kết luận đề xuất 90 Danh mục cơng trình cơng bố 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO 92 KÍ HIỆU R+ Tập hợp số thực không âm Rn Không gian vectơ Euclide n-chiều Z[a, b] Tập hợp số nguyên đoạn [a, b] Z0 Tập hợp số ngun khơng âm Rm×n Tập ma trận thực cấp m × n Sn Tập ma trận thực đối xứng cấp n S+ n Tập ma trận đối xứng xác định dương cấp n S (Z[a, b], Rn ) Tập dãy với giá trị Rn xác định Z[a, b] A Ma trận chuyển vị ma trận A A⊗B Tích Kronecker hai ma trận A B , ma trận khối   a B · · · a1n B  11     , A = (aij ) ∈ Rm×n   am1 B · · · amn B A⊥ Phần bù trực giao ma trận A A≥0 Ma trận đối xứng nửa xác định dương A>0 Ma trận A đối xứng xác định dương col{A, B} Ma trận ghép khối cột xác định A B diag{A, B} Ma trận ghép khối chéo xác định A B λ(A) Tập giá trị riêng ma trận A λmax (A) max {Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) {Reλ : λ ∈ λ(A)} σ(A) Bán kính phổ ma trận A (i.e max{|λ| : λ ∈ λ(A)}) Sym(A) A+A (Ω, F, P) Khơng gian xác suất đầy đủ E[.] Tốn tử kỳ vọng LMIs Bất đẳng thức ma trận tuyến tính LKF Hàm Lyapunov-Krasovskii (Lyapunov-Krasovskii functional) h.c.c hầu chắn (almost surely) MỞ ĐẦU Tổng quan đề tài nghiên cứu Duy trì vận hành ổn định hệ thống theo nghĩa trước tác động mang tính khách quan bên ngồi nội hệ thống toán quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống [12] Những yếu tố bên ngồi nhiễu môi trường tác động cách ngẫu nhiên, chẳng hạn hệ thống sử dụng lượng mặt trời, lượng gió v.v phụ thuộc vào điều kiện thời tiết Những yếu tố tác động xảy nội hệ thống bị hỏng đột xuất tự động phục hồi, sửa chữa phận, chuyển đổi kênh kết nối hay thay đổi chế vận hành Các tác động mơ tả tín hiệu chuyển đổi thỏa mãn số luật ngẫu nhiên Các tín hiệu ảnh hưởng đáng kể chí mang tính định đến vận hành hệ thống [20] Có nhiều mơ hình thực tiễn mà thường xảy biến động ảnh hưởng trực tiếp tới chế vận hành hệ mô hình điều khiển hệ thống phi cơ, điều khiển tự động qua mạng viễn thông hay hệ điều khiển thu truyền tải lượng v.v Các mơ thường cấu thành hệ thống gồm hữu hạn hệ động lực, gọi mode, với quy tắc chuyển đổi mode (switching rule) Khi hệ thống hoạt động cách tự động, biến động có tính ngẫu nhiên, tín hiệu chuyển điều khiển xích Markov hữu hạn [12, 70] Một hệ động lực liên tục rời rạc với xích Markov mơ tả q trình chuyển đổi chế độ vận hành hệ gọi hệ nhảy Markov, sau viết tắt MJS (Markov jump system) Các hệ nhảy Markov xuất từ đầu năm 60 kỉ XX Krasovskii Lidskii sử dụng phương pháp hàm Lyapunov kết hợp với nguyên lý quy hoạch động để đưa lời giải toán toán điều khiển tối ưu cho lớp hệ [43] Năm 1969, Sworder dựa nguyên lý cực đại ngẫu nhiên, nghiên cứu toán điều khiển phản hồi (feedback control) cho lớp hệ nhảy Markov tuyến tính [72] Năm 1983, Sworder Rogers nghiên cứu toán điều khiển tối ưu toàn phương cho hệ thống máy sử dụng lượng mặt trời mơ hình hóa hệ nhảy Markov tuyến tính [73] Bài tốn ổn định hóa cho lớp hệ Morozan nghiên cứu [56] Năm 1990, Mariton tổng kết số kết nghiên cứu lớp hệ nhảy Markov sách chuyên khảo ơng [54] Bài tốn ổn định hóa điều khiển hệ nhảy Markov tuyến tính Ji Chizech nghiên cứu [38] Năm 1995, Boukas xét ổn định lớp hệ nhảy Markov tuyến tính rời rạc [8] Trong kết nêu trên, tác giả sử dụng số phiên ngẫu nhiên phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi phương pháp thứ hai Lyapunov), phát triển Bertram Sarachik [7], Kats Krasovskii [41] hay Krushner [45], để đưa điều kiện ổn định thơng qua bất đẳng thức Lyapunov hay phương trình ma trận Riccati Bất đẳng thức ma trận Lyapunov, Lyapunov đề xuất năm 1892 luận án tiến sĩ có tên “The general problem of the stability of motion”, khởi nguồn phương pháp bất đẳng thức ma trận tuyến tính, viết tắt LMIs (linear matrix inequalities) Tuy nhiên, gần nửa kỷ sau phương pháp ý nhiều nghiên cứu phân tích định tính thiết kế điều khiển Đặc biệt, khoảng ba thập kỷ gần đây, phương pháp sử dụng LMIs trở thành công cụ hữu hiệu, sử dụng cách phổ biến lý thuyết điều khiển hệ thống [10] Đối với hệ nhảy Markov tuyến tính, phương pháp nghiên cứu hiệu sử dụng phương pháp thứ hai Lyapunov dạng ngẫu nhiên để tìm kiếm điều kiện ổn định ổn định hóa dạng LMIs Các điều kiện dạng kiểm tra giải số nhiều thuật toán tối ưu, đặc biệt cơng cụ tính tốn máy tính đại Bên cạnh đó, mơ hình ứng dụng từ tốn thực tiễn kỹ thuật thường có xuất độ trễ thời gian Các đại lượng trễ xuất cách tự nhiên trình truyền tải xử lý liệu Sự xuất độ trễ ảnh hưởng tích cực lẫn tiêu cực lên vận hành hệ nói chung thường làm thay đổi dáng điệu nghiệm hệ, có tính chất ổn định, tính chất phổ dụng hệ kỹ thuật [30] Chính vậy, nghiên cứu tính ổn định ứng dụng vào toán điều khiển hệ có trễ tốn có ý nghĩa thực tiễn, nhiều tác giả quan tâm năm gần [25, 35, 47, 90] Một số vấn đề nghiên cứu quan trọng lớp hệ có trễ bao gồm việc đánh giá định tính ảnh hưởng trễ lên tính ổn định hệ hay tìm tiêu chuẩn ổn định để áp dụng cho mơ hình tổng qt phức tạp hơn, phù hợp với mơ hình kỹ thuật đại Từ áp dụng vào giải toán lý thuyết điều khiển hệ thống hệ có trễ tốn điều khiển H∞ , thiết kế quan sát tín hiệu, toán ước lượng trạng thái hay thiết kế lọc số v.v Đối với lớp hệ tuyến tính ô-tô-nôm (linear time-invariant LTI) có trễ số biến thể nó, phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii (LKF) sử dụng rộng rãi việc thiết lập điều kiện ổn định, ổn định hóa dạng LMIs [25] Trong năm gần đây, lớp hệ nhảy Markov có trễ nhận quan tâm đặc biệt nhà nghiên cứu giới kĩ sư Các ứng dụng thực tiễn hệ nhảy Markov có trễ tìm thấy nhiều lĩnh vực khác [12,29,37,40] Trong cơng trình cơng bố gần phân tích định tính điều khiển hệ nhảy Markov có trễ, phương pháp nghiên cứu sử dụng chủ yếu dựa phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii dạng ngẫu nhiên (sử dụng phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii phụ thuộc mode) kết hợp với công cụ đánh giá xử lý trạng thái trễ để thu điều kiện đảm bảo tính ổn định ổn định hóa với số ràng buộc hiệu suất toán điều khiển đảm bảo giá trị (guaranteed cost control) hay điều khiển H∞ [11, 50, 80, 85–87] Nhiều kết nghiên cứu quan trọng hệ nhảy Markov có trễ cơng bố Tuy vậy, cịn nhiều vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sâu Trọng tâm hướng tới luận án phát triển toán đánh giá trạng thái, toán ổn định ổn định hóa cho số lớp hệ nhảy Markov rời rạc chứa trễ nhiễu ngẫu nhiên dạng cộng tính nhân tính hệ Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa hệ nhảy Markov rời rạc Cụ thể hơn, luận án nghiên cứu ba chủ đề sau: Đánh giá tập đạt lớp hệ nhảy Markov tuyến tính chứa trễ biến với λij ˜ π ⊗ (Ai Ul + Bi Vl ) , χil = Γ ˜ π ⊗ (Aˆi Ul + B ˆ i Vl ) , χil = Γ i i ˜ µ = [√νi1 √νi2 √νis ], ˜ π = [ λi1 λi2 λim ], Γ Γ i i     πij µil j ∈ M1i l ∈ N1i = νil = Khi đó,   a 1 − π a  j ∈ M − µ l ∈ N 2i 2i i i ma trận đạt điều khiển xác định Gl = Vl Ul−1 , l ∈ N Nhận xét 4.2.4 Trong trường hợp đặt biệt, hệ (3.34) xét Chương khơng có trễ hệ (4.1) khơng có nhiễu nhân tính w(k) điều khiển phản hồi đồng bộ, u(k) = K(rk )x(k), từ kết Định lí 3.2.3 (Chương 3) Hệ 4.2.4 (Chương 4) thu kết ổn định hóa [86] 4.3 Ví dụ minh họa Trong mục này, áp dụng kết lý thuyết vào mơ hình điều khiển thiết bị động điện (DC motor device) mô tả hệ nhảy Markov rời rạc mode sau (xem [60]): ˆ k )ˆ x(k + 1) = A(rk )x(k) + B(r u(k) (4.33) Các ma trận hệ cho   b1i   ˆi =  B b1i  , i = 1, 2,     a a  11i 12i    Ai = a21i a22i  ,   a31i a33i Các tham số thiết bị DC motor thực hệ (4.33) cho Bảng 4.1 Tham số a11i a12i a21i a22i a31i a33i b1i b2i i=1 −0.479 5.1546 −3.8162 14.4732 0.1399 −0.9255 5.8705 15.5010 i=2 −1.6026 9.1632 −0.5918 3.0317 0.0740 −0.4338 10.2951 2.2282 Bảng 4.1: Các tham số mơ hình DC motor 86 i=3 0.4636 0.9178 −0.5056 2.4811 0.3865 0.0982 0.7874 1.5302 Giả sử ma trận xác suất chuyển Π cho   0.6 0.1 0.3   Π = 0.3 0.4 0.3   0.2 0.3 0.5 (4.34) Khi đó, rσ (Aop ) = 102.15 > Theo Định lí 1.4.1, hệ mở (4.33) không ổn định Kết mô quỹ đạo nghiệm hệ mở (4.33) với vectơ ban đầu x0 = (1, 1, −1) ma trận xác suất chuyển (4.34) cho Hình 4.1 x 10 1.5 x1(k) rk 10 k 20 Response x(k) x(k) 30 x1(k) x2(k) x3(k) x2(k) 0.5 x3(k) −0.5 −1 −1 10 k 20 30 Hình 4.1: Hệ mở không ổn định 20 40 k 60 80 100 Hình 4.2: Một quỹ đạo nghiệm hệ đóng Để ổn định hóa hệ (4.33), điều khiển không đồng thiết kế dạng u(k) = G(γk )x(k), γk tín hiệu chuyển kênh điều khiển Tín hiệu điều khiển truyền qua mạng mơ Hình 4.3 Do tượng gói liệu cách ngẫu nhiên trình truyền tải [44], tín hiệu điều khiển thực có dạng uˆ(k) = βk u(k), βk dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Bernoulli với P{βk = 1} = E[βk ] = ρ, P{βk = 0} = − ρ, ρ số dương Đặt w(k) = βk − ρ Khi đó, E[w(k)] = 0, E[w(k)w(k)] = ρ(1 − ρ) σ hệ đóng tương ứng (4.33) có dạng hệ (4.4) với Aˆi = Bi = ρBˆi Giả sử xác suất chuyển điều khiển tương quan với xác suất chuyển hệ cho   0.8 0.2   Πc = 0.3 0.7   0.5 0.5 87 System x(k) ˆ )u(k) ˆ A(rk )x(k)  B(r k x(k  1) Control channel ˆ u(k) Eku(k) Packet loss Network u(k) G( J k ) Hình 4.3: Mơ hình hệ điều khiển qua mạng Với σ = 0.05 (ρ = 0.9975), điều kiện (4.14a) (4.19) cho ma trận đạt điều khiển G1 = 0.26 −0.914 −0.0005 , (4.35) G2 = 0.2451 −0.8831 −0.0002 Theo Định lí 4.2.3, hệ (4.33) ổn định hóa Hình 4.2 mơ quỹ đạo nghiệm hệ đóng với điều khiển không đồng (4.2) , (4.35) điều kiện đầu x0 = (1, 1, −1) Nhiễu ngẫu nhiên w(k) mơ tả Hình 4.4 tín hiệu chuyển rk , γk mơ tả Hình 4.5 Kết mơ tính ổn định hệ đóng 0.15 rk 0.05 Noise w(k) 0 20 40 k 60 80 100 20 40 k 60 80 100 −0.05 γk −0.15 −0.2 20 40 k 60 80 100 Hình 4.4: Nhiễu w(k) Hình 4.5: Tín hiệu chuyển 88 4.4 Kết luận Chương Chương trình bày kết nghiên cứu toán ổn định hóa lớp hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính với nhiễu nhân tính điều khiển khơng đồng Dựa lược đồ phát triển từ phương pháp hàm Lyapunov, điều kiện LMIs thiết lập đảm bảo tính ổn định ngẫu nhiên hệ đóng Các điều kiện ổn định sau chuyển tương đương sang dạng khả dụng với toán thiết kế điều khiển Dựa điều kiện ổn định đó, tốn thiết kế điều khiển khơng đồng ổn định hóa hệ giải cho hai trường hợp: (1) Các ma trận xác suất chuyển hệ kênh điều khiển biết chắn; (2) ma trận xác suất chuyển biết phần Tính hiệu điều kiện thiết kế minh họa ví dụ mơ hình điều khiển qua mạng với thiết bị động điện (DC motor) Bình luận cuối chương Một số tốn quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống tác giả nghiên cứu cho lớp hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính với nhiễu nhân tính năm gần đây, chẳng hạn, xem [65,66,81–83] Tuy nhiên, chúng tơi khơng tìm kết phát triển nghiên cứu, thiết kế điều khiển không đồng cho lớp hệ Kết chương nghiên cứu ban đầu tổng hợp điều khiển khơng đồng ổn định hóa lớp hệ nhảy Markov rời rạc với nhiễu nhân tính hai trường hợp: Ma trận xác suất chuyển biết xác biết thông tin phần 89 KẾT LUẬN CHUNG Các kết đạt luận án Luận án nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ nhảy Markov rời rạc Kết đạt luận án bao gồm: Phát triển toán RSE cho lớp hệ nhảy Markov tuyến tính với trễ biến thiên dạng khoảng nhiễu cộng tính bị chặn Bằng phương pháp phân hoạch đoạn trễ kết hợp với việc xây dựng phiếm hàm LyapunovKrasovskii cải tiến, điều kiện LMIs thiết lập để đảm bảo rằng, với nhiễu ngẫu nhiên cộng tính bị chặn, quỹ đạo trạng thái hệ bị chặn theo nghĩa bình phương trung bình ngưỡng xác định ngưỡng nhiễu đầu vào Đề xuất kỹ thuật cho tốn phân tích tính ổn định ngẫu nhiên hệ nhảy Markov có trễ dựa bất đẳng thức tổng có trọng ứng dụng nghiên cứu tính ổn định lớp hệ nhảy Markov phi tuyến có trễ biến thiên Đưa điều kiện thiết kế điều khiển phản hồi đồng ổn định hóa lớp hệ nhảy Markov tuyến tính có trễ biến thiên phụ thuộc mode Thiết lập điều kiện ổn định vững cho lớp hệ nhảy Markov rời rạc tuyến tính với nhiễu nhân tính Trên sở điều kiện ổn định đó, tốn ổn định hóa điều khiển phản hồi không đồng giải cho lớp hệ nhảy Markov rời rạc với nhiễu nhân tính hai trường hợp ma trận xác suất chuyển hệ kênh điều khiển biết chắn ma trận xác suất chuyển biết phần Một số vần đề nghiên cứu Trên sở nội dung nghiên cứu kết đạt luận án, đề xuất số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu phát triển sau đây: 90 • Bài tốn RSE lớp hệ nhảy Markov có trễ với thời gian liên tục • Mở rộng kết đạt luận án cho trường hợp hệ rời rạc chứa q trình tựa Markov (xích Markov khơng nhất, nửa xích v.v) • Mở rộng kết đạt Chương cho lớp hệ Markov rời rạc với nhiễu nhân tính chứa trễ • Một số ứng dụng cho toán kĩ thuật thiết kế lọc, hàm quan sát giải toán điều khiển H∞ hay điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu 91 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN Le Van Hien, Nguyen Trung Dzung, Ha Binh Minh, A novel approach to state bounding for discrete-time Markovian jump systems with interval time-varying delay, IMA J Math Control Inf 33 (2016) 293–307 (ISI) L.V Hien, N.T Dzung, H Trinh, Stochastic stability of nonlinear discretetime Markovian jump systems with time-varying delay and partially unknown transition rates, Neurocomputing 175 (2016) 450–458 (ISI) Nguyen Trung Dzung, Le Van Hien, Stochastic stabilization of discrete-time Markov jump systems with generalized delay and deficient transition rates, Circuits Syst Signal Process 36 (2017) 2521–2541 (ISI) Le Van Hien, Nguyen Trung Dzung, Asynchronous control of discrete-time stochastic bilinear systems with Markovian switchings, 2017 (submitted) 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Văn Hiện, Tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân điều khiển, Luận án tiến sĩ toán học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2010 [2] Vũ Ngọc Phát, Nhập Môn Lý Thuyết Điều Khiển Toán Học, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2001 [3] Nguyễn Duy Tiến, Các Mơ Hình Xác Suất Ứng Dụng Phần I-Xích Markov Ứng Dụng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [4] R Akella, P.R Kumar, Optimal control of production rate in a failure prone manufacturing system, IEEE Trans Autom Control 31 (1986) 116–126 [5] P Balasubramaniam, R Krishnasamy, R Rakkiyappan, Delay-intervaldependent robust stability results for uncertain stochastic systems with Markovian jumping parameters, Nonlinear Anal.: Hybrid Syst (2011) 681– 691 [6] W.P Blair, D.D Sworder, Feedback control of a class of linear discrete systems with jump parameters and quadratic cost criteria, Int J Control 21 (1975) 833–844 [7] J.E Bertram, P.E Sarachik, Statbility of circuits with randomly timevarying parameters, Trans IRE, PGIT-5, Special Supplement (1959) 260– 270 [8] E.K Boukas, H Yang, Stability of discrete-time linear systems with Markovian jumping parameters, Math Control Signal Syst (1995) 390–402 [9] E.K Boukas, Z.K Liu, Robust H∞ control of discrete-time Markovian jump linear systems with mode-dependent time-delay, IEEE Trans Autom Control 46 (2001) 1918–1924 [10] S Boyd, L E Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia, 1994 [11] W.H Chen, Z.H Guan, P Yu, Delay-dependent stability and H∞ control of uncertain discrete-time Markovian jump systems with mode-dependent time delays, Syst Control Lett 52 (2004) 361–376 93 [12] O.L.V Costa, M.D Fragoso, R.P Marques, Discrete-time Markov jump linear systems, Springer, London, 2005 [13] M.C de Oliveira, R.E Skelton, Stability test for constrained linear systems In: Perspectives in Robust Control, LNCIS, Springer, London, 2001 [14] Y Ding, H Zhu, S Zhong, Y Zhang, Y Zeng, H∞ filtering for stochastic systems with Markovian switching and partly unknown transition probabilities, Circuit Syst Signal Process 32 (2013) 559–583 [15] V Dragan, Robust stabilisation of discrete-time time-varying linear systems with Markovian switching and nonlinear parametric uncertainties, Int J Syst Sci 45 (2014) 1508–1517 [16] V Dragan, T Morozan, A.M Stoica, Mathematical Methods in Robust Control of Discrete-Time Linear Stochastic Systems, Springer, 2010 [17] B Du, J Lam, Y Zou, Z Shu, Stability and stabilization for Markovian jump time-delay systems with partially unknown transition rates, IEEE Trans Circuit Syst 60 (2013) 341–351 [18] N.T Dzung, L.V Hien, Stochastic stabilization of discrete-time Markov jump systems with generalized delay and deficient transition rates, Circuit Syst Signal Process 36 (2017) 2521–2541 [19] R Elliott, F Dufour, P Malcom, State and mode estimation for discretetime jump Markov systems, SIAM J Control Optim 44 (2005) 1081–1104 [20] Y Fang, Stability analysis of linear control systems with uncertain parameters, Doctor thesis, Case Western Reserve University, 1994 [21] Y Fang, K Loparo, Stochastic stability of jump linear systems, IEEE Trans Autom Control 47 (2002) 1204–1208 [22] Z Feng, J Lam, G.H Yang, Optimal partitioning method for stability analysis of continuous/discrete delay systems, Int J Robust Nonlinear Control 25 (2015) 559–574 [23] Z Feng, W.X Zheng, On reachable set estimation of delay Markovian jump systems with partially known transition probabilities, J Frankl Inst 353 (2016) 3835–3856 [24] Z Feng, W.X Zheng, L Wu, Reachable set estimation of T–S fuzzy systems with time-varying delay, IEEE Trans Fuzzy Syst 25 (2017) 878–891 94 [25] E Fridman, Introduction to Time-Delay Systems: Analysis and Control, Birkhăauser, Basel, 2014 [26] E Fridman, U Shaked, On reachable sets for linear systems with delay and bounded peak inputs, Automatica 39 (2003) 2005–2010 [27] H Gao, J Lam, Z Wang, Discrete bilinear stochastic systems with timevarying delay: Stability analysis and control synthesis, Chaos, Solit Fract 34 (2007) 394–404 [28] J.C Geromel, A.P Goncalves, A.R Fioravanti, Dynamic output feedback control of discrete-time Markov jump linear systems through linear matrix inequalities, SIAM J Control Optim 48 (2009) 573–593 [29] W.S Gray, O.R Gonzalez, M Dogan, Stability analysis of digital linear flight controllers subject to electromagnetic disturbances, IEEE Trans Aero Electron Syst 36 (2000) 1204–1218 [30] K Gu, S.-I Niculescu, Survey on recent results in the stability and control of time-delay systems, J Dyn Syst Meas Control 125 (2003) 158–165 [31] L.V Hien, N.T An, H Trinh, New results on state bounding for discretetime systems with interval time-varying delay and bounded disturbance inputs, IET Control Theory Appl (2014) 1405–1414 [32] L.V Hien, H Trinh, Refined Jensen-based inequality approach to stability analysis of time-delay systems, IET Control Theory Appl (2015) 2188– 2194 [33] L.V Hien, H Trinh, New finite-sum inequalities with applications to stability of discrete time-delay systems, Automatica 71 (2016) 197–201 [34] L.V Hien, H Trinh, Observers design for 2-D positive time-delay Roesser systems, IEEE Tran Circuit Syst.: Expr Brief (2017) Doi: 10.1109/TCSII.2017.2723425 [35] L.V Hien, L.H Vu, V.N Phat, Improved delay-dependent exponential stability of singular systems with mixed interval time-varying delays, IET Control Theory Appl (2015) 1364–1372 [36] R.A Horn, C.A Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985 95 [37] D Huang, S.K Nguang, State feedback control of uncertain networked control systems with random time delays, IEEE Trans Autom Control 53 (2008) 829–834 [38] Y Ji, H J Chizeck, Controllability, stabilizability, and continuous-time Markovian jump linear quadratic control, IEEE Trans Autom Control 35 (1990) 777–788 [39] Y Ji, H.J Chizeck, X Feng, K.A Loparo, Stability and control of discretetime jump linear systems, Control Theory Adv Tech (1992) 247–270 [40] O.C Imer, S Yuksel, T Basar, Optimal control of LTI systems over unreliable communication links, Automatica 42 (2006) 1429–1439 [41] I.I Kats, N.N Krasovskii, On the stability of systems with random parameters, PMM 24 (1960) 809–823 [42] J.H Kim, Improved ellipsoidal bound of reachable sets for time-delayed linear systems with disturbances, Automatica 44 (2008) 2940–2943 [43] N.N Krasovskii, E.A Lidskii, Analysis design of controller in systems with random attributes–Part 1, Autom Remote Control 22 (1961) 1021–1025 [44] J.F Kurose, K.W Ross, Computer Networking: A Top-Down Approach, Addison-Wesley, New York, 2010 [45] H.J Kushner, Stochastic Stability and Control, Academic Press, New York, 1967 [46] O.M Kwon, S.M Lee, J.H Park, On the reachable set bounding of uncertain dynamic systems with time-varying delays and disturbances, Info Sci 181 (2011) 3735–3748 [47] O.M Kwon, M.J Park, J.H Park, S.M Lee, E.J Cha, Stability and stabilization for discrete-time systems with time-varying delays via augmented Lyapunov-Krasovskii functional, J Frankl Inst 350 (2013) 521–540 [48] J Lam, B Zhang, Y.S Chen, S Xu, Reachable set estimation for discretetime linear systems with time delays, Int J Robust Nonlinear Control 25 (2015) 269–281 [49] H Liu, D.W.C Ho, F Sun, Design of H1 filter for Markov jumping linear systems with non-accessible mode information, Automatica 44 (2008) 2655– 2660 96 [50] Z Li, G Sun, H Gao, Guaranteed cost control for discrete-time Markovian jump linear system with time delay, Int J Syst Sci 44 (2013) 1312–1324 [51] S Long, S Zhong, Mean-square exponential stability for a class of discretetime nonlinear singular Markovian jump systems with time-varying delay, J Frankl Inst 351 (2014) 4688–4723 [52] M.G Losada, F.R Rubio, S.D Bencomo, Asynchronous Control for Networked Systems, Springer, Cham, Switzerland, 2015 [53] S Ma, E.K Boukas, Y Chinniah, Stability and stabilization of discretetime singular Markov jump systems with time-varying delay, Int J Robust Nonlinear Control 20 (2010) 531–543 [54] M Mariton, Jump Linear Systems in Automatic Control, Marcel Dekker Inc., New York, 1990 [55] S Meyn, R Tweedie, Markov Chains and Stochastic Stability, Springer, New York, 1993 [56] T Morozan, Stabilization of some stochastic discrete-time control systems, Stoch Anal Appl (1983) 89–116 [57] P.T Nam, P.N Pathirana, Further result on reachable set bounding for linear uncertain polytopic systems with interval time-varying delays, Automatica 47 (2011) 1838–1841 [58] P.T Nam, P.N Pathirana, H Trinh, Linear functional state bounding for perturbed time-delay systems and its application, IMA J Math Control Inf 32 (2015) 245–255 [59] P.T Nam, P.N Pubudu, H Trinh, Discrete Wirtinger-based inequality and its application, J Frankl Inst 352 (2015) 1893–1905 [60] R Oliveira, A N Vargas, J Val, P Peres, Mode-independent H2 -control of a DC motor modeled as a Markov jump linear system, IEEE Trans Control Syst Tech 22 (2014) 1915–1919 [61] P.G Park, J.W Ko, C Jeong, Reciprocally convex approach to stability of systems with time-varying delays, Automatica 47 (2011) 235–238 [62] M Petrou, C Petrou, Image Processing: The Fundamentals (2nd ed.), John Wiley & Sons, Chichester, UK, 2010 97 [63] C Peng, Improved delay-dependent stabilisation criteria for discrete systems with a new finite sum inequality, IET Control Theory Appl (2012) 448–453 [64] W Qi, X Gao, Y Li, Robust H∞ control for stochastic Markovian switching systems under partly known transition probabilities and actuator saturation via anti-windup design, Circuit Syst Signal Process 34 (2015) 2141–2165 [65] S Sathananthan, C Beane, G.S Ladde, L.H Keel, Stabilization of stochastic systems under Markovian switching, Nonlinear Anal.: Hybrid Syst (2010) 804–817 [66] S Sathananthana, M Knapa, L.H Keel, Optimal guaranteed cost control of stochastic discrete-time systems with states and Input dependent noise under Markovian switching, Stoch Anal Appl 31 (2013) 876–893 [67] A Seuret, F Gouaisbaut, Hierarchy of LMI conditions for the stability analysis of time-delay systems, Syst Control Lett 81 (2015) 1–7 [68] A Seuret, F Gouaisbaut, E Fridman, Stability of discrete-time systems with time-varying delays via a novel summation inequality, IEEE Trans Autom Control 60 (2015) 2740–2745 [69] L Shaikhet, Lyapunov Functionals and Stability of Stochastic Difference Equations, Springer, London, 2011 [70] P Shi, F Li, A Survey on Markovian Jump Systems: Modeling and Design, Int J Control Autom Syst 13 (2015) 1–16 [71] P Shi, E.K Boukas, R Agarwal, Control of Markovian jump discrete-time systems with norm bounded uncertainty and unknown delay, IEEE Trans Autom Control 44 (1999) 2139–2144 [72] D.D Sworder, Feedback control of a class of linear systems with jump parameters, IEEE Trans Autom Control 14 (1969) 9–14 [73] D.D Sworder, R.O Rogers, An LQ-solution to a control problem associated with a solar thermal central receiver, IEEE Trans Autom Control 28 (1983) 971–978 [74] V.A Ugrinovskii, H.R Pota, Decentralized control of power systems via robust control of uncertain Markov jump parameter systems Int J Control 78 (2005) 662–677 98 [75] N.D That, P.T Nam, Q.P Ha, Reachable set bounding for linear discretetime systems with delays and bounded disturbances, J Optim Theory Appl 157 (2013) 96–107 [76] H Trinh, L.V Hien, On reachable set estimation of two-dimensional systems described by the Roesser model with time-varying delays, Int J Robust Nonlinear Control 28 (2018) 227–246 [77] Z.G Wu, P Shi, Z Shu, H Su, R Lu, Passivity-based asynchronous control for Markov jump systems, IEEE Trans Autom Control 62 (2017) 2020– 2025 [78] L Wu, X Su, P Shi, Sliding mode control with bounded L2 gain performance of Markovian jump singular time-delay systems, Automatica 48 (2012) 1929–1933 [79] W Xiang, H.D Tran, T.T Johnson, Output reachable set estimation for switched linear systems and its application in safety verification, IEEE Trans Autom Control 62 (2017) 5380–5387 [80] J Xiong, J Lam, Stabilization of discrete-time Markovian jump linear systems via time-delayed controllers Automatica 42 (2006) 747–753 [81] S Xu, T Chen, Robust H∞ control for uncertain discrete-time stochastic bilinear systems with Markovian switching, Int J Robust Nonlinear Control 15 (2005) 201–217 [82] S Xu, J Lam, T Chen, Robust H∞ control for uncertain discrete stochastic time-delay systems, Syst Control Lett 51 (2004) 203–215 [83] S Xu, J Lam, H Gao, Y Zou, Robust H∞ Filtering for uncertain discrete stochastic systems with time delay, Circuit Syst Signal Process 24 (2005) 753–770 [84] Z Xu, H Su, P Shi, R Lu, Z.G Wu, Reachable set estimation for Markovian jump neural networks with time-varying delays, IEEE Trans Cyber 47 (2017) 3208–3217 [85] Y Zhang, Stability of discrete-time Markovian jump delay systems with delayed impulses and partly unknown transition probabilities, Nonlinear Dyn 75 (2014) 101–111 [86] L Zhang, E.K Boukas, Stability and stabilization of Markovian jump linear systems with partially unknown transition probability, Automatica 45 (2009) 463–468 99 [87] L Zhang, E.K Boukas, J Lam, Analysis and synthesis of Markov jump linear systems with time-varying delay and partially known transition probabilities, IEEE Trans Autom Control 53 (2008) 2458–2464 [88] X.M Zhang, Q.L Han, Abel lemma-based finite-sum inequality and its application to stability analysis for linear discrete time-delay systems, Automatica 57 (2015) 199–202 [89] Y Zhang, C Wang Robust stochastic stability of uncertain discrete-time impulsive Markovian jump delay systems with multiplicative noises, Int J Syst Sci 46 (2015) 2210–2220 [90] Z Zuo, Y Chen, Y Wang, D.W.C Ho, M.Z.Q Chen, H Li, A note on reachable set bounding for delayed systems with polytopic uncertainties, J Frankl Inst 350 (2013) 1827–1835 [91] Z Zuo, Y Fu, Y.Wang, Results on reachable set estimation for linear systems with both discrete and distributed delays, IET Control Theory Appl (2012) 2346–2350 100 ... xích Markov hữu hạn [12, 70] Một hệ động lực liên tục rời rạc với xích Markov mơ tả q trình chuyển đổi chế độ vận hành hệ gọi hệ nhảy Markov, sau viết tắt MJS (Markov jump system) Các hệ nhảy Markov. .. chí ổn định mũ, khơng suy hệ nhảy Markov tương ứng với xích Markov ổn định ngược lại, cho dù tất mode không ổn định tồn xích Markov chuyển đổi mode để hệ nhảy Markov tương ứng ổn định theo nghĩa... cứu lớp hệ nhảy Markov sách chuyên khảo ông [54] Bài tốn ổn định hóa điều khiển hệ nhảy Markov tuyến tính Ji Chizech nghiên cứu [38] Năm 1995, Boukas xét ổn định lớp hệ nhảy Markov tuyến tính