ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGƠ THƯỢNG THỦY MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG THÁI NGUYÊN, 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGƠ THƯỢNG THỦY MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG THÁI NGUYÊN, 2019 Xác nhận Xác nhận trưởng khoa chuyên môn người hướng dẫn Khoa học PGS TS Hà Trần Phương Mục lục Lời mở đầu Bảng kí hiệu Chương Khơng gian metric riêng 1.1 Định nghĩa ví dụ không gian metric riêng 1.2 Sự hội tụ không gian metric riêng 1.3 Metric riêng Hausdorff 12 1.4 Một số tính chất khơng gian metric riêng 16 Chương Một số định lí điểm bất động khơng gian metric riêng 20 2.1 Định lí điểm bất động cho ánh xạ giãn 20 2.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ co đơn trị 28 2.3 Sự tồn nghiệm chung phương trình tích phân kiểu Volterra 37 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 41 Lời mở đầu Các định lý điểm bất động đóng vai trò quan trọng lý thuyết tối ưu Những kết biết đến nguyên lý ánh xạ co Banach lớp không gian metric đầy đủ Về sau có nhiều tác giả mở rộng nguyên lý với điều kiện khác không gian ánh xạ Vào năm 1994, S Matthews (xem [8]) người đưa giới thiệu khái niệm không gian metric riêng Đây lớp không gian mở rộng tự nhiên từ khơng gian metric thơng thường, có vai trò quan trọng có số ứng dụng việc phát triển toán lý thuyết, đặc biệt định lý điểm bất động Trong số năm trở lại đây, số nhà Toán học nghiên cứu khơng gian metric riêng tính chất nó, đồng thời tổng quát hóa mở rộng số kết S Matthews Để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm làm rõ vấn đề liên quan đến khái niệm, tính chất số định lí điểm bất động khơng gian metric riêng, tơi thực nghiên cứu luận văn với tên gọi là: "Một số định lí điểm bất động không gian metric riêng ứng dụng" Các nghiên cứu luận văn chia thành chương: • Chương 1: Khơng gian metric riêng: Trong chương này, tơi trình bày lại số kiến thức cần phải nắm vững nghiên cứu lí thuyết điểm bất động Đây hầu hết những định nghĩa, tính chất bản, chẳng hạn như: không gian metric riêng, dãy Cauchy, dãy 0-Cauchy, hội tụ khơng gian metric riêng Ngồi ra, tơi nghiên cứu metric riêng Hausdorff đưa số ví dụ minh họa Trong phần cuối chương, tơi có trình bày số tính chất không gian metric riêng để phục vụ cho nội dung có Chương • Chương 2: Một số định lí điểm bất động không gian metric riêng Đây phần trọng tâm luận văn, tơi có trình bày chủ yếu kiến thức xoay quanh khái niệm điểm bất động không gian metric riêng cho số ánh xạ: ánh xạ giãn, ánh xạ co đơn trị Ngoài việc trình bày cách có hệ thống kiến thức, tơi đưa ví dụ tập nhằm giảm bớt tính trừu tượng khái niệm định lí, mệnh đề đề cập Phần cuối chương, tơi có trình bày ứng dụng định lí điểm bất động khơng gian metric riêng, tồn nghiệm chung phương trình tích phân kiểu Volterra Tơi cố gắng chọn lọc, xếp để nội dung luận văn ngắn gọn phù hợp hơn, thời gian khuôn khổ luận văn Thạc sĩ, nên q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót định Chính vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến từ phía thầy giảng viên, nhà nghiên cứu anh chị học viên Cao học để luận văn hồn thiện Trong q trình thực luận văn này, nhận hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy giáo Hà Trần Phương Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, thầy cô giáo anh chị học viên lớp Cao học Toán K11A trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2019 Học viên Cao học Ngô Thượng Thủy Bảng kí hiệu Trong tồn luận văn này, ta dùng số kí hiệu sau N tập hợp số tự nhiên R tập hợp số số thực R+ tập hợp số thực không âm ∪ phép hợp ∩ phép giao × tích Descartes ∅ tập hợp rỗng id ánh xạ đồng A bao đóng tập hợp A Bp (x, ε) hình cầu mở tâm x, bán kính ε [a, b] đoạn đóng tập số thực với đầu mút a, b a < b Chương Không gian metric riêng Trong chương này, nhắc lại định nghĩa, đưa số ví dụ cụ thể tập trung nghiên cứu số tính chất không gian metric riêng Đây kiến thức tảng, sở cho việc trình bày nội dung trọng tâm Chương luận văn Nội dung chương trích dẫn chủ yếu từ nguồn tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [6] [8] 1.1 Định nghĩa ví dụ không gian metric riêng Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp khác rỗng, metric riêng X hàm số p : X × X −→ R+ cho với x, y, z ∈ X ta có (P1) p(x, x) = p(y, y) = p(x, y) x = y; (P2) p(x, x) (P3) p(x, y) = p(y, x); (P4) p(x, z) p(x, y); p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) Khi đó, cặp (X, p) gọi khơng gian metric riêng Ví dụ 1.1.2 Cho X = R+ p : X × X −→ R+ hàm số xác định p(x, y) = max {x, y} , với x, y ∈ X Khi đó, (X, p) không gian metric riêng Thật vậy, rõ ràng p thỏa mãn Điều kiện (P1), (P2), (P3) Định nghĩa 1.1.1 nên ta cần chứng minh p thỏa mãn Điều kiện (P4) Rõ ràng vai trò x, z nên khơng giảm tính tổng quát, ta giả sử x z Ta có đánh giá p(x, z) p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) ⇔ max {x, z} ⇔z max {x, y} + max {y, z} − max {y, y} max {x, y} + max {y, z} − y ⇔ (max {x, y} − y) + (max {y, z} − z) Bất đẳng thức cuối thỏa mãn nên p thỏa mãn điều kiện (P4) Do (X, p) khơng gian metric riêng Ví dụ 1.1.3 Cho X = {[a, b] | a, b ∈ R, a b} p : X × X −→ R+ hàm số cho p ([a, b], [c, d]) = max {b, d} − {a, c} Dễ thấy p thỏa mãn Điều kiện (P1), (P2), (P3) Định nghĩa 1.1.1 Đặt x = [a, b], y = [c, d], z = [e, g] Vì vai trò x, z nên khơng giảm tính tổng qt, ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: a p(x, z) ⇔g−a b φ(M (1, 2)) với φ Do đó, ánh xạ A, B, S T không thỏa mãn điều kiện Định lí 2.2.6 Ví dụ 2.2.10 Cho X = [0, 1] với metric riêng p(x, y) = max {x, y} , với x, y ∈ X Khi đó, (X, p) khơng gian metric riêng 0-đầy đủ Xét ánh xạ A, B, S, T : X −→ X cho Ax = x2 , Bx = x2 , Sx = x2 , T x = x2 Khi AX ⊆ T X BX ⊆ SX Xét hàm ψ : R+ −→ R+ cho ψ(t) = Ta p(Ax, By) ψ (α(x, y)) , với x, y ∈ X, α(x, y) = p(Sx, T y) + p(Ax, Sx) + p(By, Sy) Thật vậy, lấy x, y ∈ X cho x y, ta có p(Ax, By) = p 2 x, y = x2 , 3t 35 đồng thời α(x, y) = p(Sx, T y) + p(Ax, Sx) + p(By, Sy) 2 2 2 x ,y + p x , x +p y , y 6 2 2 x + x = x =p Suy ψ (α(x, y)) ψ = x2 = p(Ax, By) 2 x Tiếp theo, ta ánh xạ A, B, S, T quy tiệm cận Thật vậy, theo Định nghĩa 2.2.5, với n ∈ N ∪ {0} ta có (x2n ) , 1 2 = (x2n+2 ) = (x2n+1 ) y2n = T x2n+1 = Ax2n = (x2n+1 ) = y2n+1 = Sx2n+2 = Bx2n+1 (2.11) Giải hai phương trình ta nhận x2n+1 = √ x2n , x2n+2 = x2n (2.12) Do vậy, với x0 ∈ X cho trước, ta lập dãy {xn } xác định (2.12) dãy {yn } xác định (2.11) Ta lim p(yn , yn+1 ) = Mặt khác, n→∞ với y = x > ta có p(Ax, B0) = p x ,0 = x2 , đồng thời [p(Sx, B0) + p(Ax, T 0)] 1 2 , p(0, 0), p x ,0 + p x ,0 M (x, y) = max p(Sx, T 0), p(Ax, Sx), p(B0, T 0), = max p 2 x ,0 ,p x, x 6 = x2 2 x = M (x, y) > φ(M (x, y)), với φ Vậy, ánh xạ A, B, S, T khơng thỏa mãn điều kiện Định lí 2.2.6 Do đó, p(Ax, B0) = 36 Ví dụ 2.2.11 Cho X = [0, 1] metric riêng p(x, y) = max {x, y} , với x, y ∈ X Khi (X, p) khơng gian metric riêng 0-đầy đủ Xét ánh xạ T cho Tx =    0   1 x ∈ 0, ,1 x ∈ Xét hàm ϕ : R+ −→ R+ cho ϕ(t) = t Dễ thấy T ánh xạ quy tiệm cận điểm thuộc đoạn 0, , khơng quy tiệm cận điểm nửa đoạn , Ta p(Ax, By) ϕ(α(x, y)), với x, y ∈ X, α(x, y) = p(x, y) + p(x, T x) + p(y, T y) Thật vậy, ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu x, y ∈ 0, với x y, ta có p(T x, T y) = Trường hợp 2: Nếu x ∈ 0, y ∈ ϕ(α(x, y)) , , ta có ϕ(α(x, y)) = ϕ(p(x, y) + p(x, T x) + p(y, T y)) = (y + x + 1) 4 +1 = >1 = p(T x, T y) Trường hợp 3: Nếu x, y ∈ , x y, ta có ϕ(α(x, y)) = ϕ(p(x, y) + p(x, T x) + p(y, T y)) 3 >1 = (y + + 1) = p(T x, T y) Vậy T thỏa mãn điều kiện (2.10) Định lí 2.2.7 37 2.3 Sự tồn nghiệm chung phương trình tích phân kiểu Volterra Cho I = [0, K] ⊂ R đoạn đóng bị chặn với K > Xét phương trình tích phân kiểu Volterra xác định sau t u(t) = g(t) + K1 (t, s, u(s)) ds, t u(t) = g(t) + K2 (t, s, u(s)) ds, (2.13) t u(t) = g(t) + K3 (t, s, u(s)) ds, t u(t) = g(t) + K4 (t, s, u(s)) ds, t ∈ [0, K] Ki : [0, K] × [0, K] × R −→ R (i ∈ {1, 2, 3, 4}) g : R −→ R hàm liên tục Kí hiệu C(I, R) tập hợp tất các hàm thực liên tục xác định I Ti : C(I, R) −→ C(I, R) ánh xạ xác định bởi: t Ki (t, s, u(s)) ds ∀u ∈ C(I, R), t ∈ I, i ∈ {1, 2, 3, 4} Ti u(t) = g(t) + Dễ thấy, u nghiệm (2.13) u điểm bất động chung Ti , với i ∈ {1, 2, 3, 4} Bây giờ, ta phát biểu chứng minh định lí tồn điểm bất động chung Ti , với i ∈ {1, 2, 3, 4} theo điều kiện chắn Định lý 2.3.1 (xem [4]) Giả sử giả thiết sau thỏa mãn: (H1): Với u ∈ C(I, R) tồn k1 , k2 ∈ C(I, R) cho T1 u = T3 k1 , T2 u = T4 k2 38 (H2): Với t ∈ I, u ∈ C(I, R) T1 T4 u(t) = T4 T1 u(t) T1 u(t) = T4 u(t) với t ∈ I, u ∈ C(I, R), T2 T3 u(t) = T3 T2 u(t) T2 u(t) = T3 u(t) (H3): Tồn hàm liên tục h : I × I −→ R+ cho với t, s ∈ I u, v ∈ C(I, R) |K1 (t, s, u(s)) − K2 (t, s, v(s))| h(t, s).[|T4 u(s) − T3 v(s)| + |T1 u(s) − T4 u(s)| + |T2 v(s) − T3 v(s)|] (H4): Với dãy {hn } {kn } C(I, R) cho k2n = T3 h2n = T1 h2n , k2n+1 = T4 hn = T2 h2n+1 , ta có lim |kn (t) − kn+1 t| = 0, ∀t ∈ I, n ∈ N ∪ {0} n→∞ t (H5): sup h(t, s)ds t∈I Thế thì, phương trình tích phân (2.13) có nghiệm u∗ ∈ C(I, R) Chứng minh Với x ∈ X = C(I, R), ta định nghĩa ||x||τ = max |x(t)| e−τ t , t∈[0,K] τ tùy ý Chú ý (||.||τ ) tương đương với chuẩn maximum (X, ||.||τ ) không gian Banach Metric sinh chuẩn xác định dτ (x, y) = max |x(t) − y(t)| e−τ t , t∈[0,K] với x, y ∈ X Bây giờ, ta X đóng kín với metric riêng cho  dτ (x, y) ||x||τ , ||y||τ pτ (x, y) = d (x, y) + τ trường hợp lại τ 39 Rõ ràng, (X, pτ ) không gian metric riêng 0-đầy đủ không không gian đầy đủ Thực tế, metric liên kết psτ = 2pτ (x, y) − pτ (x, x) − pτ (y, y) cho  2dτ (x, y) (||x||τ , ||y||τ 1) (||x||τ , ||y||τ > 1) psτ (x, y) = 2d (x, y) + τ trường hợp lại τ không đầy đủ Rõ ràng x∗ ∈ X nghiệm (2.13) x∗ điểm bất động chung Ti s Theo Điều kiện (H1), suy T1 (C(I, R)) ⊂ T3 (C(I, R)); T2 (C(I, R)) ⊂ T4 (C(I, R)) Theo Điều kiện (H2), cặp (T1 , T4 ) (T2 , T3 ) giao hoán Sử dụng Điều kiện (H3) chuẩn maximum, ánh xạ Ti (i = 1, 2, 3, 4) quy tiệm cận (X, pτ ) Tiếp theo, ta Điều kiện (2.10) thỏa mãn Rõ ràng, điều kiện trường hợp u = v ∈ X Với u, v ∈ X cho ||u||τ , ||v||τ 1, theo Điều kiện (H3) (H5) ta có t |T1 u(t) − T2 v(t)| |K1 (t, s, u(t)) − K2 (t, s, v(t))| ds   t  3τ [|T4 u(s) − T3 v(s)| + |T1 u(s) − T4 u(s)| + |T2 v(s) − T3 v(s)|] ds 0t  3τ [|T4 u(s) − T3 v(s)| + |T1 u(s) − T4 u(s)| + |T2 v(s) − T3 v(s)|] e−τ s eτ s ds  t  3τ  = eτ s ds [|T4 u(s) − T3 v(s)| + |T1 u(s) − T4 u(s)| + |T2 v(s) − T3 v(s)|] e−τ s = τt 3τ e − [||T4 u(s) − T3 v(s)||τ + ||T1 u(s) − T4 u(s)||τ + ||T2 v(s) − T3 v(s)||τ ] τ τ 3τ eτ t = [||T4 u(s) − T3 v(s)||τ + ||T1 u(s) − T4 u(s)||τ + ||T2 v(s) − T3 v(s)||τ ] τ = Vì ||u||τ , ||v||τ nên suy với u, v ∈ X vài giá trị t ∈ [0, K] 40 đó, ta có |T1 x(t) − T2 y(t)| e−τ t [||T4 u(s) − T3 v(s)||τ + ||T1 u(s) − T4 u(s)||τ + ||T2 v(s) − T3 v(s)||τ ] Bây giờ, ta xét hàm ψ : [0, +∞) −→ [0, +∞) xác định ψ(t) = 3t , với t > Ta có pτ (T1 u, T2 v) ψ(pτ (T4 u(s), T3 v(s)) + pτ (T1 u(s), T4 u(s)) + pτ (T2 v(s), T3 v(s))) Đặt A = T1 , B = T2 , T = T3 S = T4 giả thiết Định lí 2.2.7 thỏa mãn Do A, B, S T có điểm bất động chung u∗ ∈ C(I, R); hay u∗ nghiệm (2.10) Định lí chứng minh 41 Kết luận Trong luận văn này, thu kết sau • Giới thiệu số kiến thức không gian metric riêng: định nghĩa metric riêng, không gian metric riêng đưa số ví dụ minh họa; hội tụ không gian metric riêng thông qua định lí, mệnh đề, hệ Giới thiệu số tính chất metric riêng Hausdorff số tính chất khơng gian metric riêng • Nhắc lại số khái niệm: ánh xạ giãn, ánh xạ có tính chất giao hốn, điểm trùng, giá trị trùng, điểm bất động chung ánh xạ giãn Phát biểu trình bày lại cách chứng minh số định lí, hệ định lí điểm bất động cho ánh xạ giãn không gian metric riêng số định lí điểm bất động ánh xạ co đơn trị khơng gian metric riêng • Phát biểu trình bày lại cách chứng minh ứng dụng định lí điểm bất động khơng gian metric riêng: tồn nghiệm chung phương trình tích phân kiểu Volterra Trong thời gian tiếp theo, tiếp tục nghiên cứu số dạng khác định lí điểm bất động trường hợp: ánh xạ không giãn, ánh xạ đa trị để mở rộng số kết cho luận văn 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hà Trần Phương (2012), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Aydi H., Abbas M., Vetro C (2012), “Partial Hausdorff metric and Nadler’s fixed point theorem on partial metric spaces”, Topology and its Applications, 159(14), pp 3234–3242 ´ c L., Samet B., Aydi H., Vetro C (2011), “Common fixed points of gen[4] Ciri´ eralized contractions on partial metric spaces and an application”, Applied Mathematics and Computation, 218(6), pp 2398–2406 [5] Daffer P Z (1992), “On expansive mappings”, Math Japonica, 37, pp 733– 735 [6] Haghi R., Rezapour Sh., Shahzad N (2013), “Be careful on partial metric fixed point results”, Topology and its Applications 160(3), pp 450–454 [7] Huang X., Zhu C., Wen X (2012), “Fixed point theorems for expanding mappings in partial metric spaces”, Analele Universitatii Ovidius ConstantaSeria Matematica, 20(1), pp 213–224 [8] Matthews S G (1994), “Partial metric topology”, Annals of the New York Academy of Sciences, 728(1), pp 183–197 43 [9] Pant R., Shukla R., Nashine H.K., Panicker R (2017), “Some new fixed point theorems in partial metric space with applicatons”, Journal of Function Spaces, Article ID 1072750, 13 pages [10] Wang S Z (1984), “Some fixed point theorems on expansion mappings”, Math Japon, 29, pp 631–636 ... chất khơng gian metric riêng 16 Chương Một số định lí điểm bất động khơng gian metric riêng 20 2.1 Định lí điểm bất động cho ánh xạ giãn 20 2.2 Định lí điểm bất động cho ánh... KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGƠ THƯỢNG THỦY MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... = T z nên T z điểm bất động T n Suy T z = z, hay z điểm bất động T Vậy điểm bất động T điểm bất động T n hay T có điểm bất động Hệ 2.1.8 (xem [10]) Cho (X, p) không gian metric riêng đầy đủ T