Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh rằng: y 1 2 x z  + +  + + 2  + x2 1+ x 1+ y 1+ z + y2 + z2      Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2019 – 2020 Lời giải Do xy + yz + zx = nên x + = x + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z ) Từ suy y+z 1 = = Áp dụng tương tự ta x + ( x + y )( x + z ) ( x + y )( y + z )( x + z ) x+y z+x = ; = y + ( x + y )( y + z )( z + x ) z + ( x + y )( z + x )( y + z ) Do ta có (x + y + z) 1 + + = 2 1+ x 1+ y 1+ z ( x + y )( y + z )( z + x ) Cũng từ giả thiết xy + yz + zx = bất đẳng thức AM – GM ta có x 1+ x Tương tự ta có Do x + x2 + x = x + xy + yz + zx = x ( x + y )( z + x )  1 x x  +   2x+y z+x y  1 y z 1 z z    + ;   +   2 y + z x + y y + z z + x 1+ y   1+ z   y + y2 y + z + z2  Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có  x  x y y z  z     (x + y + z)  + + + + 2   + x2 + y2 + z   1+ x 1+ y 1+ z   ( x + y + z )( xy + yz + zx ) = ( x + y )( y + z )( z + x ) Suy ta Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Toán Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên y 2 x z  + + 2  1+ x 1+ y + z2   ( x + y + z )( xy + yz + zx ) (x + y + z)   =  ( x + y )( y + z )( z + x ) ( x + y )( y + z )( z + x )  Kết hợp kết ta suy y 1 2 x z  + +  + + 2  + x2 1+ x 1+ y 1+ z + y2 + z2      Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x = y = z = Bài Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2  3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + ( x + 1) ( y + ) ( z + ) 2 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hưng Yên năm học 2019 – 2020 Lời giải • Lời giải Áp dụng bất đẳng thức dạng a2 + b2  2ab ab  + ( x + 1) ( y + ) Từ ta P  = ( x + 1)  y  x + + 2   + + y   + 1   ( z + 3)  2 a + b ) ta có (  y  ( x + 1)  +   x + + y +      Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức ta lại có  y  x + + 2   + ( z + 3)  16  y   x + +  ( z + 3)    64  y   x + + + z + 3   = 256 ( 2x + y + 2z + 10 ) Để ý ta có 2x + 4y + 2z  x2 + + y2 + + z2 + = x2 + y2 + z2 +  3y + Do ta 2x + y + 2z  Suy ta 256 ( 2x + y + 2z + 10 )  256 = hay P  16 Dấu đẳng thức xẩy x = 1; y = 2; z = Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên Vậy giá trị nhỏ P 1, đạt x = 1; y = 2; z = • Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có ( x + 1) ( ) ( ) (  x + ; ( y + )  y + ; ( z + ) = ( z + + + 1)  z + Do ta P  ( 2 x2 + ) + ( 0, y + + ) (z +3 ) ) a b2 c ( a + b + c ) Dễ chứng minh với x, y, z số thực dương + +  x y z x+y+z Áp dụng bất đẳng thức ta có P ( (1 + + ) ) ( ) ( x + + 0, y + + z + 2 ) = ( 16 ) x + z + 0, 5y + 10 2 Từ giả thiết ta có x2 + y2 + z2  3y nên x2 + z2  3y − y2 Do ta ( ) ( ) Đến ta suy P  16 = 16 x + z + 0, 5y + 10  3y − y + 0, 5y + 10 = −1, 5y + 6y + 10 = 16 − 1, ( y − )  16 Vậy giá trị nhỏ P 1, đạt x = 1; y = 2; z = Bài Với x, y số thực thỏa mãn ( x + )( y − 1) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + + y4 − 8y3 + 24y2 − 32y + 17 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hưng Yên năm học 2019 – 2020 Lời giải ( ( )( )( ) ) ( x + )4 = x + 4x + x + 4x + = x + 8x + 24x + 32x + 16  Để ý  ( y − 1) = y − 2y + y − 2y + = y − 4y + 6y − 4y +   x + 4x + 6x + 4x + = ( x + ) − ( x + ) + ( x + ) − ( x + ) + Do ta có   y − 8y + 24y − 32y + 17 = ( y − 1)4 − ( y − 1)3 + ( y − 1)2 − ( y − 1) +  Đặt a = x + 2; b = y − Khi giả thiết viết lại thành ab = Nguyễn Công Lợi đồng thời ta có Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Toán Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên  4  x + 4x + 6x + 4x + = a − 4a + 6a − 4a + = ( a − 1) +   y − 8y + 24y − 32y + 17 = b − 4b + 6b − 4b + = ( b − 1)4 +  ( a − 1) Khi ta A = ( b − 1) +1 + + Đến ta có hướng xử lý sau • Hướng Trước hết ta phát biểu chứng minh bổ đề: Với a, b, x, y số thực dương ta ln có: a + x2 + b2 + y  (a + b) + ( x + y ) 2 Thật vậy, bình phương hai vế ta a + x2 + b2 + y + a + x2 b2 + y  ( a + b ) + ( x + y )  (a + x2 )( b ) ( + y  ab + xy  a + x2 )( b 2 ) + y  ( ab + xy ) Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, bất đẳng thức Áp dụng bổ đề ta có A = (a − 1) ( b − 1) +1 + 2 2 +  ( a − 1) + ( b − 1)  + (1 + 1)   Ta tìm giá trị nhỏ P = ( a − 1) + ( b − 1) với ab = 2 9 Từ ab = suy a b 4 dấu + Xét a b âm Khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có đánh giá 2 23 P = ( a − 1) + ( b − 1) = a + b2 − ( a + b ) +  2ab + ab + = + + = 2 Dấu xẩy a = b = − + Xét a b âm Khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có đánh giá 2 1 1  P = ( a − 1) + ( b − 1)  ( a + b − )   ab −  = 2 −  =  2 2 2  2 Dấu xẩy a = b = Từ hai kết suy giá trị nhỏ P Nguyễn Công Lợi , đạt a = b = 2 Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên 1 17 Từ ta A    + = Dấu xẩy a = b = 2 2 Do giá trị nhỏ A 17 , đạt a = b = hay x = − ; y = 2 2 • Hướng Đến áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có   2  17 ( a − 1) + 1 = +  17 ( b − 1)4 + 1 = 12 +    Do A = ( ) ( ) ( b − 1) ( a − 1)4 + 1  ( a − 1)2 +      2 + 1  ( b − 1) +     4 2 1  17 ( a − 1) + 1 + 17 ( b − 1) + 1  a − + b − +  ( ) ( )        17 17 17 Ta tìm giá trị nhỏ P = ( a − 1) + ( b − 1) với ab = 2 9 Từ ab = suy a b 4 dấu + Xét a b âm Khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có đánh giá 2 23 P = ( a − 1) + ( b − 1) = a + b2 − ( a + b ) +  2ab + ab + = + + = 2 Dấu xẩy a = b = − + Xét a b âm Khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có đánh giá 2 1 1  P = ( a − 1) + ( b − 1)  ( a + b − )   ab −  = 2 −  =  2 2 2  2 Dấu xẩy a = b = Từ hai kết suy giá trị nhỏ P Từ ta A  , đạt a = b = 2 1  17  +  = Dấu xẩy a = b = 17   Do giá trị nhỏ A 17 , đạt a = b = hay x = − ; y = 2 2 Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = a + b + c + Tìm giá trị lớn biểu thức: Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên 1 P= + + a + b2 b2 + c c2 + a2 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Nghệ An năm học 2019 – 2020 Lời giải Biến đổi giả thiết toán ta abc = a + b + c +  ab + a + b + + bc + b + c + + ca + c + a + = abc + ab + bc + ca + a + b + c +  ( a + 1)( b + 1) + ( b + 1)( c + 1) + ( c + 1)( a + 1) = ( a + 1)( b + 1)( c + 1)  Đặt x = 1 + + =1 a +1 b+1 c +1 1 ta x + y + z = ;y = ;z = a +1 b+1 c +1 Suy a = 1− y z + x 1− x y + z 1− z x + y = ;b = = ;c = = x x y y z z Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có a + b2 Khi suy P     + b2 + c + xy + ( y + z )( z + x ) c2 + a2  2ab + yz + ( z + x )( x + y ) 2bc + 2ca  zx  ( x + y )( y + z )  Lại áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta lại có xy y y  x 1 x =   + ( y + z )( z + x ) z + x y + z  z + x y + z  yz y z 1 y z  =   + ( z + x )( x + y ) x + y z + x  x + y z + x  zx x z 1 x z  =   + ( x + y )( y + z ) x + y y + z  x + y y + z  Cộng theo vế bất đẳng thức ta xy + ( y + z )( z + x ) Từ ta suy P  yz + ( z + x )( x + y ) 3 = 2 hay a = b = c = Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Dấu đẳng thức xẩy x = y = z = Nguyễn Công Lợi zx  ( x + y )( y + z ) Tài liệu BDHSG Toán Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên Vậy giá trị lớn biểu thức P , đạt a = b = c = Bài Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức (1 + a ) P= + b2 + ab + a + (1 + b ) + + c2 + bc + b + (1 + c ) + + a2 + ca + c + Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Quảng Nam năm học 2019 – 2020 Lời giải • Lời giải Dự đoán giá trị nhỏ P 5, đạt a = b = c = Khi ta quy toán chứng minh (1 + a ) P= + b2 + ab + a + (1 + b ) + + c2 + bc + b + (1 + c ) + + a2 + ca + c +  Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có (1 + a ) + b2 + = a + b2 + 2a +  2ab + 2a + = ( ab + a + ) − (1 + a ) Do ta + b2 + ab + a +  ( ab + a + ) − ab + a + = 2− ab + a +  2  + + Áp dụng hoàn toàn tương tự ta P  −    ab + a + bc + b + ca + c +   2  + + Như ta cần chứng minh −  5  ab + a + bc + b + ca + c +  Hay ta cần chứng minh 1 1 + +  ab + a + bc + b + ca + c + Do abc = nên tồn số dương x, y, z thỏa mãn a = y x z ; b = ; c = Khi ta y z x yz xy 1 zx + + = + + ab + a + bc + b + ca + c + xy + xz + 4yz xy + yz + 4xz xz + yz + 4xy Đặt Q = yz xy zx Biến đổi tương đương ta + + xy + xz + 4yz xy + yz + 4xz xz + yz + 4xy Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên 3yz 3xy 3zx − 3Q = − +1− +1− xy + xz + 4yz xy + yz + 4xz xz + yz + 4xy   1 − 3Q = ( xy + yz + xz )  + +   xy + xz + 4yz xy + yz + 4xz xz + yz + 4xy  1 1 ta + +  A B C A+B+C Áp dụng bất đẳng thức AM – GM dạng − 3Q = ( xy + yz + xz ) Vậy 9 3 =  3Q  − =  Q  6xy + 6yz + 6xz 2 1 1 + +  Đẳng thức xẩy a = b = c = ab + a + bc + b + ca + c + Vậy tốn chứng minh hồn tất • Lời giải Dễ chứng minh bất đẳng thức x2 + y2  2xy 1 với x, y +  x y x+y số thực dương Áp dụng bất đẳng thức ta có (1 + a ) a + b2 + 2a + 2ab + 2a + ( ab + a + ) −  = ab + a + ab + a + ab + a + ab + a + 4 1 1 = 2− = 2−   2−  +  ab + a + ( ab + a + 1) +  ab + a +  + b2 + = = 11 1 −  ab + a + Hoàn toàn tương tự ta (1 + b ) + c2 + bc + b + Do ta P  + c ) + a + 11 ( 11 1  −  ;  −  bc + b + ca + c + ca + c + 11  1  −  + + 2  ab + a + bc + b + ca + c +  Vì abc = nên ta lại có biến đổi a a ab ab = = ; = = bc + b + abc + ab + a ab + a + ca + c + a bc + abc + ab ab + a + Suy 1 1 a ab + + = + + =1 ab + a + bc + b + ca + c + ab + a + ab + a + ab + a + Do ta có P  11 − = Dấu đẳng thức xẩy a = b = c = 2 Vậy giá trị nhỏ P 5, đạt a = b = c = Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chun Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2019xyz Chứng minh rằng: 2 x + + 2019x + y + + 2019y + z + + 2019z + + +  2019.2020xyz x y z Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Nam Định năm học 2019 – 2020 Lời giải x + xy + xz Từ giả thiết x + y + z = 2019xyz ta 2019x = yz Do 2019x2 + = x2 + xy + xz + yz (x + y)(x + z)  x   x  = =  + 1  + 1 yz yz  y  z  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta x  x   x x  x 1 2019x + =  +   +    + +  = +  +  2y z  y  z   y z  x 1 x2 + + +  +  2y z x + + 2019x + 1 1 Suy rat a  = x + +  +  Tương tự x x x 2y z 2 ta có y2 + + 2019y + y  y+  1  z2 + + 2019z + 11 1 +  + ;  z+ +  +  y 2z x z z 2x y Cộng theo vế bất đẳng thức ta thu 2 1 1 x2 + + 2019x2 + y + + 2019y + z2 + + 2019z + + +  x + y + z + 3 + +  x y z x y z Dễ dạng chứng minh ( x + y + z )  ( xy + yz + zx ) Từ ta  1  ( xy + yz + zx ) 2019.3 ( xy + yz + zx ) 2019 ( x + y + z ) 3 + +  = =  = 2019 ( x + y + z ) xyz 2019xyz x+y+z x y z 2 x + + 2019x + y + + 2019y + z + + 2019z + + +  2019.2020xyz Vậy x y z Bất đẳng thức chứng minh hoàn tất Đẳng thức xẩy x = y = z Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chun ( Bài Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b4 )( b )( ) + c c + d4 = Chứng minh rằng: (a − ab + b2 )( b )( ) − bc + c c − ca + a  Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Nam Định năm học 2019 – 2020 Lời giải ( Trước hết ta chứng minh a − ab + b2 )  a + b4 với a, b số thực Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức ta ( a − ab + b2 ) ( )  a + b4  a + b4 + 3a b2 − 2a b − 2ab3  a + b4 (  a + b4 + 6a b2 − 4a b − 4ab3   a + b4 + 6a b2  4ab a + b2 ( Ta có a + b4 + 2a b2 = a + b2 ) ( ) ( ) a + b2 ( ) ) ( ) + 4a b2  ab a + b2  4ab a + b Do ta a + b4 + 6a b2  4ab a + b2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy kh a = b ( Áp dụng hoàn toàn tương tự ta b2 − bc + c ( Do ta a − ab + b2 ( Hay ta a − ab + b2 ) (b ) (b 2 − bc + c − bc + c ) (c ) (c 2 2 ) (  b4 + c ; c − ca + a − ca + a − ca + a ) )  (a + b4 )( b ) )(  c4 + a4 + c c + d4 )  Để ý a − ab + b2  0; b2 − bc + c  0; c − ca + a  ( Do suy a − ab + b2 )( b )( ) − bc + c c − ca + a  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = 1 Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn 1 + +  Tìm giá trị nhỏ a +1 b+1 c +1 a3 b3 c3 + + biểu thức P = a + ab + b2 b2 + bc + c c + ca + a Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hà Nam năm học 2019 – 2020 Lời giải Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên Từ giả thiết suy a + b + c  abc  Do a + b + c − 3abc  1 1 + +  +  a + b + c + a + bc + Do ta Hướng Biến đổi biểu thức vế trái sau P=  a2 1 b2 c  + + = − + +   2 2 a +1 b +1 c +1  a +1 b +1 c +1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta 4a 4a a2 a2 a a2 =  + = + 3a + 3a + ab + bc + ca a + ab + ac 2a + bc a + b + c 2a + bc Áp dụng tương tự với hai biểu thức lại ta 4a 4b2 4c a2 b2 c2 + +  + + + 3a + 3b2 + 3c + 2a + bc 2b + ca 2c + ab Ta chứng minh a2 b2 c2 + + 1 2a + bc 2b2 + ca 2c + ab Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   a2 b2 c2 bc ca ab − + + + +    hay 2  2a + bc 2b + ca 2c + ab  2a + bc 2b + ca 2c + ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ( bc ) + ( ca ) + ( ab ) bc ca ab + + = 2 2a + bc 2b + ca 2c + ab 2a bc + b c 2ab c + c 2a 2abc + a b 2  ( ab + bc + ca ) 2 a b2 + b2 c + c 2a + 2abc ( a + b + c ) =1 Như bất đẳng thức chứng minh + Chứng minh a b c + +  2 2 1+ b 1+ c 1+ a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a ab2 ab2 ab = a −  a − =a− 2 2b b +1 b +1 b bc c ca  b− ; c− a +1 c +1 Tương tự ta có Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b c ab + bc + ca + +  a+ b+c− =a+b+c− 2 b +1 c +1 a +1 Mặt khác ta có (a + b + c ) Nguyễn Cơng Lợi  ( ab + bc + ca )  a + b + c  Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chun a b c + +  2 2 1+ b 1+ c 1+ a Suy Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xẩy a = b = c = + Cách Ta viết lại vế trái thành + 3a + 3b + 3c 1 3a 3b 3c + + = + + + + + 2 2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a + b + c + a + b + c + a2 Khi áp dụng ta đẳng thức Cauchy ta c a  1− ;  1− a +1 c +1 Hồn tồn tương tự ta Khi ta có bất đẳng thức Mặt khác ta lại có Do ta b2 b2 b = −  − = 1− 2 2b b +1 b +1 1 a+b+c + +  3− b +1 c +1 a +1 a b c ab + bc + ca + +  a+ b+c− =a+b+c− 2 b +1 c +1 a +1 (a + b + c ) 1 3a 3b 3c + + + + +  + − 6 2 + b2 + c + a + b2 + c + a Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 76 Cho a, b, c số dương không âm thoả mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: a b c + +  a + 2b + b + 2c + c + 2a + 2 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thanh Hóa năm học 2012 – 2013 Lời giải Ta có a2 + 2b + = a2 + 2b + +  2a + 2b + Tương tự ta có A= a b c a b c + +  + + a + 2b + b + 2c + c + 2a + 2a + 2b + 2b + 2c + 2c + 2a + 2 1 a b c  + + Hay A    a + b + b + c + c + a +  Ta chứng minh a b c + + 1 a + b +1 b +c +1 c +a +1 Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên a b c −1+ −1+ −  −2 a + b+1 b+c +1 c +a +1 −b − −c − −a − b+1 c +1 a +1  + +  −2  + + 2 a + b+1 b+c+1 c +a +1 a + b+1 b+c+1 c +a +1 ( b + 1) ( c + 1) ( a + 1) + + 2 Ta cần chứng minh A = ( a + b + 1)( b + 1) ( b + c + 1)( c + 1) ( c + a + 1)(a + 1) 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta (a + b + c + 3) A ( a + b + 1)( b + 1) + ( b + c + 1)( c + 1) + ( c + a + 1)( a + 1) Để chứng minh A  2, Ta chứng minh (a + b + c + 3) = a + b + c + ab + bc + ca + 3(a + b + c) +  Thật vậy, ta có có a + b + c + ab + bc + ca + 3(a + b + c) +  = 2a + 2b + 2c + 2ab + 2bc + 2ca + 6a + 6b + 6c + = 2a + 2b + 2c + 2ab + 2bc + 2ca + 6a + 6b + 6c + = a + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ca + 6a + 6b + 6c + = ( a + b + c + ) Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Bài 77 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + abc − 2(ab + bc + ca) Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2012 – 2013 Lời giải Do a + b + c =  − ( ab + bc + ca ) = a + b + c Suy P= a+b+c 1 1 + = + + + 2 2 abc a +b +c a + b + c ab bc ca Đến ta chứng minh P  30 cách sau + Cách Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 + +  = 2 a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ( a + b + c )2 Bất đẳng thức chứng minh ta Nguyễn Công Lợi  21 ab + bc + ca Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chun Tuy nhiên, dễ thấy (a + +b + c )  ab + bc + ca  ab + bc + ca   21 ab + bc + ca Do ta Vậy bất đẳng thức chứng minh + Cách Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 1 1 16 + + +  2 2 3ab 3bc 3ca a + b + c + ( ab + bc + ca ) a +b +c  16 = 12 2 (a + b + c ) + (a + b + c ) Bất đẳng thức chứng minh ta 2 1  + +   18   ab bc ca  Để ý tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 2 1  6 + +   = 18   ab bc ca  ab + bc + ca (a + b + c ) Vậy bất đẳng thức chứng minh + Cách Theo đánh giá quen thuộc ta có Do ta có bất đẳng thức 1 + +  ab bc ca ab + bc + ca 1 1 + + +  + 2 2 a + b + c ab bc ca a + b + c ab + bc + ca Áp dụng tiếp đánh giá ta  1  2 + +   a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca  2 ab + bc + ca ab + bc + ca a + b + c   ( Hay ) +  21  Mặt khác ta lại có 2 ab + bc + ca a + b + c ab + bc + ca Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 1 + + +  30 2 a + b + c ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Vậy giá trị nhỏ P 30 Đẳng thức xẩy a = b = c = Bài 78 Cho số a, b, c thỏa mãn  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Toán Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên  1  A = (a + b + c + 3)  + +   a +1 b+1 c +1 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hải Dương năm học 2012 – 2013 Lời giải Đặt x = + c, y = + b, z = + a Từ  a  b  c  ta  x  y  z  1 1 x x y y z z Ta viết lại biểu thức A A = ( x + y + z )  + +  = + + + + + + y z x z x y x y z  x  y  x y x.y x y x   +  +1 1− 1−    1− − + z y z y.z y z z  y   z  y  z y z.y z y z   +  +1 1− 1−    1− − + x y x y.x y x x  y  x y z y x z x x y y z z x z  + + +  + +  + + + + +  2 +  + y z y x z x y z x z x y z x Đặt t = x   t  Do ta z x z t + 2t − 5t + ( 2t − 1)( t − ) + =t+ = = + = + z x t t 2t 2t Do ( 2t − 1)( t − ) suy x + z   t  nên ta có 2t z x 2 Từ ta A  + + = 10 Vậy giá trị lớn A 10 Đẳng thức xẩy a = 1; b = c = hoán vị Bài 79 Cho a, b, c ,d số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a + b4 + c + d4 a + b3 + c + d3 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Nam Định năm học 2012 – 2013 Lời giải + Cách Dự đoán dấu đẳng thức xẩy a = b = c = d = Điều tương đương với chứng minh 3 Ta chứng minh P  4 a + b4 + c + d4  a + b3 + c + d3 Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta có Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An (  (a  (a Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên ) ( ) + d )  (a + b + c + d ) (a + b + c + d ) + d )  a ( b + c + d ) + b (a + c + d ) + c (a + b + d ) + d (a + b + c ) a + b4 + c + d4  a + b3 + c + d + b4 + c 4 + b4 + c 4 3 3 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a4 + a4 + a4 + b4 = 4a3 b; a4 + a4 + a4 + c4 = 4a3c; a + a + a + d4 = 4a 3d ( ) Cộng theo vế bất đẳng thức ta 9a + b4 + c + d4  4a ( b + c + d ) Hoàn toàn tương tự ta ( ) 9c + ( a + b + d )  4c ( a + b + d ) 9d + ( a + b + c )  4d ( a + b + c ) 9b4 + a + c + d4  4b3 ( a + c + d ) 4 4 4 4 Do ta ( ) ( ) 12 a + b4 + c + d4  4a ( b + c + d ) + 4b3 ( a + c + d ) + 4c (a + b + d ) + 4d (a + b + c ) Hay a + b4 + c + d4  a ( b + c + d ) + b3 ( a + c + d ) + c ( a + b + d ) + d3 ( a + b + c ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Suy giá trị nhỏ P 3 , đạt a = b = c = d = 4 + Cách Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta ( ) ( )(a + b ) )  (a a + b4 + c + d4  a + b2 + c + d2 (a + b4 + c + d4 2 + c + d2 + b3 + c + d3 ) Nhân theo vế bất đẳng thức ta ( a + b4 + c + d4 ( Hay 16 a + b4 + c + d4 ) )  (a + b3 + c + d3 (  a + b3 + c + d3 ) (a 2 ) (a 2 + b2 + c + d2 + b2 + c + d2 ) ) Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ( ) a + b2 + c + d2  ( a + b + c + d ) = Do ( a + b3 + c + d3 Suy ta Nguyễn Công Lợi ( ) (a 2 ) ( + b2 + c + d2  a + b3 + c + d 16 a + b4 + c + d4 ) (  a + b3 + c + d3 ) ) 2 Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Toán Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên ( ) ( a + b4 + c + d  a + b + c + d Hay ) a + b4 + c + d4 P=  a + b3 + c + d3 Do ta Bài 80 Chứng minh với số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = , ta a + b + c  ab + bc + ca ln có bất đẳng thức: Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2012 – 2013 Lời giải Lời giải Trước hết ta chứng minh y4 − 3y2 + 2y  với số thực y khơng âm Thật vậy, ta có y − 3y + 2y = y ( y + )( y − 1)  Do ta có a − 3a + a  Áp dụng tương tự kết hợp với giả thiết ta a + b2 + c − ( a + b + c ) + ( ) a+ b+ c 0  a + b2 + c + ( ab + bc + ca ) − ( a + b + c ) +  (a + b + c ) − + 2 2 ( ) ( ) ( ) a + b + c  ( ab + bc + ca ) a + b + c  ( ab + bc + ca ) a + b + c  ( ab + bc + ca )  a + b + c  ab + bc + ca Bài toán giải Bất đẳng thức xảy a = b = c = Lời giải Sử dụng kỹ thuật thêm bớt ta có bất đẳng thức tương đương với ( (  (a ) a + b + c  ( ab + bc + ca ) ) ( ) + 2(  a + b2 + c + 2 + b2 + c a+ b+ Vậy ta cần chứng minh: a + b2 + c2 + Hay (a ) ) ( c )  (a + b + c )  a + b + c  a + b + c + ( ab + bc + ca ) ) ( ( ) a+ b+ c 9 ) ( ) + a + a + b2 + b + b + c + c + c  Điều hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy ba số ta có a + a + a  3 a a a = 3a b + b + b  3 b b b = 3b c + c + c  3 c c c = 3c Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên Bài toán giải Bất đẳng thức xảy a = b = c = (x Bài 81 Cho x; y  Chứng minh rằng: ) ( + y3 − x2 + y2 ( x − 1)( y − 1) ) 8 Lời giải Ta có (x ) ( + y3 − x2 + y2 ) = x ( x − 1) + y ( y − ) = 2 ( x − 1)( y − 1) ( x − 1)( y − 1) ( x − 1) + ( x − ) + + ( y − ) + ( y − ) + = y2 x2 + y −1 x −1 y −1 x −1  ( x − 1) ( y − 1)   ( y − ) ( x − )   1  + = + + + +  x −   x − y −   y − x −   y −1   Theo bất đẳng thức Cauchy ta có ( x − 1) + ( y − ) y −1 x −1 ( y − 1) x −1 + 2 ( x − 1) y −1 ( x − 1) ( y − 1)  y −1 x −1 ( x − 1)( y − 1) =2 ( y − 1) ( x − 1) =4 x −1 y −1 1 1 + 2 y −1 x −1 y −1 x −1  1 2 +  y − x −  ( x − 1)( y − 1)   2.2  1 y −1 x −1 ( x − 1)( y − 1) = Cộng theo vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức cần chứng minh Bài 82 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: (a b + b c + c a )(ab 2 2 ) ( )( )( + bc + ca  abc + a + abc b + abc c + abc ) Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2011-2012 Lời giải + Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  a2  b2  c   a b c  b c a   + + + +  + + +   +   c a b  c a b      bc  ca  ab  Đặt x = a b c ; y = ; z =  x; y; z  0; xyz = b c a Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chun Khi bất đẳng thức trở thành ( xy + yz + zx )( x + y + z )  + Đặt t = 3   x  y  z  z + 1  x + 1  y + 1     ( x + y )( y + z )( z + x )  ( x + y )( y + z )( z + x ) + xyz  +  ( x + y )( y + z )( z + x ) +  + ( x + y )( y + z )( z + x ) xyz ( x + y )( y + z )( z + x ) suy t  Khi ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành t +  + t  t +  + 2t + t  t ( t − )( t + 1)  Bất đẳng thức cuối t  Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a = b = c + Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  a2  b2  c   a b c  b c a   c + a + b  c + a + b   +  bc +  ca +  ab +         Hay 3+  a2  b2  c  bc ca ab a b2 c  + + + + +  + + +   +  2 bc ca ab a b c  bc  ca  ab  a2 b2 c2 ; y= ; z= Đặt x = , ta có xyz = bc ca ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 3+x+y+z+ Hay 1 + +  + (1 + x )(1 + y )(1 + z ) x y z + x + y + z + xy + yz + zx  + + x + y + z + xy + yz + zx Đặt t = + x + y + z + xy + yz + zx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x + y + z + xy + yz + zx  Do ta có t  + = Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành t +  + t  t +  t + 2t +  t ( t + 1)( t − )  Đánh giá cuối với t  Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chun Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Bài 83 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a + b3 + c  a b + c + b a + c + c a + b Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2011-2012 Lời giải + Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a + b3 ab ( a + b ) ab ( a + b ) ab ( a + b ) a + b   = = 2 abc c c3 + Từ ta có a + b3 a+b  c3 +  2c a + b c Tương tự ta có a3 + c3 a+c  b3 +  2b a + c b b3 + c b+c a3 +  a3 +  2a b + c a b3 + Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được: a + b3 + c  a b + c + b a + c + c a + b Bài toán chứng minh xong + Cách Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ( a b+c +b a+c +c a+b  ) (  (a + b + c ) a + b2 + c ( ) ) ( ( a + b + c ) a + b2 + c = abc ( a + b + c ) a + b + c Theo bất đẳng thức quen thuộc ta có abc ( a + b + c )  ) ab + bc + ca ) ( Từ ta ( ) ( ) abc ( a + b + c ) a + b2 + c  a + b2 + c ( ab + bc + ca ) (a  Do ta có Nguyễn Cơng Lợi (a 2 + b2 + c + ab + bc + ca + ab + bc + ca 34 b+c +b a+c +c a+b ) = (a + b + c ) 34 ) (a + b + c )  34 Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên Hay a b + c + b a + c + c (a + b + c ) a+b  32 (a Dễ dàng chứng minh +b +c 3 ) (a + b + c )  Từ ta bất đẳng thức sau a + b3 + c  a b + c + b a + c + c a + b Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 84 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn P = a2 + abc + b2 + abc + c2 + abc + abc biểu thức: Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bắc Ninh năm 2011-2012 Lời giải Ta có a + abc = a ( a + b + c ) + abc = a ( a + b )( a + c ) Do ta a + abc = a ( a + b )( a + c )  a (a + b + a + c ) a ( a + 1) = Chứng minh tương tự ta b + abc  b ( b + 1) ; c + abc  c ( c + 1) Do ta a ( a + 1) a + abc + b + abc + c + abc  + b ( b + 1) + c ( c + 1) Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có a ( a + 1)  a +1 b+c   a + b+ c +1 + abc  a  + = a  = a     Chứng minh tương tự ta b ( b + 1) + abc  b; c ( c + 1) + abc  c Như ta có P = a2 + abc + b2 + abc + c2 + abc + abc  a + b + c + abc Mà ta có a+b+c a + b + c  ( a + b + c ) = 3; abc   =  3   Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên Nên ta suy P  + = Vậy giá trị lớn P = Đẳng thức xẩy a = b = c = 3 Bài 85 Cho biểu thức P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , ad − bc = Chứng minh rằng: P  Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010 Lời giải + Cách Ta có ( ac + bd ) + ( ad − bc ) 2 = a c + 2abcd + b 2d + a 2d − 2abcd + b c ( ) ( )( ( ) ( )( = a c + d2 + b2 d2 + c = a + b2 c + d2 Vì ad − bc = nên + ( ac + bd ) = a + b2 c + d2 ) ) (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta P = a + b2 + c + d2 + ac + bd  (a )( ) + b2 c + d2 + ac + bd Suy ta P  + ( ac + bd ) + ac + bd Rõ ràng P  + ( ac + bd )  ac + bd 2 Đặt x = ac + bd , ta ( ) ( ) P  + x + x  P  + x + 4x + x + x = + x + 4x + x + 4x + Hay P  ( ) + x + 2x +  Do ta P  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy ad − bc =  2a = 3d − c  2b = − 3c − d + Cách Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành a + b2 + c2 + d2 + ac + bd  ( ad − bc ) Hay a + b2 + c2 + d2 + ac + bd  a ( ) ( 3d − c + b − 3c − d ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên a ( ) 3d − c  a ( ( + ) b − 3c − d  b2 + 3d − c ( ) = a2 + − 3c − d ) 3d − 3cd + c = b2 + 3d + 3cd + c Cộng theo hai bất đẳng thức ta a + b2 + c2 + d2 + ac + bd  a ( ) ( 3d − c + b − 3c − d ) Bài toán chứng minh xong Bài 86 Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có: x y z 2x + 2y + 2z + +  a b2 c a + b2 + c Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010 Lời giải + Cách Vì a2 + b2 + c2  nên ta có (  x2 y2 z2  a + b2 + c  + +  b c  a  b2 + c − a  a + c − b2   a + b2 − c  2 = x2  + + y + + z +      a2 b2 c2       2 2 2 2  b +c −a  2a +c −b  a +b −c  = 2x + 2y + 2z + x  + y + z      a2 b2 c2       ) Giả sử a  b  c, c2 − a2  0; c2 − b2  Với c cạnh lớn góc nhọn nên c2  a2 + b2 Do ta có b2 + c2 − a2  0; a2 + c2 − b2  0; a + b2 − c  Suy  b2 + c − a   a + c − b2   a + b2 − c  2 2x2 + 2y2 + 2z2 + x2  +y  +z    2x + 2y + 2z 2 a b c       Hay Hay (  x2 y2 z2  a + b + c  + +   2x + 2y + 2z b c  a ) x y z 2x + 2y + 2z + +  Bài toán chứng minh xong a b2 c a + b2 + c + Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên y2 2y x2 2x z2 2z − + − + − 0 a a + b2 + c b2 a + b2 + c c a + b2 + c x2 b2 + c − a y a + c − b2 z2 a + b2 − c  2 + 2 + 2 0 a a + b2 + c b a + b2 + c c a + b2 + c ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn nên a2 + b2  c2 ; b2 + c2  a2 ; c2 + a2  b2 Nên ta b2 + c2 − a2  0; a2 + c2 − b2  0; a + b2 − c  Do bất đẳng thức ln Bài tốn chứng minh xong Bài 87 Giả sử x, y, z số thực thoả mãn điều kiện  x, y, z  x + y + z = Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: M = x + y + z + 12 (1 − x )(1 − y )(1 − z ) Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010 Lời giải Đặt a = x − 1; b = y − 1; c = z − , ta −1  a; b; c  a + b + c = Biểu thức M viết lại thành ( ) ( ) M = a + b4 + c + a + b3 + c + a + b2 + c + ( a + b + c ) + − 12abc Để ý a + b + c = a3 + b3 + c3 − 3abc = nên biểu thức thử thành ( ) M = a + b4 + c + a + b2 + c + Theo đánh giá quen thuộc a + b + c  abc ( a + b + c ) = a + b2 + c  a + b + c) = ( Do suy M  hay giá trị nhỏ M Đẳng thức xẩy a = b = c = hay x = y = z = Mặt khác −1  a; b; c  nên ta có a ; b ; c  Từ ta có a  a  a ; b4  b2  b ; c  c  c ( ) ( ) Suy M = a + b4 + c + a + b2 + c +  a + b + c + Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Toán Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên Mà ta lại có a + b + c = nên ba số a, b, c có hai số âm, tức tồn hai số dấu Khơng tính tổng qt ta giả sử hai số b c Khi ta b + c = b+c = a Đến ta có M  14 a +  17 hay giá trị lớn M 17 Đẳng thức xẩy a = 1; b = −1; c = hoán vị hay x = 2; y = 0; z = hốn vị Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An ... + c c + ac + a Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Toán Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên + Cách Vì a, b số thực... y  ab + xy  a + x2 )( b ) + y  ( ab + xy ) Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Do bổ đề chứng minh Trở lại toán Áp dụng bất đẳng thức ta M = x − 6x + 25 + y − 6y + 25 + z − 6z... b + c hay a + b + c  ( a + b + c )  a+b+c ( ) Bất đẳng thức cuối đánh giá quen thuộc Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c + Cách Ta có a3 b3 a − b3 − = = a − b Áp dụng tương