Tailieumontoan.com PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Có lớp tốn phương trình vơ tỷ mà xét tính khơng thể giải thực phép nâng lên lũy thừa q phức tạp khơng thể sử dụng phép ẩn phụ hóa khơng tìm mối liên hệ hỗ trợ đại lượng Tuy nhiên ta lại dễ dàng nhẩm nghiệm phương trình, phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp phát huy vai trò Bản chất phương pháp lạm dụng đại lương liên hợp để làm xuất nhân tử chung phân tích phương trình thành tích • Cơ sở phương pháp Nhiều phương trình vơ tỉ nhẩm nghiệm x = x hữu tỉ, phương trình viết thành ( x − x ) P(x) = P(x) = vơ nghiệm giải • Cách nhẩm nghiệm Ta thường thử giá trị x để bình phương lập phương số hữu tỷ • Một số phép biến đổi nhân lượng liên hợp Dạng 3 f ( x)  a = f ( x) + g ( x) f ( x)  g ( x) f2 ( x) f ( x ) g ( x ) + g ( x ) f ( x) − a2 f ( x) + a f ( x)  a3 f ( x ) a f ( x ) + a f ( x) − g ( x) = Dạng Dạng f ( x)  g ( x) = f ( x) − a = Dạng Dạng f ( x) − g ( x) f ( x) − g ( x) = Dạng f ( x)  g ( x) = f ( x) − g2 ( x) f ( x) + g ( x) f ( x)  g3 ( x) f ( x) f ( x ) g ( x ) + g ( x ) • Một số kinh nghiệm xử sử dụng phương pháp nhân đại lượng liên hợp + Phương trình nhẩm nghiệm hữu tỉ + Phương trình chứa nhiều thức bậc Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com + Phương trình chứa bậc hai bậc ba Nhân thêm lượng liên hợp Ví dụ Giải phương trình 3x + + 2x = x − − Phân tích lời giải Nhận thấy ( 3x + 1) − ( x − ) = 2x + thực phép biến đổi 3x + − x − = 3x + + x −  với x  , ta 2x + 3x + + x − để làm xuất nhân tử chung ( 2x + ) Từ ta có lời giải sau Điều kiện xác định phương trình x  Ta có 3x + + 2x = x − −  3x + − x − + 2x + =    + 2x + =  ( 2x + )  + 1 = 3x + + x −  3x + + x −  2x + Dễ thấy với x  +1  3x + + x − Do từ phương trình ta 2x + =  x = − , không thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình x2 + x − + x2 = ( x − 1) + Phân tích lời giải Nhẩm x = nghiệm phương trình cho, ta dự đốn nhân tử chung phân tích phương trình thành tích x − Để ý ta thấy (x ) + x − − ( 2x − ) = x ( x − 1) x − = ( x − 1)( x + 1) Tuy nhiên x = x2 + x − + ( x − 1) = , x + x − − ( x − 1) = x2 − x x + x − + ( x − 1) biến đổi nhân liên hợp biến đổi khơng có nghĩa Vì trước nhân lượng liên hợp ta cần ý đến biểu thức liên hợp khác hay chưa Để xử lý dạng phương trình ta cần xét trường hợp để lượng liên hợp khác Cụ thể với ví dụ ta xử lý sau Điều kiện xác định phương trình x  Nhận thấy x = nghiệm phương trình Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Với x  , phương trình cho tương đương với x2 − x x + x − − ( x − 1) + x − =  2 x + x − + ( x − 1) + x2 − =   x   ( x − 1) + x + 1 =  x + x − + ( x − 1)    x Do x  nên x −  + x+1 x2 + x − + ( x − 1)   x Từ suy phương trình ( x − 1)  + x + 1 = vô nghiệm  x2 + x − + ( x − 1)    Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình x + + = 4x + 3x Phân tích lời giải Phương trình cho có hai thức bậc hai, biến đổi nâng lên lũy thừa sau hai lần phương trình thu có bậc 8, khơng nên sử dụng biến đổi nâng lên lũy thừa để giải phương trình Nhẩm số giá trị đặc biệt ta thấy phương trình có nghiệm x= , phân tích phương trình thành tích có chứa nhân tử chung 2x − Để ý tiếp ta lại thấy 4x − = ( 2x − 1)( 2x + 1) ( 3x − x + )( ) 3x + x + = 2x − 3x + x +  nên ta nghĩ đến nhận thêm đại lượng liên hợp để làm xuất nhân tử 2x − Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với ( ) ( 4x − + ) 3x − x + =  ( 2x − 1)( 2x + 1) + ( 3x − x + )( 3x + x + 3x + x +   2x − 1  ( 2x − 1)( 2x + 1) + =  ( 2x − 1)  2x + + =0 3x + x + 3x + x +    2x − =   2x + + =0  3x + x + 1 • Với 2x − =  x = , thỏa mãn điều kiện xác định Nguyễn Công Lợi ) =0 Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com • Với x  2x + + 3x + x +  , 2x + + Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình 3x + x + = vô nghiệm 10x + + 3x − = 9x + + 2x − Phân tích lời giải Nhẩm x = nghiệm phương trình, ta dự đốn nhân tử chung x − Để ý ta lại thấy ( 10x + 1) − ( 9x + ) = ( 3x − ) − ( 2x − ) = x − Mặt khác 10x + + 9x +  ta lại thấy với x thỏa mãn điều kiện xác định 3x − + 2x −  Điều kiện xác định phương trình x  đương với ( ) ( 10x + − 9x + + x−3  Phương trình cho tương ) 3x − − 2x − = x−3 + =0 10x + + 9x + 3x − + 2x −   1  ( x − 3)  + =0 3x − + 2x −   10x + + 9x + 1 Dễ thấy x  +  10x + + 9x + 3x − + 2x − Do phương trình ta đực x − =  x = Kết hợp với điều kiện xác định ta x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình sau ( ) 3x2 − 5x + − x − = x − x − − x − 3x + Phân tích lời giải Kiểm tra ta thấy phương trình cho có nghiệm x = nên ta cố gắng đưa phương trình phương trình tích xuất nhân tử ( x − ) Ta có nhận xét rằng: ( ( ) ( )  3x − 5x + − 3x − 3x − = −2 ( x − )   2  x − − x − 3x + = ( x − ) ) ( ) Từ ta có lời giải sau Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com 3x − 5x +   Điều kiện xác định phương trình x − x −  Phương trình cho x −   tương đương với ( ) 3x − 5x + − x − x − = x − − x − 3x +  −2x + ( 3x − 5x + + x − x + ) 3x − = x − + x − 3x +    =0  (x − 2) +  2 2 x − + x − 3x +   3x − 5x + + x − x −  ( Mặt khác ta lại có ( ) 3x − 5x + + x − x − 2 ) + x − + x − 3x + 2  với x Do từ phương trình ta x − =  x = , thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình 2x + − x − + x + = Phân tích lời giải Nhận thấy ( 2x + ) − ( x − 1) = x + không tồn x  R để biểu thức 2x + x − đồng thời Do ta sử dụng phép nhân lượng liên hợp để làm xuất nhân tử chung x + Từ ta có lời giải sau x+4 2x + − x − + x + =  ( 2x + ) − ( 2x + )( x − 1) + ( x − 1) 2 +x+4 =0     (x + 4) + 1 = 3  2  ( 2x + ) − ( 2x + )( x − 1) + ( x − 1)  x+4 Do +  với x 2 3 ( 2x + 3) − ( 2x + 3)( x − 1) + ( x − 1) Do từ phương trình ta x + =  x = −4 Vậy phương trình có nghiệm x = −4 Ví dụ Giải phương trình x2 + 3x + + x2 = 5x + + 2x Phân tích lời giải Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com ( ) Nhận thấy x2 + 3x + − ( 5x + 1) = x − 2x không tồn x  R để biểu thức x2 + 3x + 5x + đồng thời Do ta sử dụng phép nhân lượng liên hợp để làm xuất nhân tử chung x − 2x Từ ta có lời giải sau x2 + 3x + + x = 5x + + 2x  x + 3x + − 5x + + x − 2x = x2 − 2x  (x ) ( ) + 3x + − x + 3x + ( 5x + 1) + ( 5x + 1) + x2 − 2x =      x − 2x  + 1 =  x + 3x + − x + 3x + ( 5x + 1) + ( 5x + 1)    ( ) ( ) ( ) x2 − 2x Dễ thấy (x ) + 3x + − (x ) + 3x + ( 5x + 1) + ( 5x + 1) +  với x Do từ phương trình ta x2 − 2x =  x = 0; x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình 2x − − x = 2x − Phân tích lời giải Phương trình cho có hai thức bậc hai, ta sử dụng biến đổi nâng lên lũy thừa để giải phương trình Sau hai lần nâng lên lũy thừa ta thu phương trình bậc bốn Nhẩm số giá trị ta thấy x = nghiệm, phương trình bậc bốn phân tích Tuy nhiên với x = nghiệm, ta dự đoán phân tích phương trình thành tích có nhân tử chung x − Lại để ý thấy ( 2x − ) − x = x − 2x − = ( x − ) , ta sử dụng lượng liên hợp để làm xuất nhân chung x − Ta có lời giải sau Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com ( 2x − − x )( 2x − + x 2x − + x ) = ( x − 3)  ( x − 3)   − 2 =   2x − + x  x − = x =    1   −2 =0 =2  2x − + x  2x − + x 2x − + x    2x − + x Từ ta = vơ nghiệm x  2x − + x Kết hợp với điều kiện xác định phương trình ta x = nghiệm Ta có với x  Ví dụ Giải phương trình 3x + − − x + 3x − 14x − = Phân tích lời giải Nhẩm x = nghiệm phương trình, ta dự đốn nhân tử chung viết phương trình thành tích x − Để ý ta thấy x = nhóm 3x + − nhân với lượng liên hợp − x − nhân với lượng liên hợp 3x + − = , ta 3x + + , tương tự ta nhóm − x + Từ ta có lời giải sau Điều kiện xác định phương trình −  x  Phương trình cho tương đương với ( 3x + − 4) − ( − x − 1) + 3x − 14x − = ( 3x + − )( 3x + + ) − ( − x − 1)( − x + 1) + ( x − 5)( 3x + 1) =  3x + + −x +1    ( x − 5)  + + 3x +  = 6−x +1  3x + +  1 Để ý với −  x  + + 3x +  3x + + −x +1 Do từ phương trình ta x − =  x = Kết hợp với điều kiện xác định ta x = nghiệm Ví dụ 10 Giải phương trình x + x + + x + x − = + Phân tích lời giải Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Nhẩm x = nghiệm phương trình, ta dự đốn nhân tử chung viết phương trình thành tích x − x + = 2; x2 + x − = , từ ta thực nhóm đại lượng liên hợp tương ứng x + + Chú ý x=1 x + x − − , x + − x + x − + Ta có lời giải sau x +  −1 x Điều kiện xác định phương trình  x + x −  Phương trình cho tương đương với x −1+ ( ) ( x+1 − + ) x + x −1 −1 =  x −1+ ( x + 1) − + ( x x+1 + 2 ) + x −1 −1 x2 + x − + =0   x+2  ( x − 1)  + + =0 x + + x + x −1 +1  x+2 −1 +  + 2 x+1 + x + x −1 +1 Do từ phương trình ta x − =  x = Để ý ta thấy với x  Kết hợp với điều kiện xác định ta x = nghiệm phương trình Ví dụ 11 Giải phương trình 3x − − − 5x + 16 = Phân tích lời giải Nhẩm x = −2 nghiệm phương trình, ta dự đốn nhân tử chung phân tích phương trình thành tích x + Để ý x = −2 3x − + = 0; − 5x − = Khi sử dụng nhân đại lượng liên hợp để xử lý phương trình Điều kiện xác định phương trình − 5x  Phương trình cho tương đương với ( 3x − + ) ( − 5x + 16 ) 3x − + − − 5x − =  − =0 3 − 5x + 3x − − 3x − + (    (x + 2)    ) ( ( ) ( )   + =0 − 5x + 3x − − 3x − +   Nguyễn Công Lợi ) 15 Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Dễ thấy ( 3x − ) −2 3x − + + 15 − 5x +  với x  Do từ phương trình ta x + =  x = −2 , thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm x = −2 5x − + − x = 2x + 3x − Ví dụ 12 Giải phương trình Phân tích lời giải Nhẩm x = nghiệm phương trình, phân tích phương trình thành tích có chứa nhân tử chung x − Với x = 5x − = 2; − x = ta thực phép nhóm 5x − − − x = Từ ta có lời giải sau Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với: 5x − − + − x − = 2x + 3x −  ( x − 1) 5x − + + ( 1− x 9−x ) +2 9−x +4 = ( x − 1)( 2x + )      ( x − 1)  2x + − + =0 3 5x − + − x + − x +       5x − +    ( x − 1)  2x + + =0 3 5x − + 9−x + −x + 4    ( ) ( Để ý ta thấy 2x + 5x − + 5x − + + ( ) 9−x ) +2 9−x +4  với x  Do từ phương trình ta x − =  x = , thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 13 Giải phương trình − x + + x = x3 + x2 − 4x − + x + x − Lời giải Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Điều kiện xác định phương trình −2  x  Phương trình cho tương đương với ( ) ( −x + x +  ) − x − x −1 + − x + x −1 + + x − x = x3 + x2 − 4x − −x + x + 2+x + x = ( x + )( x + 1)( x − )   1  ( − x )( x + 1)  + + ( x + ) =  − x + x −  2+x + x 1 + + (x + 2)  Dễ thấy với −2  x  − x + x −1 2+x + x Do từ phương trình ta ( − x )( x + 1) =  x = 2; x = −1 , thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = −1; 2 Ví dụ 14 Giải phương trình x2 − + x − + x + + x = x+3 +5 x2 − Lời giải Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với ( ) x2 − − + x − + ( x2 − −  (x −1 ) ) x + − + ( x − 3) = + x−3 + + x2 − + x+3 −2 x2 − x +1− x+1 + + ( x − 3) = 15 + x − 2x x2 −   x − ( x + 3) x − ( 2x + )   x−3  x−3 + 1+ + x−3 + =0 x2 − x+1 +  x2 − + x2 − +    ( ) x − ( x + 3) Dễ thấy (x ) + 1+ −1 + x −1 + Do từ phương trình ta x−3 x+1 + + x−3 + x − ( 2x + ) x2 −  x − =  x = , thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 15 Giải phương trình 2x − x − = 5x + Phân tích lời giải Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com • Một vấn đề đặt ta sử dụng hệ tạm sau phép nhân liên hợp Thơng thường với phương trình có dạng f ( x )  g ( x ) = ax + b Một điều cần lưu ý nhân lượng liên hợp ta cần đảm bảo mẫu biểu thức phải khác Ví dụ Giải phương trình x2 − 7x + 10 = x + x2 − 12x + 20 Phân tích lời giải x − 7x + 10   x  10  Điều kiện xác định phương trình  x − 12x + 20  x  Cũng cách kiểm tra ta thấy phương trình cho nhận x = làm nghiệm nên ta đưa phương trình dạng phương trình tích xuất nhân tử ( x − 1) Do phương trình cho tương đương với  x − 7x + 10 − ( x + 1)  =  x − 12x + 20 − ( x + )      Ta có x2 − 7x + 10 + ( x + 1)  x2 − 12x + 20 + ( x + )  với x thuộc điều kiện xác định Do phương trình tương đương với −18 ( x − 1) −16 ( x − 1) = x − 7x + 10 + x + x − 12x + 20 + x +    ( x − 1)  −  = x − 12x + 20 + x +   x − 7x + 10 + x + x − =   − =0  x − 7x + 10 + x + x − 12x + 20 + x + • Với x − =  x = , thỏa mãn điều kiện xác định • Với x − 7x + 10 + x + − x − 12x + 20 + x + 2 =0 Ta có phương trình x2 − 7x + 10 − x2 − 12x + 20 = x + 10 Kết hợp với phương trình cho ta có hệ sau 8 x − 7x + 10 − x − 12x + 20 = x + 10  2 x − 7x + 10 − x − 12x + 20 = x Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com  15 + 5 x  x= Do ta x − 7x + 10 = 4x −   x − 15x + 25 =  Thử lại vào phương trình ban đầu ta tập nghiệm phương trình  15 + 5  S = 1;    2x2 + x + + 2x2 − x + = x + Ví dụ Giải phương trình Lời giải Điều kiện xác định phương trình x +  Nhận thấy Xét 2x2 + x + + 2x2 − x +  với x Do x +  2x2 + x + = 2x2 − x +  2x2 + x + = 2x2 − x +  x + = , không thỏa mãn 2x2 + x + − 2x2 − x +  , phương trình cho tương đương với Do ( 2x + x + + 2x − x + )( 2x + x + − 2x − x + ) = x+4 2x + x + − 2x − x + 2x + x + − 2x − x + (x + 4)  = x+4  = x+4 2x + x + + 2x − x + 2x + x + + 2x − x +    ( x + )  −  = 2  2x + x + + 2x − x +  ( ) ( )  2x + x + + 2x − x + = Kết hợp với phương trình cho ta có hệ phương trình  2x + x + − 2x − x + =   2x + x + + 2x − x + = x + x = x +   Do ta 2x + x + = x +    2x + x + = x + ( ) x = 78   8 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = 0;   7 Ví dụ Giải phương trình ( ( ) x + x + + 4x + x + )( ) 5x + − 2x + = 3x Phân tích lời giải Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Để ý ta thấy ( 5x + + 2x + )( ) 5x + − 2x + = 3x 5x2 + + 2x2 +  ta liến hành nhân lượng liên hợp sau Phương trình định với số thực x Phương trình cho tương đương với x2 + x + + 4x + x + 5x2 + + 2x2 +  x + x + + 4x + x +  3x2 = 3x2  3x2  − 1 = 2   5x + + 2x +   • Khi 3x2 =  x = • Khi x + x + + 4x + x + 5x + + 2x + − = ta phương trình x2 + x + + 4x2 + x + = 5x2 + + 2x2 + Chú ý x = nghiệm phương trình Xét x  , ta có x2 + x +  4x2 + x + 1; 5x2 +  2x2 + ta x + x + + 4x + x + = 5x + + 2x +  3x 4x + x + − x + x + = 3x 5x + − 2x +  4x + x + − x + x + = 5x + − 2x +  x + x + + 4x + x + = 5x + + 2x + Kết hợp hai phương trình ta có hệ   4x + x + − x + x + = 5x + − 2x + Từ hệ phương trình ta 4x2 + x + = 5x2 +  x2 − x =  x = Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = 0;1 Ví dụ Giải phương trình: x ( x + ) + x ( x − 1) = x2 Lời giải Điều kiện xác định phương trình x  −2 x  −1 Để ý x ( x − 1) − x ( x + )  , phương trình cho tương đương với x2 − x − x − 2x x ( x − 1) − x ( x + ) =2 x  −3x x ( x − 1) − x ( x + ) =2 x  3  x ( x − 1) − x ( x + ) = − • Nếu x  −1 ta có   x ( x − 1) = 2x −  x ( x − 1) + x ( x + ) = 2x  Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com  3  x ( x − 1) − x ( x + ) = • Nếu x  −2 ta có   x ( x − 1) = −2x +  x ( x − 1) + x ( x + ) = −2x  Nhận xét Ngoài cách giải ta giải phương trình cách sau • Nếu x  −1 ta chia hai vế cho x + + x −1 = x x ta Bình phương hai vế sau giải phương trình ta tìm nghiệm phương trình • Nếu x  −2 , đặt t = −x  thay vào phương trình ta t ( t − ) + t ( t + 1) = (t)  t −2 + t +1 = t Bình phương hai vế tìm t từ ta tìm nghiệm phương trình 8x + + 46 − 10x = −x + 5x + 4x + Ví dụ Giải phương trình: Phân tích lời giải Nhẩm x = nghiệm phương trình, ta dự đốn nhân tử chung phân tích phương trình thành tích x − Để ý với x = 8x + − = 0; 46 − 10x − = Do ta có lời giải sau Điều kiện xác định phương trình −1 46 Phương trình cho x 10 tương đương với 8x + − + 46 − 10x − = −x + 5x + 4x −  ( 8x + − )( 8x + + )+( 46 − 10x − )( 46 − 10x + 8x + + 46 − 10x + −8 ( − x ) 10 ( − x )  + = ( − x ) x − 4x + 8x + + 46 − 10x + 1 − x =  −8 10  + = x − 4x +  8x + + 46 − 10x + ( ) = (1 − x ) ( x − 4x + ) ) • Với − x = suy x = , thỏa mãn điều kiện xác định −8 10 • Với + = x2 − 4x + Ta có x2 – 4x + = ( x – ) +  8x + + 46 − 10x + 10 10 Mặt khác ta lại thấy 46 − 10x   46 − 10x +    = 46 − 10x + 6 −8 10 Do + = −  46 − 10x + 8x + + 46 − 10x + 8x + + 3 Từ ta 10 46 − 10x + Nguyễn Công Lợi + −8 8x + +  x2 − 4x + với x Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com −8 Như 8x + + 10 + = x2 − 4x + vô nghiệm 46 − 10x + Vậy phương trình có nghiệm x = ( ) Ví dụ Giải phương trình 10 − 2x − 9x − 37 = 4x2 − 15x − 33 Phân tích lờ giải Nhẩm x = −3 nghiệm phương trình, tư dự đoán nhân tử chung x + Để ý ta thấy x = −3 + 9x − 37 = 0; − 10 − 2x = Do ta sử dụng nhân lượng liên hợp để giải toán sau Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với ( ) ( ) 4 + 9x − 37 + − 10 − 2x + 4x − 15x − 81 = ( 27 + 9x )  16 − 9x − 37 + ( 9x − 37 ) + ( + 2x ) + 10 − 2x + ( x + )( 4x − 27 ) =   36 16    ( x + 3)  + + 4x − 27  = + 10 − 2x  16 − 9x − 37 + 9x − 37    • Với x + =  x = −3 , thỏa mãn điều kiện xác định 36 16 • Với + + 4x − 27 = + 10 − 2x 16 − 9x − 37 + 9x − 37 ( ( ) Phương trình tương đương với Do x  nên nên 12 + ( ) 12 + 36 9x − 37 − ( ) 36 9x − 37 − + ) 16 + 10 − 2x + 16 + 10 − 2x + 4x − 27  + 4x − 27 = (*) 36 16 + + 4.5 − 27 = 12 Đẳng thức xảy x = Do phương trình (*) có nghiệm x = , thỏa mãn điều kiện xác định Vậy tập nghiệm phương trình S = −3; 5 Ví dụ Giải phương trình x2 − + x = x3 − Phân tích lời giải Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Điều kiện xác định phương trình x  Nhận thấy x = nghiệm phương trình ý x = x − − = x − − = , nên ta biến đổi phương trình sau x2 − − + x − = x3 − −    ( x − ) 1 +   Với x  ta có + (   ( x − ) x + 3x + = 2 x3 − + x −1 + x −1 + 4  x+3 x+3 x + 3x + = 1+   2 x3 − + x −1 +1 + x2 − + x2 − + ( x+3 ( ) ) ) ( ) Do từ phương trình ta x − =  x = , thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình 3 x2 + x2 + − = x2 + 15 Phân tích lời giải Ta dự đoán nghiệm x = 1 ta viết lại phương trình sau  ( )( x2 − + ( x2 − ) ) ( x2 + − = x2 − + x + 15 − ) x2 − = x4 + x2 + x2 + + x + 15 + x2 =   1 + = 3  x + x + x2 + + x + 15 + • Với x2 − =  x2 =  x = 1 1 • Với + − =0 x + x2 + x2 + + x + 15 + Ta có x2 + 15  x +  x + 15 +  x + +  Nên phương trình + − x2 + 15 + x4 + x2 + x2 + + x + 15 + Vậy phương trình có tập nghiệm S = −1;1 Ví dụ 10 Giải phương trình  x2 + + = vô nghiệm 162x3 + − 27x2 − 9x + = Phân tích lời giải Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Nhẩm x = nghiệm phương trình, ta dự đốn nhân tử chung 3x − Để ý x = 3 162x3 + − = 0; 27x2 − 9x + − = Điều kiện xác định phương trình x  R Phương trình cho tương đương với   ( ( 162x + − + 27x − 9x + − = 162x − 162x + ) +2 − 162x + + ( ( 3x − 1) 9x + 3x + 162x +    ( 3x − 1)    ) +2 ) − 162x + + 3x ( 3x − 1) 27x − 9x + + 3x ( 3x − 1) 27x − 9x + + =0 =0   − =0 2 3 3 27x − 9x + +  162x + + 162x + +  • Với 3x − =  x = , thỏa mãn điều kiện xác định 2 9x + 3x + 3x • Với − = , ta 2 3 3 27x − 9x + + 162x + + 162x + + ( ( ( 9x + 3x + ( ) ) 3x ) ) ( 9x + 3x + ( 162x + ) +2 ) = 162x + + 3x 162x + Đặt a = 162x3 + , từ phương trình suy   a a  3x + +  = a + +  3x + + = + +  3x =  x = 3x  a 3x a  Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 11 Giải phương trình x2 + 12 + = 3x + x2 + Phân tích lời giải Ta nhận thấy x = nghiệm phương trình Như phương trình cho phân tích dạng ( x − ) Q ( x ) = Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com x + 12 − = 3x − + x + −  2 x2 − x + 12 +  x+2 x+2 − −  = x + 12 + x2 + +  = (x − 2) + x2 − x2 + +   ( x − )   x =   x+2 x+2 − −3=0  x + 12 + x2 + + 1 x+2 x+2   −  với x  Do x2 + 12 + x2 + + x + 12 + x2 + + x+2 x+2 − − = vơ nghiệm Do phương trình x2 + 12 + x2 + + Kết hợp với điều kện xác định ta x = nghiệm phương trình Ví dụ 13 Giải phương trình x − + 2x + 3x = 5x − + Phân tích lời giải Nhẩm x = nghiệm phương trình, ta dự đốn nhân tử chung x − Để ý x = x − = −2; 5x − = Từ ta có lời giải cho tốn sau Điều kiện xác định phương trình 5x −   x  Phương trình cho tương đương với ( ) ( x −1  ) x − + + 2x + 3x − + − 5x − = (x − 9) − −2 x−9 +4 ( x − 1) + 5x − + ( x − 1)( 2x + ) =     ( x − 1) − + 2x +  = 3  2 + 5x −  ( x − ) − ( x − ) +  Do ( x − 9) − (x − 9) + − 5 + 2x +  − + +  với x  5 + 5x − Do từ phương trình ta x − =  x = , thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình cho có nghiệm x = Nhận xét • Trong phương trình trên, sau nhân lượng liên hợp ta thu phương trình Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com ( x − 9) Ta thấy với x  − (x − 9) + − + 5x − + 2x + = đại lượng phương trình khơng dấu với nên để chứng minh phương trình vơ nghiệm ta cần có đánh giá hợp lí Tuy nhiên khơng phải đánh giá phương trình sau nhân lượng liên hợp vơ nghiệm dễ dàng • Vấn đề đặt có cách xử lý để nhân lượng liên hợp ta thu phương trình sau có đại lượng dấu Chẳng hạn phương trình trên, ta thấy đại lượng ( x − 9) −2 (x − 9) + 2x + có dấu dương, đại lượng − 5x − + có dấu âm Như ta đổi dấu đại lượng xem phương trình có đại lượng dấu dương Ta ý đến − 5x − + (2 − ) 5x − = − ( x − 1) + 5x − Như để đổi ta cần thay nhóm − 5x − nhóm dấu đại lượng 5x − − Điều có nghĩa ta thực thêm bớt để tạo nhóm 5x − − 5x − = 5x − ( ) 5x − − Bây ta thử biến đổi phương trình theo ý xem sao? ( ) x − + + 4x + x − + 5x − ( x − 1)  ( x − 9) − x − + + ( ) 5x − − = ( x − 1) 5x − + 5x − + ( x − 1)( 4x + ) =   5x −   ( x − 1) + + 2x +  = 3  2 + 5x −  ( x − ) − ( x − ) +  Đến dễ dàng thấy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 14 Giải phương trình 3x − 17x + 24 = x − + − x Phân tích lời giải Điều kiện xác định phương trình  x  Nhẩm x = nghiệm phương trình ta dự đoán nhân chung x − Để ý x = x − = Nguyễn Công Lợi − x = , từ ta nhân lượng liên hợp sau Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Phương trình cho tương đương với ( ) ( ) 3x − 17x + 20 + − x − + − − x =   1  ( x − )  3x + − + =0 + x − + − x   x − =  1  3x + − + =0  1+ x − 1+ − x Đến dễ dàng nhận thấy x = nghiệm phương trình Với phương trình 3x + − 1+ x − + 1+ − x = ta có cách xử lí sau • Sử dụng điều kiện xác định  x  để đánh giá phương trình vơ nghiệm Khi  x  3x +  14 0 1+ x − 1+ − x  Mà + x −  nên 1 Từ ta 3x + − 1 +  14 − = 13  1+ − x 1 Như phương trình 3x + − + = vô nghiệm 1+ x − 1+ − x • Đảo dấu biểu thức − Sau nhân lượng liên hợp theo nhóm 1+ x − 1 − x − ta biểu thức − Do để đổi dấu biểu thức ta 1+ x − 1+ x − cần đổi kiểu ghép nhóm, tức ta cần kiểu ghép nhóm phương trình biến đổi sau ( x−3 ) ( ( ) x − − Khi ) 3x − 18x + 24 + x − − x − + − − x =  ( x − )( 3x + ) + x − (x − 4) 1+ x − + (x − 4) 1+ − x   x+3  ( x − )  3x + + +  =  + x − + − x   =0 Dễ thấy biểu thức dấu ngoặc dương với  x  Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét Cách đổi dấu đại lượng biểu thức sau liên hợp người ta hay gọi kỹ thuật truy ngược dấu đại lượng liên hợp Bản chất kỹ thuật truy ngược dấu đại lượng liên hợp thêm bớt vào phương trình lượng để thay đổi kiểu nhóm liên hợp Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com f ( x ) − g ( x ) thành kiểu ghép nhóm liên hợp f ( x ) g ( x ) − f ( x )  với mục đích đưa tất   đại lượng biểu thức sau liên hợp dấu Kỹ thuật có ưu điểm định việc chứng minh biểu thức sau liên hợp vô nghiệm Vậy với trường hợp mà biểu thức sau liên hợp có nghiệm, thường nghiệm khơng đẹp ta sử dụng kỹ thuật Tất nhiên số ví dụ ta xét tới việc làm xuất nhân tử chung cho phương trình khơng nhẩm nghiệm đẹp Ví dụ 15 Giải phương trình x + − x − = − x2 Phân tích lời giải Nhẩm x = nghiệm phương trình, ta dự đốn phương trình có nhân tử chung x − Chú ý x=2 x + − = 0; x − − = , dó ta tiến hành nhóm liên hợp với số sau   3 x + − =      x −1 −1 =  ( )   x + −  (x + 6) + x + +   = ( ( x + 6) x −1 −1 )( + 23 x + + x −1 +1 x −1 +1 )= x−2 (x + 6) + 23 x +6 + x−2 x −1 +1 Từ ta biến đổi phương trình thành     = − ( x − ) x + +  ( x + ) + x + + x − +   Như sau nhân liên hợp phương trình có − x −1 +1 x − − ta liên hợp dạng thay liên hợp dạng x −1 ( có dấu âm, ) x − − Từ ta có lời giải sau Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với ( ) x − 2x + x + − + x − − x − =  x (x − 2) +  ( x − ) x +  Nguyễn Công Lợi ( ) x + − + x −1 ( ) x −1 −1 =  x −1  + =0  x − + +2 x+6 +4  (x + 6) Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Dễ thấy x + ( x + 6) 2 x −1 + x −1 +1 +2 x+6 +4  với x  Do từ phương trình ta x − =  x = , thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình cho có nghiệm x = Nhận xét Với điều kiện x  ta có x +  3; Mặt khác dễ thấy x − +  nên x −1 +1 Từ ta x + + ( x + 6) ( x + 6) +2 x+6 +4 0 2 − +2 x+6 +4 x −1 +1  3−2 =1 Như khơng sử dụng cách đảo dấu ta chứng minh phương trình sau liên lợp vơ nghiệm Ví dụ 16 Giải phương trình ( x + 1) x + + ( x + ) x + = x2 + 7x + 12 Phân tích lời giải Nhẩm x = nghiệm phương trình, ta dự đoán nhân tử chung ( x − ) Để ý x = x + = nên ta nhóm ( ) x+2 −2 Khác với ví dụ trước phương trình cho có biểu thức chứa khơng đứng mà nhân thêm biểu thức khác, cụ thể ( x + 1) x + , để làm xuất nhóm ( ) x + − ta phải thêm bớt lượng ( x + 1) , điều có nghĩa ta tạo nhóm ( x + 1) x + − ( x + 1) = ( x + 1) ( tương tự ta tao nhóm ( x + ) x + − ( x + ) = ( x + ) ) x + − Hoàn toàn ( ) x + − Đến ta giải phương trình sau Điều kiện xác định phương trình x  −2 Phương trình cho tương đương với Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com ( x + 1) x + − ( x + ) + ( x + ) x + − ( x + ) = x  ( x + 1) ( x + − ) + ( x + ) ( x + − ) = x + 2x − ( x + 1)( x + − ) + ( x + )( x + − ) = x − x +  ( )( ) + 7x + 12 − 5x − 20 x+2 +2 x+7 +3  x+1  x+6  (x − 2)  + − x − 4 = x+7 +3  x+2 +2  x +   x+1 x+2 x+2      x+2 +2  x+2 +2 x+2 +2 Với x  −2 ta có   x +   x+6  x+6  x + +   x + +  x+1 Do x+2 +2 +  x +1 x+2  x+6 x+6 −x−4 = − − + 0 2 x+7 +3 x + + x + +     x+6 Như từ phương trình ta thu x − =  x = Kết hợp với điều kiện xác định ta x = nghiệm phươg trình Nhận xét ( x + 1) ( ) x+2 −2 = ( x + 1)( x − ) ta thấy x + chưa x+2 −2 xác định dấu x  −2 Do ý tưởng nảy sinh ta nhóm liên hợp cho sau Khi nhóm liên hợp dạng ( x + 1) ( x − ) Muốn ta cần thức nhóm nhân liên hợp biểu thức x+2 −2 ( x + 1)( x − ) liên hợp dạng ( ax + b ) − x +  sau nhân lượng liên hợp ta   ax + b + x + đồng thời hệ số a b thỏa mãn điều kiện ( ax + b ) − x + = x = −1; x = Từ a = ; b = Như ta cần ghép nhóm liên hợp dạng 3   ( x + 1)  13 x + 43  − x +  Để đơn giản ta nhân hai vế phương trình với Khi    ta tìm ta ( x + 1) ( x + ) −  ( x − 1) ( x − ) x+ 2 =  x+4+3 x+2 x−2 Với nhóm liên hợp dạng − x + = − để đảo dấu ta thực 3+ x+7 nhóm (x + 6) liên x+7 ( hợp ) x+7 −3 = dạng (x + 6) x+7 ( ) x+7 −3 Khi x + (x − 2) x+7 +3 Từ ta giải phương trình theo cách sau Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Phương trình cho tương đương với ( x + 1) ( x + − x + ) + ( x + ) ( x + 1) ( x − ) + ( x + )( x − )  x+7 ( ) x + − + x + 3x − 10 = x+7 + ( x − )( x + ) = x+4+3 x+2 x+7 +3   x + 1) x + 6) x + ( (   (x − 2) + + x + 5 = x + + x +  x+7 +3   Dễ thấy ( x + 1) x+4+3 x+2 + ( x + 6) x+7 x+7 +3 + x +  với x − Do từ phương trình ta x = nghiệm TỔNG KẾT • Để nhận xét phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp có lẽ khơng cần dùng nhiều từ hoa mỹ Nếu sử dụng đặc biệt sử dụng thành thạo phương pháp có lẽ nhận ưu điểm vượt trội + Kiến thức phương pháp đơn giản, dễ hiểu + Phương pháp thực mạnh có ứng dụng lớn tốn chứa phương trình vơ tỷ, hệ phương trình, bất đẳng thức, • Cùng với pháp triển toán học thừ phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp ngày hoàn thiện Có nhiều tài liệu giáo trình viết phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp với cách trình bày riêng biệt đầy thú vị Tuy nhiên mặt bẩn chất ta nói ngắn gọn phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp theo hai bước sau + Bước Tìm lượng liên hợp nhân liên hợp để làm xuất nhân tử chung + Bước Xử lý phương trình lại sau nhân lượng liên hợp Có cách xử lý biểu thức phương trình lại sau nhân lượng liên hợp Kết hợp với điều kiện xác định để chứng minh phương trình vơ nghiệm Kết hợp với phương trình cho tạo thành hệ tạm Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Truy ngược dấu đại lượng biểu thức sau liên hợp Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An ... Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = − ;1 + Một số kỹ thuật xử lý sau nhân lượng liên hợp Để giải toán phương trình vơ tỷ phương pháp sử dung đại lương liên hợp ta thường biến đổi phương trình. .. giá phương trình sau nhân lượng liên hợp vô nghiệm dễ dàng • Vấn đề đặt có cách xử lý để nhân lượng liên hợp ta thu phương trình sau có đại lượng dấu Chẳng hạn phương trình trên, ta thấy đại lượng. .. phương trình giải đươc Nhẩm x = x = −1 hai nghiệm phương trình, ta giải phương trình cách nâng lên lũy thừa Ta thử giải phương trình với phương pháp nhân lượng liên hợp xem Do phương trình có hai