Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20 ĐỀ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XII, NĂM 2019 MƠN: TỐN 10 TIME: 180 PHÚT Câu (4.0 điểm)  ( 1)  ( y + 1) + y y + = x +   Giải hệ phương trình  x + x − x + = + 2 x − y + ( ) Câu (4.0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = AC , điểm D , E , F nằm cạnh DE // AB , DF // AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC BC , CA , AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác cho AEF H ( H ≠ E ) Đường điểm A , G Đường thẳng DE thẳng qua G vng góc với GH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm K ( K ≠ G ) , đường thẳng qua G vuông góc với GC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF điểm L ( L ≠ G ) Gọi P , Q cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh BC AEF điểm GDK , GDL Chứng minh điểm D thay đổi thì: a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF ln qua hai điểm cố định b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ qua điểm cố định Câu (4.0 điểm) Tìm tất số nguyên dương m, n số nguyên tố p thỏa mãn 4m3 + m2 + 40m = ( 11 p n − ) Câu (4.0 điểm) Cho số thực dương a , b , c Chứng minh rằng: a(a − 2b + c) b(b − 2c + a) c(c − 2a + b) + + ≥0 ab + bc + ca + Câu (4.0 điểm) Cho bảng vng kích thước 100 × 100 mà điền ký tự Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! A, B, C , D cho Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20 hàng, cột bảng số lượng ký tự loại (không 25 Ta gọi hai ô thuộc hàng thiết kề nhau) điền khác ký tự “cặp tốt”, hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh hoặc nằm cạnh bảng bốn ô vuông đơn vị ở bốn góc điền đủ bốn ký tự A, B, C , D “bảng tốt” a) Hỏi cách điền ở trên, có cách điền mà bảng vng 1× 4, × × có chứa đủ ký tự A, B, C , D ? b) Chứng minh với cách điền thỏa mãn đề bảng vng cho: i) Ln có cột bảng mà từ chọn 76 cặp tốt ii) Ln có bảng tốt  HẾT  Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XII, NĂM 2019 MÔN: TOÁN 10 TIME: 180 PHÚT Câu  ( 1)  ( y + 1) + y y + = x +   Giải hệ phương trình  x + x − x + = + 2 x − y + ( ) Lời giải Tác giả: Nguyễn Chí Thành; Fb: Nguyễn Chí Thành Điều kiện: 2x − y + ≥ Từ phương trình ( 1) , ta có: x − y + = y + + y y + + y ⇔ x − y + = 2 ( 2) Thay vào phương trình ý ( ) y +1 + y y2 + + y > Lúc ta được: x + x2 − 2x + = + ( ) y2 + + y ⇔ x − 1+ ( x − 1) +4=2 ( y2 + + y ) x −1  x −1 ⇔ +  ÷ + = y + + y ( 3)   Đặt u= x−1 2 Từ ( 3) trở thành u + u + = y + + y ⇔ u − y + u2 + − y2 + = ⇔u− y+ ( u − y) ( u + y) u2 +1 + y2 + =0   u+ y ÷= ⇔ ( u − y ) 1+ 2  ÷ ( 4) u + + y +   Do 1+ u+ y u2 + + y2 + ( = ) ( u2 + + u + y2 + + y u2 + + y2 + ) >0 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Nên từ ( ) cho ta u= Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20 x −1 y , hay = y ⇒ x = y + y + + y y + = y + ( ) ⇔ Thay vào phương trình ( 1) ta được: 2 ⇔ y2 + + y = (vì ) y +1 + y = y2 + + y > ) Kết luận: Hệ có nghiệm Cho tam giác AB ( y2 + = − y ⇒ y2 + = − y + y2 ⇔ y = ⇒ x = ⇔ Câu 2 cho tiếp tam giác AEF AB = AC , điểm D , E , F nằm cạnh BC , CA , DE // AB , DF // AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại ABC có AEF điểm điểm tam giác 5 3 ( x; y )  ; ÷ ABC A , G Đường thẳng DE H ( H ≠ E ) Đường thẳng qua G điểm cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác vng góc với K ( K ≠ G ) , đường thẳng qua G GH cắt đường tròn ngoại tiếp vng góc với GC cắt đường tròn AEF điểm L ( L ≠ G ) Gọi P , Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GDK , GDL Chứng minh điểm D thay đổi cạnh BC thì: ngoại tiếp tam giác a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF qua hai điểm cố định b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ ln qua điểm cố định Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Nhung; Fb: Nguyễn Thị Hồng Nhung Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a) Gọi Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20 O , O′ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , AEF Gọi E ′ đối xứng với E qua đường thẳng AO Khi giác BDEE ′ EE′ // BC vng góc với AO DE = BE′ , kết hợp với DE = AF hình bình hành suy (Có thể khơng cần dựng điểm E ′ , dễ thấy tam giác bình hành, nên ta có Suy ta điểm suy tứ BF = AE BFD cân F có tứ giác AEDF hình · EAF suy BF = DF = AE ) ∆ OAE ′ = ∆ OBF ⇒ OE = OF Kết hợp với OA phân giác góc O ∈ ( AEF ) Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF qua hai điểm cố định A , O b) Tam giác F suy FBD cân F 1· 1· · GBF = GOA = GFA suy FB = FD , nên tam giác 2 FB = FG Từ suy F Chứng minh tương tự ta Từ EF trung trực tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cân giao điểm đường thẳng qua thẳng qua O′ song song với GC F suy vng góc với DG cân DGB tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DG , kết hợp với AG · = EAF · = EDF · ⇒ ∆ FHD FHD P E FGB DGC suy EF // AG FH = FD ⇒ H ∈ ( GBD ) O song song với GH EF , Q giao điểm đường EF Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC E tâm đường tròn hợp với GC Câu O suy GL song song ( 1) ( 2) kết hợp với PQ , kết hợp với OO′ cân hay nội tiếp suy ( GPQ ) Tìm nguyên tất tâm đường tròn ngoại tiếp ( GAC ) suy OE ⊥ GC , kết OE Do OE ⊥ O′Q ⇒ QE = QO ( 1) PO = PF ( ) OE = OF , trung trực GL vng góc với Tương tự ta Mặt khác ( GDC ) Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20 số trung trực qua điểm dương ∆ QOE = ∆ POF ⇒ OP = OQ ⇒ OO′ ta m, n GA nên tứ giác AQPG là hình thang A cố định số nguyên tố p thỏa mãn 4m3 + m + 40m = ( 11 p n − ) Lời giải Tác giả: Trịnh Quang Hoàng; Fb: Hoàng DeMon Phương trình cho tương đương với TH1: Với n = , thử trực tiếp với m = 1,2,3,4,5 không thỏa mãn m > ⇒ 4m + > 22, m + 10 > 22 Do (4m + 1)Mp,(m + 10)Mp vơ lí n = TH2: Với ( 4m + 1) ( m2 + 10 ) = 22 p n n > , thử trực tiếp với m = 1,2,3,4,5 không thỏa mãn m > ⇒ 4m + > 22, m + 10 > 22 Do (4m + 1)Mp,(m + 10)Mp  4m + = 11x p a *  y b Suy  m + 10 = 2.11 p x, y ∈ { 0,1} ; x + y = 1; a , b ∈ ¥ ( ∀ m ∈ ¥ * ta có m + 10 > 4m + Dễ thấy +) Nếu ) b≥ a 11( m + 10 ) ≡ mod ( 4m + 1) ⇒ 11m2 ≡ −110 mod ( 4m + 1) 11.16m ≡ −1760 mod ( 4m + 1) ⇒ 11 ≡ −1760 mod ( 4m + 1) (do 16m Mà ≡ 1mod ( 4m + 1) ) ⇒ 1771 ≡ 0mod ( 4m + 1) 4m + ≡ 1( mod ) , 1771 =  4m + = 77  ⇒  4m + = 161 ⇒ 7.11.23  4m + = 253  m = 19  m = 40   m = 63 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20 Thử lại không thỏa mãn +) Nếu b< a a  4m + = p ⇒ b y = 1, x =  m + 10 = 2.11 p  p | 4m +  p=7 ⇒ p | ( 4m − 160 ) ⇒ p |161 ⇒   Do  p | m + 10 ⇒ p | m + 10 − m ( 4m + 1) = 40 − m  p = 23 ( ) + Nếu p = 23 22.23b > 23a ⇒ 22 > 23a − b + Nếu p= vơ lí a − b∈ ¥* 22.7b > a ⇒ 22 > a − b ⇒ a − b = b +1  4m + = ⇒ m = 12  k m + 10 = 22.7 Khi ta có:  Thay vào phương trình ban đầu tìm Vậy Câu n = ( m; n; p ) = ( 12;3;7 ) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a(a − 2b + c) b(b − 2c + a) c(c − 2a + b) + + ≥0 ab + bc + ca + Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Uyên; Fb: Uyen Nguyen a ( a − 2b + c ) a + + ac + − ( ab + 1) a + ac + = = + −2 Ta có: ab + ab + ab + ab + b ( b − 2c + a ) b2 + ba + c ( c − 2a + b ) c + cb + = + −2 = + −2 Tương tự ta có: bc + bc + bc + ca + ca + ca + a ( a − 2b + c ) Vậy ab + + b ( b − 2c + a ) bc + + c ( c − 2a + b ) ca + ≥0  a + b2 + c +   ac + ba + cb +  ⇔ + + + + ÷+  ÷− ≥ ab + bc + ca + ab + bc + ca +      a + b2 + c +   ac + ba + cb +  ⇔ + + + + ÷+  ÷≥ ab + bc + ca + ab + bc + ca +     Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số ta có: ac + ba + cb + ac + ba + cb + + + ≥ ×3 × × =3 ab + bc + ca + ab + bc + ca + Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! (1) Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20 2 a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( a + b2 + c + a + b + c + + + ≥ ×3 × × = ×3 ab + bc + ca + ab + bc + ca + ( ab + 1) ( bc + 1) ( ca + 1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz ta có:  ( a + 1) ( b + 1) ≥ ( ab + 1)  2  2 2  ( b + 1) ( c + 1) ≥ ( bc + 1) ⇒  ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1)  ≥  ( ab + 1) ( bc + 1) ( ca + 1)   2  ( c + 1) ( a + 1) ≥ ( ca + 1) ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ≥ ⇒ ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ≥ ( ab + 1) ( bc + 1) ( ca + 1) ⇒ ( ab + 1) ( bc + 1) ( ca + 1) 2 2 2 a + 1) ( b2 + 1) ( c + 1) ( a + b2 + c2 + + + ≥ ×3 ≥3 ab + bc + ca + ( ab + 1) ( bc + 1) ( ca + 1) Suy ra: (2) Từ (1), (2) suy điều phải chứng minh = Dấu “ ” xảy a = b = c Cách 2: a ( a − 2b + c ) a + + ac + − ( ab + 1) a2 ac + = = + + −2 Ta có: ab + ab + ab + ab + ab + b ( b − 2c + a ) b2 ba + = + + −2 Tương tự ta có: bc + bc + bc + bc + c ( c − 2a + b ) c2 cb + = + + −2 Và ca + ca + ca + ca + a ( a − 2b + c ) b ( b − 2c + a ) c ( c − 2a + b ) + + ≥0 Vậy suy ab + bc + ca +  a2 b2 c2   1   ac + ba + cb +  ⇔ + + + + + + ÷+  ÷+  ÷≥ ab + bc + ca + ab + bc + ca + ab + bc + ca +       Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số, ta có: ac + ba + cb + ac + ba + cb + + + ≥ ×3 × × =3 ab + bc + ca + ab + bc + ca + (1) Mặt khác áp dụng dạng phân thức bất đẳng thức Cauchy-Swcharz, ta có:  a2 b2 c2   1  + + + +  ÷+  ÷  ab + bc + ca +   ab + bc + ca +  Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ≥ ( a + b + c) ( ab + bc + ca ) + =3 ab + bc + ca + ab + bc + ca + ab + bc + ca + + ( + + 1) Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20 ≥ (2) Từ (1), (2) suy điều phải chứng minh = Câu Dấu “ ” xảy a = b = c Cho bảng vng kích thước 100 × 100 mà ô điền ký tự A, B, C , D cho hàng, cột bảng số lượng ký tự loại 25 Ta gọi hai ô thuộc hàng (không thiết kề nhau) điền khác ký tự “cặp tốt”, hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh hoặc nằm cạnh bảng bốn vng đơn vị ở bốn góc điền đủ bốn ký tự A, B, C , D “bảng tốt” a) Hỏi cách điền ở trên, có cách điền mà bảng vng 1× 4, × × có chứa đủ ký tự A, B, C , D ? b) Chứng minh với cách điền thỏa mãn đề bảng ô vuông cho: i) Luôn có cột bảng mà từ chọn 76 cặp tốt ii) Ln có bảng tốt Lời giải Tác giả: Vũ Hoàng Anh; FB: Vũ Hoàng Anh A , B , C , D Khi đó, thứ hai cột phải điền D thuộc hai hình vng 2x2 chứa sẵn A , B , C Do đó, ta điền tiếp cột theo thứ tự C , D , A , B Cứ ta điền tiếp cho cột 3, a) Khơng tính tổng qt, giả sử ô cột điền A C A C B D B D C A C A D B D B Tuy nhiên, ta thấy hàng khơng thỏa mãn chứa hai loại ký tự Vậy nên khơng có cách điền thỏa mãn điều kiện nêu b) i Tồn hai cột Giả sử phản chứng cặp cột tùy ý có 25 cặp ký tự Cố định cột 1, xét T số ( a; b ) Theo giả sử T ≥ 99.25 99 cột lại Gọi Mặt khác theo giả thiết cột a≥ có thứ b từ xuống ký tự T = 100.24 (tính theo hàng) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 2019 – Tổ 20 Suy 100.24 ≥ 99.25 , điều vô lý chứng tỏ giả thiết phản chứng sai, tức chọn hai cột thỏa mãn đề ii Tồn bảng tốt Giả sử phản chứng khơng có hàng, cột cắt tạo thành hình chữ nhật thỏa mãn Xét cột chọn ở trên, giả sử có cặp Ta có hai khả năng: - Nếu có ( A; D ) số lần ký tự - Nếu có ký tự lý khơng có ( A; B ) , ( A; C ) khơng có ( C ; D ) , ( B; D ) ( B; C ) , cặp 76 cặp có ký tự A ; A xuất tối đa 50, vơ lý ( B; C ) khơng có ( A; D ) , 76 cặp có 76.2 = 152 số lần xuất A , B , C , số lần xuất ký tự A , B , C tối đa 76 cặp 150, vô Từ ta có đpcm  HẾT  Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! 10 Trang ... TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 201 9 – Tổ 20 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XII, NĂM 201 9 MƠN: TỐN 10. .. tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Nên từ ( ) cho ta u= Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 201 9 – Tổ 20 x −1 y , hay =... Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC a) Gọi Đề HSG lớp 10 KVDH @ĐB Bắc Bộ 201 9 – Tổ 20 O , O′ tâm đường tròn