CHỦ ĐỀ MŨ LÔGARIT CHỌN LỌC VD - VDC HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT VÀ BÌNH LUẬN I CÁC BÀI TOÁN CỦA BGD Câu 1: (BGD - Đề thi thử nghiệm THPTQG 2017 C20) Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình 6x + (3 − m ).2x − m = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) A  3; 4 B 2; 4 C (2; 4) D (3; ) Hướng dẫn ( ) Biến đổi phương trình m + 2x = 6x + 3.2x ⇒ m = khoảng (0; 1); f ' (x ) = 6x + 3.2x = f (x ) hàm số liên tục + 2x 12x (ln − ln 3) + 6x ln + 3.2x ln 2 (1 + ) x > f (0) = 2, f (1) = Chọn C Lời bình Nhìn chung: tốn có tham số m "cơ lập m " nên giải theo phương pháp Trong nhiều trường hợp ta đặt ẩn phụ để đưa phương trình bậc hai (hay phương trình đa thức), từ biện luận phương trình theo m Bằng máy tính Casio, ta vào Mode nhập hàm f (x ) đoạn  0;1 ta khảo sát   giá trị f (x ) Câu 2: (BGD - Đề thi thử nghiệm THPTQG 2017 C21) Xét số thực a, b thỏa mãn a > b > Tìm giá trị nhỏ biểu thức a  P = log2 a (a ) + logb    b  b A 19 B 13 C 14 D 15 Hướng dẫn   1   +  − 1 = Đặt loga b = t ∈ (0;1) ⇒ P =  + − Ta có:   1 − t  t (1 − t ) t      12 1    P = −12 + 9 + + ≥ − 12 + + = − 12 + + +   2 1 − t − t 2t   − t t t  (1 − t )   P ≥ −12 + = 15 Dấu có ⇔ t = ⇒ P = 15 Chọn D − t + − t + 2t Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Lời bình Trong tốn có số phân số ta tìm cách khử phân số đi, công thức đổi số: 2 log (a ) a b     =  log a a  = 2 log a (a )  b    b ( )       = Cần ý đến bình phương =    a  − log b  ( a )  loga  b     logarit mà nhiều học sinh dễ mắc sai lầm Ở ta dùng bất đẳng thức để giải toán, nhiên ta khảo sát hàm số ẩn t (1 − t ) P (t ) = + có dạng bậc hai bậc ba, số học sinh đạo hàm t (1 − t ) tương đối phức tạp, ngồi phải tìm nghiệm đạo hàm, lập bảng biến thiên Như xem tốn khó nằm độ phức tạp kỹ đạo hàm biến đổi logarit Câu 3: (BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2017 C33) Cho số thực a, b > thỏa mãn loga b = Tính P = log A −5 + 3 B + b a a b C −1 − D −5 − 3 Hướng dẫn Từ giả thiết loga b = ⇒ b = a P = log a = log b a b a  a    a   =   , đó: 1− = + Chọn B −2 a Lời bình Cách giải bản, tức dùng phép để biến đổi logarit theo a , kết không phụ thuộc vào a, b > Bằng máy tính Casio ta chọn cặp a, b > 0, a ≠ tùy ý để tính Ở cần đòi hỏi kỹ biên đổi số, công thức loga β (b α ) = α loga b Bài toán mức VD β Câu 4: (BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2017 C45) Có giá trị nguyên tham số m thuộc −2017;2017 để phương trình   log (mx ) = log (x + 1) có nghiệm nhất? A 2017 B 4014 C 2018 D 4015 Hướng dẫn Điều kiện x > − 1, x ≠ Phương trình trở thành mx = (x + 1) ⇒ m = x + ⇒ f ' (x ) = + = f (x ) x x2 −1 = ⇔ x = ±1 Ta có bảng biến thiên: x2 Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung x f ' (x ) −1 f (x ) `0 − +∞ − + +∞ +∞ −∞ m = Vậy để phương trình có nghiệm  , m nguyên thuộc −2017;2017 suy   m <  m ∈ {−2017; −2016; ; −1} ∪ {4} Chọn C Lời bình Trên ta "trung thành cô lập m" để khảo sát hàm số f (x ) Chúng ta đưa phương trình bậc hai để giải biện luân theo m, nhiên xét trường hợp cách hợp lý khơng bỏ sót nghiệm, ngồi tương đối dài dòng Cách giải lập bảng biến thiên tương đối "tường minh" thường hay sử dụng Rất dễ bỏ qua trường hợp m = Qua "lấy số kết trung gian" để tạo toán cho học sinh lớp 9, 10, 11, 12 giải trắc nghiệm hay tự luận, chẳng hạn: "Có giá trị nguyên tham số m −2020 ≤ m ≤ 2020 để phương trình mx = (x + 1) có nghiệm thỏa mãn x > − 1, x ≠ ?" Câu 5: (Đề thi thức THPTQG 2017 M101 C39) Tìm giá trị thực tham số m để phương trình log23 x − m log3 x + 2m − = có hai nghiệm x 1, x thỏa mãn x 1x = 81 A m = − B m = C m = 81 D m = 44 Hướng dẫn Đặt log x = t ta có phương trình t − mt + 2m − = Theo yêu cầu toán định lý Viet, ta có: log3 (x1x ) = log3 (x1 ) + log3 (x ) = t1 + t2 ⇒ m = log3 (81) = Chọn B Lời bình Ta không cần kiểm tra lại xem m = có thỏa mãn tốn hay khơng? Vì đáp án cho rõ ràng Nếu đáp án có phương án lựa chọn m ∈ ∅ ta cần kiểm tra lại m = có thỏa mãn hay khơng, điều kiện có nghiệm ∆ > Bài tốn khó đưa vào phương án lựa chọn m ∈ ∅  x + x = − b a cần có ∆ ≥ Nói cách khác: dạy định lý Viet, cần ý nhấn mạnh   c x 1x = a  x + x = −1 trước đã! Một ví dụ mà giáo viên hay lấy làm dẫn chứng  phương x 1x =  trình x + x + = vô nghiệm! Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 6: (Đề thi thức THPTQG 2017 M101 C42) Cho loga x = 3, logb x = với a, b số thực lớn Tính P = logab x A P = 12 B P = 12 C P = 12 D P = 12 Hướng dẫn Biến đổi P theo giả thiết, ta có: P = logab x = 1 = = logx ab logx a + logx b 1 + loga x logb x = = 1 + 12 Chọn D Lời bình Trên toán dễ, tương tự câu 3, chủ yếu cơng thức đổi số Ta giải theo phương pháp theo a , chẳng hạn: loga x = 3, logb x = ⇒ x = a = b ⇒ b = a , P = logab x = log a a a = log a4 (a ) = 74 = 127 Mặt khác để khơng phải biến đổi nhiều ta cho a = m , b = m ⇒ x = m 12 (lấy giá trị đổi làm số mũ cho nhau, < m ≠ ), ab = m dễ dàng có P = 12 Câu 7: (Đề thi thức THPTQG 2017 M101 C47) Xét số thực dương x , y thỏa mãn log − xy = 3xy + x + 2y − Tìm giá trị nhỏ x + 2y Pmin P = x + y A Pmin = 11 − 19 B Pmin = 11 + 19 C Pmin = 18 11 − 29 21 D Pmin = 11 − Hướng dẫn Biến đổi log − xy u + = − (3 − 3xy ) + x + 2y ⇔ log = −u + v ⇔ u + log u = v + log v x + 2y v Hàm số f (t ) = t + log3 t đồng biến nên suy u = v ⇔ − 3xy = x + 2y , dùng phép thế, ta có: − 3x (P − x ) = x + (P − x ) ⇒ 3x − (3P − 1) x + − 2P = Sử dụng điều kiện có nghiệm (3P − 1) − 12 (3 − 2P ) ≥ ⇒ 9P + 18P − 35 ≥ ⇒ P ≥ Lời bình Fb: Diendangiaovientoan 11 − Chọn D GV: Nguyễn Xuân Chung Trên ta bỏ qua điều kiện x , y , xem chúng tồn giải để có đáp số Nếu đáp án đưa phương án lựa chọn khó là: Khơng tồn tại, x , y > ta cần lập luận chặt chẽ để có kết luận Chẳng hạn cần có điều kiện  kiểm tra xy <  xem dấu xảy nào? Có thỏa mãn điều kiện hay khơng? Mặt khác: tốn cho phương trình hai ẩn thường xuyên giải theo PP đánh giá hay PP hàm số Cách khác đưa biến để đánh giá hay khảo sát, chẳng hạn: y = có P = x + Pmin = 3−x vào P, ta 3x + 11 − (3x + 2) 3−x 11 ⇒ 3P = 3x + = 3x + + − ≥ 11 − , từ suy 3x + 3x + 3x + 2 11 − ⇔ 3x + = 11 ⇔ x = 11 − ,y = 11 − (thỏa mãn xy < ) Chọn D Câu hỏi đặt là: Có thể giải tốn máy tính Casio khơng? Câu trả lời Vì yêu cầu tìm GTNN nên ta kiểm tra xem phương án số nhỏ nhất? Và ta thử từ đáp án nhỏ trước tiên, A ≈ 1,2 < D ≈ 1,22 < C ≈ 1, 46 , nhập phương  − X (1.2 − X )    − 3X (1.2 − X ) + X + (1.2 − X ) − bấm Shift Solve, trình sau: log   X + (1.2 − X )   máy hỏi X ta nhập 0.5 bấm Shift Solve máy báo lỗi Sửa thành 1.22 giải lại máy cho đáp số X ≈ 0.54 Vậy chọn D Tuy nhiên có phương án Khơng tồn coi chừng! ( ) Câu 8: (Đề thi thức THPTQG 2017 M102 C31) Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x − 2x +1 + m = có hai nghiệm thực phân biệt A m ∈ (−∞;1) B m ∈ (0; +∞) C m ∈ (0;1  D m ∈ (0;1) Hướng dẫn Đặt 2x = t > ta có phương trình t − 2t + m = Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ ' = − m > dương  ⇔ m ∈ (0;1) Chọn D t1t2 = m >  Lời bình Bài tốn bậc hai đơn giản, không cần thiết "cô lập m" m = −t + 2t khảo sát hàm số f (t ) , lại trở nên phức tạp Nói cách khác: lập m để khảo sát hàm số không định phải áp dụng "cứng nhắc" để làm cho vấn đề phức tạp hay rắc rối Đây điều mà nhắc nhở cho học sinh "sự linh hoạt" giải toán thơng qua ví dụ đơn giản, quan trọng là: GV cần làm cho HS tự nhận xét rút kinh nghiệm cho Khơng phải thầy trò giải xong tốn xong! Như học có lẽ thành cơng chăng? Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 9: (Đề thi thức THPTQG 2017 M102 C37) Cho x, y số thực lớn thoả mãn: x + 9y = 6xy Tính giá trị biểu thức M = + log12 x + log12 y log12 (x + 3y ) A M = B M = C M = D M = Hướng dẫn Biến đổi giả thiết x + 9y = 6xy ⇔ (x + 3y ) = 12xy (*) Và biến đổi M = log12 12xy log12 (x + 3y ) = Chọn B Lời bình Cách giải tương đối khái quát, hướng giả thiết kết luận đến "điểm chung" Ngồi ta nhìn nhận giả thiết tính đẳng cấp để rút ẩn thế: x − 6xy + 9y = 2 ⇔ (x − 3y ) = ⇔ x = 3y , vào M, ta có M = + log12 3y + log12 y log12 6y = log12 (6y ) log12 6y = Hoặc sử dụng máy tính Casio, cho y = 1, x = tính M Câu 10: (Đề thi thức THPTQG 2017 M102 C46) Xét số thực dương a, b thỏa mãn log2 − ab = 2ab + a + b − Tìm giá trị nhỏ Pmin a +b P = a + 2b A Pmin = 10 − B Pmin = 10 − C Pmin = 10 − D Pmin = 10 − Câu 11: (Đề thi thức THPTQG 2017 M103 C32) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = log (x − 2x − m + 1) có tập định ℝ A m ≥ B m < C m ≤ D m > Hướng dẫn Yêu cầu toán x − 2x − m + > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ (x − 1) > m, ∀x ∈ ℝ (*) Dễ thấy (*) m < Chọn B Lời bình Bài tốn trường hợp "đặc biệt" bất phương trình bậc hai Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Để giải ta "đặc biệt" cho x = đáp án Nói cách khái quát hơn: mà giả thiết đặc biệt hóa ta đặc biệt hóa theo giả thiết để giải tốn Câu 12: (Đề thi thức THPTQG 2017 M103 C42) Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log22 x − log2 x + 3m − < có nghiệm thực B m < A m < C m < D m ≤ Hướng dẫn Đặt log2 x = t ⇒ t − 2t + 3m − < ⇒ (t − 1) < − 3m Để bất phương trình có nghiệm ta có − 3m > ⇔ m < Chọn A Lời bình Đây minh chứng cho nhận xét câu 11, cho t = ta có đáp án Ngồi ta lưu ý là: hàm số logarit có tập giá trị ℝ nên không cần điều kiện cho t trường hợp này, mà khơng có điều kiện khác mẫu thức, bậc chẵn, log2 x = t ⇔ x = 2t > , tồn t cho ta x tương ứng dương Một số học sinh đặt điều kiện cho x trước tiên x > khơng cần thiết Câu 13: (Đề thi thức THPTQG 2017 M103 C50) Xét hàm số f (t ) = 9t với m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị 9t + m tham số m cho f (x ) + f (y ) = với số thực x , y thỏa mãn e x +y ≤ e (x + y ) Tìm số phần tử S B A C Vô số D Hướng dẫn Trước hết ta xét hàm số g (t ) = et − et ⇒ g ' (t ) = e t − e = ⇔ t = 1; g '' (t ) = et > Từ suy t = điểm cực tiểu g (t ) , hay g (t ) ≥ g (1) = 0, ∀t ∈ ℝ ⇔ e t ≥ et, ∀t ∈ ℝ Vậy giả thiết e x +y ≤ e (x + y ) xảy x + y = Tiếp theo ta có phương trình: f (x ) + f (1 − x ) = 1, ∀x ∈ ℝ ⇔ 9x 91−x + =1 + = 1, ∀x ∈ ℝ Đặc biệt cho x = , ta x 1−x +m +m 9+m + m2 ⇒ m2 = ⇒ + m2 = m + m2 ⇒ m = ± + m2 + m2 Thử lại với m = Vậy S = { 9x 91−x 9x 9x + = + = + = 1, ∀x ∈ ℝ x 1−x x x x +3 +3 + + 3.9 + 3 + 9x } 3; − Chọn D Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Lời bình Chúng ta xuất phát từ giả thiết cuối e x +y ≤ e (x + y ) để giải toán, mong tìm mối liên hệ x y hệ thức f (x ) + f (y ) = phương trình hai ẩn có tham số Trong q trình giải tốn có tham số nhiều ta đổi vài trò ngược lại: tham số ẩn cần tìm, ẩn lại xem tham số thỏa mãn điều kiện định Câu hỏi là: Chúng ta giải (hay mò) tốn máy tính Casio hay khơng? Câu trả lời Xuất phát từ điều kiện đặc biệt cho dấu xảy e X +Y − e (X + Y ) = , dùng Shift Solve máy hỏi Y, ta cho Y tùy ý, chẳng hạn Y = 1, tìm X = Sau nhập điều 9X 9Y kiện X + − , M Shift Solve nhập M = 0.5 tìm M = 1,7320508 Và Shift +M2 9Y + M Solve nhập M = - 0.5 tìm M = -1,7320508 (nhớ để X, Y cố định) Vậy m = ± Câu 14: (Đề thi thức THPTQG 2017 M104 C31) Tìm giá trị thực tham số m để phương trình 9x − 2.3x +1 + m = có hai nghiệm thực x 1, x thỏa mãn x + x = A m = B m = − C m = D m = Câu 15: (Đề thi thức THPTQG 2017 M104 C40) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = log (x − 2x + m + 1) có tập định ℝ A m = m < −1 C  m > B < m < D m > Câu 16: (Đề thi thức THPTQG 2017 M104 C46) Xét số nguyên dương a, b cho phương trình a ln x + b ln x + = có hai nghiệm phân biệt x 1, x phương trình log2 x + b log x + a = có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x 1x > x 3x Tìm giá trị nhỏ S S = 2a + 3b A S = 30 B S = 25 C S = 33 D S = 17 Hướng dẫn Điều kiện để hai phương trình có nghiệm phân biệt ∆ = b − 20a > ⇔ b > 20a Đến ta sử dụng định lý Viet giả thiết: x 1x > x 3x ⇒ ln x + ln x > ln x + ln x hay đổi số vế phải ln x + ln x > log x + log x log e ⇒− b b > − ln 10 ⇔ a > ≈ 2,17 a ln 10 Vì a ∈ ℕ * nên a = Mà b > 20a = 60 nên bmin = Suy S = 30 Chọn A Lời bình Vì thi trắc nghiệm nên ta bỏ qua số lập luận a, b ∈ ℕ* , ∆ > nên nghiệm x 1, x Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung khác nhau, x , x khác số dương Do lấy logarit vế thỏa mãn tồn Nếu giải lập luận q đầy đủ chặt chẽ khơng đủ thời gian giấy nháp (khoảng 20 trang cho thi!) Tuy nhiên dạy học hay ôn tập cho học sinh cần nhắc nhở thêm lấy ví dụ phản chứng Qua nhiều toán khác, thấy cần làm cho học sinh thấy mở rộng ứng dụng định lý Viet chỗ: Định lý Viet áp dụng khái quát phương trình có ẩn u (x ) hay u (x , y ) dạng au + bu + c = Ý nghĩa là: không cần chuyển đổi trực tiếp biến, cụ thể ta hay áp dụng với a u(x ) loga u (x ) Câu 17: (BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2018 C27) Tổng giá trị tất nghiệm phương trình log x log x log 27 x log 81 x = A 82 B 80 C D Hướng dẫn Viết lại phương trình log x ) = ⇒ log x = ± ⇒ x = , x = Chọn A ( 24 Câu 18: (BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2018 C34) Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình 16x − 2.12x + (m − 2).9x = có nghiệm dương? A B C D Hướng dẫn x x x  16  12  4 Viết lại phương trình thành   −   + m − = ⇒ − m = (t − 1) , t =   > Từ       suy − m > ⇒ m < ⇒ m ∈ {1;2} Chọn B Lời bình Bài tốn u cầu "có nghiệm dương" "cả hai nghiệm dương" Bởi m < t = + − m > thỏa mãn toán Câu 19: (BGD - Đề thi tham khảo THPTQG 2018 C42) Cho dãy số (un ) thỏa mãn log u1 + + log u1 − log u10 = log u10 un+1 = 2un với n ≥ Giá trị nhỏ n để un > 5100 A 247 B 248 C 229 D 290 Hướng dẫn Đặt + log u1 − log u10 = t ≥ , ta phương trình t + t − = ⇒ t = Mặt khác un+1 = 2un nên (un ) cấp số nhân công bội q = Khi ta có: Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung ( + log u1 − log u10 = ⇒ log (10u1 ) − log u1 29 ) = ⇒ 10u1 = 218.u12 ⇒ u1 = 10.2−18 Suy un = 10.2−18.2n−1 > 5100 ⇔ 2n−18 > 599 ⇒ n > 18 + 99 log2 ≈ 247, 87 Vậy số n nhỏ 248 Chọn B Lời bình Đối với số học sinh thấy "biểu thức cồng kềnh" sinh tâm lí "e ngại" giải tốn Vì để tránh tâm lí giáo viên lấy hay tương tự để rèn luyện cho em, điều quan tâm là: nhấn mạnh bước giải cách "tường minh" em khơng "đáng ngại" với dạng toán trên: - Đầu tiên "giải phương trình vơ tỉ bình thường" ta làm thôi! - Thứ hai "dãy số cho gì?" suy số hạng tổng quát? - Cuối "cho dãy thỏa mãn điều kiện" Trên kiến thức kỹ có liên quan phối hợp toán Để rèn luyện cho HS, ta lấy dãy đơn giản, phương trình vơ tỉ nhẹ nhàng, giảm bớt điều kiện Câu 20 (Đề thi thức THPTQG 2018 M101 C34) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho phương trình 16x − m x +1 + 5m − 45 = có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có phần tử? A 13 B C D Hướng dẫn Đặt x = t > ta có phương trình bậc hai t − 4mt + 5m − 45 = , để có hai nghiệm dương phân biệt ta sử dụng điều kiện tổng, tích delta dương, nhiên ta biến đổi 45 − m > 2 tiếp: (t − 2m ) = 45 − m suy điều kiện  ⇒ m ∈ {4; 5; 6} Chọn B 5m − 45 > 0, 4m > Câu 21 (Đề thi thức THPTQG 2018 M101 C44) Cho a > , b > thỏa mãn log 3a +2b +1 (9a + b + 1) + log6ab +1 (3a + 2b + 1) = Giá trị của a + 2b bằng A B C D Hướng dẫn Để cho gọn ta ký hiệu m = 3a + 2b + > có logm (9a + b + 1) + = Đây logm (6ab + 1) phương trình hai ẩn nên ta đánh giá: (9a + b ) + ≥ 6ab + từ ta có: ( ) = logm 9a + b + + 1 ≥ logm (6ab + 1) + ≥ , dấu có logm (6ab + 1) logm (6ab + 1) 9a = b  ⇔ log m (6ab + 1) =  Fb: Diendangiaovientoan  3a = b ⇔  6ab + = m = 3a + 2b +   a =  Chọn C  b =  GV: Nguyễn Xuân Chung Hướng dẫn x > y ⇒ x > y ≥ Khi ta có log4 x − y ≥ ⇒ x − y ≥ Dùng phép Điều kiện   x > −y  ( ) ( ) ta có x − (2x − P ) ≥ ⇒ 3x − 4Px + P + ≤ Trước hết ta có ∆ ' = 4P − P + ≥ Hay P ≥ 12 ⇒ P ≥ (vì P = x + (x − y ) > y + (x − y ) > ) Dấu có khi: x= 3 ,y = thỏa mãn điều kiện Vậy Pmin = Chọn C 3 Câu 119: Gọi m giá trị nhỏ tham số m để bất phương trình sau có nghiệm:  x + log2 (2 − x ) ≤ log2 m − +  (  − x + 2x +  − log2 (x + 1) Khi m thuộc khoảng  ) đây? A m0 ∈ (9;10) B m0 ∈ (8;9) C m0 ∈ (−10; −9) D m0 ∈ (−9; −8) Hướng dẫn Điều kiện −1 < x < Biến đổi bất phương trình tương đương với  x log2 (2 − x ) + log2 (2x + 2) ≤ log2 m − +  ⇔ log2 ⇔ (2 − x )(2x + 2) ≤ log  x m − +  (2 − x )(2x + 2) ≤ m − x2 + ( ⇔ x +4+2 Đặt (2 − x )(2x + 2) − ( ( (  − x + 2x +   )  − x + 2x +   ) ) − x + 2x + ) − x + 2x + − ≤ 2m (*) − x + 2x + = t; x ∈ (−1;2) ⇒ t ∈ ( 3;3 , (*) trở thành:  ( 3;3 nên (**) có nghiệm  có phần đồ thị f (t ) nằm đường thẳng y = 2m hay: f (t ) = t − 8t − ≤ 2m (**), mà f (t ) nghịch biến min f (t ) ≤ 2m ⇔ f (3) = −19 ≤ 2m ⇔ m ≥ − ( 3;3  19 19 ⇒ m = − Chọn C 2 Câu 120: Xét số thực dương a , b thỏa mãn log2 − ab = 2ab + a + b − Tìm giá trị nhỏ a +b Pmin P = a + 2b A Pmin = 10 − Fb: Diendangiaovientoan B Pmin = 10 − GV: Nguyễn Xuân Chung C Pmin = 10 − D Pmin = 10 − Hướng dẫn Biến đổi PT ⇔ log2 − ab u + = −2 (1 − ab ) + (a + b ) ⇔ log2 = −u + v a +b v Hay u + log2 u = v + log2 v ⇔ u = v ⇔ − 2ab = a + b ⇒ b = −a , a ∈ (0;2) Khi ta có 2a + 2P = 2a + 4b = 2a + − 4a 10 10 − = 2a + + − ≥ 10 − ⇒ P ≥ 2a + 2a + Dấu có a = 10 − ,b = Câu 121: Cho x , y > S = 2x + y là? A 2 − 2 10 − 10 − Vậy Pmin = Chọn A thỏa mãn log x + log y ≥ log(x + y ) Giá trị nhỏ biểu thức B C + 2 D + 2 Hướng dẫn Từ giả thiết suy y ≥ x3 x3 = x + 3x + + = f (x ) , x > Nên S = 2x + y ≥ 2x + x −1 x −1 x −1 Đặt x − = t > ⇒ f (t ) = t + 5t + + 1 ⇒ f ' (t ) = 2t + − t t ( ) f ' (t ) = ⇔ t (2t + 5) − = ⇒ 2t + 5t − = ⇒ (2t + 1) t + 2t − = ⇒ t = −1 + ( ) Suy f (t ) = f −1 + = + ⇔ x = 2, y = + 2 Chọn C Câu 122: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn xy = 4, x ≥ , y ≥ Gọi M , m giá trị 2 lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = log2 x + (log2 y − 1)2 Tính S = M + m A S = B S = 11 C S = 21 D S = 11 Hướng dẫn Rút y = 1  , x ∈  ; 4 vào P, ta có: P = log22 x + (1 − log2 x )2 = 2t − 2t + = f (t ) ; 2  x   Với log2 x = t ∈ −1;2 , f ' (t ) = 4t − = ⇔ t = 1 ⇒ m = P = f   = x = 2, y = 2 , M = max P = = f (2) = f (−1)   Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung 11 x = 4, y = x = , y = Suy S = M + m = Chọn D 2  Câu 123: Giá trị lớn biểu thức P = 1 + loga  b   + − log2a b   a ( ) + bao nhiêu? Biết a, b số thực thỏa mãn a > b ≥ A 67 B 31455 512 C 27 D 455 Hướng dẫn 1  b Đặt loga b = x , (0 ≤ x < 3) ⇒ b = a loga = x − 1; log2a b =  x  = x a   x   Khi P = (1 + x − 1) + 4 − x  + = 2x + + − x   Ta có P ' = 6x − ( 6x − x2 ( ) = ) 2 6x  3x − x ) x + 2x − 12x − 32  8x − − x  = (   ( ) ( ) −2 + 10 Xét g (x ) = x + 2x − 12x − 32, x ∈ 0; 3) ⇒ g ' (x ) = 3x + 4x − 12 = ⇔ x = Lập bảng biến thiên suy g (x ) < 0, ∀x ∈  0; 3) , từ suy P ' = ⇔ x = 0, x = ∈ 0; 3)   Suy Pmax = 67 ⇔ x = ⇔ b = 1, a > Chọn A Câu 124: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn b ≥ a 10 > 1, c > loga b + logb c + logc a = 12 Giá trị nhỏ biểu thức P = loga c + logc b + 10 logb a A 15 B 15 C 21 D 25 Hướng dẫn Đặt loga b = x , logb c = y, logc a = z ⇒ x , y, z > 0, xyz = x + 2y + 5z = 12 Khi ta có: P = loga c + logc b + 10 logb a = 10 10 + + 2xy + + hay P = x y z x y Đặt x = 10m, 2y = n , x ≥ 10 ⇒ m ≥ , ta có:  1  10 P = +  + 10mn  ≥ + 20 m =  + m + m  + 18 m ≥ + 18 = 21  m   m m  n 1 Đẳng thức xảy ⇔ m = n = ⇔ x = 10, y = , z = b = a 10 , c = a , (a > 1) Vậy Pmin = 21 Chọn C Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xn Chung Lời bình: Một số học sinh đưa về: P = 10 + + tiếp tục biến đổi x y z 1 (1 + + 1) 90 15 10 10 10 1 15 P= + + = 10  + +  ≥ 10 = = nên Pmin =   x x + 2y + 5z 2y 5z 12 2  x 2y 5z  Và kết luận: chọn đáp án A Nhưng quên ý đến điều kiện xyz = Câu 125: Cho số thực a, b, c thỏa mãn < a < b < c loga2 b − logb2 c = loga c c − logb − b b Đặt T = logb c − loga b Mệnh đề đúng? A T ∈ (−3; −1) B T ∈ (−1;2) C T ∈ (2;5) D T ∈ (5;10) Hướng dẫn Đặt loga b = x , logb c = y ⇒ x , y > ⇒ T = y − 2x Ta có loga c = xy giả thiết là: 6x − y = xy − x − (y − 1) − ⇔ 6x − (T + 2x ) = x (T + 2x ) − x − (T + 2x ) + T =  ⇔ −T − 4Tx = Tx − 5x − 2T + ⇔ 5x (1 − T ) = (T − 1) ⇔  ⇔ x = − T >   T = T < −4  So sánh đáp án ta chọn B Câu 126: Cho số thực a, b, c > S = loga (bc) + logb (ca ) + logc (ab) Tính logb (ca ) biểu thức S đạt giá trị nhỏ B A 2 8(2 − 1) C + −2 D Hướng dẫn Đặt loga b = x > 0, logb c = y > 0, logc a = z > ⇒ xyz = Khi ta có: S =x+ 9 + 2y + + 9z + = x + xy + + + 2y + z x y x xy y S = x (y + 1) + 2y + 9 + 2y + ≥ xy y (y + 1)(2y + 9) + 2y + = y S ≥ 2 18 + 11 + 18 = + 11 + = y ( 2y + 9 + 11 + 2y + y y ) + + ⇒ S = +   y = 2y = y     2y + ⇔ x = ⇔ c = a 3,b = a , a > ⇒ logb (ca ) = log Khi x = a   y (y + 1)   xyz = z =   Fb: Diendangiaovientoan (a ) = 2 GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 127: Cho số thực a, b, c > số thực dương thay đổi x , y, z thỏa mãn a x = b y = c z = abc Tìm giá trị lớn biểu thức P = A 20 B 20 − 3 16 16 + − z x y C 24 D 24 − 3 Hướng dẫn Ta có a x = b y = c z ⇒ y = x logb a, z = x logc a Mà ta có: a 2x = abc ⇒ a 2x −1 = bc ⇒ 2x − = loga b + loga c ⇔ 2x = + Suy P = x x 1 + ⇔ + + =2 y z x y z  8  16 16 1 + − z = 16 2 −  − z = 32 −  + + z  ≤ 32 − 3 64 = 20 x y z   z z  Vậy Pmax = 20 ⇔ z = 1 ⇔ z = 2, + = Chọn A z x y y2 − x Biết giá trị a a lớn biểu thức P = x + 2y − 2x + 8y − x + với a, b nguyên dương tối giản b b Tính S = a + b Câu 128: Cho hai số thực x , y thay đổi thỏa mãn e x −4y + A S = 85 B S = 31 1−x − ey + 1−x −y = C S = 75 D S = 41 Hướng dẫn ( y + − x − x − 4y + − x ) ⇔e 1 + u = e v + v dễ 4 dàng suy u = v ⇔ x − 4y + − x = y + − x ⇔ y + 4y = x , x ∈ −1;1 Viết lại e x −4y + 1−x − ey + 1−x = u Biến đổi P = x − 2x − x + + (y + 4y ) = x − 2x + x + 2, x ∈ −1;1 Ta có P ' (x ) = 3x − 4x + = ⇔ x = 1, x = 58 Suy Pmax = Vậy S = a + b = 85 Chọn A 27 Câu 129: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x + y + = 2( x − + y + 3) Giá trị lớn biểu thức S = 3x +y−4 + (x + y + 1)27−x −y − 3(x + y ) Tính T = a + b A T = B T = 141 a a với a, b nguyên dương tối giản b b C T = 148 D T = 151 Hướng dẫn Đặt 2 x − = m ≥ 0, y + = n ≥ ⇒ m + n = 2(m + n ) ⇔ (m − 1) + (n − 1) = (*) 2  Biến đổi S = 32m +2n −5 + 2(m + n )28−2m −2n − (m + 2) + (n − 3)    Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Mà a số hữu tỉ nên ta phải có 32m +2n −5 ;28−2m −2n số hữu tỉ suy m + n số tự nhiên b Từ (*) ta tìm cặp số tự nhiên (m; n ) ∈ GTLN m = 0, n = và: S max = {(0; 0), (2; 0), (0;2)} , thử vào S ta có 148 a + 64 − 15 = = ⇒ T = 151 Chọn D 3 b Lời bình Trên toán lấy từ ý tưởng toán thi THPTQG năm 2016 BGD Bài toán chủ yếu rèn luyện kỹ biến đổi biện luận chính, khơng có tác dụng rèn luyện chủ đề mũ loogarit Như chủ đề mũ logarit tơi đánh giá mức trung bình thấp Câu 130: c c − logb − Gọi M , m b b giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = loga b − logb c Tính S = 3M + 2m Cho số thực dương a, b, c khác thỏa mãn loga2 b + logb2 c = loga A S = B S = C S = D S = Hướng dẫn Đặt loga b = x , logb c = y ⇒ loga c = xy Khi ta có: x + y = xy − x − 2y + − ⇔ x + y = xy − x − 2y − Hay ta có: x + (x − P ) = x (x − P ) − x − (x − P ) − ⇔ x − (P − 3) x + P − 2P + = ( ) PT có nghiệm (P − 3) − P − 2P + ≥ ⇔ −3P + 2P + ≥ ⇔ −1 ≤ P ≤ Từ suy S = 3M + 2m = Chọn C Câu 131: Cho số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn log(x + 2y ) = log x + log y Biết giá trị nhỏ biểu thức P = e x2 1+2y e A S = y2 1+x a e b với a, b nguyên dương B S = a tối giản Tính S = a + b b C S = 13 D S = Hướng dẫn Viết lại giả thiết log(x + 2y ) = log x + log y ⇒ x + 2y = xy ⇒ x = P= e x2 1+2y e y2 1+x =e x2 4(1+2y ) e Fb: Diendangiaovientoan y2 1+x =e x2 y2 + 4(1+2y ) +x =e f (y ) , với f (y ) = 2y , y > Thế vào P ta có: y −1 y2 (y − 1) (1 + 2y ) + y (y − 1) 3y − ,y > GV: Nguyễn Xuân Chung   y  3y − + (y − 1) (1 + 2y ) 25y   f (y ) = Với y > ⇒ y − 1 + y ≤ y − + + y = ( )( ) ( ) 4 (y − 1) (1 + 2y )(3y − 1) suy f (y ) ≥ Q=    3y − + (y − 1) (1 + 2y )   25 (y − 1)  3t + + t (2t + 3)  , ta viết lại Đặt y = + t ⇒ Q =  25t  2 3 8 2t + + 3t +  ≥ (4 + 6) = Dấu có t = ⇔ y = Vậy f (y ) =   t  25 25  5 t a suy P = e = e b ⇒ S = 13 Chọn C Lời bình Đây tốn khó số mũ lũy thừa biểu thức phức tạp Nếu để ngun để khảo sát gặp khó khăn lớn phải đạo hàm tìm nghiệm, phải lập bảng biến thiên gặp tình nghĩ đến phương pháp đánh giá để giảm độ phức tạp Nói vậy: phương pháp đạo hàm cơng cụ mạnh để giải tốn hàm số, trường hợp chưa tỏ "mạnh" Bài toán thi Olimpic hay nhỉ? Ra đề thi kiểu bó tay! Câu 132: Cho hai số thực x, y thỏa mãn + 3x biểu thức S = x + 2y A − B −2y +2 = (4 + 9x C − −2y 33 ).72y −x Tìm giá trị nhỏ +2 D − Hướng dẫn ( ) Đặt x − 2y = t ⇒ + 3t +2 = + 9t 72−t ⇒ f ' (u ) = ( ) + u − 2u (4 + 9u ) (4 + u ) + 3t +2 + 9u 2−t = Xét hàm f u = ,u > ( ) + 9t + u2 ⇒ f ' (u ) = ⇔ −9u − 8u + 36 = 0, u > ⇔ u = −4 + 85 Ta có u điểm cực đại, lim f (u ) = 1, lim f (u ) = u →0 Hàm số g (u ) = 2−log u u →+∞ , u > nghịch biến (0; +∞) Và lim g (u ) = +∞, lim g (u ) = u →0 u →+∞ Ta có bảng biến thiên u +∞ f (u0 ) f (u ) g (u ) u0 +∞ Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Từ bảng biến thiên suy phương trình f (u ) = g (u ) có nghiệm f (9) = g (9) = , đó: u = 3t = ⇔ t = ⇔ x = 2y + ⇒ x = S − x + ⇔ x + x + − S = Phương trình có nghiệm khi: − (2 − S ) ≥ ⇒ S ≥ 7 ⇒ S = Chọn B 4 Câu 133: Cho x, y > thỏa mãn (x + y )3 + x + y + log2 x +y = 8(1 − xy )3 − 2xy + Tìm giá trị nhỏ − xy biểu thức P = x + 3y + 15 A B + 15 C D 15 − 2 15 + Hướng dẫn Đặt x + y = u > 0,1 − xy = v > ⇒ u + u + log2 u = (2v ) + log2 (2v ) + 2v Xét hàm f (t ) = t + t + log2 t ⇒ f ' (t ) = 3t + + > 0, ∀t > ⇒ f (t ) đồng biến Từ ta được: t ln u = 2v ⇔ x + y = (1 − xy ), xy < ⇒ x = 2P = 2x + 6y = 2−y Khi ta có: + 2y − 2y 5 + 6y = 6y + − = (2y + 1) + − ≥ 15 − + 2y + 2y + 2y Suy P = 15 − ⇔ y = −3 + 15 −1 + 15 ,x = (thỏa mãn xy < ) Chọn C Câu 134: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) ( ) Cho a số nguyên dương lớn thỏa mãn log + a + a > log2 a Tìm phần nguyên log2 (2017a ) B 22 A 14 C 16 D 19 Hướng dẫn ( ) Đặt x = a ;a ∈ ℕ* ⇒ x ≥ Khi ta có log3 + x + x > log2 x Hay ( ln + x + x ln ) > ln x ⇔ f ln (x ) = ln (1 + x ) + x2 − ln ln x > ln ( ) 3x + 2x − b + x + x 3x + 2x b ln Ta có f ' (x ) = − ;b = ⇒ f ' (x ) = ln + x3 + x2 x x + x3 + x2 ( ( ) ) Lại xét g (x ) = 3x + 2x − b + x + x ⇒ g ' (x ) = (3 − b ) x + (2 − b ) x , ta có Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung b= ln = log2 ≈ 3,16 ⇒ − b < & − b < ⇒ g ' (x ) < 0, ∀x ≥ , suy g (x ) nghịch ln biến g (x ) ≤ g (1) = − 3b < từ suy f ' (x ) < 0, ∀x ≥ suy f (x ) nghịch biến nên ta f (x ) > = f (4) ⇔ x < ⇒ a < 46 ⇒ amax = 4095 Vậy log2 (2017amax ) = log2 (2017.4095) ≈ 22, 98 ⇒  log2 (2017amax ) = 22 Chọn B   Lời bình Bài tốn phức tạp, tốn khó Để xét dấu f ' (x ) ta phải xét hàm số phụ g (x ) tử f ' (x ) , ta kí hiệu b = ln , đổi log2 x sang ln x trước để gọn nhẹ biến đổi ln Câu 135: Cho x = 2019 ! Tính A = A 2019 B log22019 x 2018 + log32019 x + + C 2019 log20182019 x + log20192019 x D 2018 Hướng dẫn 2019 Biến đổi A = logx (2.3.4 2019) Câu 136: Cho f (x ) = = 2019 logx x = 2019 x2 Tính B = f (cos1o ) + f (cos 2o ) + + f (cos 178o ) + f (cos179o ) x + 2019 B 45, A 45 C −44, D 44, Hướng dẫn −x ) ( x2 x + x 2019x Tính f (x ) + f (−x ) = + = = x , ∀x ∈ ℝ (1) x −x x + 2019 + 2019 + 2019 Ta có f (0) = nhận xét cos 179o = − cos 1o = −x Từ tổng B có dạng (1) nên ta có B = f (cos 90o ) +  f (cos1o ) + f (cos179o ) +  f (cos 2o ) + + f (cos178o ) + =     B = cos2 1o + cos2 2o + + cos2 89o = cos2 1o + cos2 89o  +  cos2 2o + cos2 88o  + + cos2 45o     Suy B = 44 + = 44, Chọn D Lời bình Xin lỗi q thầy bạn đọc lỗi trước hàm f (x ) bị sai, tốn cần sửa lại Đề biên soạn từ đề thi Trường THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc năm 2019 2020 Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung 1+ Câu 137: Cho f (x ) = 10 nhiên A x2 + (x +1) a Biết f (1).f (2).f (3) f (2021) = 10b với a, b số tự a a +1 tối giản Tính b b2 2022 2021 B 2022 C D 2021 2022 Hướng dẫn   2x (x + 1) + 1 1 1 +  Biến đổi + + = + = + + = 1   2 2 x x (x + 1) x (x + 1) x (x + 1)  x (x + 1) (x + 1)   Suy S (x ) = + 1 1 + =1+ =1+ − 2 x x +1 x x (x + 1) (x + 1) Khi cho x nguyên chạy từ đến n lấy tổng ta có: n ∑ S (x ) = n + x =1 1 n + 2n − = n +1 n +1 n  n n a n + 2n   Suy log f (x ) = S (x ) ⇒ log ∏ f (x ) = ∑ log f (x ) = ∑ S (x ) = =  x =1   b n +1  x =1  x =  Cuối ta có a n a + n + 2n + =n+ tối giản = = Chọn C b n +1 b2 (n + 1) Câu 138 (THPT Chuyên Thái Bình)  1 a Cho hàm số f (x ) = ln 1 −  Biết f ' (2) + f ' (3) + + f ' (2019) + f ' (2020) = b x   với a , b số nguyên dương nguyên tố Tính S = 2a − b A B C − D −4 Hướng dẫn 2x 1 − = + − , ∀x > hay ta có Đạo hàm f ' (x ) =  ln x − − ln x  ' =   x −1 x + x x −1 x ( )  1 1   = S (x ) − S (x + 1), ∀x > , cho x nguyên dương từ đến f ' (x ) =  −  −  −  x − x   x x + 1 n, ta được: n ∑ S (x ) = − x =2 n 1 đó: ; ∑ S (x + 1) = − n x =2 n +1    1  1 1 n2 + n − a  ∑ f ' (x ) = 1 − n  −  − n + 1 = + n + − n = − n + n = 2n + 2n = b x =2 n Vậy S = 2a − b = − Chọn D Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung Câu 139: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hàm số f (x ) = 4x Tính giá trị biểu thức A = 4x + A 50 B 49     100   + f   + + f   ? f  100  100  100  C 149 D 301 Hướng dẫn 4x 41−x 4x + 1−x = x + = 1, ∀x ∈ ℝ Sử dụng tính chất f (x ) + f (1 − x ) = x + + + 2 + 4x          + f  99  +  f   + f  98  +  f  99  + f   + f 100  Ta có 2A =  f           100   100  100  100  100   100   100  Suy 2A = 99 + 301 301 = ⇒A= Chọn D 6 Câu 140:  x  Cho hàm số f (x ) = 2019 ln e 2019 + e  Giá trị M = f ' (1) + f ' (2) + + f ' (2018)   A 2018 B 2019 C 1009 D 2017 Hướng dẫn x e 2019 Tính f ' (x ) = e x 2019 e ⇒ f ' (2019 − x ) = + e e 2019−x 2019 2019−x 2019 e = + e e +e x 2019 e = e x e + e 2019 x e 2019 Do f ' (x ) + f ' (2019 − x ) = e x 2019 + + e e e +e x 2019 = Áp dụng đẳng thức cho x nhận giá trị nguyên dương từ đến 2018 ghép cặp ta có: 2M =  f ' (1) + f ' (2018) +  f ' (2) + f ' (2017 ) + +  f ' (2018 ) + f ' (1) = 2018       Do M = 1009 Chọn C Câu 141: (THPT Thiệu Hóa Thanh Hóa) Cho hàm số f (x ) = x − 3x cấp số nhân (bn ) thỏa mãn b2 > b1 ≥ cho f (log2 b2 ) + = f (log2 b1 ) Tìm số tự nhiên n nhỏ để bn > 5100 ? A 333 B 299 C 234 D 292 Hướng dẫn Gọi q > công bội (bn ) , b2 = qb1 đặt log2 b1 = t > , ta có: log2 b2 = t + log2 q = t + a , từ đó: (t + a ) − (t + a ) + = t − 3t hay Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung 3at + 3a 2t + a − 3a + = có nghiệm t = 0, a = hay b1 = 1, q = cấp số nhân bn = 2n −1 đó: bn > 5100 ⇔ 2n−1 > 5100 ⇒ n > + 100 log2 ≈ 233,19 ⇒ n = 234 Chọn C Câu 142: Cho dãy (un ) thỏa mãn un +1 = un + 3, ∀n ≥ e u18 +5 e u18 −e u1 =e u1 Tìm số tự nhiên n lớn cho log2 (un ) < ln (2020) ? A 58 B 60 C 59 D 61 Hướng dẫn + Từ un +1 = un + 3, ∀n ≥ suy (un ) cấp số cộng có cơng sai d = + Từ e ⇔ e u18 u18 −e −e 4u1 u1 +5 e u18 −e u1 =0⇔ e u18 −e u1 (e u18 −e u1 ) +5 =0 = ⇔ u18 = 4u1 Kết hợp CSC suy ra: u1 + 17.3 = 4u1 ⇒ u1 = 17, un = 3n + 14 + Ta có log2 (un ) < ln (2020) ⇔ un < e ln 2.ln 2020 ⇔ n < ln 2.ln 2020 e − 14 ≈ 60, ( ) Vậy số tự nhiên n lớn thỏa mãn toán n = 60 Chọn B Câu 143: Cho phương trình x 2018 + x 2017 + x 2016 + + x − = x 2019 + x 2018 + x 2017 + + x − = Gọi a, b nghiệm dương phương trình cho Khẳng định sau A b>a+1 B a > b + C alnb > blna D blna > alnb Hướng dẫn Phương trình thứ x 2018 + x 2017 + x 2016 + + x = ⇒ < x < hay ta có: ( ) = x + x + x + + x 2017 = x − x 2108 ⇔ − x = x − x 2019 ⇔ x 2019 = 2x − 1−x Mà a nghiệm phương trình nên a 2019 = 2a − ⇒ < a < Hoàn toàn tương tự b nghiệm phương trình x 2020 = 2x − nên b 2020 = 2b − Nói cách khác a b hoành độ giao điểm đường thẳng y = 2x − với đồ 1  thị y = f (x ) = x 2019 y = g (x ) = x 2020 khoảng  ;1 Dễ thấy < b < a <   ln x 1−     x + ln x −1 ln x  x   ;1 ,  Xét hàm số y = h (x ) = = > ∀ x ∈ , x ∈  ;1 ⇒ h ' (x ) = 0,   x x2 x4     Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung suy h (x ) đồng biến, đó: h (a ) > h (b ) ⇔ ln a ln b > ⇔ b ln a > a ln b Chọn D a b 1  Câu 144: Cho số thực x 1, x , x , , x n thuộc khoảng  ;1 Với n , kí hiệu un giá trị nhỏ      u 1 1 1 biểu thức S = logx x −  + logx x −  + + logx x −  Tìm lim n n    n +1    A B C D Hướng dẫn 1  Với số tùy ý a, b ∈  ;1 , ta có:     1 1 2 b −  ≥ ⇒ b ≥ b − ⇒ loga b −  ≥ loga b = loga b   4     Áp dụng tính chất ta có: ( ) S ≥ logx x + logx x + + logx x ≥ 2n n logx x logx x logx x = 2n Dấu có n x = x = x = = x n = Suy un = S = 2n ⇒ lim n un n +1 = lim 2n = Chọn A n +1 BẠN ĐỌC CÓ THỂ THAM KHẢO THÊM CÁC CÂU SAU Câu 145: x Cho hàm số f (x ) = log x + − Tổng bình phương giá trị m cho phương x    trình f   + f x − 2x + = có nghiệm phân biệt  x − m + 1   ( A ) B C D Hướng dẫn 1  1  Ta có f   = log + x − 3x = − log x + 3x − x  = −f (x ), ∀x > Từ suy  x x    ( ) phương trình: f (x − 2x + 2) = f x − m + (1)  1  x  x + 3 +  ln > 0, ∀x > nên f (x ) đông biến (0; +∞) Mặt khác f ' (x ) = x ln 10  x  Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung x − 4x + + 2m = 0, x ≥ m (2)  nên từ (1) ta được: x − 2x + = x − m + ⇔  ( 3) x = 2m − 1, x ≤ m + Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép khác với hai nghiệm (3) Khi 4 − + + 2m = 0,2 ≥ m  ⇔ ⇔m= 2m − > 0,2m − ≠ 4; 2m − ≤ m + Trường hợp 2: (3) có nghiệm kép khác với hai nghiệm (2) Khi  4 − (1 + 2m ) > 0, − + + 2m ≠ 0;2 ± − 2m ≥ m ⇔ ⇔m=  2m − = 0; ≤ m + Trương hợp 3: Hai phương trình có nghiệm trùng Khi đó: 2 − − 2m = 2m − 2        m Vậy ta có ⇔  ⇔ =   S =   +   + 12 = Chọn B    < m < 2 2  Câu 146: (THPT Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa) ( ) ( ) ( ) Cho phương trình log2 x − x − log2017 x − x − = loga x + x − Có giá trị a nguyên thuộc khoảng (1;2018) cho phương trình cho có nghiệm lớn 3? A 2015 B 2016 C 18 Hướng dẫn ( ) ( D 19 ) ( ) Biến đổi phương trình thành loga x + x − = log2 x + x − log2017 x + x − Đặt t = x + x − ⇒ t ' (x ) = + x x2 −1 > 0, ∀x > nên t (x ) đồng biến, với x > suy t > + Vì a số nguyên nên ta phải có a ≥ Từ ta có: loga t = log2 t.log2017 t ⇔ = log2 t.logt a.log2017 t = log2 a.log2107 t ⇔ log2 a = ⇒ log2 a < ( log2017 + ) log2017 t = log3+ 2017 = α ⇒ a < 2α ≈ 19, 92 Kết hợp ta có a ∈ {2; 3; 4; ;19} Chọn C Câu X: Có số tự nhiên m không vượt 2020 cho phương trình sau (x ) ( ) ( ) ( ) − log2 x + + m + = m x − log x + có nghiệm phân biệt thỏa mãn ≤ x ≤ 3? A 2020 Fb: Diendangiaovientoan B 2019 C 2018 D 2017 GV: Nguyễn Xuân Chung Câu X (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội): Cho số thực a, b > thỏa mãn a logb a + 16b b  loga   a  = 12b giá trị biểu thức P = a + b A P = 20 B P = 39 Câu X: (THPT CHUYÊN KHTN): C P = 125 D P = 72 Cho hai số thực a > 1, b > Gọi x 1, x hai nghiệm phương trình a xb x −1 = Trong trường  x x  hợp biểu thức S =   − 4x − 4x đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề sau đúng?  x + x  A a < b B a ≥ b C ab = D ab = Câu X: (THPT TRẦN NGUYÊN HÃN) Xét số thực dương x, y thỏa mãn log trị lớn biểu thức P = A max P = x +y = x (x − 3) + y(y − 3) + xy Tìm giá x + y + xy + 2 3x + 2y + x +y +6 B max P = C max P = D max P = Câu X (THPT Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa): Cho x , y số thực thỏa mãn log3 biểu thức P = x +y = x (x − 9) + y (y − 9) + xy Tìm giá trị lớn x + y + xy + 2 3x + 2y − x , y thay đổi x + y + 10 A B C Câu X [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP]: Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn + 9.3x thức P = −2y ( = + 9x −2y ).7 D 2y −x +2 Giá trị nhỏ biểu x + 2y + 18 x 3+ 2 Câu X: (THPT CHUYÊN HƯNG YÊN) A B C + Cho hàm số f (x ) = 3x −4 + (x + 1).27−x − 6x + Giả sử m0 = D 17 a a ( a, b ∈ ℤ, phân số tối giản) b b ( ) giá trị nhỏ tham số thực m cho phương trình f − 6x − 9x + 2m − = có số nghiệm nhiều Tính giá trị biểu thức P = a + b A P = −1 B P = C P = 11 D P = CHÚC CÁC BẠN VUI VẺ VÀ THÀNH CÔNG! Fb: Diendangiaovientoan GV: Nguyễn Xuân Chung ... trình 2x + Fb: Diendangiaovientoan D m0 < −5 = m cos (πx ) (1) Ta có: 2x GV: Nguyễn Xuân Chung cos π (2 − x ) = cos (2π − πx ) = cos (−πx ) = cos πx từ ta có nhận xét phương trình (1) có nghiệm... hết ta phải có x = − x ⇒ x = , = m cos (π) = −m ⇒ m = −4 Chọn B Lời bình Khi thi tự luận ta phải thực điều kiện đủ, với m = −4 ta có:  1 4 cos (πx ) = ±1 cos (πx ) = 2x + x  ≥ = ⇔ ...  a   =   , đó: 1− = + Chọn B −2 a Lời bình Cách giải bản, tức dùng phép để biến đổi logarit theo a , kết không phụ thuộc vào a, b > Bằng máy tính Casio ta chọn cặp a, b > 0, a ≠ tùy