ĐỀ THI ONLINE - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu (Nhận biết) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Diện tích hình phẳng phần tơ đậm hình vẽ A S  C S  2 0 2  f  x  dx   f  x  dx  f  x  dx   f  x  dx B S  D S  2 0  f  x  dx   f  x  dx  f  x  dx 2 Câu (Nhận biết) Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn a;b f  x   0; x  a;b Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b Khẳng định sai ? b b A S    f  x  dx B S   f  x  dx a a b C S   f  x  dx D S  b  f  x  dx a a Câu (Nhận biết) Cho hàm số y  f  x  liên tục R thỏa mãn f  1   f  0 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , y  0, x  1 x  Mệnh đề ? A S   f  x  dx 1 C S  1 B S   f  x  dx   f  x  dx 1  f  x  dx D S   f  x  dx 1 1 Câu (Nhận biết) Tích diện tích hình phẳng giới hạn x  1; x  2; y  0; y  x2  2x A S  B S  C S  D S  16 Câu (Nhận biết) Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x sin x, y  x  0, x   Khẳng định ? Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! A tan S  B cos S  C sin S  D cos 2S  Câu (Nhận biết) Diện tích hình phẳng giới hạn y  sin x  ; x  ; x  biển diễn dạng 7 trục hoành S 7   c, với a, b, c  Z Tính tổng T  3a  2b  c a b A T  10 B T  19 C T  12 D T  15 Câu (Thơng hiểu) Tính tích tất giá trị thực tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  2mx  m2 đường thẳng y  0, x  0, x  S  A  B C  28 15 D Câu (Thông hiểu) Cho hàm số y  f  x  liên tục R hàm số y  g  x   x.f  x  có đồ thị đoạn 0;2 hình vẽ bên Biết diện tích miền tơ màu S  , tính tích phân I   f  x  dx A I  B I  C I  D I  10 Câu (Thơng hiểu) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  1  x  e2x , trục hoành x  Biết S  e2  e2  a  b A a  b  , với a, b  N Tính tổng a  b B a  b  C a  b  Câu 10 (Thơng hiểu) Diện tích hình phẳng giới hạn y  biểu diễn dạng S  A T   D a  b   ln x ; x  ; x  e trục hoành S x a4 , với a, b  Q Tính tổng T  a  2b b B T  C T  D T  Câu 11 (Thơng hiểu) Diện tích hình phẳng giới hạn y  x  x  1 x  2 ; x   ; x  trục hoành a a S  , với a, b  phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P  a  5b b b Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! A P  B P  D P  C P  1 Câu 12(Thơng hiểu) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  ln x , trục hoành, đường x thẳng x  đường thẳng x  e ae  b Khi a gần với giá trị ? A B C 2 D Câu 13 (Vận dụng) Giả sử với hàm số y  f  x  liên tục miền D  a;b có đồ thị đường cong C , b người ta tính độ dài C theo công thức L     f   x   dx Với điều giả sử đó, độ dài đường cong a C cho hàm số y  A x2  ln x 1;2  ln B 31  ln 24 C  ln D 31  ln 24   Câu 14 (Vận dụng) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y   e  1 x y  ex  x Biết S biểu diễn dạng A m  1 B m  e  , giá trị m m C m  D m  Câu 15 (Vận dụng) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  4x  hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số A 1;2 B  4;5 có kết dạng A 12 B a Khi tổng a  b b 13 12 C 13 D Câu 16 (Vân dụng) Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x x  2y  với diện tích hình sau ? A Diện tích hình vng có cạnh B Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng C Diện tích hình tròn có bán kính D Diện tích tồn phần khối tứ diện có cạnh 24 Câu 17 (Vận dụng) Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  x3  11x  ; y  6x ; x  ; x  Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! B S  A S  D S  C S   y  4x b  Giá trị biểu Câu 18 (Vận dụng) Diện tích hình phẳng giới hạn miền  D  :  y  x  a  ln  x  0; x   thức ab A  35 B  34 C  33 D  32 Câu 19 (Vận dụng cao) Diện tích hình phẳng giới hạn đường  C : y  x  2x  2, tiếp tuyến  C  giao điểm  C  với trục Oy đường thẳng x  3, y  A B C D 21 Câu 20 (Vận dụng cao) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x ; y  A S  6ln 27 B S  6ln C S  27 ln x2 27 ; y 27 x D S  18ln HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM 1C 2B 3D 4A 5D 6B 7C 8A 9C 10C 11D 12A 13C 14D 15C 16D 17B 18C 19A 20C Câu Phương pháp: b Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), x = a, x = b S   f  x  dx , lưu ý dấu f(x) a đoạn xác định Cách giải: x    2;0  f  x   Dựa vào hình vẽ, ta thấy đoạn  x  0;1  f  x   Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Khi S   f  x  dx  2  2 1 2 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx Chọn C Chú ý sai lầm: Nhiều học sinh thường không ý đến dấu f(x) sau chia đoạn [-2; 1] thành đoạn nhỏ [-2; 0] [0; 1] chọn đáp án B Câu Phương pháp: b Diện tích hình phẳng giới hạn y  f  x  , y  0, x  a, x  b S   f  x  dx , nhận xét dấu f(x) [a; b] a phá trị tuyệt đối Cách giải: b Diện tích hình phẳng giới hạn y  f  x  , y  0, x  a, x  b S   f  x  dx a b Mặt khác f  x   0; x  a;b  S    f  x  dx a Chọn B Câu Phương pháp: b Diện tích hình phẳng giới hạn y  f  x  , y  0, x  a, x  b S   f  x  dx a Cách giải:  y  f  x  , y  Diện tích hình phẳng giới hạn  S   f  x  dx x  1, x  1 Chọn D Câu Phương pháp: Xét phương trình hồnh độ giao điểm, tìm nghiệm thuộc [-1;2] b Diện tích hình phẳng giới hạn y  f  x  , y  0, x  a, x  b S   f  x  dx , chia đoạn [-1;2] thành a đoạn nhỏ tính diện tích hình phẳng Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Cách giải:  x  0  1;2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm x  2x     x    1;2 2 Do diện tích hình phẳng cần tính S   x  2x dx   x  2x dx   x  2x dx 2 1 1 0  x3   x3  4    x  2x  dx    x  2x  dx    x     x       1  0 3 1 0 2 Chọn A Câu Phương pháp: Xét phương trình hồnh độ giao điểm tìm nghiệm thuộc 0; b Áp dụng cơng thức diện tích hình phẳng giới hạn y  f  x  , y  0, x  a, x  b S   f  x  dx a Cách giải:  x   0;  x  Xét phương trình hồnh độ giao điểm x sin x     sin   x   0;    0 Diện tích hình phẳng cần tính S   x.sin x dx   x.sin x dx ( x 0;   x sin x  )   u  x du  dx    S   x.cos x   cos x dx   sin x  x.cos x    Đặt  dv  sin x dx  v   cos x Vậy S   cos 2S  cos  1 Chọn D Chú ý sai lầm: Sau viết cơng thức tính diện tích em sử dụng MTCT Câu Phương pháp: Áp dụng cơng thức diện tích hình phẳng giới hạn b y  f  x  , y  0, x  a, x  b S   f  x  dx a Cách giải: Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Do sin x   0; x  R , suy diện tích cần tính là: S 7  sin x  dx  7 7  sin x  1 dx    cos x  x  06 7    a  7    c  a, b, c  Z   b   T  3.2  2.6   19 Mặt khác S  a b c   Chọn B Câu Phương pháp: b Áp dụng cơng thức diện tích hình phẳng giới hạn y  f  x  , y  0, x  a, x  b S   f  x  dx a Cách giải: Diện tích hình phẳng giới hạn y  x4  2mx2  m2 ; y  0; x  0; x  1 1 S   x  2mx  m dx    x  m  dx    x  m  dx    x  2mx  m2  dx 2 2 2 0 m   x 2mx 2m 28 2m 28  2   m x  m   mà S  m     m   5 3 15 15  0  m1   Vậy có hai giá trị tham số m   m1.m2   m2   Chọn C Câu Phương pháp: Dựa vào hình vẽ suy diện tích hình phẳng tô đậm theo g(x) Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân I Cách giải: 2 1 Dựa vào hình vẽ, ta thấy S   g  x  dx g  x   0, x  1; 2  S   g  x  dx    Khi S   x.f x dx Đặt t  x  dt  2x dx  x dx  dt đổi cận x   t   x   t  Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Vậy S  4 5 5   f  t dt   f t dt   f x dx    I  8 4 Chọn A Câu Phương pháp: Xét phương trình hồnh độ giao điểm b Áp dụng cơng thức diện tích hình phẳng giới hạn y  f  x  , y  0, x  a, x  b S   f  x  dx a Đồng hệ số, tìm a, b tính tổng Cách giải: Phương trình hồnh độ giao điểm  C  Ox 1  x  e2x   x  Khi đó, diện tích hình phẳng cần tính S   1  x  e 2x dx    x  1 e2x dx du  dx 2x 2   x  1 e2x e2x  u  x  x  e    2x Đặt   S   e dx     e2x  2x 2  dv  e dx v     1  2 2  e4 e4   e2  e  e  1 e  e  a  a            a  b  b b  2 4  4 Chọn C Câu 10: Phương pháp: b Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn y  f  x  , y  0, x  a, x  b S   f  x  dx a Đồng hệ số, tìm a, b tính tổng Cách giải: Do  ln x  ln x  ln x , suy diện tích cần xác định  0; x  1; e   x x x Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! e S  1  ln x  ln x dx   dx x x e Đặt t   ln x  t   ln x  2t dt  x  e  t   Khi  Vậy S  x   t    dx x a   2 2 a 4 1 t.2t dt  1 2t dt  t   b  b  2 Vậy tổng T  a  2b    2.3  Chọn C Câu 11 Phương pháp: Giải phương trình hồnh độ giao điểm, tím nghiệm thuộc [-2; 2] b Áp dụng cơng thức diện tích hình phẳng giới hạn y  f  x  , y  0, x  a, x  b S   f  x  dx a Chia nhỏ tích phân cần tính thành đoạn mà đoạn dấu f(x) xác định Cách giải:  x  1 Phương trình hồnh độ giao điểm  C  với Ox x  x  1 x      x   x  Vậy diện tích cần tính S  x  x  1 x   dx  2  2 1  1   x  x  2x  dx  2 1 1 x  x  1 x   dx   x  x  1 x   dx   x  x  1 x   dx   x  x  2x  dx  1  x  x  2x  dx 0  x x3   x x3   x x3      x2      x2      x2    2   1  0  a  37 8 37 a   0       P  12 12 b b  Chọn D Câu 12 Phương pháp: Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! b Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn y  f  x  , y  0, x  a, x  b S   f  x  dx a Cách giải: e Ta có S   e ln x ln x dx   dx (Vì với x  1;e  ln1  ln x  ln e  ln x  ) x x Đặt dx  u  ln x e e e ln x dx  du  x  dx  ln x.2 x  2  ln x.2 x  x dx    x x 1 dv  x v  x    e ln x a   e  a   1, 4715  1 x dx  ae  b   e b     e  2 e    e4 e Chọn A Câu 13 Phương pháp : Tính f’(x), thay vào tích phân tính L Cách giải : 2 x  4  x x 1  dx Ta có y    L       dx    x 16x 4 x 1 x   4 16x 2  x2 2 x2  x 1 dx   dx      dx    ln x    ln    ln 4x x 8  1 1 Chọn C Câu 14 Phương pháp : Xét phương trình hồnh độ giao điểm để tìm cận tích phân Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  , x  a, x  b b S   f  x   g  x  dx a Cách giải : x  x  Phương trình hồnh độ giao điểm  e  1 x  ex  x    x e   e   x    10 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!   1 0   Suy diện tích cần tính S   ex  x   e  1 x dx   e x x  ex dx   x e x  e dx Với 1 0 x  0;1  x  ex  e    S   x  e  e x  dx   ex dx   xe x dx  ex 2 1   xex dx  e  xex dx 0 u  x 1 du  dx x x x x x   xe dx  xe  e dx  xe  e       x x 0 dv  e dx v  e 0 Đặt  Vậy S  e   m  2 Chọn D Câu 15 Phương pháp: Viết phương trình tiếp tuyến điểm A B Giải phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số để tìm cận tích phân Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  , x  a, x  b b S   f  x   g  x  dx a Cách giải : y  2x   tiếp tuyến d1 : y  y 1  x 1   y    x 1   y   2x  Tiếp tuyến d2 : y  y  4  x     y   x     y  4x 11 Phương trình hồnh độ giao điểm hai tiếp tuyến  2x   4x  11  x  11 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Vậy S   x  4x     2x   dx   x  4x    4x  11 dx 5  x3   x3    x  2x  dx   x  8x  16 dx    x  x     4x  16x   1   4  a    a  b  13 b  Chọn C Câu 16 Phương pháp: Xét phương trình hồnh độ giao điểm để tìm cận tích phân Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  , x  a, x  b b S   f  x   g  x  dx a Cách giải: Ta có x  2y   y  x , phương trình hồnh độ giao điểm Khi đó, diện tích cần tính S   x  x x  x  x  4  x2  x x  dx    x   dx   x   2 4 3 0 4  12 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Đáp án A có S1  4, đáp án B có S2  15, đáp án C có S3  9  a2 Diện tích tồn phần khối tứ diện có cạnh a .a.a 2  24  24 4 Áp dụng với a   S4     3  Vậy S  S4   Chọn D Câu 17 Phương pháp: Giải phương trình hồnh độ giao điểm, tìm nghiệm thuộc [0; 2] Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  , x  a, x  b b S   f  x   g  x  dx a Chia nhỏ tích phân cần tính thành đoạn cho đoạn f(x) – g(x) mang dấu xác định Áp dụng công thức x2 x2 x1 x1  f  x   g  x  dx    f  x   g  x  dx Cách giải: x  Phương trình hồnh độ giao điểm  C  với  P  x  11x   6x   x   x  3 Vậy diện tích cần xác định 2 S   x  11x   6x dx   x  11x   6x dx   x  11x   6x dx 3   x  11x   6x  dx   x  11x   6x  dx 1  x4   x4  11x 11x 9    2x   6x     2x   6x     2    đvdt  2 4  0  1 Chọn B Câu 18 Phương pháp: 13 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  , x  a, x  b b S   f  x   g  x  dx a Xét dấu f(x) – g(x) [0; 1] phá dấu giá trị tuyệt đối Cách giải: Diện tích hình phẳng giới hạn miền  D S   4x  x  dx Xét hàm số h  x   4x  x  x 0;1 ta có h '  x   4x ln 1  x  0;1  Hàm số đồng biến [0 ;1] Do h    h  x   h 1 x  0;1  4  h  x   2   4x  x   x   4x  11  x2 4x  11 b 33 a   S    x    dx    5x  a   ab      ln  ln ln   b  3 x Chọn C Câu 19 Phương pháp: Tìm giao điểm (C) trục Oy Lập phương trình tiếp tuyến giao điểm Vẽ đồ thị hàm số đường giới hạn phần diện tích hình phẳng cần tính Tìm giao điểm chia tích phân cần tính thành khoảng thích hợp, lưu ý khoảng, đường giới hạn khác Cách giải: Ta có  C  Oy  A  0;2 , y  2x   y  0   Phương trình tiếp tuyến  C  A y   2x  d 14 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Phương trình hồnh độ giao điểm d  C  x2  2x    2x   x   x  Khi đó, diện tích cần tính phần tơ vàng hình bên Suy S   x  2x    2x   dx   x  2x  dx  Chọn A Chú ý sai lầm: Sau tìm nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm em học sinh thường   nhầm cơng thức tính diện tích hình phẳng S   x  2x    2x   dx , sai lầm phổ biến mà bạn học sinh hay mắc phải, có từ đồ thị hàm số trở lên, em buộc phải vẽ hình chia nhỏ tích phân cần tính để tránh sai sót Câu 20: Phương pháp: Xét phương trình hồnh độ giao điểm, vẽ hình tính diện tích phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số dã cho Cách giải:  x2  x  27  x   27  Phương trình hồnh độ giao điểm  x   x 3 x   x 27 x9    27 x Gọi S diện tích cần xác định, ta có S  S1  S2   27 x  x2     x   dx      dx 27  27  0 3 x  x3 x3   x3        27 ln x    27 ln 81   81   Chọn C Chú ý sai lầm: Khi có đồ thị hàm số trở lên, em phải vẽ hình sau suy cơng thức áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng 15 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ... 4;5 có kết dạng A 12 B a Khi tổng a  b b 13 12 C 13 D Câu 16 (Vân dụng) Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x x  2y  với diện tích hình sau ? A Diện tích hình vng có cạnh B Diện tích hình. .. Diện tích hình chữ nhật có chi u dài, chi u rộng C Diện tích hình tròn có bán kính D Diện tích tồn phần khối tứ diện có cạnh 24 Câu 17 (Vận dụng) Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  x3 ... lên, em phải vẽ hình sau suy cơng thức áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng 15 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!