BÀI GIẢNG TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - PHẦN CHUN ĐỀ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM Mẫu bậc (1) Có nghiệm  Tách đôi dạng  x  a  x  b  (2) Có nghiệm  Đặt f  x   t (3) Vô nghiệm  Dạng  x  a   x  a tan t (Chú ý: Sử dụng công thức:  tan x  ) cos x Ví dụ Tính nguyên hàm: a)  dx x 4 b)  dx x  4x  x2 c)  dx x  2x  x3  3x  x d)  dx x  2x  Giải a) Đặt x  tan t  dx  I  dt cos2 t 1 2 dt    tan t  1 dt tan t  cos t  tan t  1 1  x   dt  t  C  arc tan    C 2 2 b) x 1 dx   dx  4x  ( x  2)2  Đặt x   tan t  dx  I  dt cos2 t 1 dt   tan t  1 dt  2 tan t  cos t tan t    1dt  t  C  arctan  x   C c) x x2 ( x  1)  x 1 dx   dx   dx   dx  2x  x  2x  x  2x  x  2x  Ta có: A   x 1 dx; B   dx x  2x  x  2x  2 Đặt x  x   t   x  1 dx  dt Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! dt 1  A    ln t  C  ln x  x  C t 2 Tính B   1 dx   dx x  2x   x  1  Đặt x   tan t  dx  B dt cos2 t dt dt    dt  t  C  arctan  x  1  C  cos t  tan t  1 cos t cos t  I  ln x  x   arctan  x  1  C d) Ta có: x3  3x  x 5x  x2 5x  dx  x   dx   x dx  x2  x   x  2x  2 x  2x  Đặt B   5x  5x   5x  dx   dx   dx   dx x  2x  x  2x  x  2x  x  2x  2 Đặt x  x   t   x  1 dx  dt  5x  5 5 dx  dt  ln t  C  ln x  x   C x  2x  2t 2 Ta lại có: x 3 dx   dx  2x  ( x  1)2  Đặt x   tan t  dx   (1) dt cos2 t 3 1 dx   dt  3  tan t  1 dt 2 ( x  1)  tan t  cos t tan t   3 dt  3t  C  3arctan( x  1)  C  2 x2 5  Vậy: I   x   ln x  x   3arctan  x  1  C 2  I  x2  x  ln x  x   3arctan  x  1  C 2 Mẫu cao bậc +) Tách tử số giống mẫu +) Chia tử mẫu cho biểu thức +) Đổi biến Ví dụ Tính nguyên hàm sau: Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! a) dx  ( x  5)( x  2)( x  4) b) dx  x3  x c) x3  x4  3x2  dx d)  x2   x4 dx Giải a) 1  ( x  5)  ( x  2) 1   ( x  5)( x  2)( x  4) dx    ( x  5)( x  2)( x  4) dx     ( x  2)( x  4)  ( x  5)( x  4)  dx +) Đặt B   I    1  1  ( x  2)( x  4) dx    x   x   dx   ln x   ln x    C   ln +) Đặt A = x2 C x4 1  x5  dx      C  dx  ln x   ln x   C  ln ( x  5)( x  4) x4  x5 x4 1 x2 x 5  ln  A  B      ln 7 x4 x4  C  x  x 5 ln  ln  C 42 x  x  dx 1 x2   x2 1 x   dx   dx   dx     b)   dx 2 x  5x x  5x x( x  5) x  x  5  x x 5 Ta được:  x dx  ln x  C x dx đặt x   t  xdx  dt 5 Đặt B = x B dt 1  ln t  C  ln x   C 2t 2 Vậy x c) Ta có: dx 1    ln x  ln x    C  5x   x3 x x  x4  3x2  dx   x4  3x2  dx Đặt x  t  xdx  dt I   t t A B dt   dt    dt  t  3t  2  t  1 t   t 1 t  1  dt   ln t   ln t    C  t 1 t  2  x2 d)  dx =  x4 1 1 1 2  x2 dx    x2 dx x  x  2 x x  Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Đặt x  1    t  1   dx  dt  I   dt x t 2  x  (Nguyên hàm trở dạng nguyên hàm có mẫu bậc vô nghiệm) Đặt t =  I  tanu => dt = du cos u  tan u 2 du  du  du  u  C 2   (2 tan u  2)cos u tan u  2 - HẾT - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC CHUN ĐỀ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM I LÝ THUYẾT (1)  sin xdx   cos x  C (3)  cos x (2)  cos xdx  sin x  C dx  tan x  C (4)  sin x dx   cot x  C Ví dụ Tính nguyên hàm sau: a)  sin xdx e)  cos 3xdx i)  cos b)  sin 2xdx f)  cos( x  1)dx j)  cos 3x dx c)  sin(1  x) dx g)  cos( x  )dx k)  sin ( x) dx  x dx 2 l)  sin  x  1 dx h)  cos xdx d)  sin(2 x  )dx Giải a)  sin xdx   cos x  C b)  sin 2xdx c)  sin(1  3x)dx = =  cos x  C cos(1  x)  C   d)  sin(2 x  )dx =  cos(2 x  ) + C 6 e)  cos 3xdx = f) sin 3x  C  cos( x  1)dx =  sin( x 1)  C  x  g)  cos   h)  cos i)  cos 2 x   x    dx = 2sin  C    xdx =  cos x  1dx  sin x  x  C dx= tanx+C Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! j)  cos 3x dx  tan 3x  C k)  sin ( x) dx  cot( x)  C l)  sin  x  1 dx   2  cos  x  1 dx   1  cos  x    dx 1    x  sin  x     C 2  1  x  sin  x    C Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc chẵn => Dùng công thức hạ bậc (1) cos2 x   cos x sin x   cos x Ví dụ Tính nguyên hàm sau: b)  sin 2xdx a)  cos xdx c)  cos xdx d)  sin x  cos xdx Giải a)  cos2 xdx    cos x 1 dx    cos xdx  ( x  sin x)  C 2 2 b)  sin 2 xdx    cos x 1 dx    cos xdx  ( x  sin x)  C 2  cos x c)  cos4 xdx   (cos2 x)2 dx   ( ) dx  1  2cos x  cos 2 xdx = 1 1 1 ( x  sin x)   cos 2 xdx  ( x  sin x)  [ ( x  sin x)]  C 4 4 d)  sin x  cos4 xdx   (sin x  cos2 x)2  2sin x.cos2 xdx  1  sin 2 xdx   cos x  1  = 1    dx    1  cos x  dx  x   x  sin x   C 2 4   Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc lẻ => Tách : Bậc chẵn x bậc => Đổi biến Chú ý: sin x  cos2 x  Ví dụ Tính nguyên hàm sau: Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! b)  cos5 xdx a)  sin xdx c)  (cos3 x  1) cos xdx Giải a) Ta có :  sin xdx   sin x.sin xdx   (1  cos x) sin xdx Đặt cos x  t   sin xdx  dt  t3   cos3 x   I    1  t  dt    t    C    cos x  C 3    b) Ta có:  cos5 xdx   cos x.cos xdx   (1  sin x) cos xdx Đặt sin x  t  cos xdx  dt  I   1  t c) Ta có: 2t t 2sin x sin x dt   1  2t  t  dt  t    C  sinx   C 5  2   cos x  1 cos xdx   cos5 x  cos xdx   cos5 xdx   cos xdx +) Đặt A   cos5 xdx Làm tương tự ý b,  A  sinx  +) Đặt B   cos xdx   I  A B  sinx  2sin x sin x  C 1   cos xdx   x  sin x   C  2  2sin x sin x      x  sin x   C 2  Các cơng thức biến đổi tích thành tổng(hiệu) lượng giác: (1) cos x.cos y  cos( x  y)  cos( x  y) (2) sinx.cosy  [sin( x  y)  sin( x  y)] (3) sinx.sin y  [cos(x - y) - cos(x+y)] Ví dụ Tính nguyên hàm sau a)  sin x.cos xdx = b)  cos x cos xdx c)  s inx.sin x.sin xdx Giải 1 1 a)  sin 3x.cos xdx   (sin x  sin x)dx   cos x  ( ) cos x  C 2 2 1 =  cos x  cos x  C Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! b)  cos x cos3xdx   cos3x.cos xdx  1 cos5 x  cos xdx  ( sin x  sinx)  C  2 c)  sinx.sin x.sin 3xdx   (sin 3x.sin x)sin xdx   (cos x  cos5 x)sin xdx = 1 1  cos x.sin xdx   cos5 x.sin xdx  sin xdx  sin x  sin( 4 x) dx 1 1 =  cos2 x  ( cos6 x  cos4 x)  C - HẾT - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN (TIẾT 1) CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM I LÝ THUYẾT Dấu hiệu: I =  f ( x).g ( x)dx Trong đó: f  x  , g  x  có loại sau: + Đa thức + log a (ln) + mũ (ex) + lượng giác Phương pháp + Bước 1: Đặt f  x   u  Vi phân ta f '  x  dx  du g  x  dx  dv  Nguyên hàm ta g  x   v + Bước 2: Ta có: I  uv   vdu + Bước 3: Tính nốt  vdu Chú ý: - Biết tính đạo hàm, nguyên hàm - Nắm quy tắc đặt - Lưu ý: Thứ tự ưu tiên đặt u: Nhất Log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ II Ví dụ minh họa Ví dụ: Tính nguyên hàm sau:  xe dx x Giải u  x dx  du  x Đặt  x e dx  dv e  v  I  x.e x   e x dx  x.e x  e x  C  e x ( x  1)  C Cách khác: e x dx  du  ex  u   Đặt  x2  xdx  dv v   Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!  I  ex x2 x2   e x dx 2 Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau: a)   x  1 e c) x 2x dx b)   x  1 sin xdx 3  d)   x   ln xdx x   1 ln xdx Giải  dx  du  x  1  u    2x  2x a) Đặt e dx  dv  e  v I  1 1  x  1 e2 x   e2 x dx   x 1e2 x  e2 x  C 2 2 dx  du   x 1  u    b) Đặt  sin x dx  dv  cos x  v I  1 1  x  1 cos2x   cos2xdx =   x  1 cos2x  sin x  C 2 1  x dx  du ln x  u   c) Đặt   x  1dx  dv x  x  v   x3   x3 1  x3  x2 x3 1   I    x  ln x     x  dx    x  ln x    1dx  (  x)ln x   x  x   C 3 9     x   3  d) Biến đổi:   x   ln xdx   x ln x  ln xdx x x  1  ln x  u  dx  du  x +) Đặt A   x ln xdx Đặt  2 x dx  dv  x  v  A  x ln x   xdx  x ln x  x2 C t2 3 +) Đặt B   ln xdx Đặt ln x  t  dx  dt  B   3tdt   C  ln x  C x 2 x 3 x2   I    x   ln xdx  x ln x   ln x  C x 2  Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN (PHẦN 2) CHUYÊN ĐỀ: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM Ví dụ Tính nguyên hàm: a)  ln( x  x)dx b) x  cos x dx c)  x sin xdx d)  ln( x  1) dx x2 Giải  2x 1 ln  x  x   u dx  du    x2  x a) Đặt   dx  dv  xv  I  x ln  x  x    x  x  1 dx x2  x 2x 1 2x  1 dx   dx x 1 x 1  2 dx  x  ln | x  1| C x 1 A  I  x ln  x  x   x  ln x   C xu   dx  du   I  x tan x   tanxdx  b) Đặt  tan x  v dx  dv   cos x +)  tanx dx=  sinx dx cos x Đặt cos x  t   sin xdx  dt  A    dt   ln cos x +C t  I  x tan x  ln cos x +C dx  du  xu   c) Đặt :   1    sin x dx  du   x  sin2 x   v    I    1   x  x  sin x     x  sin x  dx  2      1 x x  x  sin x     cos2 x  +C   2  Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!  ln  x  1  u  dx  dv  x  d) Đặt   dx  du  1 v x  x 1  I   ln  x  1   dx x x  x  1 1   ln  x  1    dx x x x 1   ln  x  1  ln x  ln x   C x Ví dụ Tính nguyên hàm: a)  x cos2xdx c)  (e x  1)cos2xdx b)  e x sin xdx Giải  xdx  du  x2  u  a) Đặt   1  I  x sin x   x.sin xdx cos x dx  dv  sin x  v 2 +) Đặt A   x.sin xdx   dx  du xu     1 Đặt  sin 2x dx  dv  cos 2x  v  1  A   x cos x   cos2xdx 2 1   x cos x  sin x  C 1  I  x sin x  x cos x  sin x  C 2  sin x  u  cos xdx  du  I  e x sin x   e x cos xdx  b) Đặt  x x e dx  dv e  v   +) Đặt A   e x cos xdx  cos x  u  sin xdx  du  Đặt  x ex  v e dx  dv  Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!  A  cos x.e x   e x sin xdx  I  e x sin x  cos x e x   e x sin xdx  I  e x sin x  cos x e x  C I e x sin x  cos x e x C c) Ta có:  e x  1 cos xdx   e x cos xdx   cos2 xdx   e cos xdx  sin x x +) A   e x cos xdx cos 2x  u  sin 2xdx  du  A  e x cos x   2e x sin xdx  Đặt  x x e v  e dx  dv  +) B   2e x sin xdx  sin x  u 2 cos xdx  du  B  2sin x.e x   4e x cos xdx  Đặt  x x 2e  v 2e dx  dv   A  e x cos x +2sin x e x  A e x cos x +2sin x e x x e cos x +2sin x e x I   sin x  A Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN CƠ BẢN CHUYÊN ĐỀ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM I LÝ THUYẾT b Tích phân xác định:  f  x  dx  F  x  b a  F b   F  a  a Trong đó: a, b cận tích phân  a  b  Tính chất b b b a a a  f ( x)dx   f (t )dt   f (u)du +) b a a b  f ( x)dx   f ( x)dx +) b  +) a c b a c f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  a  c  b  Ví dụ: Tính tích phân sau:  2x 1 b)  dx x 1 a)  x( x  1) dx   c)  sin  x   dx 6  ln d) e x  x  2e  x e    dx  Giải a)  x  x  1 2 dx   x  x  x  1 dx    x  x  x  dx 1 x4 x3 x  16 2.8    119            4    12 2x 1 b)  dx = x 1 2x   3   0 x  dx  0   x   dx  x  3ln | x  1 =   3ln     3ln1   3ln      cos  x     1    3    dx =   cos  x   dx   x  sin  x    c)  sin  x   dx =  6 20 3 2     0   2 = 1 4   sin 2 2    3   1         sin      22  4  2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! ln d)  1  e x  2e  x  x e    dx   ln  ln 1      e 2 x dx  x  e 2 x   ln  e 2ln     e 2  2     = 2ln  1 37    2ln   18 2e 18 2e - HẾT - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! BÀI GIẢNG TÍCH PHÂN BIẾN ĐỔI (TIẾT 1) CHUYÊN ĐỀ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM I LÝ THUYẾT b Biến đổi bình thường: I =  f ( x)dx a B1: Đặt f  x   t  Đổi cận B2: Vi phân vế thay tích phân  Ví dụ đề minh họa 2017 Tính tích phân: I   cos3 x.sin xdx Giải x   t  Đặt cos x  t ta có:   x    t  1   sin xdx  dt 1 t4  I   t  dt    t dt  1  1 1  0 4 Ví dụ Tính tích phân: 2x 1 0  x  1dx a) b)  ln x3 4 x dx c) e 2x e x  1dx ln Giải x   t  x   t ta có:  x   t  a) Đặt  2dx  2tdt  dx  tdt 3  t2  t t2 I  tdt   dt   t   dt    t  ln t   1 t t 1 t 1 2 1 1 9  1      ln      ln    ln 2  2  b) Đặt  x   t   x  t ta có:   x   t    x  t  2 xdx  2tdt   xdx  tdt Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! I     t   t  dt  t  t3   t dt  t     3  2 3  16  8           3 3   3   x  ln  t  e x   t ta có:   x  ln  t  c) Đặt  e x   t  e x dx  2tdt  2t 2t   I    t  1 t.2tdt    2t  2t  dt     2  2 3  243 2.27   32 2.8  1076            15  Biến đổi lượng giác: (1) a  x  Đặt x  a sin t (2) a  x  Đặt x  a tan t (3) x  a  Đặt x  a dt cos t Ví dụ Tính tích phân sau: a)   b)  x2 d) dx  4 x dx c) dx e) x2  x    x2  x2 dx x2 1 Giải a)  dx  x2 x   t   Đặt x  sin t ta có:    x   t   dx  cos tdt   6 I  1  sin t cos tdt    cos t  cos tdt   1dt  t 06   Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! b)   x2 x   t   Đặt x  2sin t ta có:    x   t   dx  2cos tdt   I    2 c)   2  4sin t cos tdt   cos tdt   1  cos 2t  dt   t  sin 2t     0 0 x2 dx  x2   Gợi ý: Đặt x  2sin t  t   0;   dx  2cos tdt  6   4sin t I  4sin t   0 4sin t cos tdt cos t cos tdt     4sin tdt     cos 2t dt   1  cos 2t  dt   6    t  sin 2t     0 x2  Đáp án:  x2 d)  dx  dx x  2x  =   dx  ( x  1)  1  x  1  t   Đặt x   tan t ta có:    x   t     dx   dt   cos t  => I =     4 4  dt   2 4(tan t  1) cos t 1 dt = cos t cos t 0 cos t dt =  cos t cos t dt  0 cos2 t 0  sin t dt Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! t   u   Đặt sint  u ta được:   t   u    costdt  du I  2  1 du  1 u 2  1 u    ln   u  e)  2 dx x2   1  du    ln  u  ln  u  1 u 1 u 2  ln   ln 2 2 1 Đặt x  1 cost  dx   dt sin t sin t    x   t  Đổi biến:  x   t     I      cos t cos t cos t dt 2 2 sin t   sin t dt   sin t dt cos t 1  sin t    6 sin t sin t sin t    2 sin t sin t  dt   dt   dt  sin t  sin t   cos t 6 Đặt u  cos t ta có du   sin tdt  t  Đổi cận:  t    u   u 0 du du u 1     ln Khi ta có I    1 u u  1 u  1 u 1  3    1   ln    ln  2     ln  - HẾT - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!  BÀI GIẢNG TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN (TIẾT 2) CHUN ĐỀ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM Ví dụ Tính tích phân: ln b)   sin  x   4  dx d)  sin x  2(1  sinx  cos x)   x sin x  ( x  1) cos x dx x sin x  cos x c) x  e x  x 2e x 0  2e x dx dx a)  x e  2e x  ln  Giải ln dx a)  x = e  2e x  ln ln ln dx ex   3 e2 x  3e x  2dx ln e x  ln 3 ex  x  ln  t  Đặt e x  t ta có:   x  ln  t   e x dx  dt 5 1 1 dt   dt    dt t  t  t  t  t  t     3 I   ln t   ln t    ln  ln  ln  ln  ln 30 15  ln 28 14 1 x  2e x  e x 1   x2  ex  2x2 ex ex x3 ex ex b)  dx  dx  x  dx   dx   dx 0  2e x 0  2e x 0  2e x 0  2e x  2e x 1 ex dx x  2e Đặt B   x   t  Đặt  2e x  t ta có:   x   t   2e  2e x dx  dt 1 e => B =  B   I  1 e dt     ln t  t 2 3   ln  2e  ln 3 1   ln  2e  ln 3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!   c) x sin x  ( x  1) cos x 0 x sin x  cos x dx = x sin x  x cos x  cos x x cos x dx  0 x sin x  cos x 0  x sin x  cos xdx  4   = x |04    x cos x  x cos x dx    dx x sin x  cos x x sin x  cos x  Đặt B   x cos x dx x sin x  cos x x   t   Đặt x sin x  cos x  t ta có:    2  x   t   4 2  x cos xdx  dt B  2  2   ( 1) dt    ln | t ||1  ln   1 t 4  Ví dụ Tính tích phân a)   sin x   4sin x  cos x dx b)   sin  x   4  dx c)  sin x  2(1  sinx  cos x)  4 tan x  cos x dx Giải a)   2  sin x 2sin x.cos x 2sin x.cos x dx  dx  0  4sin x  cos x 0  4sin x   2sin x 0 2sin x  4sin x  dx   2 sin x.cos x sin x.cos x dx  dx 2  sin x  2sin x  (s inx  1)  x   t   Đặt s inx   t ta có:    x   t   cos xdx  dt t 1 1  I   dt    dt  ln | t |  t t t1 t  ln  1  (ln1  1)  ln  2   b) 2 tan x 0 cos x dx =  tan x tan x dx  0 cos2 x  sin x 0 cos2 x(1  tan x) dx Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! x   t   Đặt tan x  t ta có:   x   t    dx  dt cos x I 3 t  1 t dt  3  t 11 dt  1 t2 3     t  1   dt   t  3   t 1 1  1    dt   t  t   3  t3      t   ln |  t |  ln |  t |    0  3 1 3    ln   ln   27  3  10 3   10  ln    ln 27 27 1      sin  x   (sinx  cosx) 4 4  c)  dx   dx sin x  2(1  sinx  cos x ) (2sin x cos x  1)   2(sinx  cos x ) 0 1     2 (sinx  cosx) (sinx  cosx) 2  dx  dx 2  (sinx  cos x )  2(sinx  cos x )  (sinx  cos x  1) 0 x   t   Đặt s inx  cos x  1 t ta được:    x   t    (cos x  sinx)dx  dt I  2 1  1 dt  t t2 1   1     1  - HẾT - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! ... Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC CHUN ĐỀ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO:... http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN (TIẾT 1) CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ... http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! BÀI GIẢNG NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN (PHẦN 2) CHUYÊN ĐỀ: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ –