CHUYấN : GII CC BI TON BNG CCH LP PHNG TRèNH, H PHNG TRèNH. Các b ớc giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình : 3 bớc Bớc 1: Lập phơng trình: - Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. - Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết. - Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giã các đại lợng. Bớc 2: Giải phơng trình. Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phơng trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. I. LOI TON HèNH HC : Bài 1: Một hình chữ nhật có chu vi là 28m. Nếu tăng chiều rộng gấp 2 lần và giảm chiều dài còn một nửa thì chu vi tăng thêm 4cm. Tìm kích thớc của hình chữ nhật? Giải: Gọi chiều dài của hình chữ nhật là a. Và chiều rộng của hình chữ nhật là b (a, b>0). Theo bài ra ta có: 2(a+b) = 28 a+b =14 Mặt khác: 2(2b+ 2 a ) = 28 + 14 a+4b = 32 Ta có hệ pt sau: =+ =+ 324 14 ba ba = = 6 8 b a Vậy kích thớc của hình chữ nhật lần lợt là: 8 và 6 (cm) Bài 2: Một sân hình tam giác có diện tích 180m 2 . Tính cạnh đáy của sân biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4m và giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích không đổi? Giải: Gọi cạnh đáy và chiều cao tơng ứng của sân lần lợt là a và b (a,b>0) Theo bài ra: Diện tích của sân là 18m 2 ab = 360 Mặt khác ta có: (a + 4)(b - 1) = ab -a + 4b - 4 = 0 Kết hợp 2pt trên ta có hệ pt sau: ( ) ( ) ab 360 1 a 4b 4 0 2 = + = Từ (1) b = 360 a thay vào (2) đợc: -a 2 - 4a + 1440 = 0 a 36 a 40 = = Vậy cạnh đáy của sân là 36m. Bài 3: Một tam giác vuông có chu vi 30m, cạnh huyền 13m. Tính mỗi cạnh góc vuông? Giải: Gọi độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông là a, b (a,b >0) Chu vi của tam giác là: a + b + 13 =30 a + b = 17 (1) Mặt khác theo định lý Pytago: a 2 + b 2 = 169 (2) Kết hợp (1) và (2) : 2 2 12 169 5 17 a a b b a b = + = = + = Vậy độ dài 2 cạnh góc vuông là 12 và 5 m. Bài 4: Một hình chữ nhật có chu vi là 32cm và diện tích là 60 cm 2 . Tính đờng chéo của hình chữ nhật đó? Giải: Gọi độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật là a và b (a,b>0) Chu vi hình chữ nhật là 32cm 2(a + b) = 32 a + b = 16 (1) Diện tích hình chữ nhật là 60 cm 2 ab = 60 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có = =+ 60. 16 ba ba = = 6 10 b a Độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật là 10 và 6 cm. Vậy độ dài đờng chéo của hình chữ nhật là: )36100( + = 136 cm. Bài 5: Một sân trờng hình chữ nhật có chu vi 340m. Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trờng? Giải: Gọi chiều dài và chiều rộng của sân trờng lần lợt la a và b (a,b >0) Chu vi sân trờng là 340m a + b = 170 (1) Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m nên 3a - 4b = 20 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có: 3a - 4b = 20 a + b = 170 100 70 a b = = 100 70 a b = = Vậy chiều dài và chiều rộng của sân trờng lần lợt là 100 và 70m. Bài 6: Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = 12 cm. Điểm M chạy trên AB. Tứ giác MNCP là một hình bình hành có đỉnh N thuộc cạnh AC. Hỏi khi M cách A bao nhiêu thì diện tích của hình bình hành bằng 32 cm 2 ? Giải: Đặt MA = x (0 < x< 12) P N M C B A Tam giác ABC vuông cân nên MP = MB = 12- x Diện tích của hình bình hành MNCP là MP.MA = (12-x)x Theo giả thiết: Diện tích của hình bình hành MNCP là 32 cm 2 (12 - x)x =32 x 2 -12x + 32 = 0 x = 4 hoặc x = 8 (thoả mãn) Vậy M cách A là 4 hoặc 8 cm. II, LOI TON TèM S: Bi 1: Hai s kộm nhau 12 n v. Nu chia s nh cho 7, chia s ln cho 5 thỡ thng th nht kộm thng th hai l 4 n v.Tỡm 2 s ú Gii Cỏch 1 : Gi s nh nht l : x S ln nht l : x+12 Thng ca s nh cho 7 l: 7 x Thng ca s ln cho 5 l: 5 12 + x Theo bi ra ta cú: 7 x = 5 12 + x + 4 ⇔ 5x = 7x + 84 + 140 ⇔ x = 28 Vậy số nhỏ là: 28. Số lớn là: 28 + 12 = 40 Cách 2 : Đặt thương thứ nhất là: a Thương thứ hai là: a + 4 ⇒ Số nhỏ là: 7a Số lớn là (a + 4)5 Theo bài ra ta có : (a + 4). 5 – 7a = 12 ⇒ 5a + 20 - 7a = 12 ⇒ 2a = 8 ⇒ a = 4 Vậy số nhỏ là 7.4 = 28. Số lớn là : (4 + 4).5 = 40 Cách 3 : Gọi 2 số cần tìm lần lượt là: x, y (x,y ∈ N) Hai số kém nhau 12 đơn vị : y - x = 12 Thương thứ nhất kém thương thứ hai là 4 đơn vị : 7 x + 4 = 5 y Ta có hệ:      =+ =− 5 4 7 12 yx xy Giả hệ ta được x = 28 (thoả mãn ) y = 40 Vậy số cần tìm là 28 và 40 Bài 2 : Cho một số có hai chữ số, chữ số hàng chục bằng nửa chữ số hàng đơn vị. Nếu đặt số 1 xen vào giữa hai số này ta được một số lớn hơn số đã cho là 370. Tìm số đã cho? Giải Gọi số phải tìm là: ab Chữ số hàng chục bằng nửa chữ số hàng đơn vị : b=2a Đặt số 1 xen vào giữa ta được số mới là ba1 Theo bài ra ta có : ba1 - ab = 370 ⇔ 100a + 10 + b – 10a – b = 370 ⇔ 90a = 360 ⇔ a =4 ⇒ b =2.4 = 8 Vậy số cần tìm là : 48 Bài 3 : Tổng của hai số bằng 136. Nếu lấy số nhỏ chia cho 4 và số lớn chia cho 6 thì tổng của hai thương là 28. Tìm hai số đó? Giải Cách 1: Gọi số nhỏ là x. Số lớn là y ( x, y ∈ Z và y > x ) Ta có : x + y = 136 (1) Số nhỏ chia 4 được thương: 4 x Số lớn chia cho 6 được thương: 6 x Mà tổng hai thương là: 28 => 4 x + 6 x = 28 (2) Từ (1), (2) ta có hệ:      =+ =+ 28 64 136 xx yx    = = ⇔ 72 64 y x (thoả mãn ) Vậy hai số cần tìm là: 64 và 72 Cách 2: Gọi số nhỏ là x (x ∈ N).Số lớn là : 136 - x Thương của số nhỏ cho 4 là: 4 x Thương của số nhỏ cho 6 là: 6 136 x − Theo bài ra ta có: 4 x + 6 136 x − = 28 ⇔ 3x + 272 – 2x = 336 ⇔ x = 64 ( thoả mãn ) Vậy số nhỏ là : 64 Số lớn là : 136 – 64 =72 Bài 4 : Tìm hai số biết tổng của chúng là 17 và tổng bình phương của chúng là 157 Giải Cách 1 : Gọi 2 số cần tìm lần lượt là: a,b (a,b ∈ Z) Theo bài ra ta có hệ: 2 2 a+b = 17 (1) a +b = 157 (2)    Giải hệ: (1) ⇔ a = 17 – b (2) ⇔ (17-b) 2 + b 2 = 157 ⇔ b 2 -34b + 289 + b 2 = 157 ⇔ 2b 2 – 34b +132 = 0 ⇔    = = 6 11 b b ⇔    = = 11 6 a a (thoả mãn ) Vậy 2 số phải tìm là: 6 và 11. Cách 2: Gọi 1 số phải tìm là: a Số kia là: 17 – a Tổng bình phương của chúng là 157 (17-a) 2 + a 2 = 157 ⇔ a 2 + 289 – 34a + a 2 = 157 ⇔ 2a 2 – 34a +132 = 0 ⇔    = = 6 11 a a Vậy hai số phải tìm là: 6, 11 Bài 5 : Tìm 1 số có hai chữ số biết rằng nếu đem chia số đó cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và dư là 3, còn nếu đem chia số đó cho tích các chữ số của nó thì được thương là 3 và còn dư 5. Giải Gọi số có hai chữ số đó là ab (a,b N ∈ ) Chia số đó cho tổng các chữ số của nó ta có: ab = 4(a + b) + 3 ⇔ 10a + b = 4a + 4b + 3 ⇔ 6a – 3b = 3 (1) Đem chia số đó cho tích các chữ số của nó ab = 3ab + 5 ⇔ 10a + b = 3ab + 5 (2) Từ (1), (2) ta có hệ: 6a - 3b = 3 10a + b = 3ab + 5    Từ (1) có: b = 3 36 − a Thay vào (2): 10a + 3 36 − a = 3a. 3 36 − a + 5 ⇔ 18a 2 – 45a + 18 = 0 ⇔ 2 1 ( ) 2 a a loai =    =  ⇔ 3 0( ) b b loai =   =  Vậy số cần tìm là: 23 Bài 6 : Tìm phân số có đồng thời các tính chất sau: a,Tử số của phân số là 1 số tự nhiên có 1 chữ số b, Hiệu giữa tử số và mẫu số bằng 4 c, Nếu giữ nguyên tử số và viết thêm vàobên phải của mẫu số một chữ số đúng bằng tử số thì ta được 1 phân số bằng phân số 1/3 Giải: Gọi tử số là : a (1 9 ≤≤ a ) thì mẫu số là: a-4 Nếu giữ nguyên tử thêm vào bên phải mẫu số 1 chữ số = tử. Ta có : aa a )4( − = 3 1 ⇔ aa a +− 4010 = 3 1 ⇔ 4011 − a a = 3 1 ⇔ 3a = 11a - 40 ⇔ 8a = 40 ⇔ a = 5 Vậy số phải tìm là: 1 5 Bài 7 : Tỉ số của hai số a và b là: 1 2 1 . Tìm 2số biết rằng a- b =8. Giải Cách 1 : Tỉ số của hai số a và b là: 2 3 ⇒ b a = 2 3 ⇒ 2a - 3b = 0 Theo bài ra ta có hệ : :    =− =− 032 8 ba ba giải hệ ta được : a = 24 b = 16 Cách 2 : Theo bài ra: a - b = 8 ⇒ a=b + 8 (1) Tỉ số của 2 số a và b là : 2 3 ⇒ a= 2 3 b (2) Từ (1) (2): 8+b = 2 3 b ⇒ 2 1 b = 8 ⇒ b = 16 Thay vào (1): a = 8 + 16 = 24 Vậy 2 số phải tìm là: 16; 24 Baì 8 : Trên đường Lương Ngọc Quyến, thành phố Thái Nguyên cứ 5 nhà liền nhau có số nhà hơn kém nhau 2 đơn vị. Biết tổng của số nhà đầu tiên và số nhà cuối cùng là 210. Tìm 2 số nhà đó? Giải Cách 1 : Gọi số nhà đầu tiên là: x Số nhà cuối cùng là: y (x, y ∈ N ) Theo bài ra ta có: x + y = 210 (1) Vì các nhà liền nhau hơn kém nhau 2 đơn vị ⇒ nhà đầu tiên cách nhà cuối cùng là: 2.5 = 10 ⇒ y – x = 10 (2) Từ (1), (2) ta có hệ:    =− =+ 10 210 xy yx Giải hệ được: x = 100 y = 110 Vậy số nhà đầu tiên là: 100 Số nhà cuối cùng là: 110 Cách 2: Gọi số nhà đầu tiên là: x (x ∈ N ) Số nhà cuối cùng là: 210- x Do 2 nhà sát nhau hơn kém 2 đơn vị ⇒ Nhà đầu tiên cách nhà cuối cùng là: 2.5 = 10 Ta có: 210 – x – x = 10 ⇔ -2x = -200 ⇔ x = 100 Vậy số nhà đầu tiên là: 100 Số nhà cuối cùng là: 110 Bài 9: Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số.biết rằng chữ số tận cùng của nó bằng 4, và nếu chuyển chữ số 4 đó lên vị trí của số đầu tiên thì số phải tìm tăng gấp 4 lần. Giải Gọi số phải tìm là: 4abcde Chuyển chữ số 4 lên vị trí đầu ta có: 4abcde . 4 = 4 abcde đặt abcde = x Ta có pt : (10x +4) . 4 = 400000 + x ⇔ 40x + 16 = 400000 + x ⇔ x = 10256. Vậy số phải tìm là : 10256. Bài 10 : Cho n số nguyên dương (không nhất thiết khác không ), trong đó có số 68.Trung bình cộng của n số đó bằng 56.Khi bỏ số 68 đó đi thì trung bình cộng của n – 1 số còn lại là 55. a. Tìm n. b. Số lớn nhất trong n số đã cho có thể bằng bao nhiêu? Giải Số nguyên dương phải tìm là : n (n ∈ Z ) Do khi bỏ số 68 đi thì trung bình cộng của n số bằng 55 ta có pt : 1 6856 − − n n = 55 ⇔ n = 13. Tổng của 13 số = 56 . 13 = 728 Trong 13 số có 1 số 68. Tổng của 12 số còn lại = 728 – 68 = 660 Số lớn trong 12 số con lại đạt được nếu 11 số bằng 1. Khi đó số lớn nhất = 660 – 11 = 649. III, D¹NG TO¸N CHUYÓN §éng: Bài1 : Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35km/h. Sau đó 24 phút, trên cùng một tuyến đường đó, một ôtô xuất phát từ Nam Định đi Hà Nội với vận tóc 45km/h. Biết quãng đường Nam Định – Hà Nội dài 90km. Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau? Giải: - Gọi thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau là x (h). Điều kiện thích hợp của x là x> 5 2 . - Trong thời gian đó, xe máy đi được quãng đường là 35x (km). Vì ôtô xuất phát sau xe máy 24 phút (tức là 5 2 h) nên ôtô đi trong thời gian là x- 5 2 (h) và đi được quãng đường là 45 (x - 5 2 ) (km). Đến lúc hai xe gặp nhau, tổng quãng đường chúng đi được đúng bằng quãng đường Nam Định – Hà Nội (dài 90km) nên ta có phương trình: 35x+ 45 (x - 5 2 ) = 90. - Giải phương trình: 35x+ 45 (x - 5 2 ) = 90 35x + 45x – 18 = 90  80x = 108  x = 80 108 = 20 27 . - Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn. Vậy thời gian để hai xe gặp nhau là 20 27 giờ, tức là 1 giớ 21 phút, kể từ lúc xe máy khởi hành. Bài 2: Một ôtô du lịch từ A đến B với vận tốc 50km/h, 24 phút sau khi khởi hành vận tốc giảm đi 10km/h do đó B chậm mất 18 phút. Tính quãng đường từ A đến B. Giải: - Gọi độ dài quãng đường từ A đến B là x (km). Điều kiện x> 0 - Sau 24 phút (tức 5 2 giờ ) ôtô đi được quãng đường là 5 2 .50 = 20 (km) - Nếu cứ đi với vận tốc 50km/h ôtô đi từ A đến B mất 50 x giờ - Nhưng quãng đường còn lại là x – 20 (km) ôtô đi với vận tốc giảm 10km so với ban đầu nên đến B chậm 18 phút (tức 10 3 giờ) nên ta có phương trình: 5 2 + 1050 20 − −x = 50 x + 10 3 (*) - Giải phương trình: (*)  80 + 5(x - 20) = 4x + 60 80 + 5x – 100 = 4x + 60 x = 80 - Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn. Vậy độ dài quãng đường từ A đến B là 80 km Bài3: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bô 10km. Canô đi từ A đến B mất 3 giờ 20 phút, ôtô đi hết 2 giờ. Vận tốc của canoo nhỏ hơn vận tốc của ôtô là 17 km/h. Tính vận tốc canô. Giải: - Gọi vận tốc của canô là x (km/h). Điều kiện x>0. Thì vận tốc của ôtô là x + 17 (km/h) - Canô đi từ A đến B mất 3 giờ 20 phút(tức 3 10 giờ). Vây đường sông từ A đến B dài là 3 10x (km) - Ôtô đi từ A đén B mất 2 giờ nên đường bộ từ A đến B dài là 2(x + 17) (km) - Theo bài ra đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bô 10km nên ta có phương trình: 2(x + 17) - 3 10x = 10 - Giải phương trình: 2(x + 17) - 3 10x = 10 3.2(x + 17) – 10x = 3.10  6x + 102 -10x = 30 4x = 72  x = 18 - Giá trị này phù hợp với điều kiện của ẩn. Vậy vận tốc của canô là 18 (km/h) Bài 4: Một ôtô khởi hành từ bến đi với vận tốc 40 km/h. Sau 30 phút sau cũng tại bến đó ôtô thứ 2 đi với vận tốc 60 km/h đuổi theo ôtô thứ nhất. Tính thời gian ôtô thứ 2 đuổi kịp ôtô thứ nhất. Giải: - Gọi thời gian để ôtô thứ hai đuổi kịp ôtô thứ nhất là t (giờ) (t>0) [...]... gian xe th ba bt u khi hnh n khi ui kp xe th nht l t gi (t>0) T khi bt u khi hnh n khi xe th 3 ui kp xe th nht ó i c 1 2 + t (gi) Khi ui kp xe th nht quóng ng xe th 3 i c bng quóng ng xe th nht i c nờn ta cú phng trỡnh : 1 ( 2 + t)40 = vt (1) 1 Vn tc ca xe th hai l 1 4 40 = 50 (km/h) T khi bt u khi hnh n khi xe th 3 ui kp xe th 2 ó i c 1 thi gian l 2 + t + 3 2 (gi) Thi gian xe th ba t lỳc bt u khi hnh... tc ca mi ngi Gii: - Gi vn tc ca ngi th hai l x (km/h) (x>0) thỡ vn tc ca gi th nht l x+6 (km/h) - Sau 2 gi ngi th nht i c quóng ng l 2x (km), ngi th hai i c quóng ng l 2(x+6) (km) - Gi O l a im hai ngi bt u xut phỏt, A l a im ngi i v phớa bc ti sau 2 gi, B l a im ngi i v phớa ụng ti sau 2 gi, A 60km B O Khi ú khong cỏch AB l 60km, tam giỏc AOB l tam giỏc vuụng ti O, nờn ta cú phng trỡnh sau: (2x)2 +[2(x+6)]2=602... y 4 Vy: Mt cn cu ln lm mt mỡnh trong 24 gi thỡ xong vic Mt cn cu bộ lm mt mỡnh trong 30 gi thỡ xong vic Bi 6: Mt hp tỏc xó xe khỏch dựng 15 xe nh v 10 xe ln thỡ vn chuyn c 690 khỏch Nu hp tỏc xó rỳt bt 10 xe nh v tng thờm 4 xe ln vn chuyn hnh khỏch thỡ s lng khỏch c vn chuyn tng thờm 20 ngi Hi mi loi xe ch c bao nhiờu ngi? Bit rng lng khỏch trờn mi xe trong cỏc ln vn chuyn u s ch theo quy nh Gii