20 đề gửi đội tuyển Yên Bái Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường tròn (O) theo thứ tự tiếp xúc với AB, AC tại B, C. Điểm Q nằm trong góc · BAC. Điểm P là hình chiếu của O trên AQ. PO lại cắt các đường tròn (BQP), (CQP). tại K, L. Chứng minh rằng, OK = OL. B i 2.à Cho tam giác ABC có µ µ C 2B.= Điểm P nằm trong góc · BAC và thoả mãn các điều kiện PB = PC; AP = AC. Chứng minh rằng, · · PAC 2PAB.= Bài 3. Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB = 2KC. L là hình chiếu của B trên AK. F là trung điểm của BC. Biết rằng · · KAB 2KAC.= Chứng minh rằng, FL AC.^ Bài 4. Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC theo thứ tự tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại X, Y, Z. trên các tia IX, IY, IZ theo thứ tự lấy các điểm X’, Y’, Z’ sao cho IX’ = IY’ = IZ’. Chứng minh rằng, AX’, BY’, CZ’ đồng quy. Bài 5. Cho ba đường tròn (O 1 ), (O 2 ), (O 3 ) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. T 1 ; T 2 ; T 3 theo thứ tự là tiếp điểm của các cặp đường tròn (O 2 ), (O 3 ); (O 3 ), (O 1 ); (O 1 ), (O 2 ). Điểm X thuộc (O 1 ). XT 2 lại cắt (O 3 ) tại A. AO 3 lại cắt (O 3 ) tại B. BT 1 lại cắt (O 2 ) tại Y. Chứng minh rằng, AT 1 , BT 2 , XY đồng quy. Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn, phân giác AD. E. F theo thứ tự là hình chiếu của D trên AC, AB. BE ∩ CF = H. Đường tròn (AFH) cắt BE tại G. Chứng minh rằng, tồn tại một tam giác vuông có độ dài các cạnh là EG, GB, BF. Bài 7. Cho lục giác ABCDEF có tam giác ABF vuông cân tại F; BCEF là hình bình hành; AD = 3; BC = 1; CD + DE = 2 2. Hãy tính S(ABCDEF). Bài 8. Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (I a ) nằm trong tam giác, tiếp xúc với các cạnh AB, AC và tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A 1 . Tương tự, ta có B 1 , C 1 . Chứng minh rằng, AA 1, BB 1 , CC 1 đồng quy. Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm M, N thuộc cạnh AB. Các điểm P, Q thuộc cạnh AC. S = MP ∩ NQ. Các đường tròn (M, MB) và (P, PC) cắt nhau tại X, Y. Các đường tròn (N, NB) và (Q, QC) cắt nhau tại Z, T. Chứng minh rằng, SX = SY = SZ = ST. Bài 10. Về phía ngoài tam giác ABC lấy các điểm X, Y sao cho các tam giác ABX, ACY đồng dạng ngược hướng. Lấy các điểm Z, T sao cho các tam giác BZC, BXA, TXY đồng dạng cùng hướng. Chứng minh rằng, các tam giác BZC, TXY có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp. T Z Y A B C X Bài 11. Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối không song song và AC = BD. Đường trung trực của các cạnh AB, CD cắt nhau tại điểm E nằm trong tứ giác. Đường trung trực của các cạnh AD, CB cắt nhau tại điểm F nằm trong tứ giác. a. Chứng minh rằng, · · AEB AFD 180 .+ = ° b. Chứng minh rằng, EF đi qua trọng tâm của tứ giác. Bài 12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp có AB.BC = 2AD.DC. Chứng minh rằng, 8BD 2 £ AC 2 . Bài 13. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). I là tâm đường tròn nội tiếp. AI, BI, CI theo thứ tự lại cắt (O) tại A’, B’, C’. A’C’, A’B’ theo thứ tự cắt BC tại M, N; B’A’, B’C’ theo thứ tự cắt CA tại P, Q. C’B’, C’A’ theo thứ tự cắt AB tại R. S. Chứng minh rằng: 2 2 S(ABC) S(MNPQRS) S(A ' B ' C '). 3 3 ≤ ≤ Bài 14. O là trung điểm của cạnh CD của tứ giác ABCD. Lấy các điểm M, N thoả mãn sao cho các tam giác OAB, DAM, CNB đồng dạng cùng hướng. Chứng minh rằng, tam giác ONM đồng dạng cùng hướng với ba tam giác trên. Bài 15. Cho tam giác ABC. Đường thẳng ∆ theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại A 1 , B 1 , C 1 . P là điểm bất kì trên ∆. Phép đối xứng tâm P theo thứ tự biển A 1 , B 1 , C 1 thành A 2 , B 2 , C 2 . Chứng minh rằng, AA 2 , BB 2 , CC 2 hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Bài 16. CD là một dây của đường tròn đường kính AB và vuông góc với AB tại E. Điểm M thuộc đoạn AE. CM lại cắt đường tròn tại N. Đường tròn (I,r) tiếp xúc trong với đường tròn đường kính AB và tiếp xúc với các tia MD, MN. Chứng minh rằng: 1 1 1 . r MA ME = + Bài 17. Cho tam giác ABC, phân giác AD, AC + AD = CB; AB + AD = CD. Tính các góc của tam giác. Bài 18. Cho tam giác ABC không cân tại A. Đường tròn (O 1 ) qua A, tiếp xúc với BC tại B. Đường tròn (O 2 ) qua A, tiếp xúc với BC tại C. (O 1 ), (O 2 ) theo thứ tự cắt AC, AB tại E, F. D là giao khác A của (O 1 ), (O 2 ). Đường tròn (BCD) theo thứ tự cắt AC, AB tại K, L. Chứng minh rằng, BC, EF, KL đồng quy. Bài 19. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng ∆ qua A, song song với BC. Các điểm P, Q theo thứ tự thuộc các đường trung trực của AB, AC sao cho PQ BC. ⊥ Các điểm M, N thuộc ∆ sao cho · · APM AQN 90 . = = ° Chứng minh rằng: 1 1 2 . AM AN AB + ≤ Bài 20. Cho hai đường tròn (O, R) và (I, r) tiếp xúc trong với nhau tại T. xy là tiếp tuyến chung tại T của hai đường tròn. Điểm A chạy trên (O) sao cho các tiếp tuyến với (I) kẻ từ A theo thứ tự cắt các tia Tx. Ty tại B, C. Chứng minh rằng, r(ABT) + r(ACT) không đổi (kí hiệu r(.) chỉ bán kính đường tròn nội tiếp tam giác). . 20 đề gửi đội tuyển Yên Bái Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường tròn (O) theo thứ tự. ∆ sao cho · · APM AQN 90 . = = ° Chứng minh rằng: 1 1 2 . AM AN AB + ≤ Bài 20. Cho hai đường tròn (O, R) và (I, r) tiếp xúc trong với nhau tại T. xy là