Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ( ) ( ) http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ FULL KIẾN THỨC + KỸ NĂNG CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CÁC CƠNG THỨC CẦN NHỚ CHƯƠNG NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Đạo hàm hàm số sơ cấp ( k ) ' = (k số) Đạo hàm hàm hợp u = u(x) ( kx ) ' = k (k số) ( x a ) ' = a.x a – (u a ) ' = a.u a – 1.u ' ' ' u' 1   =− u u ' u' u = u ( sinu ) ' = u '.cos u 1  =− x  x ' x =− x ( sinx ) ' = cosx ( cosu ) ' ( cosx ) ' = –sinx = tan x + cos x 1' ( cot x ) ' = − = − ( cot x + 1) sin x ( ex ) ' = ex ( tan x ) ' = = – u ' sin u u' = u ' ( tan u + 1) cos u u' ( cot u ) ' = − = −u ' ( cot u + 1) sin u ( eu ) ' = u '.eu ( tan u ) ' = http://www.tailieupro.com/ ( ) ( ) http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ a x ' = a x lna (a số) a u ' = u’a u lna (a số) x ( log a | x |) ' = x.ln a u' u u' ( log a | u |) ' = u.ln a ( ln | x |) ' = (u + v – w)’ = u’ + v’ – w’ ( ln | u |) ' = Tính chất đạo hàm (ku)’ = ku’ (k số)  u  u ' v − uv'     = ;   =− 2 v v v v ' (u.v)’ = u’v + uv’ ' http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ∫ ∫ ∗ Cơng thức tính đạo hàm nhanh hàm hữu tỉ : ax + bx + c (ab'−a' b) x + 2(ac'− a' c) x + (bc'−b' c) Dạng : y = ⇒ y’ = a ' x + b' x + c ' ( a ' x + b' x + c ' ) ax + bx + c ad x + 2ae.x + (be − dc) ⇒ y’ = dx + e (dx + e) ax + b ad − cb ⇒ y’ = Dạng : y = cx + d (cx + d ) Dạng : y = NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm hàm số đơn giản u hàm số theo biến x, tức u = u ( x) *Nguyên hàm hàm số đơn giản dx = x + C du = u + C ∫ k dx = k x + C , k *Trường hợp đặc biệt u = ax + b, a ≠ ∫ k.du = k.u + C số Cảm ơn quí giáo viên cho đời tài liệu tuyệt vời ) Tương tự: Đặt u ( x ) = a sin t Dạng 11 : Môt số dạng khác: Cảm ơn quí giáo viên cho đời tài liệu tuyệt vời ) I = β α a + x2 α Đặt x = a tan t a b sin t dx a+x a−x Dạng 13: I = 3− x dx 1+ x http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ∫ ∫ http://www.tailieupro.com/ Ví dụ : Tính tích phân sau: I = ∫ Giải: 3− x −x + −8tdt ⇒ t2 = ⇒x= − ⇒ dx = 1+ x x +1 t +1 (t + 1) Đặt t =  x = t = Đổi cận:  ⇒ t = x = −8t dt t dt = 2 2 ( t + 1) ( t + 1) Khi đó: I =  π π Đặt t = tan u , u ∈  − ;  ⇒ dt = (tan u + 1)du  2 π  u=  t =   Đổi cận:  ⇒  t = u = π  http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ∫ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ∫ π ⇒ I =8 tan u tan u + du π π (tan u + 1) =8 π π = ( 4u − 2sin 2u ) π3 = π π π 3 tan udu = sin udu = (1 − cos 2u )du tan u + π π 4 − 3+2 Chú ý: Phân tích I = β Dạng 14: I = α 3− x 1+ x dx , đặt t = + x tính nhanh ( x − a )( b − x )dx Cảm ơn quí giáo viên cho đời tài liệu tuyệt vời ) a x2 − a2 = t ⇒ Đặt ⇒ dx = tdt t + a2 x x2 − a2 dx = dt ⇒ xdx = x − a dt = tdt a t dt ⇒ I= t + a2 a = t + a − a dt a = t + a2 t + a dx = − Dạng 15 : Nếu hàm số dấu tích phân có dạng f ( x ) = thể đặt x = a a +b x 2 n a dt t + a2 với n =1;2;3; …thì ta có a  π π tan t với t ∈  − ;  b  2 β Dạng 16: Tính tích phân: I = α f x n +1 x n dx đặt u = x n +1 ⇒ du = ( n + 1) x n dx Dạng 17: Tính tích phân : I = ∫ f ( x) x dx đặt u = x ⇒ du = x dx http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ∫ ( ) http://www.tailieupro.com/ ) ∫ ( Dạng 18: Tính tích phân: I = ∫ f ( ax + b )dx đặt u = ax + b ⇒ du = adx KĨ THUẬT TÁCH THÀNH TÍCH - Thực chất phương pháp biến đổi số ta tách cách khôn khéo đế đặt - Thơng thường có số dạng sau đây: β a I = α f x n +1 x n dx đặt t = x n +1 ⇒ dt = ( n + 1) x n dx Ví dụ 1: (ĐH Kiến Trúc – 1997) Tính tích phân sau: I = x − x dx = 168 HD: − dt 3x 1 6  t7 t8  I = ∫ t (1 − t )dt = ∫ ( t − t )dt =  −  = 30 30   168 http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ∫ http://www.tailieupro.com/ ∫ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ∫ http://www.tailieupro.com/ Đặt: t = − x ⇒ dt = −3 x dx ⇒ dx = Ví dụ 2: (ĐH TK2 - A2003) Tính tích phân: I = x − x dx Cách 1: Đặt t = − x 1  1 I = t (1 − t )dt =  t − t  =  15 3 2 Cách 2: Đặt t = − x Cách 3: Đặt t = x π Cách 4: Đặt x = cos t ⇒ I = sin t cos3 tdt Cách 4.1 Đặt sin t = u ⇒ cos tdt = du ⇒ I = ∫ u (1 − u )du Cảm ơn quí giáo viên cho đời tài liệu tuyệt vời