Trường THPT Mỹ Đức A ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 NĂM HỌC 2019 - 2020 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) - oOo - Họ tên thí sinh: ……………………………………… … Số báo danh: ………… Câu (5 điểm) π  π  = x 2cos  − x  − 2cos  + x  a) Giải phương trình lượng giác: sin x + sin 4  4  2sin x + 3sin x cos x + 5cos x b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = Câu (4 điểm) a) Cho n ∈ , n ≥ tính tổng S sau: = S 2.1Cn2 + 3.2Cn3 + 4.3Cn4 + + n ( n − 1) Cnn b) Ba bạn A, B, C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1;20] Tính xác suất để tổng lập phương ba số viết chia hết cho Câu (5 điểm) a) Một tứ giác có bốn góc tạo thành cấp số nhân số đo góc lớn gấp lần số đo góc nhỏ Tính số đo góc tứ giác u1 = b) Cho dãy số ( un ) xác định  ∗ n  = + ∀ ∈ u u n , n  n+1 Tìm cơng thức số hạng tổng quát un theo n Câu (5 điểm) Cho mặt phẳng (α ) hai đường thẳng chéo d1 , d cắt (α ) A, B Gọi ∆ đường thẳng thay đổi song song với (α ) , cắt d1 M , cắt d N Đường thẳng d qua N song song với d1 cắt (α ) N ′ a) Tứ giác AMNN ′ hình gì? b) Tìm tập hợp điểm N ′ c) Gọi O trung điểm AB, I trung điểm MN Chứng minh OI đường thẳng cố định M di động Câu (1 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức H biết: H= x2 ( y + z ) y y + 2z z + y2 ( z + x) z z + 2x x + z2 ( x + y) x x + 2y y - HẾT - HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC MƠN TỐN LỚP 11 Câu 5,0 đ Nội dung  π   π  PT ⇔ sin x + sin x = 1 + cos  − x   + 1 + cos  + x         ⇔ sin x + sin x = sin x + sin x ⇔ 2sin 3x cos x = 2sin 3x cos x a) 3,0 đ Điểm 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ sin x = ⇔ cos x = cos x 0,5 đ  x = kπ ⇔  x =+ x k 2π  x =− x + k 2π 0,5 đ kπ  x =  kπ x k 2π ⇔ = x ⇔ =  k 2π x =  0,5 đ y= 2sin x + 3sin x cos x + 5cos x (1 + cos x ) = (1 − cos x ) + sin x + 2 3 = cos x + sin x + 2 b) π  2,0 đ = cos  x −  + 4  0,5 đ Giá trị nhỏ hàm số : ymin= 5π − đạt x = + kπ , k ∈  2 0,5 đ Giá trị lớn hàm số : ymax= π + đạt x =+ kπ , k ∈  2 0,5 đ Câu 4,0 đ Nội dung uk k ( k − 1) Cnk Số hạng tổng quát = un k ( k − 1) = a) 2,0 đ = = Điểm 0,5 đ n! k !( n − k ) ! n ( n − 1)( n − ) ! ( k − )! ( n − ) − ( k − ) ! n ( n − 1) Cnk−−22 ( ≤ k ≤ n ) S= n ( n − 1) ( Cn0− + Cn1− + Cn3−3 + + Cnn−−22 ) = S n ( n − 1) 2n − b) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 2,0 đ Số phần tử không gian mẫu là: n ( Ω ) =203 0,25 đ Đoạn [1; 20] có số chia hết cho 3; có số chia cho dư 1; số chia cho dư 0,25 đ Với số tự nhiên n ta ln có n3 − n= n ( n − 1)( n + 1) Do tổng lập phương ba số chia hết tổng ba số chia hết cho TH1: Cả số viết chia hết cho 3: có 63 khả xảy TH2: Cả số viết chia cho dư 1: có 73 khả xảy TH3: Cả số chia cho dư : có 73 khả xảy TH4: Cả số viết gồm số chia hết cho 3; số chia dư số chia dư 2: có 6.7.7.3! khả xảy 63 + 73 + 73 + 6.7.7.3! = 2666 Số kết thuận lợi = Xác suất cần tính P Câu 5,0 đ + + + 6.7.7.3! 1333 = 203 4000 3 Nội dung 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ Điểm Giả sử bốn góc A, B, C, D ( A < B < C < D ) theo thứ tự lập thành cấp số nhân  B = qA  với công bội q Ta có C = q A  D = q3 A  a) 2,5 đ b) 2,5 đ A + B + C + D = 360 Ta có hệ  D = A  A (1 + q + q + q ) = 360 ⇔  A.q = A q = ⇔   A = 24 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ   Suy = B 48 = ,C 96= , D 192 0,5 đ Với n ∈ ∗ , ta có : un +1 = 2un + 3n ⇔ un +1 − 3n +1 = ( un − 3n ) 0,5 đ Xét dãy số ( ) , với = un − 3n , ∀n ∈ ∗ ta có +1 = 2vn Do đó, dãy số ( ) cấp số nhân có cơng bội q = số hạng đầu -2 0,5 đ 0,5 đ Suy = v1.q n −1 = −2n 0,5 đ Vậy un = + 3n = 3n − 2n 0,5 đ Câu Nội dung 5,0 đ Điểm d d2 d1 I N M ( ) 0,5 đ N' B b a) 2,0 đ A O α Có AM // NN’ 0,5 đ Do d // d nên tồn mặt phẳng ( β ) chứa d d R R R AN ' (α ) ∩ ( β ) = ⇒ AN '/ / MN   MN ⊂ ( β ) , MN / / (α ) ⇒ AMNN ′ hình bình hành 0,5 đ 0,5 đ Gọi (P) mặt phẳng chứa d d , d // d nên (P) // d Do (P) chứa đường thẳng cố định d song song với đường thẳng cố định d nên (P) cố định R R R R b) 2,0 đ 0,5 đ R R R R R 0,5 đ R N’ điểm chung (α) (P) nên N ' ∈ (α ) ∩ ( P ) 0,5 đ b Vậy tập hợp điểm N’ đường thẳng b Gọi (α ) ∩ ( P ) = 0,5 đ 0,5 đ Dựng đường thẳng qua E song song với d cắt d N , Dựng đường thẳng ∆ qua N song song với AE, đường thẳng cắt d M R R c) 1,0 đ R R R R R R R R R R 0,5 đ Câu 1,0 đ Nội dung Điểm Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x 2 yz H≥ = = y y + 2z z x x xyz y y + 2z z + + z 2 xy y 2 zx + z z + 2x x x x + y y y y xyz z z + 2x x + z z xyz 0,25 đ x x + 2y y 2y y 2x x 2z z + + y y + 2z z z z + 2x x x x + y y  x x = ( −2a + 4b + c )  a y y + z z =    Đặt: b = z z + x x ⇒  y y = ( a − 2b + 4c )   c x x y y = +   z ( a + b − 2c ) z =  Khi  −2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c  H≥  + +  9 a b c  = 2  b a c   c a b  −6 +  + +  +  + +    9  a c a   a b c  ≥ 2 b a c c a b  −6 + 4.3 ⋅ ⋅ + 3 ⋅ ⋅  9 a c a a b c 0,25 đ 0,25 đ =2 H = a= b= c ⇒ x= y= z= Vậy giá trị nhỏ H 0,25 đ Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách giải khác đáp án vẫn cho điểm tối đa câu  ... bốn góc A, B, C, D ( A < B < C < D ) theo thứ tự lập thành cấp số nhân  B = qA  với công bội q Ta có C = q A  D = q3 A  a) 2,5 đ b) 2,5 đ A + B + C + D = 360 Ta có hệ  D = A  A (1 +...  9 a b c  = 2  b a c   c a b  −6 +  + +  +  + +    9  a c a   a b c  ≥ 2 b a c c a b  −6 + 4.3 ⋅ ⋅ + 3 ⋅ ⋅  9 a c a a b c 0,25 đ 0,25 đ =2 H = a= b= c ⇒ x= y= z= Vậy... − 2a + 4b + c )  a y y + z z =    Đặt: b = z z + x x ⇒  y y = ( a − 2b + 4c )   c x x y y = +   z ( a + b − 2c ) z =  Khi  − 2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c  H≥  + +  9 a