TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO

49 8 1
  • Loading ...
1/49 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 15/03/2020, 11:14

TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO Mục lục Tính tích phân theo định nghĩa…………………………………… …………………02 Kỹ thuật đổi biến……………………………………………………………………………03 Kỹ thuật tích phân phần………………………………………… ………………07 Tính a, b, c tích phân…………………………………………………………… 09 Tính tích phân hàm phân nhánh………………………………………… ………… 12 Tính tích phân dựa vào tính chất……………………………………… ……………14 Kỹ thuật phương trình hàm…………………………………………………… ………15 Kỹ thuật biến đổi………………………………………………………………………… 18 Kỹ thuật đưa đạo hàm đúng…………………………………… ……………… 24 10 Kỹ thuật đưa bình phương loại 1………………………………………………25 11 Kỹ thuật đưa bình phương loại – Kỹ thuật Holder…………… 27 12 Kỹ thuật đánh giá AMGM…………………………………………………………… 38 13 Tìm GTLN-GTNN tích phân…………………………………………… …… 42 Vấn đề Tính tích phân theo định nghĩa Câu Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1], thỏa f ( x) + f ( 1- x) = 1- x2 Giá trị tích phân ò f '( x) dx A B C 1 Lời giải Ta có ò f ¢( x) dx = f ( x) = f( 1) - ( 0) ìï f( 0) + ( 1) = ® ïí Û Từ f ( x) + f ( 1- x) = 1- x ¾¾ ïï f( 1) + ( 0) = ỵ Vậy I = ò f '( x) dx = f( 1) - D ìï ïï f ( 0) = - ï íï ïï ïï f ( 1) = ïỵ ( 0) = + = Chọn C Câu Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] , thỏa mãn f( 0) = ( 1) = Biết òe x éf ( x) + f ¢( x) ùdx = ae+ b Tính Q = a2018 + b2018 ë û A Q = 22017 +1 B Q = Lời giải Ta có D Q = 22017 - C Q = 1 / x x x ò e éëf ( x) + f ¢( x) ùûdx = ò éêëe f ( x) ùúû dx = éêëe f ( x) ùúû = ef( 1) ( 0) 0 f( 0) = ( 1) =1 = e- ïì a = 2018 ắắ đ Q = a2018 + b2018 = 12018 +( - 1) = Chọn B Suy ïí ïïỵ b = - Câu Cho hàm số y = f ( x) , y = g( x) có đạo hàm liên tục [ 0;2] thỏa mãn 2 / ò f ( x) g'( x) dx = Tính tích phân I = ò éëf ( x) g( x) ùû dx ò f '( x) g( x) dx = 2, 0 A I = - C I = B I = / D I = ù é ù Lời giải Ta có I = ò é ëf ( x) g( x) û dx = ò ëf '( x) g( x) + f ( x) g'( x) ûdx 2 = ò f '( x) g( x) dx + ò f ( x) g'( x) dx = + = Chọn C 0 Câu Cho hàm số y = f ( x) liên tục [ 0;+¥ ) thỏa x2 ò f ( t) dt = x.sin( px) ổ1ử fỗ ữ ỗ ữ ữ ç è4ø Tính ỉ1ư p ÷ =- ÷ A f ỗ ỗ ữ ỗ ố4ứ ổ1ử ữ = ữ B f ỗ ỗ ữ ỗ ố4ứ ổ1ử ữ ữ C f ỗ ỗ ữ= ỗ ố4ứ x2 Li gii T ũ f ( t) dt = x.sin( px) , đạo hàm hai vế ta ỉ1ư p ÷ = 1+ ÷ D f ỗ ỗ ữ ỗ ố4ứ 2xf ( x2 ) = sin( px) + px cos( px) ỉ1ư p p p ÷ = sin + cos = 1ắắ đ ữ Cho x = ta c fỗ ỗ ữ ỗ ố4ứ 2 2 ổ1ử ữ ỗ ữ ỗ ữ= Chn C ỗ4ứ ố f ( t) x Cõu Cho hàm số f ( x) liên tục [ a;+¥ ) với a> thỏa ò t2 a dt + = x với x > a Tính f ( 4) A f ( 4) = x Lời giải Từ ò a B f ( 4) = f ( t) t2 C f ( 4) = dt + = x , đạo hàm hai vế ta D f ( 4) = 16 f ( x) x2 = x ® f ( 4) = 4 = Chọn C Suy f ( x) = x x ¾¾ Vấn đề Kỹ thuật đổi biến 2017 Câu Cho ò f ( x) dx = Tính tích phân I = e2017 - ò A I = x f éln( x2 +1) ù dx ú ë û x2 +1 ê D I = B I = C I = 2xdx xdx dt ắắ đ = Li giải Đặt t = ln( x +1) , suy dt = x +1 x +1 ïì x = ® t = Đổi cận: ïí ïï x = e2017 - ® t = 2017 î 2017 Khi I = 2017 1 f ( t) dt = ò f ( x) dx = = Chọn A ò 2 Câu Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ ò f ( x) dx = 4, x p ò f ( sin x) cos xdx = tích phân I = ò f ( x) dx A I = B I = Lời giải  Xét ò f C I = ( x) dx = Đặt t = x D I = 10 x Þ t2 = x, suy 2tdt = dx ( ) f 3 ìï x = 1® t = x Suy = Đổi cận ïí d x = f t 2d t ắắ đ ( ) ũ x ũ ũ f ( t) dt = ùùợ x = đ t = 1  Xét p ò f ( sin x) cosxdx = Đặt u = sin x, suy du = cos xdx p ìï x = ® u = ïï Suy = f ( sin x) cos xdx = f ( t) dt Đổi cận í ïï x = p ® u = ò ò ïỵ 0 3 Vậy I = ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx = Chọn C 0 Tính Câu Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ p ò f ( tan x) dx = 4, ò x2 f ( x) x2 +1 dx = Tính tích phân I = ò f ( x) dx A I = Lời giải Xét B I = C I = D I = p ò f ( tan x) dx = Đặt t = tan x, suy dt = dt dx = ( tan2 x +1) dx ắắ đ dx = cos x 1+ t2 p ïìï x = ® t = 1 ï f ( t) f ( x) Khi = f ( tan x) dx = Đổi cận: í p dt = ò dx ïï x = ® t = ò ò t + x +1 ïỵ 0 1 f ( x) x2 f ( x) dx + ò dx = + = Chọn A Từ suy I = ò f ( x) dx = ò x +1 x +1 0 Câu Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn p ò tan x f ( cos x) dx = 1, 2 e ò e f ( ln x) x ln x dx = Tính tích phân I = ò f ( 2x) A I = x dx B I = C I = D I = p Lời giải ● Xét A = tan x f ( cos2 x) dx = Đặt t = cos2 x ò ® tan xdx = Suy dt = - 2sin x cos xdx = - 2cos2 x tan xdx = - 2t.tan xdx ¾¾ ìï x = ắắ đ t =1 ùù i cn: p ùù x = ắắ đt = ùùợ 1 1 f ( x) f ( t) f ( t) f ( x) dt = ũ dt = ũ dx ắắ đũ dx = Khi 1= A = - ò 21 t 21 t 21 x x e2 ● Xét B = ò e Suy du = f ( ln x) 2 x ln x dx = Đặt u = ln2 x 2ln x 2ln2 x 2u dx du dx = dx = dx ¾¾ ® = x x ln x x ln x x ln x 2u ỡù x = e ắắ đu =1 Đổi cận: ïí ïï x = e ắắ đu= ợ 4 f ( x) f ( u) f ( x) du = ũ dx ắắ đũ dx = Khi ú 1= B = ò 21 u 21 x x ● Xét tích phân cần tính I = ò f ( 2x) x dx ìï ìï ïï dx = dv ùù x = ắắ đ v= ïï Đặt v = 2x, suy í Đổi cận: í ïï ïï v x = x = ắắ đ v = ùù ïïỵ ïỵ dt 2t 4 f ( v) f ( x) f ( x) f ( x) I = d v = d x = d x + dx = + = Chọn D ò ò ò ò Khi v x x x 1 1 2 é1 ù Câu 10 Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục ê ;2ú, thỏa ê2 û ú ë f ( x) ổ1ử I = dx ữ ỗ ũ f ( x) + f ỗ ữ = x + + Tớnh tớch phõn x2 +1 ữ ỗ ốxứ x2 A I = C I = B I = D I = ỡù ùù x = ắắ đt = 1 ï Lời giải Đặt x = , suy dx = - dt Đổi cận: ïí ïï t t x = ¾¾ đ t = ùù ùợ ổử ổử ổ1ử 1ữ 1ữ ỗ ỗ ữ fỗ ữ ữ 2 fỗ ữ ỗ ỗ ữổ 1ử ữ ữ ỗt ứ ỗt ứ ỗxứ ố ố ố ữ ỗ Khi ú I = ũ ỗ- ữ dt = ũ dt = ũ dx ữ ỗ ố t ứ t +1 x +1 1 + 2 t2 ổ1ử ổ1ử ữ fỗ ( x) + f ỗỗỗ ữ ữ ữ 2 x + +2 ỗ ữ ữ ỗ ốxứ ốxứ x Suy 2I = ò dx + ò dx = ò d x = ò1 x2 +1 dx x +1 x +1 x2 +1 1 f ( x) 2 =ò 2 2 2 ỉ 1ư ỉ 1ư x2 +1 ữ ỗ ỗ d x = 1+ ÷ d x = x ® I = Chọn A ữ ữ ỗ ỗ ũ ữ ữ1 = ắắ ỗ x ứ ỗ ố ố ứ x x 2 Câu 11 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ thỏa f ( x) + f ( - x) = 2+ 2cos2x với xỴ ¡ 3p Tính I = ò f ( x) d x - 3p A I = - C I = - ìï ïï x = - 3p ® t = 3p ïï 2 Lời giải Đặt t = - x ắắ đ dx = - dt i cn: í ïï 3p 3p ® t =ïï x = 2 ïỵ - Khi I = - B I = 3p 3p 3p ò f ( - t) dt = ò f ( - t) dt = ò f ( - x) dx 3p - 3p 3p Suy 2I = D I = - 3p 3p ò éëf ( t) + f ( - t) ùûdt = ò 3p 3p 2+ 2cos2tdt = 3p ũ cost dt CASIO = 12 ắắ đ I = Chọn D 3p Câu 12 Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục ¡ , thỏa f ( x + 4x + 3) = 2x +1 với x Ỵ ¡ Tích phân ò f ( x) dx - A B 10 C 32 D 72 ïì x = - ® t = - Lời giải Đặt x = t5 + 4t + 3, suy dx = ( 5t + 4) dt Đổi cận ïí ùùợ x = đ t = Khi ú 1 - - - 4 ò f ( x) dx = ò f ( t + 4t + 3)( 5t + 4) dt = ò( 2t +1) ( 5t + 4) dt = 10 Chọn B Câu 13 Cho hàm số f ( x) , g( x) liên tục [ 0;1] , thỏa m f ( x) + n f ( 1- x) = g( x) với m, n số thực khác ò f ( x) dx = ò g( x) dx = Tính m+ n B m+ n = C m+ n = D m+ n = 2 Lời giải Từ giả thiết m f ( x) + n f ( 1- x) = g( x) , lấy tích phân hai vế ta A m+ n = 1 ò éëm f ( x) + n f ( 1- x) ùûdx = ò g(x)dx 0 1 Suy m+ nò f ( 1- x) dx = (do ò f ( 1- Xét tích phân ò f ( x) dx = ò g( x) dx = 1) ò f ( 1- x) dx = - 0 ( 1) ìï x = ® t = x) dx Đặt t = 1- x , suy dt = - dx i cn: ùớ ùùợ x = 1đ t = Khi 1 ò f ( t) dt = ò f ( t) dt = ò f ( x) dx = 1 ( 2) Từ ( 1) ( 2) , suy m+ n = Chọn C Câu 14 Cho hàm số f ( x) xác định liên tục [ 0;1] , thỏa mãn f '( x) = f '( 1- x) ] Biết f( 0) = 1, ( 1) = 41 Tính tích phân I = ò f ( x) dx với x Î [ 0;1 A I = 41 B I = 21 C I = 41 f ' x = f ' x ắắ đ f x = f 1- x) +C ( ) ( ) ( ) ( Lời giải Ta có D I = 42 f( 0) =1, ( 1) =41 ắ ắ ắắ đ C = 42 ( 1) +C ắắ đ f ( x) + f ( 1- x) = 42 Suy f ( x) = - f ( 1- x) + 42 ¾¾ Suy f( 0) = 1 0 ù ¾¾ ® òé ëf ( x) + f ( 1- x) ûdx = ò 42dx = 42 ( 1) ® ò f ( x) dx = ò f ( 1- x) dx Vì f '( x) = f '( 1- x) ¾¾ Từ ( 1) ( 2) , suy ( 2) ò f ( x) dx = ò f ( 1- x) dx = 21 Chọn B 0 Câu 15 Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x) + f ( x) = x với x Ỵ ¡ Tính I = ò f ( x) dx B I = 5 D I = 4 Lời giải Đặt u = f ( x) , ta thu u + u = x Suy ( 3u +1) du = dx A I = - C I = - ìïï x = ® u = Khi I = ò u( 3u2 +1) du = Chọn D Từ u + u = x , ta đổi cận í ïïỵ x = ® u = Cách khác Nếu tốn cho f ( x) có đạo hàm liên tục ta làm sau: ïìï f3 ( 0) + ( 0) = ïìï f ( 0) = ®í ®í Từ giả thiết f ( x) + f ( x) = x ¾¾ ïï f ( 2) + ( 2) = ïï f ( 2) = ỵ ïỵ ( *) 3 Cũng từ giả thiết f ( x) + f ( x) = x , ta có f '( x) f ( x) + f '( x) f ( x) = x f '( x) 2 0 ùdx = x f '( x) dx Lấy tích phân hai vế ò é ê ò ëf '( x) f ( x) + f '( x) f ( x) ú û æéf ( x) ự ộf ( x) ự ỗở ữ = xf x ỷ +ở ỷữ ữ ắắ đỗ ( ) ỗ ữ ỗ ữ ứ ữ0 ỗ è 2 - ( *) ũ f ( x) dx ắắđ ũ f ( x) dx = 0 Vấn đề Kỹ thuật tích phân phần f ( x) Câu 16 Cho hàm số f ( x) ò x f ¢( x) e thỏa mãn dx = f ( 3) = ln3 Tính I = ò ef ( x) dx A I = B I = 11 C I = 8- ln3 D I = 8+ ln3 3 ìï u = x ìï du = dx f ( x) f ( x)  ị ớù x f x e d x = x e ef ( x) dx ( ) Lời giải Đặt ïí Khi f ( x) ò ò ïï dv = f ¢( x) e dx ïï v = ef ( x) 0 ỵ ỵ f( 3) Suy = 3.e - 3 0 f ( x) ( x) ũ e dx ắắđ ũ e dx = 9- = Chọn A Câu 17 Cho hàm số p ò f '( x) cos f ( x) é pù ê0; ú, ê 2û ú ë có đạo hàm liên tục p xdx = 10 f ( 0) = Tích phân ò f ( x) sin2xdx thỏa mãn B I = - A I = - 13 Lời giải Xét C I = p D I = 13 ïìï u = cos x Þ , đặt í f ' x cos x d x = 10 ( ) ïï dv = f '( x) cos2 xdx ò î p Khi 10 = f '( x) cos xdx = cos xf ( x) ò 2 p p ïì du = - sin2xdx íï ïï v = f ( x) ỵ p + ò f ( x) sin2xdx p Û 10 = - f( 0) + ũ ( x) sin2xdx ắắ đ ũ f ( x) sin2xdx = 10+ f ( 0) = 13 Chọn D 0 y = f ( x) Câu 18 Cho hàm số có đạo hàm liên tục [ 0;1] , thỏa mãn ò f ( x - 1) dx = ò x f '( x ) dx f ( 1) = Tích phân A - B - C Lời giải Ta có 1 t=x- ò f ( x - 1) dx = ắắ ắđ ũ f ( t) dt = hay D ò f ( x) dx = ìï u = x ìï du = dx 1 t=x2 ® ò tf '( t) dt = ò xf '( x) dx Đặt ïí Þ ïí Xét ò x f '( x ) dx ¾¾¾ ïï dv = f '( x) dx ïï v = f ( x) 20 20 ỵ ỵ 1 ù 1 1é t=x2 ® ò tf '( t) dt = ê xf x f ( x) dxú ( ) Khi ò x f '( x ) dx ¾¾¾ ê ú= 2[ 4- 3] = Chọn C ò 2 ê ú 0 ë û Câu 19 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục [ 0;2] Biết 1 f ( 0) = I =ò (x - 3x f ( x) f ( 2- x) = e2x - 4x ) f '( x) f ( x) với dx x Ỵ [ 0;2] Tính tích phân A I = - 14 B I = - 32 16 C I = - D I = - 16 x=2 Lời giải Từ giả thiết f ( x) f ( 2- x) = e2x - 4x ắắắ đ f ( 2) = Ta có I = ò ( x3 - ìï u = x3 - 3x2 ïï Þ f '( x) dx Đặt ïí ïï dv = dx ïïỵ f ( x) 3x2 ) f '( x) f ( x) 2 Khi I = ( x - 3x ) ln f ( x) ò( 3x - 0 ò éêë( 2- f ( 2) =1 6x) ln f ( x) dx = - 3ò( x2 - 2x) ln f ( x) dx = - 3J x=2- t Ta có J = ò( x - 2x) ln f ( x) dx = ïì du = ( 3x2 - 6x) dx ïíï ïï v = ln f ( x) ïỵ 2 t) - 2( 2- t) ù ln f ( 2- t) d( 2- t) ú û 2 = òé ln f ( 2- x) d( 2- x) = ò( x2 - 2x) ln f ( 2- x) dx ( 2- x) - 2( 2- x) ù ê ú ë û 2 0 2 Suy 2J = ò( x - 2x) ln f ( x) dx + ò( x - 2x) ln f ( 2- x) dx = ò( x - 2x) ln f ( x) f ( 2- x) dx 2 = ò( x2 - 2x) ln e2x - 4xdx = ò( x2 - 2x)( 2x2 - 4x) dx = 0 32 16 ắắ đJ = 15 15 16 Chọn D Vậy I = - 3J = - p ổ ữ ỗ ữ ỗ ữ ç 2cot x ÷ + sin2 x e d x , với số thực m¹ Chọn khẳng ÷ ( ) Câu 20 Cho biểu thức S = lnỗ ỗ ũ ữ ỗ ữ ỗ ữ n ữ ç è 4+m2 ø định khẳng định sau A S = ỉ p p ữ+ 2lnổ ữ ỗ sin ữ ữ C S = 2cotỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ4 + m ứ ç + m2 ø è è p ò ( 2- Lời giải Ta có p ò p ò e2cot xdx - p p sin2xe p ò dx = p 2cot x e p 2cot x 2 4+m2 p 2cot x = sin2 x.e p p 4+m2 p 4+m2 sin2xe2cot xdx ( 1) 4+m2 d( sin x) = sin x.e ò p 4+m2 p Xét ỉ p p ÷+ 2lnổ ữ ỗ ữ ữ D S = 2tanỗ ỗ ç ÷ ÷ ç4 + m ø ç4 + m2 ø è è sin2x) e2cot xdx = 4+m2 2cot x B S = - ò p ỉ 2cot x ữ sin2 xỗ ữ ỗ ữe dx ỗ ố sin2 xứ 4+m2 p +2 p 4+m ò ( 2) e2cot xdx p 4+m2 2cot x Từ ( 1) ( 2) , suy I = sin x.e p p p = - 1+ sin2 4+m2 2cot p e 4+m 4+ m ỉ 2cot ỉ p p p ữ ữ+ 2lnổ ữ ỗ ỗ ắắ đ S = lnỗ sin2 e 4+m ữ = 2cotỗ sin ữ ữ ỗ ỗ ỗ 2ữ ữ ữ Chn C ữ ỗ ỗ ố ứ ố ữ + m + m + m2 ứ ỗ è ø p Vấn đề Tính a, b, c tích phân ò ln( 9- Câu 21 Biết x2 ) dx = aln5+ bln2 + c với a, b, cẻ  Tớnh P = a + b + c A P = 13 B P = 18 C P = 26 ì ìï u = ln( 9- x2 ) ïï du = - 2x dx Þ íï 9- x2 Lời giải Đặt ïí ï dv = dx ïï ïỵ ỵï v = x + Khi I = ( x + 3) ln( 9- x ) 2 + 2ò x( x + 3) 9- x2 D P = 34 ổ ữ dx = 5ln5- 4ln8+ 2ũỗ - 1+ ữ ỗ ữdx ỗ ố xứ ïìï a = ï = 5ln5- 12ln2- 2( x + 3ln 3- x ) = 5ln5- 6ln2- ¾¾ ® ïí b = - ® P = 13 Chọn A ïï ïïỵ c = - Nhận xét Ở chọn v = x + thay x để rút gọn cho 9- x2 , giảm thiểu biến đổi æ px3 + 2x + ex3 2x 1 e ö m, n, p số ngun ÷ ò p + e.2x dx = m+ eln n.lnỗỗỗốp+ e+ pứữ ữ vi dng Tớnh tổng P = m+ n + p A P = B P = C P = D P = 1 x x x ỉ3 px + + ex 2 1 ữ ữ dx = ũỗ x + dx = x4 + A = + A ỗ Li gii Ta cú I = ũ ữ x xữ ỗ p + e.2 p + e.2 ø 4 è 0 Câu 22 Biết Tính A = ò 2x dx Đặt t = p + e.2x ¾¾ ® dt = e.ln2.2x dx ¾¾ ® 2x dx = dt p + e.2x eln2 ïì x = ® t = p + e Đổi cận: ïí ùùợ x = 1đ t = p + 2e p+2e Khi A= dt = ln t e.ln2 pò t e ln2 +e p+2e = p+e ỉ p + 2e e ÷ ln = lnỗ ữ ỗ1+ ữ ỗ eln2 p + e eln2 è e+ p ø ìï m= ïï ỉ 1 e ữ lnỗ 1+ ắắ đ ùớ n = Þ P = m+ n + p = Chn C ữ Vy I = + ỗ ữ ç e+ p ø ïï eln2 è ïïỵ p = p Câu 23 Biết ò x2 +( 2x + cos x) cos x +1- sin x x + cos x dx = ap2 + b- ln c với a, b, c số hữu p tỉ Tính P = ac + b A P = B P = p Lời giải Ta có I = ( ò x2 + 2x cos x + cos2 x) +( 1- sin x) x + cos x p =ò ( x + cos x) x + cos x p dx + ò C P = p dx p d( x + cos x) 1- sin x dx = ò( x + cos x) dx + ò x + cos x x + cos x 0 p ỉ ư2 2 p 2 =ỗ ữ ỗ x + sin x + ln x + cos x ÷ ÷ = p +1+ ln = p +1- ln p ỗ ố2 ứ ỡù ùù a = ùù ù ắắ đ b = ¾¾ ® P = ac3 + b = Chọn C ïï ïï c = ïï ïỵ D P = ln ò Câu 24 Biết ln A P = - 1 b dx = 1+ ln + a a - b với a, b ẻ  + Tớnh P = a+ b a e +1- e B P = C P = D P = Lời giải Ta có I = 2x x ln ò 2x  dx = ò( 2x x ln ) e +1 + e dx = ln ò ln 2x e +1dx + ln x ln = 2- ln ò x ln ln  ò e dx ln ò e dx = e x x e +1- e ln ln ln tdt tdt = 2x e t - e2x +1dx Đặt t = e2x +1 Û t2 = e2x +1, suy 2tdt = 2e2xdx Û dx = ln ìï x = ln ® t = Đổi cận: ïí ïï x = ln đ t = ợ ln Khi ò ln 3 3 ỉ t- 1ư ỉ t2dt ÷ ÷ ç ç ÷ dt = + d t = t + ln = 1+ ln ữ ỗ ỗ 2 ũ ữ ữ ỗ ỗ ữ ố t - 1ø t - 2 è t +1 ø 2 e2x +1dx = ò ìï a = ắắ đ ùớ ắắ đ P = a + b = Chọn D ïïỵ b = dx = a - b - c vi a, b, c ẻ  + Tớnh P = a+ b+ c Câu 25 Biết ò x + x ) + x x +1 ( Vậy I = 1+ ln + 2 2 A P = 12 B P = 18 Lời giải Ta có I = ò C P = 24 dx x( x +1) ( x +1+ x = ) ò D P = 46 x +1 + x x( x +1) ( x +1+ x ) dx æ 1 x + x +1 ữ ỗ ữdx ắắ + ® 2du = dx Đặt u = x +1+ x , suy du = ỗ ữ ỗ ữ ỗ è2 x +1 x ø x( x +1) 3+ 3+ ìï x = ® u = + ỉ du Khi I = ũ = = - 2ỗ i cn ùớ ỗ ỗ ùù x = 1đ u = +1 u u 2+1 è 3+ 2+1 ỵ ìï a = 32 ïï æ 3- 2 - 1ử ữ ỗ ữ = - 2ỗ = 32 - 12 - ắắ đ ùớ b = 12 ắắ đ P = 46 Chn D ữ ỗ ùù ữ ç 2- ø è 3- ïïỵ c = Câu 26 Biết p ò sin4x 2 cos x +1 + sin x +1 A P = 10 dx = a + b + c vi a, b, cẻ  Tớnh P = a + b + c B P = 12 p Lời giải Ta có I = ò C P = 14 p sin4x 2 ö ÷ ÷ ÷ ÷ +1ø cos x +1 + sin x +1 dx = 2ò D P = 36 2sin2x cos2x 3+ cos2x + 3- cos2x dx ïìï x = ® t = ï t t = cos2x ắắ đ dt = - 2sin2xdx Đổi cận: í ïï x = p ® t = ỵï Khi I = - 2ò t 3+ t + 3- t dt = 2ò t 3+ t + 3- t dt = ò( 3+ t - ) 3- t dt ïìï a = 16 1 é2 16 - 12 + 3ù ï ê ( 3+ t) + ( 3- t) ú = = ắắ đ ùớ b = - 12 đ P = 36 Chọn D ïï ê ú ë3 û0 ïỵï c = Câu 27 Biết ò 1 x + ex + dx = a + eb - ec vi a, b, cẻ  Tớnh P = a+ b+ c 4x xe2x 10 Mà f( 0) = 0, ( 1) = 1Þ C = ¾¾ ® f ( x) = f ( x) ò Vậy 1+ x2 = ( ) ln 1+ dx = 1 ( )ò ln 1+ ( ln2 x + 1+ x2 ( ln x + 1+ x2 1+ x2 ) ( ) ln x + 1+ x2 ( ) ln 1+ ) dx = ( 1 )ò ln 1+ ( ) ( ) é ù ln x + 1+ x2 d êln x + 1+ x2 ú ë û = ln 1+ Chọn C ( ) Cách Theo Holder ổ1 ữ ỗ 2 ữ =ỗ f ' x d x = dx Ê ( ) ÷ ò 1+ x f '( x) ỗ ũ ữ ỗ ữ ố0 ứ 1+ x2 ò = dx ù 1+ x2 é ëf '( x) û dx.ò 1+ x2 ( ) ln 1+ ( ) ln 1+ = Câu 93 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [- 1;1], thỏa mãn f ( - 1) = 0, ò éëf '( x) ùû dx = 112 - 84 A I = 1 ò x f ( x) dx = - B I = 16 Tính tích phân I = ò f ( x) dx - 35 C I = 35 Lời giải Như trước, ta chuyển òx f ( x) dx = - ìï u = f ( x) Þ cách tích phân phần Đặt ïí ïï dv = x2dx ỵ Khi ò x f ( x) dx = - x3 f ( x) D I = 16 thông tin f '( x) ìï du = f '( x) dx ïï íï ïï v = x ïïỵ - - 168 1 1 x3 f '( x) dx = f( 1) + ( - 1) - ò x3 f '( x) dx Tới ò 3- 3 3- ta bị vướng f ( 1) giả thiết khơng cho Do ta điều chỉnh lại sau ìï du = f '( x) dx ïï với k số íï ïï v = x + k ïïỵ 1 ỉ ỉ x x3 ữ ỗ ữ ữ + k f x + k÷ f '( x) dx ( ) ç ç Khi ò x f ( x) dx = ỗ ữ ữ ũ ỗ ỗ ữ ữ - è3 ø è3 ø - - ìï u = f ( x) ï Þ í ïï dv = x2dx ợ ổ =ỗ + kữ ữf ( 1) ỗ ữ ỗ3 ố ứ ổ1 ỗ - + kữ ữf ( - 1) ỗ ữ ỗ è ø444443 144444424 ỉx3 ÷ f '( x) dx ữ ũỗỗỗố + kữ ữ ứ - =0 f ( - 1) =0 Ta chọn k cho 1 +k = 0Û k =- 3 Khi 1 16 = x2 f ( x) dx = - ò( x3 - 1) f '( x) dx ắắ đ ũ( x3 - 1) f '( x) dx = - 16 ò - - - éf '( x) + a ( x3 - 1) ù2 ù Hàm dấu tích phân é ú ëf '( x) û , ( x - 1) f '( x) nên ta liên kết với ê ë û Ta tỡm c a = ắắ đ f '( x) = - 7( x3 - 1) Þ f ( x) = - 7ò( x3 - 1) dx = - x4 + 7x +C 84 35 35 f ( - 1) =0 ắắ ắắ đC = ¾¾ ® f ( x) = - x4 + 7x + Vậy I = ò f ( x) dx = 4 - Cách Theo Holder 35 ỉ1 ÷ ÷£ ( - 16) = ỗỗỗũ( x3 - 1) f '( x) dxữ ữ ỗ ữ ố- ứ 2 2ln2 1- ln2 2 - ò ( x +1) dx = 2ln2- 0 A f ( x) ò éëf '( x) ùû dx = - ò( x - 1) 16 ù dx.ò é ëf '( x) û dx = 112 = 256 - f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] , thỏa mãn Câu 94 Cho hàm số 1 B 1- 2ln2 Tích phân C ò ( x +1) ò f ( x) dx D dx = 2ln2- ìï u = f ( x) ïï Þ cách tích phân phần Đặt ïí dx ïï dv = ïï ( x +1) ỵ 1 f ( x) f ( x) f '( x) f( 1) dx = +ò dx = + Khi ò x +1 0 x +1 ( x +1) 3- 2ln2 f ( x) Lời giải Như trước, ta chuyển f ( 1) = 0, 3- 4ln2 thông tin f '( x) ìï du = f '( x) dx ïï í ïï v = - ïïỵ x +1 ( 0) 1 +ò f '( x) x +1 dx Tới ta bị vướng f ( 0) giả thiết khơng cho Do ta điều chỉnh lại sau ìï u = f ( x) ïï ïí Þ dx ïï dv = ïï ( x +1) ỵ f ( x) ỉ dx = ỗ + kữ ữ Khi ú ũ ỗ ữf ( x) ỗ ố x +1 ứ ( x +1) f ( 1) =0 = ìï du = f '( x) dx ï ïí với k số ïï v = - + k ïïỵ x +1 1 - ổ ũốỗỗỗ0 - ( - 1+ k) f ( 0) - ổ ũỗỗỗố0 + k÷ ÷ ÷f '( x) dx = x +1 ø ÷f '( x) dx + k÷ ÷ x +1 ø Ta chọn k cho - 1+ k = Û k = 1 1 f ( x) x x d x = f ' x d x ắắ đ f '( x) dx = - 2ln2 ( ) Khi 2ln2- = ò ò ò ( x +1) x +1 x +1 0 2 é x x ù ù ú Hàm dấu tích phân é f '( x) + a ëf '( x) û , x +1 f '( x) nên ta liên kết với ê ê x +1ú ë û x x ® f '( x) = Þ f ( x) = ò dx = x - ln x +1 +C Ta tìm a = - 1¾¾ x +1 x +1 ( ) ắắ ắđ C = ln2- 1ắắ đ f ( x) = x - ln( x +1) + ln2- Vậy f =0 ò f ( x) dx = Cách Theo Holder 2 é1 x ự ổ ỳ ữ ỗ - 2ln2ữ ỗ ữ = ờũ x +1 f '( x) dxỳ Ê ỗ ố2 ứ ờ0 ỳ ỷ 1- 2ln2 Chọn B 2 ỉx ổ3 ửổ3 ữ ỗ ỗ d x - 2ln2ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ũốỗx +1ứữ ũ ộởf '( x) ựỷ dx = ốỗỗỗ2 - 2ln2ứữ ữố ữ ç2 ø 0 Câu 95 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [1;2] , đồng biến [1;2] , thỏa mãn f ( 1) = , ò éëf ¢( x) ùû dx = A B 2 ò f ( x) f '( x) dx = Tích phân C 2 ò f ( x) dx D 2 ¢ ù ¢ Lời giải Hàm dấu tích phân é ëf ( x) û , f ( x) f ( x) nên ta liên kết với bình 2 ù ¢ phương é ëf ( x) + a f ( x) û Nhưng khai triển vướng khơng khả thi 36 ò éëf ( x) ùû dx nên hướng Ta có 1= ò f ( x) f '( x) dx = f ( x) 2 1 = f2 ( 2) - ( 1) = f ( 2) - ắắ đ f ( 2) = (do đồng biến [1;2] nên f( 2) > ( 1) = ) Từ f ( 1) = f ( 2) = ta nghĩ đến ò f '( x) dx = f ( x) = f( 2) - ( 1) = - = 2 é¢ ù ¢ ù ¢ Hàm dấu tích phân é ëf ( x) û , f ( x) nên ta liên kết với ëf ( x) + a ỷ ( ) ắắ đ f '( x) = ắắ đ f ( x) = 2x +C ắắ ắđ C = f =0 Ta tỡm a = - Vậy f ( x) = 2x - ắắ đ ũ f ( x) dx = 1 òf ( x) dx = f ( 1) = , ( x) dx = Giá trị f ( 2) 2 B ò éëf ¢( x) ùû f A - Chọn A f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] , thỏa mãn Câu 96 Cho hàm số C ( 1- ) D - ( 1- ) 2 2 2 é ù Lời giải Hàm dấu tích phân ëf ¢( x) û f ( x) f ( x) nên ta liên kết với bình òf ù ¢ phương é ëf ( x) f ( x) + a f ( x) û Nhưng khai triển vướng ( x) f '( x) dx nên hướng khơng khả thi 1 Tích phân phần ò f ( x) dx = kết hợp với f ( 1) = 0, ta ò xf ( x) f '( x) dx = xf ( x) f '( x) nên ta liên kết với ¢ ù Hàm dấu tích phân é ëf ( x) û f ( x) 2 ù bình phương é ëf ( x) f '( x) + a xû Ta tỡm c a = 3 ắắ đ f ( x) f '( x) = - x Þ 2 ò f ( x) f '( x) dx = - f ( x) 3 x d x Þ = - x2 +C 2ò 3 ¾¾ ® f ( x) = ( 1- x2 ) ắắ đ f 2 = - Chn A 2 Câu 97 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;2], tha ( ) ( ) ắắ ắđ C = f =0 òx f ( x) dx = A - 15 2 ò éëf '( x) ùû dx = B - 32 Giá trị tích phân C - f ( 2) = , ò f ( x) dx D ù x2 f ( x) Lời khuyên đừng có cố liên kết Lời giải Hàm dấu tích phân é ëf '( x) û với bình phương nào, có tìm khơng 2 32 Tích phân phần ò x f ( x) dx = kết hợp với f ( 2) = , ta ò x f ¢( x) dx = 15 0 Áp dụng Holder lần ta 4 2 ỉ2 ỉ2 ỉ2 ỉ ỉ 32ư ÷ ÷ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ 2ộ ữ ỗ ữ ữ ữ ữ ự x f Â( x) dxữ = ỗ x xf Â( x) dxữ Ê ç x dx÷ç x ëf '( x) û dx÷ ÷ ç ç ç ç ç ÷ =ç ÷ ÷ ÷ ữ ỗ ố5 ứ ỗũ ỗũ ỗũ ỗũ ữ ố ÷ è ÷è ÷ è ø ø ø ø 0 0 2 ỉ2 ỉ2 ÷ ç 4 ÷ ÷ éf '( x) ù4 dx÷ ç ç £ç x d x ´ x d x ữ ữ ỗ ỗ ũ ũ ũ ỷ ữ ố ữ ỗ ỗ0 ữ ữ ố0 ứ ứ ổ2 ữ ữ ỗ =ỗ x d x ữ ỗ ũ ữ ỗ ữ ố0 ø 4 1048576 ỉ 32ư ÷ ò éëf '( x) ựỷ dx = 625 = ỗỗỗố ứữ ÷ 37 2 Dấu '' = '' xảy ra, tức xf '( x) = kx Þ f '( x) = kx thay vào ò éëf '( x) ùû dx = 32 tìm k =1 ắắ đ f '( x) = x ị f ( x) = ò xdx = x2 f ( 2) =1 +C ắắ ắđ C = - 2 Vy f ( x) = x2 - 1ắắ đ ò f ( x) dx = - Chọn B Cách Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có éf '( x) ù + x4 + x4 + x4 ³ 4x3 f '( x) ë û 2 0 ù ¢ Do ò é ëf '( x) û dx + 3ò x dx ³ 4ò x f ( x) dx Mà giá trị hai vế nhau, có nghĩa dấu '' = '' xảy nên f '( x) = x (Làm tiếp trên) Vấn đề 12 Kỹ thuật đánh giá AM-GM Câu 98 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương có đạo hàm f '( x) liên tục [ 0;1] , thỏa mãn f ( 1) = ef ( 0) ò A f ( 1) = ò = 2ln f ( x) 2( e- 2) 2( e- 2) 2e2 D f ( 1) = e- e2 - e- 1 é AM - GM f '( x) 2ù dx éf '( x) ù dx = ê + éf '( x) ù údx ³ + dx 2 ò ò ò ë û ë û ê ú f ( x) f ( x) êf ( x) ú 0 ë û 2e e- Lời giải Ta có dx + òé f '( x) ù dx £ Mệnh đề sau ? ë û f ( x) B f ( 1) = = 2ln f( 1) - 2ln f ( 1) ( 0) = 2ln f ( 0) Mà C f ( 1) = = 2ln e= 1 dx ù f '( x) = Û f ( x) f '( x) = + é ëf '( x) û dx £ nên dấu '' = '' xảy ra, tức f x) ( f ( x) ũ ũ ắắ đ ũ f ( x) f '( x) dx = ò xdx Û f ( x) = x +C ắắ đ f ( x) = 2x + 2C Theo giả thiết f ( 1) = ef ( 0) nên ta có 2+ 2C = e 2C Û 2+ 2C = e2 2C Û C = e2 - 2 2e2 Þ f = + = Chọn C ( ) e2 - e2 - e2 - Câu 99 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương [ 0;1] , có đạo hm dng v liờn tc ắắ đ f ( x) = 2x + [ 0;1], thỏa mãn f ( 0) = 3ù é3 ò êëf ( x) + 4éëf '( x) ùûúûdx £ 3ò f '( x) f ( x) dx 0 Tính I = ò f ( x) dx e2 - e- D I = 2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho ba số dương ta có ( A I = ) e- B I = 2( e - 1) ù é ù f ( x) + é ëf '( x) û = ëf '( x) û + Suy f ( x) + C I = f ( x) é ( x) + éf '( x) ù3 ùdx ³ f '( x) f ( x) dx ò ë ûú û ò êëf ù ³ 33 é ëf '( x) û 38 f ( x) f ( x) = f '( x) f ( x) 2 1 é3 ùùdx £ f '( x) f ( x) dx nên dấu '' = '' xảy ra, tức Mà ò êf ( x) + é ò ëf '( x) ûú ë û 0 ự 4ộ ởf '( x) ỷ = ắắ đ f '( x) f ( x) = Þ ò f '( x) f ( x) dx = f ( x) f ( x) = Û f '( x) = f ( x) x+C 1 d x Þ ln f x = x + C ắắ đ f x = e ( ) ( ) ò 2 1 x ( ® ò f ( x) dx = Theo giả thiết f ( 0) = 1Þ C = ị f ( x) = e2 ắắ ) e- Chọn A Câu 100 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương [ 0;1] , có đạo hàm dương liên tục [ 0;1] , thỏa mãn ò ỉư ÷= A f ỗ ỗ ữ ỗ ố2ữ ứ xf '( x) ỉư 1÷ dx ³ f ( 0) = 1, f ( 1) = e2 Tính giá tr ca f ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố2ứ f ( x) ổử 1ữ ữ= B f ỗ ỗ ç è2÷ ø ỉư 1÷ ÷= e C f ç ç ç è2÷ ø xf '( x) Lời giải Hàm dấu tích phân liên tưởng đến đạo hàm f '( x) f ( x) f ( x) = x f '( x) f ( x) ỉư 1÷ ữ D f ỗ ỗ ữ= e ỗ ố2ứ , " x Ỵ [ 0;1 ] Điều làm ta , muốn ta phải đánh giá theo AM - GM sau: f '( x) f ( x) + mx ³ m xf '( x) f ( x) ] với m³ x Ỵ [ 0;1 Do ta cần tìm tham số m³ cho é ù xf '( x) êf '( x) + mxúdx ³ m dx ò êêf ( x) ò ú f ( x) ú ë û hay x2 m m ln f ( x) + m ³ m.1 Û ln f( 1) - ln ( 0) + ³ m Û 2- + ³ m 2 m = m Û m= f '( x) = 4x Với m= đẳng thức xảy nên f ( x) Để dấu '' = '' xảy thỡ ta cn cú 2- 0+ ắắ đũ f '( x) f ( x) dx = ò 4xdx Û ln f ( x) = 2x2 +C Þ f ( x) = e2x +C ìï f ( 0) = ổử 1ữ ị C = ắắ đ f ( x) = e2x ắắ đ fỗ ữ Theo gi thit ùớ ỗ ữ= e Chn C ç ïï f ( 1) = e è2ø ỵ Cách Theo Holder 2 1 æ1 xf '( x) ỉ1 f ' x f '( x) f ( 1) ( ) ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ Êỗ d x = x d x £ x d x dx = ln = ữ ỗũ ữ ũ ỗ ũ ũ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ f x f x f x f ( ) ø è ( ) ứ ( ) ( 0) ỗ0 ỗ0 ố Vậy đẳng thức xảy nên ta có Suy f '( x) f ( x) ò éëf ( x) f '( x) ùû dx £ f ( x) = kx, thay vào ò xf '( x) f ( x) dx = ta k = = 4x (làm tiếp trên) Câu 101 Cho hàm số f '( x) f ( x) có đạo hàm liên tục ỉư 1÷ f ( 0) = 1, f ( 1) = Tớnh giỏ tr ca f ỗ ữ ỗ ữ ỗ è2ø 39 [ 0;1], thỏa mãn ỉư ỉư ỉư ỉư 1÷ 1÷ 1÷ 1÷ = = = e ữ ữ ữ ữ A f ỗ B f ỗ C f ỗ D f ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ= e ỗ ỗ ỗ ỗ ố2ứ è2ø è2ø è2ø Lời giải Nhận thấy ngược dấu bất đẳng thức với ù Hàm dấu tích phân é ëf ( x) f '( x) û Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm f ( x) f '( x) , muốn ta phải đánh giá theo AM - GM sau: éf ( x) f '( x) ù + m³ m f ( x) f '( x) với m³ ë û Do ta cần tìm tham số m³ cho ò( éëf ( x) f '( x) ùû + m) dx ³ 2 mò f ( x) f '( x) dx hay 1+ m³ m f ( x) Û 1+ m³ m Để dấu '' = '' xảy ta cần có 1+ m= m Û m= éf ( x) f '( x) = ù = 1Û ê f x f ' x ( ) ( ) Với m= đẳng thức xảy nên é êf x f ' x = - ë û ê ë( ) ( ) 1 f ( x) ® ò f ( x) f '( x) dx = - ò dx Û = - x Û 1= - (vô lý)  f ( x) f '( x) = - 1¾¾ 0 0 ® ò f ( x) f '( x) dx = ò dx Û  f ( x) f '( x) = 1¾¾ f ( x) = x +C ắắ đ f ( x) = 2x + 2C ìï f ( 0) = ỉư 1÷ ị C = ắắ đ f ( x) = 2x +1 ắắ đ fỗ ữ Theo gi thit ùớ ỗ ữ= Chn A ỗ2ứ ùù f ( 1) = è ïỵ f ( x) 1 2 = é ( 0) ù Cách Ta có ò f ( x) f '( x) dx = êf ( 1) ú= ë û 2 0 Theo Holder ổ1 ữ ữÊ ỗ =ỗ f ( x) f '( x) dxữ ç ò ÷ ç ÷ è0 ø 1 0 2 ò1 dx.ò éëf ( x) f '( x) ùû dx £ 1.1= 1 Vậy đẳng thức xảy nên ta có f '( x) f ( x) = k, thay vào ò f ( x) f '( x) dx = ta k = Suy f '( x) f ( x) = (làm tiếp trên) Câu 102 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương có đạo hàm f '( x) liên tục éf '( x) ù û dx £ 24 f ( 1) = 1, f ( 2) = 16 Tính giá trị f [1;2], thỏa mãn ò ë xf x ( ) A f ( 2) = B f ( 2) = C f ( 2) = D f ( 2) ( 2) = éf '( x) ù éf '( x) ù û = ë û Điều làm ta liên tưởng Lời giải Hàm dấu tích phân ë xf ( x) x f ( x) đến đạo hàm f '( x) f ( x) , muốn ta phải đánh giá theo AM - GM sau: éf '( x) ù ë û + mx ³ m f '( x) với m³ x Ỵ [1;2] xf ( x) f ( x) Do ta cần tìm tham số m³ cho ỉ éf '( x) ù ữ ỗ f '( x) ữ ỷ ỗ ữ + m x d x m dx ỗ ữ ũỗỗ xf ( x) ũ ữ ữ f ( x) è ø 40 hay 24 + 2m ³ m f ( x) Û 24 + 2m ³ mé f( 2) ê ë Để dấu '' = '' xảy ta cần có 24 + Û 24 + ( 1) ù ú û 2m ³ 12 m Û m= 16 2m = 12 m Û m= 16 éf '( x) ù û = 16x Þ f '( x) = 2x Với m= 16 đẳng thức xảy nên ë xf ( x) f ( x) ¾¾ ®ò f '( x) f ( x) f ( x) = x2 +C ắắ đ f ( x) = ( x2 +C ) dx = ò 2xdx Û ìï f ( 1) = ï Þ C = ắắ đ f ( x) = x4 ắắ ® f = Chọn D Theo giả thiết í ïï f ( 2) = 16 ỵ 2 f '( x) f '( x) dx = 2.ò dx = f ( x) = é f( 2) = ( 1) ù Cách Ta có ò ê ú ë û f x f x ( ) ( ) 1 ( ) Theo Holder 2 ỉ2 f ' x ỉ1 ữ f '( x) ( ) ữ ỗ ữ =ỗ ữÊ ỗ =ỗ dxữ x dxữ ỗ ỗ ữ ữ ũ ũ ỗ ữ ỗ xf ( x) ữ ữ ỗ ỗ1 ố f ( x) ữ ứ è ø Vậy đẳng thức xảy nên ta có ta k = Suy f '( x) f ( x) f '( x) xf ( x) éf '( x) ù x2 ò xdx.ò ëxf ( x)û dx £ 1.24 = 36 1 2 =k x Û f '( x) f ( x) = kx, thay vào ò f '( x) f ( x) dx = = 4x (làm tiếp trên) Vấn đề 13 Tìm GTLN-GTNN tích phân f ( x) Câu 103 Cho hàm số liên tục ¡ , có đạo hàm cấp hai thỏa mãn x f ¢¢( x) ³ ex + x f ¢( 2) = 2e, f ( 0) = e2 Mệnh đề sau đúng? A f ( 2) £ 4e- B f ( 2) £ 2e+ e C f ( 2) £ e - 2e x Lời giải Từ giả thiết x f ¢¢( x) ³ e + x ta có ïì u = x ị t ùớ ùù dv = f ÂÂ( x) ợ ũ x f ÂÂ( x) dx ³ D f ( 2) > 12 ò ( e + x) dx ( 1) x ïìï du = dx í ïï v = f ¢( x) ỵ Khi ( 1) Û x f ¢( x) - ò 2 ỉx x2 ữ f Â( x) dx ỗ e + ữ ç ÷ ç ÷ 2ø è ỉx x2 ữ x f Â( x) - f ( x) ỗ ỗe + ữ ữ ữ0 ỗ 2ứ 0 è 2 ù ¢ ¢ ù é Û é ë2 f ( 2) - ( 0) û- ëf( 2) - ( 0) û³ e + 2- Û f ( 2) £ 4e- (do f ¢( 2) = 2e, f ( 0) = e2 ) Chọn A Câu 104 Cho hàm số f ( x) f ( x) = [1;3] f ( x) = 2, dương liên tục [1;3] , thỏa max [1;3] 1 dx đạt giá trị lớn nhất, tính biểu thức S = ò f ( x) dx.ò f ( x) 1 I = ò f ( x) dx A B C 41 D £ £ f ( x) £ , suy f ( x) + f ( x) 2 Lời giải Từ giả thiết ta có é ù ú Suy ò ê êf ( x) + f ( x) údx £ ê ú ë û 3 Khi S = ò f ( x) dx.ò 1 ò dx Û 1 dx £ f ( x) 3 ò f ( x) dx + ũ 1 ổ ỗ dx £ Û f ( x) ò 1 dx £ 5f ( x) ò f ( x) dx ÷ 25 ữÊ ũ f ( x) dx.ỗỗốỗ5- ũ f ( x) dxø÷ ÷ ÷ 1 ỉ 5ư 25 25 (dạng t( 5- t) = - t + 5t = - ỗ t- ữ ữ ỗ ữ+ Ê ) ỗ ố 2ứ Du " = " xảy ò f ( x) dx = Chọn D Câu 105 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ , thỏa mãn f ( x) + f Â( x) Ê vi mi x ẻ Ă f ( 0) = Giá trị lớn f ( 1) e- e C D e e e- Lời giải Từ giả thiết f ( x) + f ¢( x) £ 1, nhân thêm hai vế cho ex để thu đạo hàm A e- B x ù¢£ ex , " x Ỵ ¡ ex f ( x) + ex f ¢( x) £ ex , " x Î ¡ Û é ê ú ëe f ( x) û x ù¢dx £ Suy ò é êe f ( x) û ú ë ò e dx Û x 1 éex f ( x) ù £ e- Û éef( 1) - ( 0) ù £ e- ê ú ë û0 ë ỷ e- f ( 0) =0 ắắ ắđ f ( 1) £ Chọn B e Câu 106 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương có đạo hàm f ¢( x) liên tục [ 0;1], thỏa 1 M =ò f( 1) = 2018 ( 0) mãn Giá trị nhỏ biểu thức ¢ ù dx + ò é ëf ( x) û dx éf ( x) ù ë û A ln2018 B 2ln2018 C m= 2e D m= 2018e Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 1 1 f ¢( x) f ( 1) éf ¢( x) ù dx ³ M =ò d x + dx = 2ln f ( x) = 2ln = 2ln2018 Chọn B ò ò ë û f ( x) f ( 0) é ù ëf ( x) û 0 Câu 107 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục [ 0;1] ò( 1- x) f ¢( x) dx = - Giá trị nhỏ nhật biểu thức ò éëf ( x) ùû dx - f ( 0) A B C - D - Lời giải Tích phân ò( 1- phần x) f ¢( x) dx = - f ( 0) - = 2ò( 1- x) f ( x) dx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 1 2ò( 1- x) f ( x) dx £ Từ suy 0 ò éëf ( x) ùû dx ³ 2ò( 10 2 ò( 1- x) dx + ò éëf ( x) ùû dx x) f ( x) dx - ò( 10 42 x) dx , ta ( 1- x) ù Û òé ëf ( x) û dx ³ f ( 0) - + 1 Vậy ò éëf ( x) ùû dx - Chọn D f ( 0) ³ - f (x) Câu 108 Cho hàm số liên tục [0; 1] thỏa mãn ò xf ( x) dx = max f ( x) = Tích phân [0; 1] ò e f ( x) dx x thuộc khoảng khoảng sau đây? ỉ 5ư - ¥ ;- ữ ữ A ỗ ỗ ữ ỗ ố 4ứ ổ ; eB ỗ ỗ ỗ ố2 1ữ ÷ ÷ ø ỉ 3ư - ; ÷ ÷ C ỗ ỗ ữ ỗ ố 2ứ Li giải Với số thực a Ỵ ¡ ta có x ò e f ( x) dx = = ò f ( x) ( e x a x) dx £ D ( e- 1; +¥ ) 1 x ò e f ( x) dx - ò a xf ( x) dx 0 ò f ( x) e x a x dx £ òe x a x dx 1 ì ẵ x x e f x d x £ e a x d x £ ex - a x dx = ïí e- 1- ïý = e- Chọn C ( ) Suy ò ò ò ¡ a Ỵ [ 0;1] a ẻ [ 0;1] ù ù 2 ùỵ ợù 0 Câu 109 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị không âm liên tục [ 0;1 ] Đặt x g( x) = 1+ ò f ( t) dt Biết g( x) £ f ( x) với x Ỵ [ 0;1] , tích phân ò g( x) dx có giá trị lớn A 2 D x ïìï g( 0) = ] Lời giải Từ giả thiết g( x) = 1+ ò f ( t) dt, ta có í g( x) > 0, " x Ỵ [ 0;1 ïï g'( x) = f ( x) ỵ B Theo giả thiết g( x) £ t Suy g'( x) ò g ( x) Do f ( x) ắắ đ g( x) Ê t ũ1dx, " t ẻ dx ³ C 1 ò g( x) dx Ê ũ( 10 [ 0;1] ơắđ- g'( x) g'( x) Û g( x) t g( x) t ³ 1Û ³ x Û - 0 g'( x) g2 ( x) ³ 1 1 + ³ tÛ £ 1- t g( t) g( 0) g( t) x) dx = Chọn B Câu 110 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1] , thỏa x mãn f ( x) £ 1+ 3ò f ( t) dt = g( x) với x Ỵ [ 0;1] , tích phân A ò g( x) dx có giá trị lớn D x ìï g( 0) = ï ] Lời giải Từ giả thiết g( x) = 1+ 3ò f ( t) dt, ta có í g( x) > 0, " x Ỵ [ 0;1 ïï g'( x) = f ( x) ỵ ég'( x) ù g'( x) ë û ® g( x) ³ Û £ Theo giả thiết g( x) ³ f ( x) ¾¾ g( x) t Suy B g'( x) ò2 g( x) t dx £ ò dx, " t Ỵ C t t [ 0;1]ơắđ g( x) £ x Û 43 g( t) - g( 0) £ tÛ g( t) £ t +1 Do ò ỉ ữdx = Chn B ũỗỗỗố2 x +1ứữ ữ g( x) dx £ 0 Câu 111 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1] , thỏa x mãn f ( x) £ 2018+ 2ò f ( t) dt với x Ỵ [ 0;1 ] Biết giá trị lớn tích phân ò f ( x) dx có dạng ae2 + b với a, bẻ  Tớnh a + b A B 1009 C 2018 D 2020 ìï g( 0) = 2018 ï ] Lời giải Đặt g( x) = 2018+ 2ò f ( t) dt, ta có í g( x) > 0, " x Ỵ [ 0;1 ïï g'( x) = f ( x) ỵ g'( x) g'( x) ® g( x) ³ Û £ Theo giả thiết g( x) ³ f ( x) ¾¾ g( x) x t Suy g'( x) t ò g( x) ò 2dx, " t Ỵ dx £ t [ 0;1] ơắđ ln g( x) Ê 2x 0 t Û ln g( t) - ln g( 0) £ 2t Û ln g( t) £ 2t + ln2018 Û g( t) £ 2018.e2t Do ò f ( x) dx £ 1 2x 2x ò g( x) dx £ 2018ò e dx = 1009e = 1009e2 - 1009 Chọn A 0 ] Đặt Câu 112 Cho hàm số f ( x) nhận giá trị không âm liên tục đoạn [ 0;1 x2 g( x) = 1+ ò f ( t) dt Biết g( x) ³ 2xf ( x ) với x Ỵ [ 0;1] , tích phân lớn A ò g( x) dx có giá trị 0 B e- C D e+1 ìï g( 0) = ï ] Lời giải Từ giả thiết g( x) = 1+ ò f ( t) dt, ta có í g( x) > 0, " x Ỵ [ 0;1 ïï g'( x) = 2xf ( x2 ) ùợ g'( x) đ g( x) ³ g'( x) Û £ Theo giả thiết g( x) ³ 2xf ( x ) ¾¾ g( x) x2 t Suy g'( x) t ò g( x) dx £ ò1dx, " t Ỵ t t 0 [ 0;1] ơắđ ln g( x) Ê x Û ln g( t) - ln g( 0) £ t Û ln g( t) £ t Û g( t) £ et Do ò g( x) dx £ ò e dx = ex Chọn B 2ù Nhận xét Gọi F ( t) nguyên hàm hàm số f ( t) đoạn é ê ë0; x ú û x2 Khi g( x) = 1+ F ( t) Câu 113 Cho / ù / / 2 = 1+ F ( x2 ) - F ( 0) ắắ đ g'( x) = é êF ( x ) û ú = ( x ) F ( x ) = 2xf ( x ) ë hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục f '( x) ³ f ( x) > 0, " x Ỵ [ 0;1 ] Giá trị lớn biểu thức f ( 0) ò A B e- e C e+1 e Lời giải Từ giả thiết f '( x) ³ f ( x) > 0, " x Ỵ [ 0;1] ta có t Suy ò f '( x) f ( x) t dx ³ ò1dx, " t ẻ [ 0;1]ơắđ ln f ( x) 44 t t [ 0;1], thỏa dx f ( x) D e- f '( x) f ( x) ³ 1, " x Ỵ [ 0;1 ] ³ x Û ln f ( t) - ln f ( 0) ³ t Û f ( t) ³ f ( 0) et Do f ( 0) ò dx £ f ( x) 1 òe x dx = e- Chọn B e p Câu 114 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;p] , thỏa mãn p ò f ( x) dx = ò cosxf ( x) dx = 0 p Giá trị nhỏ tích phân òf ( x) dx B p p Lời giải Theo Holder ép ù ê ú = cos xf x d x ( ) êò ( ) ú£ ê ú ë û A p Suy òf ( x) dx ³ p C p D p 2p p p 2 ò cos xdx.ò f ( x) dx = ò f ( x) dx 0 (Đến bạn đọc chọn A) p p Dấu '' = '' xảy f ( x) = k cos x thay vào ò f ( x) dx = ta p p 1= ò f ( x) dx = kò cos xdx = k.sin x 0 p = 0 Điều hồn tồn vơ lý p ìï ïï a = acos xf ( x) dx ò ïï p p ïì a, b ẻ Ă đ ùớ Li gii ỳng Ta có ò f ( x) dx = ò cos xf ( x) dx = 1¾¾ với ïí p ïï ïïỵ a + b2 > 0 ïï b = bf ( x) dx ò ïï ỵ Theo Holder p ép ù p 2 ê ú ( a + b) = êò( acos x + b) f ( x) dxú £ ò( acosx + b) dxò f ( x) dx ê ú ë0 û Lại có p 2 ò( acosx + b) dx = p( a + 2b ) 2( a + b) p Từ suy ò f ( x) dx ³ p( a2 + 2b2 ) với a, bỴ ¡ a2 + b2 > ïìï ( a + b) ïü ï = Chọn B Do ò f ( x) dx ³ max í 2ý ï p p ïỵï a + 2b ùùỵ ù Nhn xột: Ta nhõn thờm a, b vào giả thiết gọi phương pháp biến thiên số ( a + b) ta làm sau:  Cách tìm giá trị lớn P = a + 2b2 Nếu b = ¾¾ ® P = (chính đáp án sai mà làm trên) p 2 ỉư aữ a ỗ + +1 t= a ữ ç ç b t + 2t +1 ( a + b) ốbữ ứ b đP = = = Tới ta khảo sát hàm số Nếu b ¹ ¾¾ 2 a + 2b t2 + ổử aữ ỗ + ữ ỗ ỗ ốbữ ứ dùng MODE dò tìm Kết thu c GTLN ca a t = ắắ đ = Û a = 2b b 45 P ïì a = 2b Vậy dấu '' = '' để tốn xảy ïí thay ngược lại điều kiện, ta ïï f ( x) = b( 2cos x +1) ỵ p 2cos x +1 òb( 2cos x +1) dx = 1Û b = p ¾¾® f ( x) = p p p ỉ 2cos x +1ư ÷ ò f ( x) dx = ũỗỗỗố p ứữ ữdx = p 0 Lúc Cách khác Đưa bình phương 2 ù Hàm dấu tích phân f ( x) , f ( x) , cos xf ( x) nên ta liến kết với é ëf ( x) + a cosx + bû Với số thực a, b ta có p p p p 0 2 ò éëf ( x) + a cosx + bùû = ò f ( x) dx + 2ò( a cosx + b) f ( x) dx + ò( a cos x + b) dx 0 p p = ò f ( x) dx + 2( a + b) + a + pb2 p Ta cần tìm a, b cho 2( a + b) + a + pb2 đạt giá trị nhỏ Ta có 2 ỉ 1ư p pổ 2ử 3 ữ ữ ỗ ỗ 2( a + b) + a + pb = ỗa + ữ + pỗb + ữ - ữ ữ ç ç è ø è ø 2 p p p p Vậy với a = - ; b = ta có p p p p é 1ù ê ú f x cos x = f ( x) dx - ( ) ò êë ò p pú p û 0 p p é 1ù 3 2cos x +1 f x d x = ( ) Suy ò ò êêëf ( x) - p cosx - p úúû + p ³ p Dấu '' = '' xảy f ( x) = p 0 Câu 115 Cho p hàm số f ( x) liên tục [ 0;p], p ò sin xf ( x) dx = ò cosxf ( x) dx = Giá trị nhỏ tích phân ò f 0 A thỏa mãn p ( x) dx p B p p C D 2p ù Lời giải Liên kết với bình phương é ëf ( x) + a sin x + b cosxû p Ta có ò éëf ( x) + a sin x + b cosxùû dx p p p ù2 = òé ëf ( x) û dx + 2ò( a sin x + b cos x) f ( x) dx + ò( a sin x + b cos x) dx p 0 2 pa pb ù = òé ëf ( x) û dx + 2( a + b) + + 2 Phân tích 2( a + b) + pa pb2 p ổ 2ử p ổ 2ử + = ỗ a+ ữ b+ ữ ữ+ ỗ ữ - Chn C ç ç ÷ ÷ ç ç 2 2è pø 2è pø p Câu 116 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;1] , thỏa mãn ò f ( x) dx = ò e f ( x) dx = x Gọi m giá trị nhỏ tích phân ò éëf ( x) ùû dx Mệnh đề sau đúng? A < m< B 1< m< C < m< 46 D < m< ìï ïï a = aex f ( x) dx ò ïï Lời giải Từ giả thiết, ta có ïí ïï ïï b = bf ( x) dx ò ïï ỵ Theo Holder é1 ù x ê ú ( a + b) = êò( ae + b) f ( x) dxú £ ê0 ú ë û Lại có ò( ae + b) x x ò( ae + b) dx = ò( a2e2x + 2abex + b2 ) dx = dxò f ( x) dx e - 1) a2 + 2( e- 1) ab+ b2 ( 2 ( a+ b) Suy ò f ( x) dx ³ với a, bỴ ¡ a2 + b2 > 2 e a + e ab + b ( ) ( ) ìï ü ïï ïï ïï a + b ( ) 1 ï + » 3,1316 Chọn D Do ò f ( x) dx ³ max í ý = - 1+ ïï 3- e e- 2 ïï e a + e ab + b ( ) ) ù ( ù ù ợù ỵ 1 Câu 117 Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0;1] thỏa mãn ò f ( x) dx = ò x f ( x) dx = 0 Giá trị nhỏ tích phân òf ( x) dx A B C D ìï ïï a = a x f ( x) dx ò ïï Lời giải Từ giả thiết, ta có ïí ïï ïï b = bf ( x) dx ò ïï ỵ Theo Holder 1 ổ1 2 ữ ỗ Ê a x + b d x f ( x) dx ( a + b) = ỗỗũ a x + b f ( x) dxữ ữ ũ ũ ữ ỗ ữ è0 ø 0 Lại có a2 4ab a x + b d x = + +b ò ( ) ( ò f ( x) dx ³ ( a+ b) ( ) ) 2 a2 4ab với a, bỴ ¡ a + b > + +b ïìï ïü ïï ïï a + b ( ) ïï ï Do ò f ( x) dx ³ max í ý = Chọn D ï ïï a + 4ab + b2 ùùù ùợù ùỵ ù Suy ù Cách Liên kết với bình phương é êf ( x) + a x + bû ú ë p Ta có ò éëêf ( x) + a x + bù ú dx û 47 p p 0 ( p ) ( ) ù2 = òé ëf ( x) û dx + 2ò a x + b f ( x) dx + ò a x + b dx p a ù2 = òé ëf ( x) û dx + 2( a + b) + + ab + b Phân tích 2( a + b) + ỉ ö a2 + ab + b = ỗ b + a +1ữ + ( a + 6) - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 18 3 Câu 118 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục [1;2] , thỏa òx f ( x) dx = 31 Giá trị nhỏ tích phân òf ( x) dx A 961 B 3875 C 148955 D 923521 Lời giải Ta có áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder ta 2 2 ỉ2 ỉ2 ư4 ỉ é2 ù2 ÷ ỉ ỉ2 ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ç 4 2 çê ú ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ 31 = ç x f x d x = x xf x d x £ x d x x f x d x £ x d x f ( x) dx ( ) ( ) ( ) ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ũ ũ ũ ũ ũ ờũ ỳữ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç è1 ø ố ứ ố1 ứ ố1 ứ ỗờ ỳữ ở1 û ø è1 òf Suy ( x) dx 314 ổ2 ữ ỗ ỗ x4dxữ ữ ỗ ũ ữ ỗ ữ ố1 ứ = 3875 ® f ( x) = 5x2 Chọn B Dấu '' = '' xảy f ( x) = kx nên kò x dx = 31 Û k = ¾¾ Câu 119 Cho hàm số f ( x) liên tục có đạo hàm đến cấp [ 0;2] thỏa f( 0) - ( 1) + f ( 2) = Giá trị nhỏ tích phân ò éëf ''( x) ùû dx A B C 2 ò éëf ''( x) ùû dx = 3ò x dx.ò éëf ''( x) ùû dx Lời giải Ta có 0 D Holder ³ ỉ1 ữ ữ ỗ 3ỗ x f ''( x) dxữ ç ò ÷ ç ÷ è0 ø { ud=v=xf ''( x) dx = 2 2 1 Holder ò éëf ''( x) ùû dx = 3ò( x - 2) dx.ò éëf ''( x) ùû dx ³ { ud=v=x-f ''2( x) dx = ù 3é ëf'( 1) + ( 0) - f ( 1) û ; ổ2 ữ ỗ 3ỗ ( x - 2) f ''( x) dxữ ữ ỗ ũ ữ ç ÷ è1 ø ù 3é ë- f'( 1) + ( 2) - f ( 1) û Suy ò éëf ''( x) ùû dx ³ ù é 3é ëf'( 1) + ( 0) - f( 1) û + 3ë- '( 1) + f( 2) - ( 1) ù û éf( 0) - ( 1) + f ( 2) ù û = Chọn B ³ ë 2 Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức bước cuối a2 + b2 ³ ( a + b) f ( x) = 10 Giá trị Câu 120 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm [1;3] f ( 1) = 0, max [1;3] nhỏ tích phân ò éëf '( x) ùû dx A B C 10 48 D 20 f ( x) = 10 ắắ ắđ$x0 ẻ [1;3] cho f ( x0 ) = 10 Lời giải Vỡ max [1;3] f ( 1) =0 ắắ ắđ$x0 ẻ ( 1;3] cho f ( x0 ) = 10 Theo Holder ổx0 ữ ỗ ỗ f '( x) dxữ ữÊ ỗ ũ ữ ỗ ữ ỗ ố1 ứ ổx0 ữ ổ ỗ ữ M ỗ f ' x d x =ỗ f ( x) ỗ ( ) ữ ỗ ũ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ç è1 ø è x0 Từ suy 2 ự ắắ đ ũộ ởf '( x) ỷ dx ³ 1 x0 1 2 x0 10 x0 - ò éëf '( x) ùû dx ³ x0 2 ò1 dx.ò éëf '( x) ùû dx = ( x0 - 1) ò éëf '( x) ùû dx ÷ ÷ = ( f ( x0 ) - f ( 1) ) = 10 ÷ ÷ ø ò éëf '( x) ùû dx ³ x0 x0 10 10 ³ Chọn B x0 - 3- 49 ... dx = ò f ( x) dx - 15 1 Tích phân ò f ( x)dx A 8ln2 27 B ln2 27 C D Lời giải Nhận thấy có tích phân khác cận ò f ( x) dx Bằng cách đổi biến x = t3 2 3 ta thu tích phân 3ò t f ( t ) dt = 3ò... , thỏa mãn f ( x) dx = Tích phân B ò f ( x) dx C f ( 1) = , D ¢ ù Lời giải Hàm dấu tích phân é ëf ( x) û , x f ( x) khơng có mối liên hệ với 28 x3 f ( x) Dùng tích phân phần ta có ò x f (... x) dx = Tích phân ò f ( x) dx 3p B C p D p p 2 Lời giải Hàm dấu tích phân f ( x) f '( x) cos( px) , không thấy liên kết A Do ta chuyển thơng tin f '( x) cos( px) f ( x) cách tích phân phần
- Xem thêm -

Xem thêm: TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO, TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn