KHÓA LUẬN phương pháp tách biến furie

63 3 0
  • Loading ...
1/63 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 14/03/2020, 16:44

Phần 1: Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Sự phát triển quốc gia phải dựa sù tiÕn bé cđa khoa häc c«ng nghƯ, sù tiÕn khoa học công nghệ dựa tảng ngành khoa học tự nhiên có Vật lý Vật lý đợc xem môn học then chốt tất cấp học, bậc học, ngành học hệ thống giáo dục quốc dân Bộ môn có gắn kết chặt chẽ với môn khoa học tự nhiên khác đặc biệt với Toán học Có thể nói Toán học Vật lý học có gắn kết, giao thoa lẫn nhau, gắn kết đợc thể chuyên ngành phơng pháp toán lý Bộ môn đợc dạy trờng Đại học Khoa học tự nhiên, trờng Đại học S phạm cho chuyên ngành Vật lý, trờng Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp, Những phơng pháp toán dùng Vật lý đại phong phú đa dạng bao gồm số lợng lớn kiến thức nh: hàm thực, hàm biến phức, phơng trình vi phân, phép biến đổi tích phân Các phơng trình Vật lý toán (phơng trình dao động, phơng trình truyền nhiệt, phơng trình Laplace) đợc mô tả phơng trình vi phân Khi giải phơng trình vi phân đạo hàm riêng ta sử dụng phơng pháp tách biến Furiê hay gọi phơng pháp tách biến Trong trình tìm nghiệm phơng trình vi phân phơng pháp tách biến ta gặp số phơng trình vi phân thông thờng mà nghiệm chúng hàm đặc biệt nh hàm Betsen, hàm cầu, đa thức Lagiangđrơ Nhận thấy tầm quan trọng toán cho Vật lý, định chọn đề tài: Bớc đầu tìm hiểu dao động không gian một, hai ba chiều phơng pháp tách biến Furiê cho khoá luận tốt nghiệp đại học Để thấy rõ đợc phơng pháp tách biến đợc sử dụng vào toán dao động không gian mét, hai vµ ba chiỊu, khãa ln chóng tập chung vào vấn đề sau: Chơng 1: Cơ sở toán học Chơng 2: Phơng pháp tách biến Furiê Chơng 3: ứng dụng phơng pháp tách biến Furiê việc giải toán dao động không gian một, hai ba chiều Những kiến thức dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên theo học chuyên ngành Vật lý trờng Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp mà làm tài liệu hữu ích cho sinh viªn nghiªn cøu vỊ VËt lý lý thut, VËt lý đại, ôn thi cao học sau trờng Mặc dù, cố gắng thực khoá luận nhng chắn khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Tác giả xin đợc cảm ơn góp ý độc giả để khoá luận đợc hoàn thiện 1.2 mục đích nghiên cứu Bớc đầu tìm hiểu phơng pháp tách biến Furiê để tìm nghiệm phơng trình vi phân, nghiệm mô tả dao động không gian một, hai ba chiều ứng dụng phơng pháp vào việc giải toán dao động cụ thể Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên theo học chuyên ngành Vật lý bạn ôn thi Cao học 1.3 Phơng pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu, xử lý thông tin, sàng lọc kiến thức có liên quan đến vấn đề nghiên cứu từ hệ thống hoá, khái quát hoá thành khoá luận với cố gắng, nỗ lực thân kỹ giải tập có áp dụng phơng pháp toán vào Vật lý 1.4 Bố cục khoá luận Ngoài phần mục lục, mở đầu, kết luận, phụ lục, tài liệu tham khảo khoá luận đợc trình bày thành chơng: Chơng 1: Trình bày chi tiết cách giải số phơng trình vi phân tuyến tính thờng gặp toán dao động, hệ toạ độ cong trực giao, hàm Betsen đa thức Lagiangđrơ Giải phơng trình vi phân mà nghiệm chúng mô tả dao động sợi dây, màng, cầu phơng pháp biết (phơng pháp phản xạ đầu mút gắn chặt, phơng pháp biến đổi Laplace) ngời ta sử dụng phơng pháp đặc biệt quan trọng phơng pháp tách biến (phơng pháp tách biến Furiê), phơng pháp đợc trình bày cụ thể chơng hai Chơng 2: Trình bày toán dao động không gian một, hai ba chiều; dao động sợi dây hữu hạn, dao động màng, dao động cầu Chơng 3: Trình bày toán dao động cụ thể không gian một, hai ba chiều, áp dụng kết trình bày chơng Đó phơng trình dao động tự do, dao động cỡng dây có chiều dài hữu hạn, màng tròn, cầu có biên gắn chặt dao động tự màng chữ nhật Phần 2: Nội Dung Chơng Cơ sở toán học 1.1 Phơng trình vi phân tuyến tính [8] 1.1.1 Phơng trình vi phân tuyến tính bậc không [3] Phơng trình dạng : y' p x y C (1.1) Sử dụng phơng pháp biến thiên số Bớc 1: Giải phơng trình y'  p  x  y  Nếu y phơng trình (1.1a) trở thµnh:  p  x  dx y  C1e � (1.1a) dy   p  x  dx nên: y (1.1b) Đây nghiệm tổng quát phơng trình (1.1) Nếu y nghiệm phơng trình (1.1) C1= Bớc 2: Biến thiên hệ số C1, đặt C1 C1  x  p  x  dx  p x dx Thay y  C1  x  e �  vµo (1.1), ta cã: C1  � Ce �  K ( K lµ h»ng sè) Bớc 3: Nghiệm phơng trình là: p x  dx  p  x  dx  p  x  dx y  Ke �  e Ce dx 1.1.2 (1.1c) Phơng trình vi phân bậc hai tuyến tính [3] 1.1.2.1 Phơng trình vi phân bậc hai tuyến tính có hệ số số Phơng trình dạng: y "  py '  qy  (1.2) Bíc 1: Giải phơng trình đặc trng: k pk q (1.2a) Phơng trình có hai nghiệm k1 k2 Bớc 2: Xác định nghiệm tổng quát Nếu k1 k2 nghiệm thực khác Khi nghiệm riêng phơng trình là: y1 e k1 x ; y2 e k2 x , ®ã: y  C1e k1x C2e k2 x , (1.2b) C1 ,C2 h»ng sè tuú ý NÕu k1 vµ k2 lµ nghiệm thực trùng Khi nghiệm riêng phơng trình độc lập tuyến tính với nhau: y1  e k1 x ; y2  u  x  y1 , thay y2  u  x  y1 vào (1.2) ta đợc u x =x, nghiệm tổng quát (1.2) có dạng: y  e k1x  C1 x  C2  , (1.2c) C1 ,C2 số Nếu k1 k2 nghiệm liên hợp phức k1  i  ; k2    i  nghiệm riêng (1.2) là: y1 e i  x ; y2  e i  x , sử dụng công thức ơle, ta có: y1   cos x  i sin  x  ex ; y2   cos x  i sin  x  e x , y1 ; y2 nghiệm riêng (1.2) nên: y y1 y2 x  e cos x y y1  y2 x  e sin x , còng lµ nghiệm riêng độc lập tuyến tính phơng trình Thay vào (1.2), ta có nghiệm tổng quát (1.2) có d¹ng: y  e x  C1cos x  C2 sin x (1.2d) 1.1.2.2 Phơng trình vi phân bậc hai tuyến tính không với hệ số số Phơng trình dạng: y "  py '  qy  f  x  (1.3) Trêng hỵp 1: f  x   e x pn  x  , (1.3a) ®ã số, pn x đa thức bậc n Nếu không nghiệm phơng trình đặc trng (1.2a), tìm nghiệm phơng trình có dạng: y e xQn x (1.3b) Thế phơng trình (1.3b) đồng hai vế ta đợc vào phơng trình (1.3) n phơng trình bậc n ẩn hệ số Qn x từ ta xác định đợc dạng Qn x Nếu nghiệm đơn phơng trình đặc trng (1.2a) giải tơng tự nh ta đợc nghiệm phơng trình là: y xe x Qn  x  (1.3c) NÕu α lµ nghiƯm kép phơng trình đặc trng (1.2a) đó: y  x e x Qn  x  (1.3d) Trêng hỵp 2: f  x   pm  x  cos x  pn  x  sin  x , (1.3d) ®ã pm  x , pn x l đa thức bậc n, m; số Nếu i không nghiệm (1.2a) nghiệm phơng trình ®· cho cã d¹ng: y  Ql  x  cos x  Rl  x  sin  x (1.3e) Nếu i nghiệm (1.2a) nghiệm phơng trình cho có dạng: y x� Ql  x  cos x  Rl  x  sin  x � � �, (1.3f) ®ã Ql  x  ; Rl  x  đa thức bậc l = max(n, m) 1.2 Toán tử Laplace 1.2.1 Định nghĩa Tích vô hớng toán tư Napla (kÝ hiƯu �) víi chÝnh nã lµ mét vô hớng gọi toán tử Laplace hay toán tử Laplaxiên, đợc kí hiệu hay [1], [2], [9] 1.2.2 To¸n tư Laplace c¸c hệ toạ độ cong trực giao [1] 1.2.2.1 Toán tử Laplace hệ toạ độ cong trực giao tổng quát Trong hệ toạ độ cong trực giao tổng quát toán tử Laplace đợc biểu diễn nh sau: u h1h2 h3 �� �h2 h3 � � u � � �h1h3 � u � � �h1h2 � u� � � �, � � � � � � q1 �h1 � q1 � � q2 �h2 � q2 � � q3 �h3 � q3 � � � (1.4) ®ã: u  u  q1 ,q2 ,q3  , hi hệ số Lame, qi trục toạ ®é hƯ to¹ ®é cong trùc giao [1], [2], ( i  1,2,3 ) 1.2.2.2 To¸n tư Laplace hệ toạ độ cong trực giao đặc biệt [1], [2] Toán tử Laplace hệ toạ độ Đề vuông góc Oxyz: u 2u 2u 2u 2 , � x2 � y � z (1.4a) ®ã u  u  x, y,z  ; h1= h2= h3= 1; q1= x, q2= y, q3= z Toán tử Laplce hệ toạ độ cực: u    u    2u  , r    r r  r  r    (1.4b) ®ã u  u  r ,  ;h1  1,h2  r;q1  r,q2   To¸n tư Laplace hệ toạ độ trụ: u � �2u �2u � u  � � r �  r �, r �� r �� r�r� 2 � z2 (1.4c) ®ã: u  u  r ,,z  , h1= 1, h2= r, h3= 1; q1=r, q2= φ, q3= z To¸n tư Laplace c¸c hƯ toạ độ cầu: u u �� � u� �2u r  sin   � � 2 r2 � r� � r � r sin  � � � � 2 � � r sin  � (1.4d) ®ã: u  u  r ,,   , h1= 1, h2= r, h3= rsin  ; q1=r, q2=  , q3=φ 1.3 Hàm Betsen [1], [2] 1.3.1 Định nghĩa Hàm Betsen nghiệm phơng trình Betsen (phơng trình vi phân có hệ số hàm số) Hàm có vai trò quan trọng mô tả trình Vật lý xảy miền hình trụ nên có tên Hàm trụ 1.3.2 Phơng trình Betsen nguyên [1] Phơng trình : d y dy � k �  �  �y  , dx x dx � x (1.5) k số nguyên dơng Để giải phơng trình Betsen nguyên (1.5) tìm nghiệm phơng trình dới dạng khai triển chuỗi luü thõa: � y  �cn x n , cn hệ số n (1.6) Để xác định hệ số khai triển ta lấy đạo hàm phơng trình (1.6): dy ncn x n 1 dx n 1 d2y �  �n  n  1 cn x n  dx n Thay vào (1.5) sau nhân phơng trình với x2 , ta đợc: n2 n 1 n 0 �n  n  1 cn x n  �ncn x n   x  k  �ncn x n  , (1.7) Chó ý: � �n  n  1 c x n n2 � �nc x n 1 x n n n  2.1.c2 x  3.2.c3 x3   n  n  1 cn x n   1.c1 x  2.c2 x  3c3 x3  ncn x n  �  k  �ncn x n   k c0  k c1 x   c0  k 2c2  x    cn   k 2cn  x n  n 1 Thay vµo (1.7) vµ ®ång nhÊt hai vÕ ta ®ỵc:     k c0  ;  k c1  ; cn 2  n  k cn  , ®ã n  2,3, 4, ; k �N NÕu k= 0, c0 bÊt kú, c1= 0; cn-2+ n2cn= 0, thĨ lµ: c2   c0 c c c3  , c4   22  2 , … , 4 Mét c¸ch tỉng qu¸t: c2 m   1 c0 m 1.22.42  2m    1 m c0 22 m  m ! (1.8) c2 m 1  Nghiệm phơng trình(1.5) k= có d¹ng: � y  c0 � 1 x2m m 22 m  m ! m 0  c0 J  x  , (1.9) ®ã: 2m � J  x   � 1 m 0 m �x � �� �2 �  m ! , (1.10) J0(x) gọi hàm Betsen loại hạng không Nếu k= tơng tự nh trên, ta có c0  0, c1 lµ h»ng sè tuú ý vµ   cn 2  n  cn  0,n  2,3, Cơ thĨ lµ: c2  0,c3   c c1 c1 ,c4  0,c5    2.4 4.6  2.4   4.6  Mét c¸ch tỉng qu¸t: c2 m  c2 m 1   1 m c1 c m   1 m ,  m  0,1, 2,  , m ! m  ! � m m     2.4   4.6  �   nghiệm phơng trình (1.5) có dạng: 10 tần số dao động riêng: k1 , k2 k2 k  12  22  a  c d  2m  1 c2  2n  1  d2 a Cuèi cïng ta có dao động màng chữ nhật có dạng: u  x, y ; t   64 Ac d 6 sin � � m ,n  cos  2m  1  x sin  2n  1  y c d 3  2m  1  2n  1  2m  1 c2  2n  1  d2 (3.20) at Nhận xét: Phơng trình (3.20) mô tả dao động tự màng chữ nhật, hàm u x, y; t khả vi hai lần theo t, khả vi hai lần theo x, khả vi hai lần theo y thoả mãn phơng trình vi phân (3.17) với điều kiện biên (3.18) (3.19) Mọi điểm x, y màng dao động điều hoà với biên độ 64 Ac d 6 sin  2m  1  x sin  2n  1  y c d 3  2m  1  2n  , với tần số dao động riêng: k1 , k2   2m  1 c2  2n  1  d2 a , pha dao ®éng k1 , k2 t  NÕu m  n , biên độ dao động 64 Ac d x y sin sin , c¸c c d điểm biên bất động, ta nói biên màng đờng nút Do x c, y d nên hàm 49 sin x y sin , điểm màng nằm phía c d hay phía mặt phẳng oxy Độ lệch lớn đạt đợc x c d y tâm màng điểm gọi 2 bơng cđa sãng ®øng 64 Ac d 3 x y sin sin 27 c d  NÕu m  1, n  biªn độ dao động c đờng nút xác ®Þnh bëi x  0; x  ; x  c vµ y  d ; y  , điểm (x,y) màng mà x c y d có biên độ dao động âm, điểm (x,y) màng mà c  x  c vµ  y  d có biên độ dao động dơng Do đó, nửa trái phải màng trình dao động uốn hai phía khác nhau, độ lệch lớn mà màng đạt đợc c d 3c d � �� � ®iĨm � , �; � , � �4 ��4 � b  Nếu m 0, n , đờng nót x  0, x  c; y  0, y , y b hai điểm c d ��c 3d � � , �; � , 4 Bài (Dao động màng tròn có biên gắn chặt): Xác định dao động tự màng tròn có biên gắn chặt, bán kính q, thời điểm ban đầu màng có dạng paraboloit tròn xoay dao động không vận tốc ban đầu Bài giải: Bài toán trở thành tìm nghiệm u  u  r ,  ; t  phơng trình: utt'' a u (3.21) 50 Thoả mãn điều kiện ban đầu: � r2 �  h� 1 � , t0 � q � u  r,; t  ut'  r ,  ; t  0, t0 (3.22) vµ ®iỊu kiƯn biªn: u  r,; t  rq 0 (3.23) áp dụng phơng pháp tách biến toạ độ cực nh trình bày mục 2.3 chơng 2, dao động màng tròn có dạng: n 0 at  n  at � � n  r � u  r ,  ; t   ��  n cos   n sin J0 � � � � � �, q q � n 1 � � �q � � ®ã: n  n  � n 0 f  r  rJ � � �q � q   q J o,  n 0 � r� dr , � � � n 0 F  r  rJ � � �q � q   aq n 0 J o,  n 0 � r� dr � � Theo đầu màng tròn dao động không vận tốc ban đầu nên n , n đợc xác định: n q J ,2 o r � � n 0 h� 1 � rJ � � q � � � �q q    0 n � r� dr , Sử dụng tính chất hàm Betsen: 2m � J  x   � 1 m �x � �� �2 � ,  m!  m �x � �� , �2 � m!  m  1 ! m 0 m 1 � J1  x   � 1 m 0 J1  x    J 0'  x  , 51 x  J    d   xJ  x  , � x  J    d  x J  x    x � 3 0   x J1 x Chúng ta xác định đợc: n  8h  3    n J1  n 0 Cuèi cïng ta cã :   n0 r   J   q  at u 8h   cos n q n 1  n J  n (3.24)   NhËn xÐt:  Dao déng cđa mµng dao động điều hoà với biên n  r  8h  n0 a  J độ tần số dao ®éng lµ q  n J  n   q     Khi r tăng n r J0 q giảm, điều chứng tỏ điểm xa tâm màng dao động nhỏ đến biên màng đứng yên 3.3 Dao động cầu có biên gắn chặt Bài 7: Tìm dao động cầu có bán kính q = 5cm, biên gắn chặt, ban đầu đợc giữ nằm yên cung cấp cho vận tốc ban đầu 20m|s Bài giải Bài toán trở thành tìm nghiệm phơng trình vi phân: utt'' a u  , (3.25) ®ã u  u  r , , ;t  , vËn tèc truyÒn pha dao động a 20 m , s tức ta có điều kiện ban đầu: 52 u r, ,;t  t 0  0;ut'  r, , ;t  t 0  a  20m / s , (3.26) điều kiện biên: u r, , ;t r 5cm (3.27) Trong hệ toạ độ cÇu, ta cã: u  ��2 � u� �� � u� �2u r  sin   � � 2 r2 � r� � r � r sin  � � � � 2 r sin áp dụng kết đợc trình bày mục 2.2.4 chơng 2, dao động cầu có dạng : � 1� � �� m � m � � m � � � � � � 2� � 2� � 2� a t a t � � k r �  n � u  r, , ;t   �� Ak ,m cos k  Bk ,m sin k J 1� Ym   ,  � � m q q q k ,m 1 � � � � � � � � � NÕu m lµ sè bÊt kú th× ta cã 2m  dao động riêng u k ,n,m với tần số dao động lµ   k ,m 1 m  2 a   k q NÕu m 0 ta chØ xét dao động riêng u k ,0,0 , dao động cầu có dạng: � u  r, , ;t   �uk ,0 ,0 k 1 �1 � �1 � �1 � � �� � �� �� �2 � �2 � a k t a k t �  k �2 �r � �� Ak ,0 cos  Bk ,0 sin sin , q q � q k 1 � � � � � ®ã: q Ak ,0 kr  f  r  sin dr , q0 q Bk ,0 �� k r �2 �  F r sin dr,   k   k � k q q q Theo đầu ban đầu cầu đứng yên suy ra: f r  0 , Ak ,0 0 , vËn tèc ban ®Çu b»ng 20 m/s, suy ra: F  r   20 m s 53 q Bk ,0  40 kr 40  cos k  1 sin dr   kq q  k  NÕu k chẵn Bk ,0 0, suy uk ,0 ,0  r, , ;t   NÕu k lỴ Bk ,0  80  k  , dao động cầu có dạng: u  r, , ;t   �uk ,0 ,0  r, , ;t   k 1 �1 � �� �2 � n 1 �1 � �� �2 � n 1 a t  r 80 cos sin 2 �  n 1  2n  1 q q � (3.24) NhËn xÐt:  Quả cầu dao động với biên độ dao động riêng lµ: �1 � �� 80  2�n2�1r , 2n sin q tần số dao động riêng là: k ,0 ,0 a �2 �  n 1 ,n  ,1, , q Dao động cầu đợc xem nh dao động tự nhiều sợi dây gắn chặt hai đầu mút (một đầu biên đầu tâm cầu) Năng lợng bảo toàn, xa tâm cầu biên độ giảm (vì lợng đợc phân tán cho nhiều phần tử hơn) 54 Phần 3: kết luận Các kết đạt đợc Với mục đích Bớc đầu tìm hiểu dao động không gian một, hai ba chiều phơng pháp tách biến Furiê, trình bày chi tiết sở toán học Đó kiến thức kỹ cần thiết để giải phơng trình vi phân thờng gặp Vật lý nh: phơng trình vi phân bậc tuyến tính không có hệ số số, phơng trình vi phân bậc hai tuyến tính nhất, không nhất; toán tử Laplce hệ toạ độ cong trực giao tổng quát từ suy dạng toán tử hệ toạ độ trực giao đặc biệt (hệ toạ độ Đề vuông góc oxyz, hệ toạ độ trụ, hệ toạ độ cực hệ toạ độ cầu) Đối với phơng trình vi phân bậc hai có hệ số hàm số đặc biệt, giải phơng trình loại tìm đợc nghiệm mà nghiệm hàm đặc biệt nh: hàm Betsen nguyên, hàm Betsen bán nguyên, đa thức Lơgiangđrơ đa thức Lơgiangđrơ liên đới Chúng trình bày cách hệ thống lôgic phơng pháp tách biến Furiê sử dụng phơng pháp tách biến để tìm hiểu phơng trình dao động: tổng quan phơng pháp tách biến, đại cơng phơng trình dao động, sử dụng phơng pháp tách biến cho toán dao động cụ thể nh tìm phơng trình dao động không gian chiều (dao động sợi dây chiều dài hữu hạn), không gian hai chiều (dao động màng), không gian ba chiều (dao động cầu có biên gắn chặt) Khoá luận đạt đợc số kết đáng ý nh sau: 55 Trình bày chi tiết: dạng cách giải số dạng phơng trình vi phân tuyến tính thờng gặp, toán tử Laplace hệ toạ độ cong trực giao, hàm Betsen nguyên bán nguyên, đa thức Lơgiangđrơ Trình bày phơng pháp tách biến Furiê cho dao động không gian một, hai ba chiều Giải đợc số toán cụ thể có ứng dụng phơng pháp tách biến Furiê để xác định dao động không gian chiều (dao động tự cỡng sợi dây có chiều dài hữu hạn), không gian hai chiều (dao động tự cỡng màng chữ nhật dao động màng tròn có biên gắn chặt) không gian ba chiều (dao động cầu có biên gắn chặt) vấn đề tồn cần tìm hiểu Do thời gian tìm hiểu, lực thân tài liệu tham khảo có hạn Vì vậy, khoá luận đa phơng pháp tách biến Furiê ứng dụng phơng pháp tách biến cho toán dao động không gian một, hai ba chiều Trong thời gian tới có điều kiện thuận lợi, tiếp tục tìm hiểu sâu phơng pháp tách biến Furiê ứng dụng phơng pháp để tìm hiểu toán truyền nhiệt toán Laplace Đồng thời tìm hiểu hàm Betsen nh ứng dụng hàm để giải toán hệ Vật lý thấp chiều Cơ học lợng tử 56 Phụ lục A TÝnh chÊt cđa hµm Gamma [1] Hµm Gamma  đợc định nghĩa đẳng thức tích ph©n �     � e  x x 1dx , (A.1) víi  lµ mét sè dơng Tính chất hàm Gamma: 1      , �1 �   1  1,  � �  , �2 � (A.2)   n    n  1 ! (A.3) �2n  �  2n  1 !! �  � 2n � � (A.4) 57 B Chuỗi Furiê [5] Chuỗi Furiê hay đợc gọi chuỗi lợng giác chuỗi có dạng: �u  x  , n 0 (B.1) n víi un  x    an cos nx  bn s innx số hạng tổng quát tuần hoàn với chu kỳ Xét chuỗi �u  x  héi tơ vµ kÝ hiƯu: n 0 n � � n 0 n 0 f  x   �un  x   � an cos nx  bn s innx  , (B.2) an bn đợc gọi hệ số chuỗi Furiê đợc xác định nh sau: Nếu f  x   f   x  tøc f x hàm chẵn thì: a0  f  x  dx , � (B.3)  ak  � f  x  cos kxdx , 0 (B.4) bk  0,k  0,1,2, (B.5) NÕu f  x    f   x  tøc f  x  hàm lẻ thì: ak 0,k 0,1,2,  (B.6) bk  � f  x  sin kxdx 0 C TÝch ph©n hai líp [8] Trong trờng hợp dao động tự màng chữ nhật tính hệ số ak ,k bk ,k , ta gặp tích phân có dạng: ak1 ,k2  cd 2 c d A    c     d  sin � � 0 k1 k  sin d d c d 4A k  k       c  sin d �     d  sin d � cd c d c d (C.1) Chúng ta đặt: 58 d I1  �     d  sin k2 d , d (C.2) k1 d c (C.3) đặt: c I2    c  sin Ta thÊy hai tích phân I1 , I có dạng giống nên cần tính tích phân I1 , sau suy tÝch ph©n I d I1  �     d  sin k2 d d (C.4) Sử dụng phơng pháp tính tích phân phần: Chúng ta đặt: u  d  ;dv  sin du  2  d ;v   k2  , d k  d cos , k2  d d d d k  d k  I1       d  cos  �  2  d  cos d   k2  d 0 k2  d (C.5)   I3 d k  d I  �  2  d  cos d  k d u1  2  d ;dv1  cos du1  2;v1  k2  d , d k  d sin k2  d Tơng tự với I ta tính đợc: I2  I 2c  k1   cosk1  1 , suy ra: 16c d  cos k1  1  cos k2   1 k13 k2 (C.6) Kết đợc trình bày toán dao động tự màng chữ nhật mục 2.2.1 chơng 59 Tất tích phân hai lớp khoá luận đợc tính nh D Hàm cầu [1], [2] Hàm cầu Ym , đợc định nghĩa tổ hợp tuyến tính hàm cầu Lơgiăngđrơ ®ỵc biĨu diƠn: � Ym  ,   0 ,mYm     ,   ��  n,mYm   n    ,    n,mYm  n   ,  � � �, n 1 (D.1) ®ã: Ym   ,    Pm cos  Ym  n   ,    P mn   cos   cos n (D.2) Ymn  ,   P nm  cos   sin n , hàm cầu Lơgiangđrơ Hàm cầu Laplaxơ đợc xác định r mYm , , r bán kính Nếu m số hàm cầu Laplaxơ nghiệm phơng trình Laplaxơ hàm r m 1Ym , nghiệm phơng trình Laplaxơ nhng hàm không đợc giới hạn cầu Do đó, loại nghiệm Hàm cầu có tính chất trực giao (xét mặt cầu ), ta có: Y  ,  Y  ,   ds 0  n m n1 m1 (D.3) NÕu mỈt cầu có bán kính q ds q sin d d E Quy t¾c Lepnit [7] Quy tắc Lepnit quy tắc dùng để tính đạo hàm cấp n tích hai hàm số theo biến xác định Ví dụ, cho hai hàm số bÊt kú f  x  vµ g  x khả vi n lần, theo quy tắc Lepnit ta cã: n  n  1  n     dn  n  n  n 1    fg  fg  f g  nf g  f g      dx n 2! n  n  1  n    n  k  1  n k  k  f g   fg  n  k! (E.1) 60 Quy tắc Lepnit đợc chứng minh phơng pháp quy nạp F Chuỗi Taylor [7], [8] Xét hàm f x khả vi tuỳ ý lần với điều kiện đợc biểu diễn dới dạng chuỗi luỹ thừa dạng: f x f  x0   f '  x0  1!  x  x0    f  n   x0  n!  x  x0 n , (F.1) chuỗi luỹ thừa vế phải (F.1) đợc gọi chuỗi Taylor hàm f x lân cận ®iÓm x0 Khi x0  ta cã khai triÓn: f  x  f  0  f '  0 1! x f ''   2! x   f  n  n! x n , (F.2) đợc gọi chuỗi Macloranh hàm f x Khai triển Macloranh số hàm đợc dïng kho¸ luËn: f  x   sin x  x  x x x7 x 2n 1 n      1  , 3! 5! !  2n  1 ! (F.3) f  x   cosx   2n x x x6 n x      1  , 2! 4! !  2n  ! (F.4) víi x lµ biÕn sè tuú ý 61 MỤC LỤC Trang PhÇn 1: Mở đầu 1.1 Lời nói đầu .1 1.2 mục đích nghiên cứu 1.3 Phơng pháp nghiên cứu 1.4 Bè cơc cđa kho¸ ln PhÇn 2: Néi Dung .4 Chơng 1: Cơ sở toán học .4 1.1 Phơng trình vi phân tuyến tính .4 1.1.1 Phơng trình vi phân tuyến tính bậc không 1.1.2 .Phơng trình vi phân bậc hai tun tÝnh 1.2 To¸n tư Laplace 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 To¸n tư Laplace hệ toạ độ cong trực giao .7 1.3 Hµm Betsen 1.3.1 §Þnh nghÜa 1.3.2 Phơng trình Betsen nguyên 1.3.3 Phơng trình Betsen bán nguyên 10 1.4 Hàm Lơgiangđrơ 13 1.4.1 Hàm Lơgiangđrơ 13 1.4.2 Hàm Lơgiangđrơ liên đới14 Chơng 2: Phơng pháp tách biến FuriÊ 16 2.1 Đại cơng phơng trình dao động không gian .16 2.1.1 Ph¬ng trình vật lý toán 16 62 2.1.2 Phơng trình dao động không gian 16 2.2 Phơng pháp tách biến 17 2.2.1 Khái quát chung phơng pháp tách biến .17 2.2.2 Dao động sợi dây có chiều dài hữu hạn 17 2.2.3 Dao động màng có biên gắn chặt 24 2.2.4 Dao động cầu có biên gắn chặt .30 Chơng 3: ứng dụng phơng pháp tách biến cho toán dao động cụ thể .33 3.1 Bài toán dao động sợi dây có chiều dài hữu hạn 33 3.2 Bài toán dao động màng chữ nhật .42 3.3 Dao động cầu có biên gắn chặt 46 Phần 3: kết luËn 49 C¸c kết đạt đợc .49 vấn đề tồn cần tìm hiĨu tiÕp theo 50 Phơ lơc 51 Tài liệu tham khảo 63 ... phơng pháp biết (phơng pháp phản xạ đầu mút gắn chặt, phơng pháp biến đổi Laplace) ngời ta sử dụng phơng pháp đặc biệt quan trọng phơng pháp tách biến (phơng pháp tách biến Furiê), phơng pháp. ..hai ba chiều phơng pháp tách biến Furiê cho khoá luận tốt nghiệp đại học Để thấy rõ đợc phơng pháp tách biến đợc sử dụng vào toán dao động không gian một, hai ba chiều, khóa luận tập chung vào... đề khoa học 2.2 Phơng pháp tách biến [3], [7] 2.2.1 Khái quát chung phơng pháp tách biến Để tìm nghiệm u x, y,z, ;t thoả mãn phơng trình (2.2) ta sử dụng phơng pháp tách biến Furiê, nghĩa phân
- Xem thêm -

Xem thêm: KHÓA LUẬN phương pháp tách biến furie, KHÓA LUẬN phương pháp tách biến furie

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn