Chun Đề:Tích Phân Ứng Dụng ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH Diện tích hình phẳng a)Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) liên tục đoạn a; b , trục hoành b hai đường thẳng x a , x b xác định: S f ( x) dx a y y = f ( x) O a c1 c2 y = f ( x)  y = (H )  x = a  x = b c3 b x b S =  f ( x ) dx a b)Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) , y g ( x) liên tục đoạn a; b b hai đường thẳng x a , x b xác định: S f ( x) g ( x) dx a y (C1 ) : y = f1 ( x )  (C ) : y = f2 ( x ) (H )  x = a x = b  (C1 ) (C2 ) b O c2 a c1 x b S =  f1 ( x ) − f ( x ) dx a Chú ý: b - Nếu đoạn [a; b] , hàm số f ( x) khơng đổi dấu thì: b f ( x) dx a f ( x)dx a - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích hình phẳng giới hạn đường x g ( y) , x h( y) hai đường thẳng y c , d y d xác định: S g ( y) h( y) dy c DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP: Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn b đường y f ( x), y g ( x), x a, x b S f ( x) g ( x) dx a Phương pháp giải tốn +) Giải phương trình f ( x) g ( x) (1) b +) Nếu (1) vơ nghiệm S f ( x) g ( x) dx a b +) Nếu (1) có nghiệm thuộc a; b giả sử S f ( x) g ( x) dx f ( x) g ( x) dx a Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x) g ( x) đoạn a; b dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f ( x), y g ( x) S phương trình f ( x) g ( x) a Phương pháp giải toán Bước Giải phương trình f ( x) Bước Tính S f ( x) g ( x) dx Trong , nghiệm nhỏ lớn b g ( x) tìm giá trị , f ( x) g ( x) dx trường hợp HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) Câu Viết cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) b A b f ( x ) dx  B a  b f ( x ) dx C a  b f ( x ) dx D   f ( x ) dx a a Hướng dẫn giải Chọn A Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên Hình phẳng đánh dấu hình vẽ bên có diện tích y = f ( x) a b A  c f ( x ) dx −  f ( x ) dx B a b b b y b c x O c  f ( x ) dx +  f ( x ) dx a b c b C −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx a D b b  f ( x ) dx −  f ( x ) dx a c Hướng dẫn giải Chọn A Ta có f ( x )  x   a;b f ( x )  x  b; c  nên diện tích hình phẳng b  a c f ( x ) dx −  f ( x ) dx b Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục , có đồ thị hình vẽ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f ( x ) , trục hoành trục tung Khẳng định sau đúng? GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng y c d x O y = f ( x) d d A S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx c B S = −  f ( x ) dx −  f ( x ) dx d c d c d C S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx d d c d D S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Hướng dẫn giải Chọn A d c c d Ta có S =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Quan sát đồ thị hàm số ta thấy f ( x )  với x   c; d  f ( x )  với x   d ;0 d c d Do S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx Câu Diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b ( a  b ) (phần tơ đậm hình vẽ) tính theo cơng thức: b A S =  f ( x ) dx c B S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx a a b C S = b  f ( x ) dx a c c b a c D S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Hướng dẫn giải Chọn B Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có: b c b c b a a c a c S =  f ( x ) dx =  0 − f ( x ) dx +   f ( x ) − 0 dx = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị ( C ) đường cong hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) , trục hoành hai đường thẳng x = , x = (phần tô đen) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng y O x 2 B − f ( x ) dx +  f ( x ) dx  f ( x ) dx C  f ( x ) dx −  f ( x ) dx D  f ( x ) dx A 1 2 Hướng dẫn giải Chọn C Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy: x  ( 0;1) f ( x )  , x  (1; ) f ( x )   f ( x ) dx −  f ( x ) dx Vậy S = Câu Gọi S diện tích miền hình phẳng tơ đậm hình vẽ bên Cơng thức tính S y y = f ( x) −1 −1 O A S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx C S = x −1 B S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx  f ( x ) dx D S = −  f ( x ) dx −1 −1 Hướng dẫn giải Chọn B Ta thấy miền hình phẳng giới hạn từ x = −1 đến x = trục hoành → mang dấu dương  S1 = +  f ( x ) dx −1 Miền hình phẳng giới hạn từ x = đến x = trục hoành → mang dấu âm  S2 = −  f ( x ) dx 1 −1 Vậy S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y thẳng x , x 51 49 53 A B C 4 Hướng dẫn giải x [1;4] Ta có x3 3x2 Khi diện tích hình phẳng GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu x3 3x , trục hoành hai đường D 25 P a g e | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng S x 3x dx (x x4 4 3x )dx (x 3x )dx 3 x Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y đường thẳng x , x 142 143 144 A B C 5 Hướng dẫn giải x [0;3] Ta có x 3x Khi diện tích hình phẳng x 3x dx S x5 x 3x 27 51 4 , trục hoành hai D 141 ( x 3x 4)dx x5 4x x x 3 ( x 3x 4)dx x4 48 96 144 5 x3 x Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x A 2ln x , trục hoành đường thẳng x B ln C 2ln D ln Hướng dẫn giải 2 x 1 S dx dx x ln x 2ln x nên Ta có x 1 x x Câu 10 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cos x , trục tung, trục hoành đường thẳng x =  A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = cos x trục hồnh nghiệm phương trình   cos x =  x = + k Xét  0;   suy x = 2    Diện tích hình phẳng cần tính S =  cos xdx −  cos xdx = Câu 11 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y cos x , trục hoành hai đường thẳng x 0, x A C Hướng dẫn giải B Ta có cos x x Nên S 4 cos x dx 0; D cos xdx cos xdx sin x sin x 2 4 Câu 12 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = e + e− x , trục hoành, trục tung đường thẳng x = −2 x GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng A S = e4 + (đvdt) e2 B S = e4 − e2 − (đvdt) C S = (đvdt) e e Hướng dẫn giải D S = e4 − (đvdt) e2 Chọn D Ta có: S =  e x + e− x dx = ( e x − e− x ) −2 e4 − 1 = (đvdt) =e − e2 e −2 Câu 13 Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục hoành Ox , đường thẳng x = , x = A S = B S = C S = D S = 3 Hướng dẫn giải Chọn A 2 Diện tích hình phẳng S =  x dx =  x dx = 1 x3 = − = 3 Câu 14 Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y = x x + , trục Ox đường thẳng x = a b − ln(1 + b ) với a, b, c số nguyên dương Khi giá trị a + b + c c A 11 B 12 C 13 D 14 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có S =x x + 1dx =  ( x + x)d 0 ( x2 + ) = ( x3 + x) x + −  x + 1(3 x + 1)dx 0 = 2 − 3S −  x + 1dx Tiếp tục sử dụng công thức tích phân phần để tính T =  x + 1dx a = 3, b = 2, c = Câu 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = b được: S = a ln − Chọn đáp án c A a+b+c=8 B a>b x +1 trục tọa độ Ox, Oy ta x−2 C a-b+c=1 Hướng dẫn giải D a+2b-9=c Chọn A Đồ thị hàm số cắt trục hồnh ( -1;0) Do đó: Câu 16 Cho parabol ( P ) có đồ thị hình vẽ: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng y x O −1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) với trục hoành A Hướng dẫn giải B C D Chọn D Từ đồ thị ta có phương trình parabol y = x − x + Parabol ( P ) cắt Ox hai điểm có hồnh độ x = , x = Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) với trục hồnh ta có S=  x3  x − x + dx =  ( x − x + 3) dx =  − x + 3x  =  1 3 2 Câu 17 Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y = x3 + x + , trục hoành, x = x = 31 49 21 39 A S = B S = C S = D S = 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A 31 Diện tích hình phẳng cần tìm S =  x3 + x + dx = x2 , đường thẳng x , trục tung Câu 18 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y trục hoành 22 32 25 23 A B C D 3 3 Hướng dẫn giải Xét pt x2 đoạn 0;3 có nghiệm x 2 23 Câu 19 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x3 − x , trục hoành hai đường thẳng x = −3, x = 203 202 201 201 A B C D Hướng dẫn giải Xét pt x x đoạn 3; có nghiệm x 2; x 0; x x dx Suy S x dx x3 x dx Suy S x3 x dx x3 x dx Câu 20 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y A e2 B e2 201 x ln x , trục hoành đường thẳng x e x3 x dx e2 Hướng dẫn giải GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu C D e2 P a g e | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Xét pt x ln x khoảng 0;e có nghiệm x e2 Câu 21 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành hai đường thẳng x = −1 , x = biết đơn vị dài trục tọa độ cm 15 17 A 15 (cm2 ) B C D 17 (cm2 ) (cm ) (cm ) 4 Lời giải Chọn D Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành hai đường thẳng x = −1 , x = 2 x x 17 3 S =  x dx = −  x dx +  x3dx = − + = ( dvdt ) −1 4 −1 −1 e Suy S x ln xdx Do đơn vị dài trục tọa độ cm nên diện tích cần tìm S = 17 ( cm2 ) Câu 22 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x = e A ln x , trục hoành đường thẳng x Hướng dẫn giải B C D Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm: ln x =  x = x e Diện tích hình phẳng giới hạn là:  e e ln x ln x dx =  ln xd ( ln x ) = = x 2 Câu 23 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x + x − trục hoành 13 A B C D 2 Hướng dẫn giải Chọn C Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số trục hồnh nghiệm phương trình: x = x2 + x − =    x = −2 y O -2 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu x P a g e | 63 Chun Đề:Tích Phân Ứng Dụng Diện tích hình phẳng S =  −2 x + x − dx = −  ( x + x − ) dx = −2 Câu 24 Hình phẳng giới hạn đường y = x − , x = Ox có diện tích 16 20 A B C D 3 Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm đường y = x − Ox là: x2 − =  x = 1 Diện tích hình phẳng là: 3  x3   x3 3 S =  x − dx =  − x + dx +  x − dx =  − + x  +  − x  =   −1  1 −1 −1 x +1 Câu 25 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = , trục hoành đường thẳng x = x+2 A + 2ln B + ln C − 2ln D − ln Hướng dẫn giải Chọn C 2 x +1   x +1 dx =  1 − Ta có: =  x = −1 Vậy S =   dx = ( x − ln x + ) −1 = − 2ln x+2 x+2 x+2 −1 −1  Câu 26 Cho hình phẳng H giới hạn đường y = x ; y = ; x = Diện tích S hình phẳng H 16 15 17 A S = B S = C S = D S = Hướng dẫn giải Chọn A Xét phương trình x =  x = ( Ta có S =  ) ( ) 16 xdx = x x = 3 Câu 27 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x = , x = đường cong có phương trình y = x A 76 B 152 C 76 D 152 Hướng dẫn giải Chọn D GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e | 63 Chun Đề:Tích Phân Ứng Dụng Vì x   4;9  y =  8x Vậy S = 2 xdx = 152 Câu 28 Cho hình thang cong ( H ) giới hạn đường y = e x , y = , x = , x = ln8 Đường thẳng x = k (  k  ln 8) chia ( H ) thành hai phần có diện tích S1 S Tìm k để S1 = S2 A k = ln B k = ln C k = ln Hướng dẫn giải D k = ln Chọn B ln8 Ta có S1 + S2 =  e dx = ( e x x ) ln8 k = ; S1 =  e x dx = ( e x ) = ek − k 7  ek − =  k = ln 2 Câu 29 Cho hình phẳng ( H ) hình vẽ Tính diện tích hình phẳng ( H ) Mà S1 = S2  S1 = A ln − ln − 2 Hướng dẫn giải B C D ln + Chọn A Diện tích hình phẳng ( H ) là: S =  x ln xdx GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 10 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng (b − a )  x2 x3  S =  ( a + b ) x − ab − x  dx = ( a + b ) − abx −  = a a  b b 2 2 Mặt khác ( b − a ) ( b − a ) + 1 = nên b − a = b − a  ( b − a ) +  Vậy (b − a ) S=  23 Vậy Smax = GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 49 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Dạng 4:Tính diện tích hình phẳng giới hạn nhiều đường cong (>2 đường cong) Câu 106 Cho parabol ( P ) : y = x + hai tiếp tuyến ( P ) điểm M ( −1;3) N ( 2;6 ) Diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) hai tiếp tuyến A B 13 Hướng dẫn giải C D 21 Chọn A Phương trình tiếp tuyến M ( −1;3) d1 : y = −2 x + Phương trình tiếp tuyến N ( 2;6 ) d2 : y = x − Phương trình hồnh độ giao điểm d1 d : −2 x + = x −  x = Vậy S =  −1 x + + x − dx +  x + − x + dx = Câu 107 Cho ( H ) hình phẳng tơ đậm hình vẽ giới hạn đường có phương trình y = x  − x 10 Diện tích ( H ) bằng? x − x2 , y =   x − x  y O x −1 A 11 B 13 11 Hướng dẫn giải C D 14 Chọn B Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = − x y = x − − x = x −  x = Diện tích hình phẳng cần tính  10   10  S =   x − x + x  dx +   x − x − x +  dx 3   0 1  13  7   S =   x − x  dx +   x − x +  dx 3   0 1  13  7   S =   x − x  dx +   x − x +  dx 3   0 1  13 x3   S =  x2 −  3 6 3 7  x3 13 +  x2 − + 2x  = 6 1 Câu 108 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − nửa đường tròn x + y = bằng?  A − B  −1 C  Hướng dẫn giải GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu −1 D  −1 P a g e 50 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Chọn A  x − x  y = x −1 =  1 − x x  x2 + y =  y =  − x tính nửa đường tròn nên ta lấy y = − x Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − nửa đường tròn x + y = phần tơ màu vàng hình vẽ Cách 1: Diện tích hình phẳng là: 1  1 S =  R − 1.1 = − ( diện tích hình tròn – diện tích tam giác vuông cân) 4 Cách 2: Diện tích hình phẳng là: 1  x2  S =   − x − (1 − x )  dx =  − x dx +  ( x − 1) dx = I1 +  − x  = I1 −    0 0 1 Tính I1 =  − x dx    Đặt x = sin t , t   − ;  ; dx = cos t.dt  2  Đổi cận x =  t = ; x =  t =     2 0 + cos 2t dt 2 I1 =  − x dx =  − sin t cos t.dt =  cos t cos t.dt =  cos t.dt =    sin 2t   = t +  = 2 0  Vậy S = − Câu 109 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x , y = x , y = miền x  0, y  1 A B C D 12 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: y Ta có: y = x  x = ; y = x  x = y (do x  ) Suy ra: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 51 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng S=  y− y (Bấm máy trực tiếp xét dấu bỏ dy = 12 ) Cách 2: x = Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 = x  x2 − x =  x = x = Phương trình hồnh độ giao điểm: x =    x = −1 Phương trình hồnh độ giao điểm: x =  x = Từ hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm 1 1  x3   x3  2 S =  ( x − x ) dx +  (1 − x ) dx =  x −  +  x −  = 12 3 3   0 2 Câu 110 Cho hình phẳng giới hạn đường y = − x , y = , y = x có diện tích S = a + b. Chọn kết đúng: A a  , b  B a + b  C a + 2b = D a + 4b2  Hướng dẫn giải Chọn D y -3 -2 -1 O1 x Các phương trình hồnh độ giao điểm:  x  x   * − x2 = x    2  x = 4 − x = x * − x2 =  x = * x = GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 52 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng  (2 − Diện tích cần tính là: S = = ( 2x )  x2  +  2x −  2  ) − x dx + 2 2  − x dx = 2 + − 2 −  − x dx = − Ta có     4 0 − x dx Đặt x = 2sin t  dx = 2cos tdt Đổi cận: x =  t = ; x =  t = 2  ( − x ) dx =  2dx +  ( − x ) dx −  −  − x dx  − x dx =  − 4sin t cos tdx =  cos tdx =  (1 + cos 2t ) dx     1  =  t + sin 2t  =  +  = +    2  Vậy S = − − = −  2 Theo kí hiệu tốn ta suy a = , b = − Do mệnh đề a + 4b2  2 27 Câu 111 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x ; y x ;y 27 x A 27 ln B 27 ln C 28ln D 29ln Hướng dẫn giải x2 27 x 27 x 0; x x 3; x Xét pthđgđ x 27 x 27 x Suy x2 S x2 dx 27 27 x x2 dx 27 ln 27 Câu 112 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = x − x + 12 tiếp tuyến điểm A (1;7 ) B ( −1;19 ) A B 3 Hướng dẫn giải C D Chọn B Ta có y = x − GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 53 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Gọi tiếp tuyến điểm A (1;7 ) d1 Suy d1 : y = y (1)( x − 1) + = −4 x + 11 Gọi tiếp tuyến điểm B ( −1;19 ) d Suy d : y = y ( −1)( x + 1) + 19 = −8x + 11 Ta có phương trình hồnh độ giao điểm d1 parabol x2 − x + 12 = −4 x + 11  x = Ta có phương trình hồnh độ giao điểm d parabol x2 − x + 12 = −8x + 11  x = −1 Ta có phương trình hồnh độ giao điểm d d1 −4x + 11 = −8x + 11  x = Vậy diện tích hình phẳng cần tính 1 S =  x − x + 12 + x − 11 dx +  x − x + 12 + x − 11 dx = + = 3 −1 Câu 113 Diện tích hình phẳng giới hạn y = x ; y = x ; y = miền x  ; y  1 A B C D 12 Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm x =  x = ; x =  x = Hình phẳng cần tính tạo từ hai hình ( H1 ) ( H )   y = 2x  Trong ( H1 )  y = x  S1 =  x − x dx = 24   x = 0; x =   y =1  Và ( H ) =  y = x  S2 =  − x dx = 24  x = ; x =  5 Vậy diện tích hình phẳng cần tính S = S1 + S2 = + = 24 24 12 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 54 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Câu 114 Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng a y 8x, y x đồ thị hàm số y x3 Khi a b b A 68 B 67 C 66 D 65 Hướng dẫn giải Ta có x x x x x 0;8 x x3 ; x x3 x x 2 Nên S 2 8x x3 dx x x dx 63 Câu 115 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y 1, y miền x 0, y A a Khi b a b B C Hướng dẫn giải x đồ thị hàm số y x2 D Ta có x x 1; x x2 x 0;1 x2 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu x P a g e 55 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Nên S x2 x dx x2 dx Câu 116 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( P ) : y = x2 − x + tiếp tuyến ( P) A (1; ) B ( 4;5) A B 9 Hướng dẫn giải C D Chọn A Ta có y = x − Tiếp tuyến ( P ) A B y = −2 x + ; y = x − 11 5  Giao điểm hai tiếp tuyến M  ; −1 2  Khi đó, dựa hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 56 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng S =  ( x − x + + x − ) dx +  ( x − x + − x + 11) dx = Câu 117 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ln x , y = , y = 1− x 1 A S = e − B S = e − C S = e + D S = e + 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A y () y = ln x y=1 O e y=1 e x2 Ta có S =  1 − (1 − x )  dx +  (1 − ln x ) dx = 1 x x e e 1 + x (1 − ln x ) −  xd (1 − ln x ) −1 1 = − −  x dx = − + x = − + ( e − 1) = e − x 2 1 Câu 118 Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng y = x a , y = x đồ thị hàm số y = x3 phân số tối giản Khi a + b b A 62 B 67 C 33 D 66 Hướng dẫn giải Chọn B 28 y 27 e e -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 -1 -1 -2 -3 -4 x Ta có GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 57 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng x = loại x = −2 x3 = x    x = 2 x = x3 = x   loại x = −1  x = 1 2  8x2 x4   x2 x4  63 Suy S =  (8 x − x )dx −  ( x − x ) dx =  −  −  −  = 16 − = 4 0   0 0 Khi a + b = 67 Câu 119 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + ( P ) 2 3 3  tiếp tuyến kẻ từ điểm A  ; −3  đến đồ thị ( P ) Giá trị S 2  9 A B C Hướng dẫn giải Chọn C D y O x A 2 3   Giả sử  đường thẳng qua A  ; −3  có hệ số góc k ,  : y = k  x −  − 3 2   Để đường thẳng  tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x − x + hệ phương trình 2 x − = k   3  x − 4x + = k  x −  −    (1) ( 2) có nghiệm x = 3  Thay (1) vào (2) ta x − x + = ( x − )  x −  −  x2 − 3x =   2  x = Với x = k = −4 , phương trình tiếp tuyến y = −4 x + Với x = k = , phương trình tiếp tuyến y = x − Diện thích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + hai tiếp tuyến y = −4 x + y = x − 3 3 S =  ( x − x + + x − 3) dx +  ( x − x + − x + ) dx =  x dx +  ( x − x + ) dx 2 3 x ( x − 3) = + 3 3 = 2 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 58 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Câu 120 Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol ( P ) : y = x hai đường thẳng y = a , y = b (0  a  b) (hình vẽ) Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) đường thẳng y = a (phần tô đen); ( S2 ) diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) đường thẳng y = b (phần gạch chéo) Với điều kiện sau a b S1 = S2 ? A b = 4a B b = 2a C b = 3a Hướng dẫn giải D b = 6a Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm parabol ( P ) : y = x với đường thẳng y = b x2 = b  x =  b Phương trình hồnh độ giao điểm parabol ( P ) : y = x với đường thẳng y = a x2 = a  x =  a Diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = x đường thẳng y = b  b b  4b b  x3  S =  ( b − x ) d x =  bx −  =  b b − =  3 0   Diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = x đường thẳng y = a (phần tô màu đen) b b  a a  4a a  x3  S1 =  ( a − x ) d x =  ax −  =  a a − =  3 0   a a ( ) ( ) 3 4b b 4a a =  b = a  b = a  b = 4a 3 Câu 121 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x + x trục hoành Hai đường Do S = 2S1  thẳng y = m y = n chia ( H ) thành phần có diện tích (tham khảo hình vẽ) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 59 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Giá trị biểu thức T = ( − m ) + ( − n ) A T = 320 B T = 75 C T = 512 15 D T = 450 Hướng dẫn giải Chọn A Sử dụng cơng thức: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ax + bx + c trục hoành S = 3 , với a   = b2 − 4ac  6a x = Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành − x2 + x =   x = 4 32 Diện tích hình ( H ) S =  ( − x + x ) dx = Từ đó, diện tích S1 giới hạn đồ thị hàm số y = − x + x đường thẳng y = m (16 − 4m ) 13 S1 = = = S 6a diện tích S giới hạn đồ thị hàm số y = − x + x đường thẳng y = n (16 − 4n ) 32 S2 = = = S 6a 3  (16 − 4m )   64  32  ( − m ) =   =      Từ   128   (16 − 4n )3 64  − n = )   =  ( 43     320 3 Suy T = ( − m ) + ( − n ) = Câu 122 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x , y = A 63 B 27 ln − 63 C 27 ln Hướng dẫn giải x2 27 , y= x D 27 ln − 63 Chọn C GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 60 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x2 x 27 27 =  x = ; x2 = x=0 ;  x = x2 = 8 x x   27 x  x2  Ta có : S HP =   x −  dx +   −  dx  x  0 3 S HP  x3 x3   x3  63 63 = 27ln =  −  +  27 ln x −  = + 27 ln − 24   24   Câu 123 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đường y = ( x − 3) , trục tung trục hoành Gọi k1 , k ( k1  k2 ) hệ số góc hai đường thẳng qua điểm A ( 0;9 ) chia ( H ) làm ba phần có diện tích Tính k1 − k2 13 A B 25 Hướng dẫn giải C D 27 Chọn D Gọi d1 : y = k1 x + , d2 : y = k2 x + ( k1  k2 )      9 Gọi M = d1  Ox  M  − ;0  ; N = d  Ox  N  − ;0   −  −  k1   k1   k2   k2 Giao điểm ( P ) : y = ( x − 3) với hai trục tọa độ C ( 3;0 ) , A ( 0;9 ) Theo giả thiết ta có SAON = SANM  OM = 2ON  − 18 = −  k2 = 2k1 k1 k2 243 27 Lại có S( H ) = 3SAON   ( x − 3) dx = .OA.ON  = −  k2 = − 2k 2 27 27 Suy k1 = −  k1 − k2 = 4 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 61 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Câu 124 Tính diện tích S hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị ( d1 ) : y = x − , x ( d2 ) : y = + , ( P ) : y = x2 − x + 189 13 487 27 A S = B S = C S = D S = 16 48 Hướng dẫn giải Chọn A  x= x 2  Phương trình hồnh độ giao điểm: + = x − x +  x − x + =   2 x = x = Phương trình hoành độ giao điểm: x − = x2 − x +  x2 − x + =   x = x Phương trình hồnh độ giao điểm: x − = +  x − =  x = 2 H Diện tích hình phẳng ( ) : x  S =   + − ( x − x + ) dx +   x − − ( x − x + )  dx  2 2 1 2  x3    =   − x + x −  dx +  ( − x + x − ) dx =  − + x − x   1  1 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu  x3  189 +  − + 3x2 − x  =   16 P a g e 62 | 63 Chuyên Đề:Tích Phân Ứng Dụng Dạng 5:Diện tích S giới hạn đường: - Đồ thị x = g ( y ) , x = h ( y ) , h ( y ) liên tục đoạn  c, d  - Hai đường thẳng x = c, x = d d S =  g ( y ) − h ( y ) dy c Câu 125 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y 2 y x 0, x y 9 11 A B C D 2 Hướng dẫn giải y 2 y, x y Biến đổi hàm số theo biến số y x Xét pt tung độ giao điểm ( y 2 y) y có nghiệm y 0, y 3 0 Câu 126 Diện tích hình phẳng hình vẽ sau Vậy S A y y dy Ta có y y y dy B y 11 y , Nên S y Hướng dẫn giải 10 ( y y )dy GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu C D 10 P a g e 63 | 63 ... Hướng dẫn giải Chọn A Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng Câu 46 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục thỏa mãn f ( )   f ( −1) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y =... Thầy Huỳnh Hiếu P a g e 29 | 63 Chuyên Đề :Tích Phân Ứng Dụng Tức S =  −  ( ) − x − 3x dx y = 3x Câu 71 Gọi S diện tích giới hạn đường:  Tìm m để diện tích S=4? y = mx A m=6 B m=-6 C m=  D... P a g e | 63 Chuyên Đề :Tích Phân Ứng Dụng Diện tích hình phẳng S =  −2 x + x − dx = −  ( x + x − ) dx = −2 Câu 24 Hình phẳng giới hạn đường y = x − , x = Ox có diện tích 16 20 A B C D