§6 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai (đối với x ) biểu thức dạng ax2 + bx + c Trong a,b,c số cho trước với a ¹ Nghiệm phương trình ax2 + bx + c = gọi nghiệm tam thức bậc hai f ( x ) = ax2 + bx + c ; D = b2 - 4ac D ' = b'2- ac theo thứ tự gọi biệt thức biệt thức thu gọn tam thức bậc hai f ( x ) = ax2 + bx + c Dấu tam thức bậc hai Dấu tam thức bậc hai thể bảng sau f ( x ) = ax2 + bx + c, ( a ¹ 0) a.f ( x ) > 0, " x Ỵ ¡ D 0 ïì b ïü ïý a.f ( x ) > 0, " x Ỵ ¡ \ ùớ ùợù 2a ùỵ ù a.f ( x ) > 0, " x ẻ ( - Ơ ;x1 ) È ( x2; +¥ a.f ( x ) < 0, " x Ỵ ( x1; ) x2 ) Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax2 + bx + c ìï a > • ax2 + bx + c > 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D < ợ ỡù a > ã ax2 + bx + c ³ 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D £ ỵ ìï a < • ax2 + bx + c < 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D < ỵ ìï a < • ax2 + bx + c £ 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D £ ỵ B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI Phương pháp giải Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai để xét dấu biểu thức chứa * Đối với đa thức bậc cao P (x) ta làm sau • Phân tích đa thức P ( x ) thành tích tam thức bậc hai (hoặc có nhị thức bậc nhất) • Lập bảng xét dấu P ( x ) Từ suy dấu * Đối với phân thức P (x) (trong P ( x ) , Q ( x ) đa thức) ta làm sau Q(x) • Phân tích đa thức P ( x ) , Q ( x ) thành tích tam thức bậc hai (hoặc có nhị thức bậc nhất) • Lập bảng xét dấu P (x) Từ suy dấu Q(x) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét dấu tam thức sau a) 3x2 - 2x + b) - x2 + 4x + c) - 4x2 + 12x - d) 3x2 - 2x - e) 25x2 + 10x + f) - 2x2 + 6x - Lời giải a) Ta có D ' = - < 0, a = > suy 3x - 2x + > 0, " x Ỵ ¡ éx = - b) Ta có - x + 4x + = Û ê êx = ê ë Bảng xét dấu - ¥ x - - x + 4x + 5 + | +¥ - 1;5) - x2 + 4x + < Û x Ỵ ìï 3ü ï c) Ta có D ' = 0, a < suy - 4x + 12x - < " x Ỵ ¡ \ ùớ ùý ùợù 2ùỵ ù Suy - x2 + 4x + > Û x Ỵ (- éx = ê d) Ta có 3x - 2x - = Û ê êx = - ê ë Bảng xét dấu x - ¥ + 3x - 2x - ỉ 4ư - Ơ ;- ữ ữ Suy 3x - 2x - > x ẻ ỗ ỗ ữẩ ( 2; +Ơ ỗ 3ứ ố (- Ơ ;- 1) È ( 5; +¥ ) +¥ | + ỉ4 - ;2÷ ÷ 3x - 2x - < x ẻ ỗ ỗ ữ ỗ ố ứ ỡù 1ỹ ù e) Ta có D ' = 0, a > suy 25x + 10x + > " x ẻ Ă \ ùớ - ùý ùợù 5ùỵ ù ) f) Ta có D ' = - < 0, a < suy - 2x + 6x - < " x Ỵ ¡ Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax2 + bx + c Xét nghiệm tam thức, nếu: * Vô nghiệm tam thức bậc hai f ( x ) = ax2 + bx + c dấu với a với x * Nghiệm kép tam thức bậc hai f ( x ) = ax2 + bx + c dấu với a với x ¹ * Có hai nghiệm f ( x ) dấu với a x Ỵ b 2a ( - ¥ ;x1 ) È ( x2;+¥ ) (ngồi hai ( x1;x2 ) (trong hai nghiệm)(ta nhớ câu nghiệm) f ( x ) trái dấu với a x Ỵ trái ngồi cùng) Ví dụ 2: Tùy theo giá trị tham số m, xét dấu biểu thức f (x) = x2 + 2mx + 3m - Lời giải Tam thức f (x) có a = > D ' = m2 - 3m + * Nếu < m < Þ D ' < Þ f (x) > " x Î R GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu ém = * Nếu ê êm = Þ D ' = ị f (x) " x ẻ R f (x) = Û x = - m ê ë ém > * Nếu ê êm < Þ D ' > Þ f (x) có hai nghiệm ê ë x1 = - m - m2 - 3m + x2 = - m + m2 - 3m + Khi đó: +) f (x) > x ẻ (- Ơ ;x1) ẩ (x2; +¥ ) +) f (x) < Û x Î (x1;x2) Ví dụ 3: Xét dấu biểu thức sau x2 - x - - x2 + 3x + 2 a) ( - x + x - 1) ( 6x - 5x + 1) b) c) x - 5x + x2 - x + d) x - x2 + 3x + Lời giải a) Ta có - x2 + x - = vô nghiệm, 6x2 - 5x + = Û x = Bảng xét dấu x - ¥ - - x2 + x - 6x2 - 5x + ( - x2 + x - 1) ( 6x2 - 5x + 1) + - | 1 x = 3 | 0 + ỉ1 1ư 2 ; ÷ ÷ Suy ( - x + x - 1) ( 6x - 5x + 1) dương v ch x ẻ ỗ ỗ ữ ỗ ố3 2ứ ổ 1ử ổ ẩỗ ; +Ơ ữ ( - x2 + x - 1) ( 6x2 - 5x + 1) âm x Ỵ ỗỗỗ- Ơ ; ữ ỗ ữ ỗ2 3ứ ố ố éx = - 2 b) Ta có x - x - = Û ê êx = , - x + 3x + = Û ê ë Bảng xét dấu - ¥ x - 2 + 0 x - x- 2 + | - x + 3x + x2 - x - - x2 + 3x + - || x2 - x - dương x Ỵ - x2 + 3x + x ẻ ( - Ơ ;- 1) ẩ ( - 1;2) È ( 4; +¥ ) Suy c) Ta có x - 5x + = ( x - 2) ( x + 2x - 1) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu - ( 2;4) , +Ơ + - ữ ữ ữ ứ ộx = - ê êx = ê ë +¥ + + | + - + || - x2 - x - âm - x2 + 3x + Ta có x2 + 2x - = Û x = - ± Bảng xét dấu x - ¥ - 10 x- 2 + x + 2x - x3 - 5x + ( - ¥ ;- - + ( - 12) È ( - + 2;2) Suy x3 - 5x + dương x Ỵ x Ỵ - 1+ | + +¥ | 0 + + + ) 2;- + È ( 2; +¥ ) , x3 - 5x + âm x2 - x + - x3 + 2x2 + 5x - ( x - 1) ( - x + x + 6) d) Ta có x = = - x2 + 3x + - x2 + 3x + - x2 + 3x + éx = - éx = - 2 ê , x + x + = Û Ta có - x + x + = Û ê êx = êx = ê ê ë ë Bảng xét dấu x - ¥ - - +¥ | | + | + | x- + | + | + | - x +x +6 | + | + | + - x2 + 3x + x2 - x + + || + || - x2 + 3x + x2 - x + Suy x dương x Ỵ ( - 2;- 1) È ( 1;3) È ( 4; +¥ ) , - x2 + 3x + x2 - x + xâm x Î ( - ¥ ;- 2) È ( - 1;1) È ( 3;4) - x2 + 3x + Bài tập luyện tập Bài 4.84: Xét dấu tam thức sau a) f (x) = - 2x2 + 3x - b) g(x) = x2 - x + c) h(x) = - 2x2 + x - Bài 4.85: Xét dấu biểu thức sau a) f (x) = (x2 - 5x + 4)(2 - 5x + 2x2) b) f (x) = x2 - 3x - - x - 3x Bài 4.86: Xét dấu biểu thức sau 1 a) b) x4 - 4x + x +9 x 3x + c) d) x3 - 3x + +5 x - x- Bài 4.87: Tùy theo giá trị tham số m, xét dấu biểu thức g(x) = (m - 1)x2 + 2(m - 1) + m - x- + +  DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU Các ví dụ minh họa GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Tốn Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Ví dụ 1: Chứng minh với giá trị m a) Phương trình mx2 - ( 3m + 2) x + = ln có nghiệm 2 b) Phương trình ( m + 5) x - ( ) 3m - x + = vô nghiệm Lời giải a) Với m = phương trình trở thành - 2x + = Û x = suy phương trình có nghiệm 2 Với m ¹ 0, ta có D = ( 3m + 2) - 4m = 9m2 + 8m + Vì tam thức 9m2 + 8m + có am = > 0, D 'm = - 20 < nên 9m2 + 8m + > với m Do phương trình cho ln có nghiệm với m b) Ta có D = ( ) 3m - - 4( m2 + 5) = - m2 - 3m - 16 Vì tam thức - m2 - 3m - có am = - < 0, D 'm = - < nên - m2 - 3m - < với m Do phương trình cho ln vơ nghiệm với m Ví dụ 2: Tìm giá trị m để biểu thức sau âm a) f ( x ) = mx2 - x - b) g( x ) = ( m - 4) x2 + ( 2m - 8) x + m - Lời giải a) Với m = f ( x ) = - x - lấy giá trị dương(chẳng hạn f ( - 2) = 1) nên m = khơng thỏa mãn u cầu tốn Với m ¹ f ( x ) = mx2 - x - tam thức bậc hai dó ïì a = m < f ( x ) < 0, " x Û ïí Û ïï D = + 4m < ỵ ìï m < ïï Û - 0, " x Û x2 - x + m > 1, " x Û x2 - x + m > 0, " x ìï a = 1> Û ïí Û m> ïï D = 1- 4m < ỵ Vậy với m > biểu thức k ( x ) ln dương Ví dụ 4: Chứng minh hàm số sau có tập xác định ¡ với giá trị m mx 2x2 - 2( m + 1) x + m2 + a) y = b) y = ( 2m2 + 1) x2 - 4mx + m2x2 - 2mx + m2 + Lời giải 2 a) ĐKXĐ: ( 2m + 1) x - 4mx + ¹ 2 Xét tam thức bậc hai f ( x ) = ( 2m + 1) x - 4mx + 2 2 Ta có a = 2m + > 0, D ' = 4m - 2( 2m + 1) = - < 2 Suy với m ta có f ( x ) = ( 2m + 1) x - 4mx + > " x Ỵ ¡ 2 Do với m ta có ( 2m + 1) x - 4mx + ¹ 0, " x Ỵ ¡ Vậy tập xác định hàm số D = ¡ 2x2 - 2( m + 1) x + m2 + b) ĐKXĐ: ³ m2x2 - 2mx + m2 + ¹ 2 m x - 2mx + m + Xét tam thức bậc hai f ( x ) = 2x2 - 2( m + 1) x + m2 + 2 Ta có af = > 0, D ' = ( m + 1) - 2( m2 + 1) = - m2 + 2m - = - ( m - 1) £ 2 Suy với m ta có f ( x ) = 2x - 2( m + 1) x + m + ³ 0, " x Ỵ ¡ (1) Xét tam thức bậc hai g( x ) = m2x2 - 2mx + m2 + Với m = ta có g( x ) = > 0, xét với m ¹ ta có ag = m2 > 0, D g ' = m2 - m2 ( m2 + 2) = - m2 ( m2 + 1) < 2 Suy với m ta có g( x ) = m x - 2mx + m + > 0, " x Ỵ ¡ (2) Từ (1) (2) suy với m 2x2 - 2( m + 1) x + m2 + ³ m2x2 - 2mx + m2 + m2x2 - 2mx + m2 + ¹ với giá trị x Vậy tập xác định hàm số D = ¡ Bài tập luyện tập Bài 4.88: Chứng minh với giá trị m a) Phương trình x2 - 2( m + 2) x - ( m + 3) = ln có nghiệm GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu ( ) 2 b) Phương trình ( m + 1) x + 3m - x + = ln vơ nghiệm Bài 4.89: Tìm giá trị m để biểu thức sau âm a) f ( x ) = - x2 - 2x - m b) g( x ) = 4mx2 - 4( m - 1) x + m - Bài 4.90: Chứng minh hàm số sau có tập xác định ¡ với giá trị m 2x + 3m a) y = m2x2 - 4mx + m2 - 2m + b) y = x + 2( - m) x + 2m2 + Bài 4.91: Tìm m để a) 3x2 - 2(m + 1)x - 2m2 + 3m - ³ " x Ỵ R b) Hàm số y = (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + 3m - có nghĩa với x c) x +m £1 x +x +1 "x Ỵ R §7 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa cách giải Bất phương trình bậc hai (ẩn x ) bất phương trình có dạng f ( x ) > 0, f (x) < 0, f (x) ³ 0, f (x) £ , f (x) tam thức bậc hai Cách giải Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai Ứng dụng Giải bất phương trình tích, thương chứa tam thức bậc hai cách lập bảng xét dấu chúng  DẠNG TỐN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: a) - 3x2 + 2x + < b) x2 + x - 12 < c) 5x2 - 5x + > d) - 36x2 + 12x - ³ Lời giải a) Tam thức f (x) = - 3x2 + 2x + có a = - < có hai nghiệm x1 = ( f (x) dấu với hệ số a ) ; x2 = x > Vậy tập nghiệm bất phương trình : S = (- ¥ ;- ) È (1; +¥ ) b) Tam thức f ( x ) = x + x - 12 có a = > có hai nghiệm x1 = - 4; x2 = ( f (x) trái dấu với hệ số a ) Suy x2 + x - 12 < Û - < x < Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( - 4;3) Suy - 3x2 + 2x + < Û x < - c) Tam thức f ( x ) = 5x2 - 5x + có a = > D = ( f (x) dấu với hệ số a ) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Suy 5x2 - 5x + > Û x ¹ 5 ïì ïü ïý Vậy tập nghiệm bất phương trình S = Ă \ ùớ ùù ùù ợ ỵ d) Tam thức f ( x ) = - 36x + 12x - có a = - 36 < D = ỉ1ư ÷ f (x) trái dấu với hệ số a nên f ( x ) õm vi " x ữ v f ỗ ç ÷= ç è6ø Suy - 36x2 + 12x - ³ Û x = ìï 1ü ï Vậy tập nghiệm bất phương trỡnh l S = ùớ ùý ùợù 6ùỵ ù Vớ dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) x2 - mx + m + = b) (1 + m)x2 - 2mx + 2m = Lời giải a) Phương trình có nghiệm D ³ ém ³ Û m2 - 4( m + 3) ³ Û m2 - 4m - 12 ³ Û ê êm £ - Vy vi m ẻ (- Ơ ;- 2] È [6; +¥ ) phương trình có nghiệm b) Với m = - phương trình trở thành 2x - = Û x = suy m = - thỏa mãn yêu cầu toán Với m ¹ - phương trình có nghiệm D ³ Û m2 - 2m( + m) ³ Û m2 + 2m £ Û - £ m £ Vậy với - £ m £ phương trình có nghiệm ù Ví dụ 3: Tìm m để x Î é ë- 1;1û nghiệm bất phương trình 3x2 - 2( m + 5) x - m2 + 2m + £ (1) Lời giải Ta có 3x2 - 2( m + 5) x - m2 + 2m + = Û x = m + x = 4- m Û 3m + > - m Û m > - ta có 4- m Bất phương trình (1) Û £ x £ m+2 é4 - m ù ;m + 2ú Vậy tập nghiệm bất phương trình (1) ê ê ú ë û ù Suy x Ỵ é ë- 1;1û nghiệm bất phương trình (1) ì é4 - m ù ïïï - ³ - m ù ê ú é ë- 1;1ûÌ ê ;m + 2úÛ íï ë û ïï £ m + ỵ ïì m ³ Û ïí Û m³ ïï m ³ - ỵ * Với m + > GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu 4- m ta có m ³ thỏa mãn yêu cầu toán 4- m * Với m + < Û m < - ta có 4- m Bất phương trình (1) Û m + £ x £ é - mù ú Vậy tập nghiệm bất phương trình (1) êm + 2; ê ú ë û Kết hợp với điều kiện m > - ù Suy x Î é ë- 1;1û nghiệm bất phương trình (1) ì é ù ïïï - ³ m + m ù ê ú é ë- 1;1ûÌ êm + 2; úÛ íï £ - m ë û ïï ỵ ïì m £ - Û ïí Û m£ - ïï m £ ỵ Kết hợp với điều kiện m < - ta có m £ - thỏa mãn yêu cầu toán * Với m = ta có bất phương trình (1) Û x = nên m = không thỏa mãn u cầu 2 tốn Vậy m Ỵ (- ¥ ;- 3] È [7; +¥ ) giá trị cần tìm Ví dụ 4:Giải biện luận bất phương trình (m + 1)x2 - 2(2m - 1)x - 4m + < Lời giải Với m = - 1: bất phương trình trở thành 6x + < Û x < - Với m ¹ - ta có g(x) = (m + 1)x2 - 2(2m - 1)x - 4m + tam thức bậc hai có : a = m + 1; D ' = 8m2 - 2m - Bảng xét dấu m - ¥ - - | | +¥ m+1 + + + + + + 8m - 2m - ïì a > 1 Þ g(x) ³ " x ẻ R ị bt phng trỡnh vụ nghim * - £ m £ Þ ïí ïï D ' £ ỵ é êm > ìï a > ê ïí Þ Þ S = (x1;x2) , với * ê ïï D ' > ê- < m < ỵ ê ë 2m - - (2m - 1)(m + 1) 2m - + (2m - 1)(m + 1) x1 = ;x2 = m+1 m+1 ìï a < Þ S = (- ¥ ;x1) È (x2; +¥ ) * m < - Þ ïí ïï D ' > ỵ Kết luận GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu m = - bất phương trình có tập nghiệm S = ( - ¥ ;- 1) 1 £ m £ bất phương trình có tập nghiệm S = Æ é êm > ê bất phương trình có tập nghiệm S = (x1; x2) ê ê- < m < - ê ë m < - bất phương trình có tập nghiệm S = (- ¥ ;x1) È (x2; +¥ ) Bài tập luyện tập Bài 4.92: Giải bất phương trình sau: a) - 2x2 + 3x - ³ b) x2 - x + £ c) - 2x2 + x - £ - d) 7x > 2x2 - e) x2 - 22x + 51 < Bài 4.93: Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm a) x2 - 2mx + m + = b) (m - 1)x2 - f) x2 + 5x + ³ ( 2m - 2) x + 2m = Bài 4.94: Giải biện luận bất phương trình mx2 - 2mx + m - > Bài 4.95: Tỡm m mi x ẻ ộ ở0; +Ơ ) nghiệm bất phương trình ( m2 - 1) x2 - 8mx + - m2 ³ ỉ 7ư 3, ÷ ÷ Giải bất phương trình f( Bài 4.96: Cho hàm số f ( x ) = x2 + bx + vi b ẻ ỗ ỗ ữ ỗ ố 2ứ DNG TON 2: GII H BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình sau: ìï 2x2 + 9x + > ìï 2x2 + x - > ï a) í b) ïí ïï x + x - < ïï 3x - 10x + ³ ỵ ỵ ìï x2 + 4x + ³ ïï ìï - x2 + 5x - ³ ï c) í d) ïí 2x - x - 10 £ ïï x + x - 13 £ ïï ỵ ïïỵ 2x - 5x + > Lời giải ïìï éx ³ - ïï ê ìï 2x2 + 9x + > ê ï ï Û í êx £ - Û - < x < a) Ta có í ïï x + x - < ïï ê ë ỵ ïï - < x < ïỵ Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình S = ( - 1;2) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu ( x) ) >x ìï ïï ïï ïï ìï 2x2 + x - ³ Û ïí b) Ta có ïí ïï 3x - 10x + > ïï ỵ ïï ïï ïïỵ é êx ³ ê êx £ - ê ë Û éx > ê ê êx < ê ë éx > ê êx £ - ê ë Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình S = (- ¥ ;- 2] È (3; +¥ ) 1£ x £ ïìï ìï - x2 + 5x - ³ ï ï Û í - 1- 53 c) Ta có í - + 53 ïï x + x - 13 £ ïï £ x£ ỵ ïỵ 2 - + 53 Û 1£ x £ é - + 53 ù ú Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình S = ê ê1; ú ê ú ë û ïìï éx ³ - ïï ê ïï ê êx £ - ìï x + 4x + ³ ë ïï ïï d) Ta có ïí 2x - x - 10 £ Û ïí - £ x £ Û £ x £ ïï ïï 2 ïï ïïỵ 2x - 5x + £ ïï £ x £ ïï ïỵ é 3ù Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình S = ê1; ú ê ë 2ú û ìï mx2 - x - £ ï Ví dụ 2: Cho hệ bất phương trình í ïï ( - m) x2 + 2mx + m + ³ ỵ a) Giải hệ bất phương trình m = b) Tìm m để hệ bất phương trình nghiệm với x Lời giải a) Khi m = hệ bất phương trình trở thành ìï - 21 + 21 ïï £ x£ ìï x2 - x - £ - 21 + 21 ïí ï 2 Û í Û £ x£ ïï 2x + ³ ïï 2 ỵ x³ ïï ïỵ é1 - 21 + 21ù ú Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình S = ê ê ; ú ê ú ë û ìï - x - £ b) Khi m = hệ bất phương trình trở thành ïí (vơ nghiệm) m = khơng thỏa ïï x + ³ ỵ mãn u cầu tốn Khi m = theo câu a ta thấy không thỏa mãn yêu cầu toán GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Tốn Cùng Thầy Huỳnh Hiếu ìï m ¹ Khi ïí ta có hệ bất phương trình nghiệm với x cỏc bt phng trỡnh ùù m ợ hệ bất phương trình nghiệm với x ïìï m < m ïï í ïï ïïỵ ỵïï D '2 = m - ( - m) ( m + 2) £ ïï 2m2 + m - £ ïỵ ïìï m < ïï ïï m £ - ï - 1- 17 20 Û ïí Û £ m£ ïï m < 20 ïï - + 17 ïï - - 17 £ m£ ïïỵ 4 - - 17 Vậy giá trị cần tìm £ m£ 20 Ví dụ 3: Tìm tất giá trị tham số m để hệ sau có nghiệm ìï x2 - 3x + £ ïí ïï mx2 - 2( 2m + 1) x + 5m + ³ ỵ Lời giải Ta có bất phương trình x2 - 3x + £ Û £ x £ Yêu cầu toán tương đương với bất phương trình: ù mx2 – 2( 2m + 1) x + 5m + £ (1) có nghiệm x Ỵ S = é ë1;2û Ta giải toán phủ định là: tìm m để bất phương trình (1) vơ nghiệm S Tức bất phương trình f ( x ) = mx2 - 2( 2m + 1) x + 5m + < (2) với x ẻ S ã m = ta cú (2) Û - 2x + < Û x > nên (2) khơng với " x Ỵ S ã m tam thc f ( x ) có hệ số a = m , biệt thức ∆ ' = - m2 + m + Bảng xét dấu m 1- 1+ - ¥ +¥ 2 m | + | + + | + - m +m+1 ìï a > 1+ 1+ +) m ³ ta có: ïí nên f ( x ) ³ 0, " x Ỵ ¡ , suy m ³ khơng thỏa mãn ïï ∆ ' £ 2 ỵ ìï a < ỉ3 - ÷ 1- ỗ ù ữ f x Ê , " x Ỵ ¡ f = , suy m £ - +) m £ ta có: í nờn ( ) v ỗ ữ ỗ ữ ù D ' Ê ỗ ứ ố 2 ùợ thỏa mãn GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu +) 1- < m < ta có: a < f ( x ) có hai nghiệm phân biệt 2m + + ∆ ' 2m + - ∆ ' x < x ( , x2 = 2) m m éx < x1 éx1 > ê Û " x Ỵ S Do đó: f ( x ) < Û ê , suy (2) với êx > x êx < (*) ê ê ë ë2 x1 = 1+ ∆ ' nên b) Ta có x2 + 10 £ x2 - x - x2 - x - Bảng xét dấu ³ 0Û ( x2 - x - 2) ( x2 - x + 2) x x2 - x - x2 - x + x2 - x - ( x2 - x - 2) ( x2 - x + 2) x2 - x - - ¥ ³ 0Û 1- - + + + | | + + ( x2 - Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu + - x - 2) ( x2 - x + 2) 1+ | + | || + || + || x2 - x - Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình cho GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 - x2 - x - | | || +¥ ³ +¥ + + | + + + - + æ1 - + ữ ữ S = (- Ơ ;- 1] ẩ ỗ ; ẩ [2; +Ơ ) ỗ ữ ỗ ữ ç ø è ìï x ³ - ïï x +1³ ïìï ïì x ³ - Û íï x ¹ Û íï b) ĐKXĐ: í ïï x + 3x - ¹ ïï ùù x ợ ợ ùù x - ỵ Vì x2 + + x + > nên x2 + Û x +1 x2 + 3x - x2 - x x2 + 3x - Bảng xét dấu x £ 0Û ( )( x2 + - x +1 )£0 x2 + + x + x2 + 3x - £ - ¥ + + x2 - x x2 + 3x - x2 - x - 0 + x2 + 3x - || + - 0 | - - | + +¥ + - | + + - || + Dựa vào bảng xét dấu đối chiếu điều kiện, ta có tập nghiệm bất phương trình cho ù S=é ë- 1;0ûÈ [1; 3) Nhận xét: Ở câu b phải đặt điều kiện phép biến đổi đảm bảo phép biến đổi tương đươc ỉ x +1 ÷ 3- ÷ Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình x - m - m ỗ ỗ ữ< (*) cú nghim ç è x - x - 3x + 3ø Lời giải x +1 ïìï 3- >0 ï Û Ta có ( * ) Û í x - x2 - 3x + ïï x > m +m ïỵ Bảng xét dấu x x- x- 2 3x + 3x - x2 - ( x - 2) ( 3x + 3x - 4) ( x - 1) ( x2 - 3) - ¥ - 3+ + 57 - ìï ( x - 2) ( 3x2 + 3x - 4) ïï m +m ïïỵ - + 57 + - - || + - + - + + - + + + || - +¥ + + + + + 0 ( x - 2) ( 3x2 + 3x - 4) Tập nghiệm bất phương trình ( x - 1) ( x2 - 3) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu - || < + + æ- - 57 ỉ- + 57 ÷ ç ÷ ÷ S =ç ; È ;1÷ È 3;2 ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ố ữ ç ç 6 è ø ø Do bất phương trình (*) có nghiệm hệ bất phương trình (**) có nghiệm Û m2 + m < Û m2 + m - < Û - < m < Vậy - < m < giá trị cần tìm Bài tập luyện tập Bài 4.102: Giải bất phương trình sau £ a) (4 - 3x)(- 2x2 + 3x - 1) £ b) x2 + x - x +x- ( x2 - 4) ( - 3x2 + 2x + 8) c) x4 - x2 - 2x - > d) ìï x>- ï ï bpt Û Û Bài 4.103: Ta có í í ïï m - 3m - x > ïï x < m2 - 3m ỵ ỵ Bất phương trình cho có nghiệm 3- 3+ m2 - 3m < - Û m2 - 3m + < Û , ax2 + bx + c ³ , ïìï a > ax2 + bx + c < ax2 + bx + c £ chứng minh(theo thứ tự) íï D < , ïỵ ïìï a > ïìï a < ïì a < ,í ïí í ïï D £ ïï D < ïï D £ ợ ợ ợ ã Nu BT cn chng minh có dạng: A £ 4BC (hoặc A2 £ BC ) ta chứng minh tam thức f (x) = Bx2 + Ax + C (hoặc f (x) = Bx2 + 2Ax + C ) dấu với B Khi ta có D £ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y Chứng minh 3x2 + 5y2 - 2x - 2xy + > Lời giải Viết bất đẳng thức lại dạng 3x2 - 2(y + 1)x + 5y2 + > Đặt f (x) = 3x2 - 2(y + 1)x + 5y2 + xem y tham số f ( x ) tam thức bậc hai ẩn x có hệ số ax = > D x ' = (y + 1)2 - 3(5y2 + 1) = - 14y2 + 2y - Xét tam thức g( y ) = - 14y2 + 2y - có hệ số ay = - 14 < D 'y = - 27 < GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Suy D 'x < Do f ( x ) < với x, y Nhận xét: * Khi gặp toán chứng minh BĐT có dạng: f (a1,a2, ,an ) ³ " a1,a2, ,an mà f (a1,a2, ,an ) = g(ai ) tam thức bậc hai với ẩn có hệ số a > , ta sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai để chứng minh Khi g(ai ) ³ Û D £ Ví dụ 2: Cho x, y, z số thực Chứng minh x2 + y2 + z2 + x2y2z2 - 4xyz + y2z2 - 2yz + ³ Lời giải 2 2 2 Bất đẳng thức viết lại ( + y z ) x - 4xyz + y + z + y z - 2yz + ³ 2 2 2 Đặt f ( x ) = ( + y z ) x - 4xyz + y + z + y z - 2yz + 1, f ( x ) tam thức bậc 2 hai ẩn x có hệ số a = + y2z2 > D 'x = 4y z - ( + y2z2 ) ( y2 + z2 + y2z2 - Þ D 'x = - (1 + y2 - 2yz + z2 - 2y2z2 + y4z2 - 2y3z3 + y2z4 + y4z4) Áp dụng BĐT a2 + b2 ³ 2ab ta có y4z2 + y2z4 ³ 2y3z3 , y4z4 + ³ 2y2z2 y2 + z2 ³ 2yz Cộng vế với vế lại suy D 'x £ Do f ( x ) ³ 0, " x, y, z ĐPCM Ví dụ 3: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác x, y, z thỏa mãn: a2x + b2y + c2z = 0.Chứng minh rằng: xy + yz + zx £ Lời giải * Nếu ba số x,y,z có số 0, chẳng hạn x = Þ b2y = - c2z c2 Þ xy + yz + zx = yz = - z £ b b2y + c2z * x, y, z ¹ 0.Do a2x + b2y + c2z = Þ x = a2 2 Þ xy + yz + zx £ Û - (y + z) b y + c z + yz £ a2 Û f (y) = b2y2 + (b2 + c2 - a2)yz + c2z2 ³ 2 2 2ù Tam thức f (y) có D y = é ë(b + c - a ) - 4b c ûz ìï | b - c |< a Þ - 2bc < b2 + c2 - a2 < 2bc Vì ïí ùù b + c > a ợ ị (b2 + c2 - a2)2 < 4c2b2 Þ D y £ 0, " z Þ f (y) ³ " y, z Ví dụ 4: (BĐT Bunhiacốpski) Cho 2n số a1,a2, ,an ,b1,b2, ,bn Chứng minh : (a1b1 + a2b2 + + anbn )2 £ (a12 + a22 + + an2)(b12 + b22 + + bn2) Lời giải * Nếu a12 + a22 + + an2 = Þ BĐT hiển nhiên * Nếu a12 + a22 + + an2 > Xét tam thức : f (x) = ( a12 + a22 + + an2 ) x2 - 2(a1b1 + a2b2 + + anbn )x +b12 + b22 + + bn2 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu 2yz + 1) = (a1x - b1)2 + (a2x - b2)2 + + (anx - bn )2 ³ " x Þ D = (a1b1 + a2b2 + + anbn )2 - (a12 + a22 + + an2)(b12 + b22 + + bn2) £ Û (a1b1 + a2b2 + + anbn )2 £ (a12 + a22 + + an2)(b12 + b22 + + bn2) a1 a2 a = = = n b1 b2 bn Bài tập luyện tập Bài 4.104: Tìm tất giá trị y cho BĐT sau với " x, z Ỵ R x2 + 9y2 + 5z2 + 6xy - 4xz - 12yz - 2z + ³ Bài 4.105: Cho x, y,z ³ 0thỏa mãn: xy + yz + zx + xyz = Chứng minh : x + y + z ³ xy + yz + zx Bài 4.106: Cho số thực dương x,y,z Chứng minh rằng: xzy + 2(x2 + y2 + z2) + ³ 5(x + y + z) (THTT) Bài 4.107: Cho số thực x, y thỏa mãn bất phương trình 5x2 + 5y2 - 5x - 15y + £ Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x + 3y Bài 4.108: Cho a,b số thực thỏa mãn a2 + b2 = 4a - 3b Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = 2a + 3b Bài 4.109: Cho số thực x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = x - y + z = Tìm giá trị lớn Đẳng thức có Û x +y - z +2 Bài 4.110: Cho a,b,c số thực Chứng minh 2(a + b + c - ab - bc - ca + 1)2 + (ab + bc + ca - 2)2 ³ nhỏ biểu thức P = Bài 4.111: Cho a b số thực thỏa mãn 9a2 + 8ab + 7b2 £ Chứng minh 7a + 5b + 12ab £ Bài 4.112: Cho số thực không âm x,y,z thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị lớn của: P = 9xy + 10yz + 11zx GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu ... bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai Ứng dụng Giải bất phương trình tích, thương chứa tam thức bậc hai cách lập bảng xét dấu chúng  DẠNG TỐN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH... xét: Cho tam thức bậc hai ax2 + bx + c Xét nghiệm tam thức, nếu: * Vơ nghiệm tam thức bậc hai f ( x ) = ax2 + bx + c dấu với a với x * Nghiệm kép tam thức bậc hai f ( x ) = ax2 + bx + c dấu với... BC HAI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa cách giải Bất phương trình bậc hai (ẩn x ) bất phương trình có dạng f ( x ) > 0, f (x) < 0, f (x) ³ 0, f (x) £ , f (x) tam thức bậc hai Cách giải Để giải bất