CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN GIỚI HẠN DÃY SỐ A LÝ THUYẾT I DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN Định nghĩa Dãy số ( un ) có giới hạn ( hay có giới hạn ) với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Kí hiệu: lim un = Nói cách ngắn gọn, lim un = un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Từ định nghĩa suy rằng: a) lim un =  lim un = b) Dãy số không đổi ( un ) , với un = , có giới hạn c) Dãy số ( un ) có giới hạn u n gần được, miễn n đủ lớn Một số dãy số có giới hạn Định lí 4.1 Cho hai dãy số ( un ) ( ) Nếu un  với n lim = lim un = STUDY TIP Định lí 4.1 thường sử dụng để chứng minh dãy số có giới hạn Định lí 4.2 Nếu q  lim q n = Người ta chứng = a) lim n b) lim = n c) lim k = với số nguyên dương k cho trước n Trường hợp đặc biệt : lim = n d) lim nk = với k  an * a  cho trước STUDY TIP Cách ghi nhớ kết bên sau: Khi tử số không đổi, mẫu số lớn (dần đến dương vô cực) phân số nhỏ (dần ) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN II DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định nghĩa Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn số thực L lim ( un − L ) = Kí hiệu: lim un = L Dãy số có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn STUDY TIP a) Dãy số không đổi ( un ) với un = c , có giới hạn c b) lim un = L khoảng cách un − L trục số thực từ điểm u n đến L trở nên nhỏ miễn n đủ lớn; nói cách hình ảnh, n tăng điểm u n “ chụm lại” quanh điểm L c) Không phải dãy số có giới hạn hữu hạn Một số định lí Định lí 4.3 Giả sử lim un = L Khi a) lim un = L lim u n = L b) Nếu un  với n L  lim u n = L Định lí 4.4 Giả sử lim un = L , lim = M c số Khi a) lim ( un + ) = L + M b) lim ( un − ) = L − M c) lim ( un ) = LM D) lim ( cun ) = cL e) lim un L (nếu M  ) = M Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân có cơng bội q thỏa q  Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: u S = u1 + u1q + u 1q + = 1− q III DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN VƠ CỰC Dãy số có giới hạn + Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn + với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Kí hiệu: lim un = + GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN Nói cách ngắn gọn, lim un = + u n lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở Người ta chứng minh rằng: a) lim u n = + b) lim u n = + c) lim n k = + với số nguyên dương k cho trước Trường hợp đặc biệt : lim n = + d) lim q n = + q  Dãy số có giới hạn − Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn − với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm Kí hiệu: lim un = − Nói cách ngắn gọn, lim un = − u n nhỏ số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng trở Nhận xét: a) lim un = −  lim ( −un ) = + b) Nếu lim un = + un trở nên lớn miễn n đủ lớn Đo 1 trở = un un nên nhỏ được, miễn n đủ lớn Nói cách khác, lim un = + lim =0 un STUDY TIP Các dãy số có giới hạn + − gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến vơ cực Định lí 4.5 Nếu lim un = + lim = un STUDY TIP Ta diễn giải “nơm na” định lí 4.5 sau cho dễ nhớ: Khi tử số khơng đổi, mẫu số có giá trị tuyệt đối lớn(dần đến vơ cực) phân số nhỏ(dần ) Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực Quy tắc Nếu lim u n =  lim v n =  lim ( un ) cho bảng sau: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN lim u n lim v n lim ( un ) + + + + − − − + − − − + STUDY TIP Vì − + khơng phải số thực nên không áp dụng định lí giới hạn hữu hạn cho dãy số có giới hạn vơ cực Quy tắc Nếu lim u n =  lim v n = L  lim ( un ) cho bảng sau: lim u n Dấu L lim ( un ) + + + + − − − + − − − + Quy tắc Nếu lim u n = L  lim v n =   kể từ số hạng trở u lim n cho bảng sau: Dấu L Dấu v n + + + + − − − + − − − + lim un STUDY TIP Ở ba quy tắc, dấu, tương tự quy tác dấu phép nhân phép chia hai số Để cho dễ nhớ, ta diễn giải quy tắc cách “nơm na” sau: - Quy tắc 1: Tích hai đại lượng vô lớn đại lượng vơ lớn - Quy tắc 2: Tích đại lượng vô lớn với đại lượng khác đại lượng vô lớn - Quy tắc 3: Khi tử thức có giới hạn hữu hạn khác , mẫu thức nhỏ(dần ) phân thức lớn(dần vô cực) B CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN DẠNG TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC Câu 1: lim ( n3 − 2n + 1) A Đáp án D C − B D + Lời giải   Cách 1: Ta có: n − 2n + = n  − +  n   n   Vì lim n = + lim  − +  =  nên theo quy tắc 2, lim ( n3 − 2n + 1) = + n   n Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức n3 − 2n + giá trị lớn n (do n → + ) sau: Nhập vào hình biểu thức X − X + Bấm CALC Máy hỏi X ? Câu 2: nhập 105 , ấn = Máy kết hình bên Ta thấy kết tính tốn với X = 105 số dương lớn Do chọn D lim ( 5n − n + 1) A + B − C Hướng dẫn giải D − Chọn B  Cách 1: Ta có 5n − n + = n  −1 + + n n       Vì lim n = + lim  −1 + +  = −1  nên lim ( 5n − n + 1) = − (theo quy tắc 2) n n   Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Ta thấy kết tính tốn với X = 105 số âm nhỏ Do chọn đáp án có giới hạn − Tổng quát: Cho k số nguyên dương a) lim ( ak n k + ak −1n k −1 + + a1 n + a0 ) = + ak  b) lim ( ak n k + ak −1n k −1 + + a1 n + a0 ) = − ak  Chẳng hạn: lim ( n3 − 2n + 1) = + a3 =  ; lim ( 5n − n + 1) = − a2 = −1  STUDY TIP Cho u n có dạng đa thức (bậc lớn 0) n - Nếu hệ số lũy thừa bậc cao n số dương lim un = + - Nếu hệ số lũy thừa bậc cao n số âm lim un = − GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN Câu 3: lim u n , với un = A 5n + 3n − bằng: n2 B C Hướng dẫn giải D − Chọn B  5n 3n    Cách 1: Ta có: lim un = lim  + −  = lim  + −  = n n  n n    n Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi tương tự ví dụ Đây khơng phải giá trị xác giới hạn cần tìm, mà giá trị gần số hạng với n lớn, n dần vô cực Tuy nhiên kết giúp ta lựa chọn đáp án đúng, đáp án B STUDY TIP 1500044 15 Một số dòng máy kết dạng phân số, chẳng hạn Do = nên chọn B 300007 Câu 4: lim u n , với un = A − 2n − 3n + n + n3 − n + B C Hướng dẫn giải D Chọn C Cách 1: Chia tử mẫu phân thức cho n ( n lũy thừa bậc cao n phân 2− + + n n n Vì lim  − + +  = lim  − +  =  thức), ta được: u n =     n n n3    n n  1− + n n 2n − 3n + n + nên lim = = n3 − n + Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Ví dụ 5: Giới hạn dãy số ( un ) , với un = A B n3 + 2n + n + 3n3 + 5n + C + D Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Chia tử mẫu phân thức cho n ( n bậc cao n phân thức), ta GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN + 3+ n3 + 2n + n = = lim un = lim = lim n n 3 n + 3n + 5n + 1+ + + n n n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Ví dụ 6: Giới hạn dãy số ( un ) với un = A B 3n3 + 2n − , 2n − n C + D Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Chia tử mẫu cho n ( n lũy thừa bậc cao n mẫu thức), ta 3n + − 3n + n − n n Vậy lim u = lim  3n  = + un = = n   2n − n   2− n Cách 2: Chia tử mẫu cho n ( n lũy thừa bậc cao n phân thức), ta 3+ − n n Vì lim  + −  =  , lim  −  = −  với lim un = lim     n n3  n n2  n n  − n n n nên theo quy tắc 3, lim un = +     n3  + −  3+ −   n n  = lim n n n Vì lim n = + Cách 3: Ta có lim un = lim    1     2− n 2−  n   n   3+ − n n =  nên theo quy tắc 2, lim u = + lim n 2− n Cách 4: Sử dụng MTCT tương ví dụ STUDY TIP Rõ ràng làm theo cách (chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao n mẫu thức) phải lập luận cách cách Tổng quát: Xét dãy số ( un ) với un = n i + −1n i −1 + + a1n + a0 , , bk  bk n k + bk −1n k −1 + + b1n + b0 (dạng phân thức với tử số mẫu số đa thức n ) a) Nếu i  k (bậc tử lớn bậc mẫu) lim un = + bk  0, lim un = − bk  GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN b) Nếu i = k (bậc tử bậc mẫu) lim u n = bk c) Nếu i  k (bậc tử nhỏ bậc mẫu) lim un = STUDY TIP Cho u n có dạng phân thức n - Nếu bậc tử cao bậc mẫu ( un ) có giới hạn vơ cực - Nếu bậc tử bậc mẫu lim u n hệ số lũy thừa cao tử chia cho hệ số lũy thừa cao mẫu - Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu lim un = Ví dụ 7: lim sin ( n !) n2 + A C + Hướng dẫn giải B D Chọn A sin ( n !) Ta có n +1  1 mà lim = nên chọn đáp án A n +1 n +1 Lưu ý: Sử dụng MTCT Với X = 13 , máy tính cho kết hình bên Với X  13 , máy bào lỗi việc tính tốn vượt q khả máy Do với này, MTCT cho kết mang tính chất tham khảo Nhận xét: Hồn tồn tương tự, ta chứng minh rằng: a) lim sin k ( un ) = 0; b) lim cos k ( un ) =0 Trong lim = , k nguyên dương n    sin  cos ( 3n + 1)  cos 2n +  = ; lim Chẳng hạn: lim  = ; lim = ; … n 3 n + 2n + n − 5n + n + STUDY TIP Khi sử dụng MTCT, với tốn liên quan đến lượng giác, trước tính toán ta cần chọn chế độ Rad (radian) Deg (degree) cho phù hợp với đề ( −1) lim n ( n + 1) n Ví dụ 8: A − B Chọn D GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu C + Hướng dẫn giải D CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN ( −1) n ( n + 1) n Cách 1: Ta có 1 ( −1) =  = mà lim = nên suy lim =0 n ( n + 1) n.n n n n ( n + 1) n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Nhận xét: Dãy ( ( −1) ) n có giới hạn Ví dụ 9: Tính giới hạn I = lim ( A I =  ( −1) n khơng có giới hạn dãy    n − 2n + − n ) B I = −1 C I = Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Ta có I = lim ( n − 2n + − n   , lim =    ) ( = lim D I = + n − 2n + − n )( n − 2n + + n ) n − 2n + + n −2 + n − 2n + 3) − n ( −2 −2 n + n = lim = = −1 = lim = lim +1 n − 2n + + n n − 2n + + n 1− + +1 n n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ STUDY TIP Hằng đẳng thức thứ ba: ( a − b )( a + b ) = a − b Hai biểu thức a − b a + b gọi biểu thức liên hợp Ví dụ: n − 2n + − n n − 2n + + n hai biểu thức liên hợp Nhận xét: a) bước ta chia tử mẫu cho n Lưu ý n = n     n − 2n + − n = n  − + −  , Vì lim n = + lim  − + −  = nên     n n n n     không áp dụng quy tắc ví dụ trước b) Ta có ) ( Ví dụ 10: lim n − 8n3 + 3n + bằng: B − A + C − Hướng dẫn giải D Chọn B ( )   Cách 1: Ta có lim n − 8n3 + 3n + = lim n  − + +  n n   ( )   Vì lim n = +, lim 1 − + +  = − = −1  nên lim n − 8n3 + 3n + = − n n   Cách 2: Sử dung MTCT ví dụ GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN ( ) Ví dụ 11: lim n − n 4n + bằng: A − D − C + Hướng dẫn giải B Chọn C   Cách 1: Ta có n − n 4n + = n  − +   n n     Vì lim n = + lim  − +  =  nên theo quy tắc 2, lim n − n 4n + = +  n n   Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Tổng quát: ( ) Xét dãy số un = r n i + −1n i −1 + + a1n + a0 − s bk n k + bk −1n k −1 + + b1n + b0 , , bk  i k = : Giới hạn hữu hạn r s + Nếu hai bậc: Nhân chia với biểu thức liên hợp - Nếu r = s bk + Nếu hai không bậc: Thêm bớt với r n i nhân với biểu thức liên hợp i k  : Đưa lũy thừa bậc cao n dấu Trong r s trường hợp u n có giới hạn vô cực - Nếu r  s bk Nhận xét: Trong chương trình lớp 12, em học bậc s ( s nguyên dương) r lũy thừa với số mũ hữu tỉ Người ta định nghĩa a s = s a r , a số thực dương, r số nguyên dương, s số nguyên dương, s  Các tính chất lũy thừa với số mũ hữu tỉ tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương 1 Chẳng hạn: n = n , n = n , n = n Chẳng hạn: a) Với un = n − 2n + − n = n − 2n + − n : nhân chia với biểu thức liên hợp n − 2n + − n n − 2n + + n Dãy số có giới hạn hữu hạn −1 b) Với un = n − 8n3 + 3n + = n3 − 8n3 + 3n + : đưa n dấu Giới hạn ( un ) = − c) Với un = n − n 4n + = n ( ) n − 4n + : đưa n dấu Giới hạn ( un ) + ( ) Ví dụ 12 lim n − n3 + 3n + : A −1 B GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu C + Hướng dẫn giải D − CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN a) Các hàm số y = f ( x ) + g ( x ) , y = f ( x ) − g ( x ) , y = f ( x ) g ( x ) liên tục điểm xo b) Hàm số y = f (x) g ( x) liên tục điểm xo g ( x )  STUDY TIP Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (trong trường hợp thương, giá trị mẫu điểm phải khác 0) Một số định lí Định lí a) Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương hai đa thức), hàm số lượng giác, hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit liên tục khoảng tập xác định chúng (Các hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit học chương trình lớp 12) STUDY TIP Các hàm số sơ cấp liên tục khoảng xác định chúng Định lí Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn  a; b  f ( a ) f ( b )  tồn điểm c  ( a; b ) cho f ( c ) = Nói cách khác: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn  a; b  f ( a ) f ( b )  phương trình f ( x ) = có nghiệm nằm khoảng ( a; b ) STUDY TIP Một phương pháp chứng minh phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( a; b ) : - Chứng minh hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn  a; b  - Chứng minh f ( a ) f ( b )  B CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Phương pháp chung: Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( a; b ) x0  ( a; b ) Để xét tính liên tục hàm số y = f ( x ) x0 ta làm sau: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN - Tính f ( x0 ) ; - Tính lim f ( x ) - Nếu lim f ( x ) = f ( x0 ) kết luận hàm số liên tục x0 - Nếu lim f ( x ) không tồn lim f ( x )  f ( x0 ) kết luận hàm số không liên tục x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x0 Khi xét tính liên tục hàm số tập, ta sử dụng Định lí 1, Định lí nêu phần Lí thuyết Câu 48: Hàm số y = f ( x ) có đồ thị gián đoạn điểm có hồnh độ bao nhiêu? A Đáp án B B C D Lời giải Quan sát đồ thị ta thấy lim− f ( x ) = 3; lim+ f ( x ) = Vậy lim− f ( x )  lim+ f ( x ) nên lim f ( x ) x →1 x →1 x →1 x →1 x →1 không tồn Do hàm số gián đoạn điểm x = Câu 49: Cho hàm số f ( x ) = A ( −;3) x2 + Hàm số f ( x ) liên tục khoảng sau đây? x + 5x + B ( 2;3 ) C ( −3; ) D ( −3; +  ) Đáp án B Lời giải Hàm số có dạng phân thức hữu tỉ xác định tập hợp D = ( −; − 3)  ( −3; − )  ( −2; +  ) nên theo Định lí 1, hàm số liên tục khoảng ( −; − 3) ; ( −3; − ) ; ( −2; +  ) Vì ( 2;3)  ( −2; +  ) nên đáp án B STUDY TIP Các hàm số sơ cấp liên tục khoảng tập xác định chúng x−2 Câu 50: Cho hàm số f ( x ) = Chọn khẳng định khẳng định sau: x − 3x + GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN A f ( x ) liên tục B f ( x ) liên tục khoảng ( −;1) (1; +  ) C f ( x ) liên tục khoảng ( −; ) ( 2; +  ) D f ( x ) liên tục khoảng ( −;1) , (1; ) ( 2; +  ) Đáp án D Lời giải f ( x ) hàm phân thức hữu tỉ, có tập xác định ( −;1)  (1; )  ( 2; +  ) nên theo Định lí 1, f ( x ) liên tục khoảng ( −;1) , (1; ) ( 2; +  ) STUDY TIP x−2 Thật rút gọn ta f ( x ) = khơng mà kết luận f ( x ) = ( x − 1)( x − ) x − khoảng ( −;1) (1; +  ) Chú ý: Không rút gọn biểu thức hàm số trước tìm tập xác định!  x − x  Câu 51: Cho hàm số f ( x ) =  Chọn khẳng định sai khẳng định sau? x =  A f ( x ) liên tục x = B f ( x ) liên tục x = C f ( x ) liên tục  5; +  ) D f ( x ) liên tục ( 5; +  ) Đáp án B Lời giải Hàm số f ( x ) xác định D = 5; +  )  0 Theo định lí , f ( x ) liên tục  5; +  ) Do f ( x ) liên tục ( 5; +  ) x = Vậy A, C, D suy B sai Thật vậy, khơng tồn khoảng ( a; b ) chứa điểm x = mà f ( x ) xác định ( a; b ) nên khơng thể xét tính liên tục f ( x ) x = Do khơng thể khẳng định f ( x ) liên tục x = 3 x + x  −1 Câu 52: Cho hàm số f ( x ) =  Chọn khẳng định khẳng định sau  x − x  −1 A f ( x ) liên tục B f ( x ) liên tục ( −; −1 C f ( x ) liên tục  −1; + ) D f ( x ) liên tục x = −1 Đáp án C Lời giải Trên  −1; + ) , f ( x ) = x − nên theo định lí 1, f ( x ) liên tục  −1; + ) Vậy chọn đáp án C Giải thích thêm: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN Ta có lim − f ( x ) = lim − ( 3x + ) = −1 , lim + f ( x ) = lim + ( x − 1) = x →( −1) x → ( −1) x →( −1) x → ( −1) Vậy lim  lim nên lim không tồn x → ( −1) − x → ( −1) x→ ( −1) + Do f ( x ) khơng liên tục x = −1 nên A, D sai Mặt khác f ( −1) = ( −1) − = Vậy lim −  f ( −1) nên f ( x ) không liên tục ( −; −1 x →( −1) Do B sai  x3 − x   Câu 53: Cho hàm số f ( x ) =  x − Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số  mx + x=2  liên tục x = 17 A m = Đáp án D B m = 15 C m = 13 D m = 11 Lời giải f ( x ) xác định x3 − = lim ( x + x + ) = 12 x →2 x →2 x − x →2 (có thể dùng MTCT để tính giới hạn hàm số) Ta có f ( ) = 2m + lim f ( x ) = lim Để f ( x ) liên tục x = lim f ( x ) = f ( )  2m + = 12  m = x→2 11  x−3 )  ( Câu 54: Chon hàm số f ( x ) =  x − x  Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm  x =  m số liên tục x = A m   B m  C m = D m = −1 Đáp án A Lời giải Hàm số cho xác định Ta có lim− f ( x ) = lim− x →3 x →3 ( x − 3) x−3 = lim− x →3 x−3 x−3 = lim− x →3 − ( x − 3) x−3 = lim− ( −1) = −1 x →3 Tương tự ta có lim+ f ( x ) = (có thể dùng MTCT để tính giới hạn hàm số) x →3 Vậy lim− f ( x )  lim+ f ( x ) nên lim f ( x ) không tồn Vậy với m , hàm số cho không x →3 x →3 x →3 liên tục x = Do đáp án A Ta tam khảo thêm đồ thị hàm số x  để hiểu rõ GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN Câu 55: Cho a b số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a b để hàm số  ax + − x   f ( x) =  liên tục x = x  x + 5b x =  A a = 5b B a = 10b C a = b D a = 2b Đáp án B Lời giải ax + − a = Mặt khác f ( ) = 5b Để hàm x→0 x→0 x a số cho liên tục x = lim f ( x ) = f ( )  = 5b  a = 10b Vậy đáp án B x →0 Cách 2: Sử dụng MTCT Chọn giá trị cụ thể a b thỏa mãn hệ thức tính Cách 1: Theo kết biết lim f ( x ) = lim toán kết lim f ( x ) = f ( ) Chẳng hạn với hệ thức đáp án A, chọn x→0 a = 5; b = ta tìm lim x→0 5x + −1 = ; f ( ) = nên không thỏa mãn Với hệ thức đáp x án B, chọn a = 10; b = ta lim x→0 10 x + − = 5; f ( ) = nên thỏa mãn lim f ( x ) = f ( ) x→0 x Do đáp án B STUDY TIP n lim x→0 ax + − a = x n  2x − + x   f x = Câu 56: Cho hàm số ( )  Tìm tất giá trị tham số thực m để x +1 x    x − mx + 3m + hàm số liên tục A m = B m = C m = D m = Đáp án C Lời giải Cách 1: Hàm số xác định , liên tục khoảng ( 2; +  ) Ta có f ( ) = 3; lim f ( x ) = lim ( x → 2+ x → 2+ GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu ) 2x − + = CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN x +1 = − nên hàm số không liên tục x = x→2 x → x − 12 x + 20 x +1 Nếu m  ta có lim− f ( x ) = lim− = x→2 x → x − mx + 3m + 6−m Để hàm số liên tục x = =  6− m =1 m = 6−m x +1 Với m = x  , f ( x ) = liên tục ( −; ) x − 10 x + 17 Tóm lại với m = hàm số cho liên tục Nếu m = lim− f ( x ) = lim− Cách 2: Hàm số xác định , liên tục khoảng ( 2; +  ) Ta có f ( ) = 3; lim f ( x ) = lim ( x → 2+ x → 2+ ) 2x − + = Thử giá trị từ A dến C thấy m = thỏa mãn lim− f ( x ) = Do chọn đáp án C x→2 DẠNG CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM Phương pháp chung: Một phương pháp chứng minh phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( a; b ) : - Chứng minh hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn  a; b  - Chứng minh f ( a ) f ( b )  - Từ kết luận phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( a; b ) Để chứng minh phương trình f ( x ) = có nghiệm ta cần tìm hai số a b cho hàm số liên tục đoạn  a; b  f ( a ) f ( b )  Ví dụ Cho hàm số f ( x ) xác định đoạn  a; b  Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A Nếu hàm số f ( x ) liên tục đoạn  a; b  f ( a ) f ( b )  phương trình f ( x ) = khơng có nghiệm khoảng ( a; b ) B Nếu f ( a ) f ( b )  phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( a; b ) C Nếu phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( a; b ) hàm số y = f ( x ) phải liên tục khoảng ( a; b ) D Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục, tăng đoạn  a; b  f ( a ) f ( b )  phương trình f ( x ) = khơng thể có nghiệm khoảng ( a; b ) Đáp án D Lời giải GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN A sai Chẳng hạn xét hàm số f ( x ) = x − Hàm số xác định đoạn  −3;3 liên tục đó, đồng thời f ( −3) f ( 3) = 4.4 = 16  lại có hai nghiệm x1 = − 5; x2 = thuộc vào khoảng ( −3;3 ) B sai thiếu điều kiện f ( x ) liên tục đoạn  a; b   x + x  C sai Chẳng hạn xét hàm số f ( x ) =  Hàm số xác định đoạn  −3;3 ,  x + x  có nghiệm x = −1 thuộc vào khoảng ( −3;3 ) gián đoạn điểm x =  ( −3;3) , tức không liên tục ( −3;3 ) Vậy D Thật vậy: - Vì hàm số y = f ( x ) liên tục, tăng đoạn  a; b  nên giá trị nhỏ hàm số đoạn  a; b  f ( a ) , giá trị lớn hàm số đoạn  a; b  f ( b ) - Nếu f ( a )  giá trị nhỏ hàm số đoạn  a; b  số dương nên khơng có giá trị x khoảng ( a; b ) làm cho f ( x ) = Do phương trình f ( x ) = khơng thể có nghiệm khoảng ( a; b ) + Nếu f ( a )  0, f ( a ) f ( b )  nên suy f ( b )  Vậy giá trị lớn hàm số đoạn  a; b  số âm nên khơng có giá trị x khoảng ( a; b ) làm cho f ( x ) = Do phương trình f ( x ) = khơng thể có nghiệm khoảng ( a; b ) Câu 57: Cho phương trình x + ax + bx + c = (1) a, b, c tham số thực Chọn khẳng định khẳng định sau A Phương trình (1) vơ nghiệm với a, b, c B Phương trình (1) có nghiệm với a, b, c C Phương trình (1) có hai nghiệm với a, b, c D Phương trình (1) có ba nghiệm với a, b, c Lời giải Đáp án B Dễ thấy a = b = c = phương trình (1) trở thành x =  x = Vậy A, C, D sai Do B Giải thích thêm: Xét tốn “Chứng minh phương trình x + ax + bx + c = có nghiệm với a, b, c ” Ta có lời giải cụ thể sau: Đặt f ( x ) = x + ax + bx + c Ta có: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Tốn Cùng Thầy Huỳnh Hiếu (1) ln CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN + lim ( x + ax + bx + c ) = − với a, b, c nên tồn giá trị x = x1 cho f ( x1 )  x →− + lim ( x + ax + bx + c ) = + với a, b, c nên tồn giá trị x = x2 cho f ( x2 )  x →+ Vậy f ( x1 ) f ( x2 )  mà f ( x ) liên tục nên suy f ( x ) = có nghiệm khoảng ( x1 ; x2 ) Từ suy ĐPCM STUDY TIP Phương trình đa thức bậc lẻ a2 n+1 x n +1 + a2 n x n + + a1 x + a0 = a2 n +1  ln có nghiệm với giá trị , i = 2n + 1, Câu 58: Tìm tất giá trị tham số thực m để phương trình: ( m − 3m + ) x − x + = có nghiệm A m  1; 2 B m  C m  \ 1; 2 D m   Lời giải Đáp án B Nếu m − 3m + = : Phương trình cho trở thành −3 x + =  x = Nếu m − 3m +  : theo STUDY TIP vừa nêu phương trình cho ln có nghiệm Tóm lại với m  phương trình cho ln có nghiệm Do B Câu 59: Cho phương trình x − x + x − = (1) Chọn khẳng định đúng: A Phương trình (1) có nghiệm khoảng ( −1;3) B Phương trình (1) có hai nghiệm khoảng ( −1;3) C Phương trình (1) có ba nghiệm khoảng ( −1;3) D Phương trình (1) có bốn nghiệm khoảng ( −1;3) Lời giải Đáp án D Cách 1: Sử dụng chức Table MTCT: f ( X ) = X − X + X − , Start: −1, End: 3, Step: 0.2 ta kết sau: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN Quan sát kết ta thấy giá trị f ( x ) điểm khoảng ( −1;3) đổi dấu lần Mà phương trình bậc có tối đa nghiệm thực Vậy phương trình (1) có bốn nghiệm khoảng ( −1;3) Do D đáp án Cách 2: Sử dụng chức Shift Calc (Solve) MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ phương trình khoảng ( −1;3 ) Tuy nhiên cách tiềm ẩn nhiều may rủi cách sử dụng chức Table STUDY TIP Nếu f ( x ) liên tục đoạn  a; b  f ( x ) đổi dấu x từ a qua b phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( a; b ) Câu 60: Cho phương trình x − x + x − +1 = (1) Chọn khẳng định khẳng định sau: A Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng ( −1;1) B Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng ( −2; ) C Phương trình (1) có nghiệm khoảng ( −2;1) D Phương trình (1) có hai nghiệm khoảng ( 0; ) Lời giải Đáp án D Cách 1: Sử dụng chức Table MTCT: f ( X ) = X − X + X + 1, Start: − 2, End: 2, Step: 0.2 ta kết sau: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN Quan sát kết ta thấy khoảng ( −1;1) phương trình có hai nghiệm, khoảng ( −2; ) phương trình có hai nghiệm, khoảng ( −2;1) phương trình có ba nghiệm, khoảng ( 0; ) phương trình có hai nghiệm Vậy D đáp án C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình đây: Chọn khẳng định đúng: A Hàm số liên tục C Hàm số liên tục (1; + ) Câu Cho hàm số  x+3−2 ,   x −1 1 f ( x) =  , 4  x2 −1 ,   x − 7x + B Hàm số liên tục ( −; ) D Hàm số liên tục (1; ) x 1 x =1 x  Chọn khẳng định đúng: A f ( x ) liên tục x = không liên tục x = B f ( x ) liên tục x = x = C f ( x ) không liên tục x = liên tục x = GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN D f ( x ) liên tục x = x = Câu  x4 + 4x2  x  Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số Cho hàm số f ( x ) =  x m − x =  liên tục x = A Khơng có giá trị m thỏa mãn B m = D m  1;5 C m = Câu Cho a b số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a b để hàm số sau liên tục x =  ax + bx + − x   f ( x) =  x a + b x =  A a + b = B a + b = Câu Câu Câu D 3a + 2b =   −   x  Tìm tất giá trị tham số thực m để Cho hàm số f ( x ) =  − x − x   m x + − 3m x   hàm số liên tục A m  1; 2 Câu C 3a + 4b = B m  1; −2 C m  −1; 2 D m  −1; −2  x+6 −a x   Trong a b tham số thực Biết hàm Cho hàm số f ( x ) =  x + −  x − 2b + x x = ( )  số liên tục x = Số nhỏ hai số a b A B C D   x sin Cho hàm số f ( x ) =  x  a cos x − x  Tìm tất giá trị tham số thực a để hàm x  số liên tục A a = 11 C a = Cho phương trình x + x − x − = B a = D Khơng có giá trị a thỏa mãn (1) Chọn khẳng định đúng: A Phương trình (1) vơ nghiệm khoảng ( −1;1) B Phương trình (1) có nghiệm khoảng ( −1;1) C Phương trình (1) có hai nghiệm khoảng ( −1;1) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN D Phương trình (1) có hai nghiệm khoảng ( −1;1) Câu Tìm tất giá trị tham số thực m cho phương trình ( m − 5m + ) x + x + = có nghiệm A m  \ 1; 4 B m  ( −;1)  ( 4; + ) C m  1; 4 D m  Câu 10 Tìm tất giá trị tham số thực m cho phương trình sau có nghiệm ( 2m − 5m + ) ( x − 1) 2017 (x 2018 − ) + x + = 1  \  ; 2 2  A m  1  B m   −;   ( 2; + ) 2  1  C m   ;  2  D m  D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 42 Đáp án D Rõ ràng hàm số không liên tục x = x = Do đáp án D Câu 43 Đáp án A Hàm số cho liên tục khoảng ( −;1) (1; + ) Do hàm số liên tục x = Ta có + lim+ f ( x ) = lim+ x+3 −2 = ; x −1 + lim− f ( x ) = lim− x2 −1 =− x − 7x + x →1 x →1 x →1 x →1 Vậy lim f ( x ) không tồn nên hàm số không liên tục x = Do đáp án A x →1 Câu 44 Đáp án A Ta có x x4 + x2 = x x2 + x   x + x  =   − x + x  Do lim+ f ( x ) = 2; lim− f ( x ) = −2 (có thể dùng MTCT để tìm giới hạn bên) x→0 x→0 Vậy hàm số khơng có giới hạn x = nên không liên tục x = Vậy khơng có giá trị m để hàm số liên tục x = Đáp án A Câu 45 Đáp án C Theo kết biết lim x→0 ax + bx + − a b = + x GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN Để hàm số liên tục x = a b + = a + b  3a + 4b = Vậy C đáp án Nếu sử dụng MTCT, với hệ thức ta chọn giá trị a b thỏa mãn hệ thức, thay vào hàm số tính f ( ) lim f ( x ) Nếu lim f ( x ) = f ( ) hệ thức x→0 x→0 Câu 46 Đáp án B Hàm số cho xác định , liên tục khoảng ( −;1) (1; + )  −1  − = (Có thể dùng MTCT để tìm Theo kết biết lim− f ( x ) = lim−  = x →1 x →1  − x 1− x  giới hạn trên) Mặt khác lim f ( x ) = lim ( m3 x + − 3m ) = m3 − 3m + = f (1) x →1+ x →1+ Để hàm số liên tục hàm số phải liên tục x =  m − 3m + =  m − 3m + =  m = m = −2 (Sử dụng chức giải phương trình bậc MTCT) Vậy đáp án B Câu 47 Đáp án B f ( 3) = 27 − ( 2b + 1) Đặt g ( x ) = x + − a Ta có Ta thấy g ( 3)   a  lim f ( x ) = lim x →3 x →3 g ( 3) = − a g ( x) x +1 − =  nên hàm số liên tục x = Nếu a = lim f ( x ) = lim x →3 x →3 x+6 −3 x +1 − = Hàm số liên tục x =  lim f ( x ) = f ( )  27 − ( 2b + 1) = x →3 Vậy a = b = 35 b= 35 Số nhỏ a = Do đáp án B Lưu ý: Để giải phương trình 27 − ( 2b + 1) = ta làm sau: + Nhập vào hình 27 − ( X + 1) = + Bấm SHIFT CALC (SOLVE), máy báo SOLVE FOR X nhập 1= Máy hiển thị kết GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN + Bấm 3.Qs=, máy hiển thị kết Vậy phương trình có nghiệm b = 35 Câu 48 Đáp án A Hàm số cho liên tục khoảng ( −; ) ( 0; + ) Ta có lim− f ( x ) = lim− ( a cos x − ) = a − = f ( ) x→0 x→0 Ta có với x : x sin 2   x Suy lim+ f ( x ) = lim−  x sin  = x→0 x→0  x x Hàm số cho liên tục  hàm số liên tục x =  a − =  a = Vậy đáp án A Câu 49 Đáp án D Sử dụng chức TABLE MTCT với + f ( X ) = X + X − X − + Start: −1; End: 1; Step: 0,1 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN Ta thấy giá trị f ( x ) điểm đổi dấu hai lần Suy f ( x ) xót hai nghiệm khoảng ( −1;1) Vậy đáp án D Câu 50 Đáp án A + Nếu m − 5m − =  m  1; 4 phương trình cho trở thành x + = Đây phương trình vơ nghiệm + Nếu m − 5m −  theo kết biết, phương trình ln có nghiệm Vậy để phương trình cho có nghiệm m  \ 1; 4 Câu 51 Đáp án D + Nếu 2m − 5m + = phương trình cho trở thành x + =  x = − + Nếu 2m − 5m +  0, phương trình cho đa thưc bậc lẻ (bậc 4035) nên theo kết biết, phương trình có nghiệm Vậy với m  , phương trình cho ln có nghiệm GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu ... ĐỀ 4: GIỚI HẠN II DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định nghĩa Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn số thực L lim ( un − L ) = Kí hiệu: lim un = L Dãy số có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn. .. B Câu 14: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn + ? A lim n + 3n3 + n2 + n C lim 2n − 3n n + 3n B lim n3 + 2n − n − 2n3 D lim n2 − n + − 2n Câu 15: Trong giới hạn hữu hạn sau, giới hạn có... Câu 20: Trong giới hạn sau, giới hạn hữu hạn? C lim( n + n + − n + 1) A lim( n + − n )n B lim n + − n +1 D lim( n + n + − n) Câu 21: Trong giới hạn sau, giới hạn không hữu hạn? A lim n n