64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 50 BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO 10 CĨ ĐÁP ÁN GV: CƠ MAI QUỲNH Câu Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vuông góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp Tính tích AH AK theo R Xác định vị trị điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn đó? Giải: Chứng minh tứ giác BHCK nội tiếp MN  AC � AKB  90� (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) �  90� � HCB Xét tứ giác BCHK có: � � HCB AKB  90� 90� 180�mà góc ở vị trí đới � Tứ giác BCHK nội tiếp Tính AH AK theo R Xét tam giác ACH AKB có: � � ACH  � AKB  90� � �� ACH # AKB ( g g ) � A chung � AC AH  AK AB � AH AK  AC AB R2 AC  R � AH AK  � AB  R Mà Xác định vị trí K để ( KM  KN  KB) max � * Chứng minh BMN đều: AOM cân M (MC vừa đường cao, vừa đường trung tuyến) � Mà OA  OM  R � AOM đều � MOA  60� Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 �MC  CN � MBN cân B vì �BC  MN � CM  CN �  MOA �  30� MBA �  60� � � MBN Mặt khác: (góc nội tiếp chắn cung MA ) �  60� MBN MBN MBN cân B lại có nên tam giác đều * Chứng minh KM  KB  KN Trên cạnh NK lấy điểm D cho KD  KB � 1 NKB � � KDB tam giác cân mà sđ NB = 60� � KDB tam giác đều � KB  BD �  KMB � AB ) Ta có: DMB (góc nội tiếp chắn cung � �  120� � BDN (kề bù với KBD KDB đều) �  120� MKB (góc nội tiếp chắn cung 240�) �  DBN � � MBK (tổng góc tam giác bằng 180�) Xét BDN BKM có: BK  BD (cmt ) � �  BKM � (cmt ) �� BDN  BKN (c.g.c) BDN � � MB  MN � � ND  MK (2 cạnh tương ứng) � KM  KN  KB  KN � ( KM  KN  KB ) max  R KN đường kính � K , O, N thẳng hàng � K điểm giữa cung BM Vậy với K điểm giữa cung BM thì ( KM  KN  KB ) đạt giá trị max bằng 4R Câu Cho đường tròn (O; R ) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A AH  R Qua H kẻ đường thẳng vng góc với d , đường thẳng cắt đường tròn hai điểm E B (E nằm giữa B H ) � ABE  EAH Chứng minh � ABH # EAH Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn thẳng AC , đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp Xác định vị trí điểm H để AB  R Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Giải: � ABE  EAH Chứng minh: � � ABE  � sđ EA (t/c góc nội tiếp) � 1 HAE � sđ EA (t/c góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung) � �� ABE  HAE Xét ABH EAH có: � � AHB  90� � �� ABH # EAH ( g g ) � � ABE  HAE (cmt ) � Xét HEC  HEA (c.g.c) � � � �� ACE  CAE mà CAE  ABE (cmt) �� ACE  � ABE � � Mặt khác: ABE  CAK  90� �  90� �� ACE  CAK � AHK vuông K � � Xét tứ giác AHEK có: EHK  AKE  90� � � � EHK AKE  180�mà góc ở vị trí đới � Tứ giác AHEK nội tiếp Hạ OI  AB � AI  IB  AB R  2 �  AI  OAI OA Xét AOI vng I có cos �  30�� BAH �  60� � OAI �  AH  BAH � AB AHB vng H có: BAH  60�� cos � AH R  � AH  R Vậy cần lấy điểm H cho độ dài AH  R thì AB  R Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 Câu Cho đường tròn (O ) có đường kính AB  R E điểm bất kì đường tròn (E khác A B ) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB F cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh KAF # KEA Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn EF với OE , chứng minh đường tròn ( I ) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) E tiếp xúc với đường thẳng AB F Chứng minh MN / / AB, M N lần lượt giao điểm thứ hai AE , BE với đường tròn ( I ) Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác KPQ theo R E chuyển động đường tròn (O), với P giao điểm NF AK ; Q giao điểm MF BK Giải: Chứng minh KAF # KEA � �  KEB � KAB (góc nội tiếp chắn KB ) Xét KAF KEA có: � � KAB AEK (cmt ) � � �� KAF # AEK ( g g ) � chung K � * Đường tròn  I ; IE  đường tròn  O; OE  I , O, E thẳng hàng � IE  IO  OE � IO  OE  IE Vậy  I ; IE   * Chứng minh O; OE  tiếp xúc E  I ; IE  tiếp xúc với AB F Dễ dàng chứng minh: EIF cân I (I �trung trực EF ) � � � EOK cân O � EFI  EKO ( OEF ) mà góc ở vị trí đờng vị � IF / / OK (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //) � � � � Có : AK  KB ( AEK  KEB ) � AK  KB � AKB cân K � OK  AB OK  AB � �� IF  AB Vì OK / / IF � Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học �  I ; IE  Ôn thi tuyển sinh vào 10 tiếp xúc với AB F � AEB  90�(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) �  90� MEN � I ; IE  MEN mà góc nội tiếp đường tròn  � MN đường kính  I ; IE  � EIN cân I � � Lại có: EOB cân O � INE  OBE mà góc vị trí đờng vị � MN / / AB (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //) Tính giá trị nhỏ chu vi KPQ theo R E chuyển động  O �  MNE � I MFE (góc nội tiếp   chắn cung ME ) � AKE  � ABE (góc nội tiếp  O  chắn cung AE ) � � �  AKE � MNE ABE (cmt ) � MFE Mà , hai góc lại ở vị trí đờng vị � MQ / / AK (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //) Chứng minh tương tự: NP / / BK Tứ giác PFQK có: MQ / / AK NP / / BK �  90� PKQ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) � Tứ giác PFQK hình chữ nhật �  QFB � MFA Ta có: (đới đỉnh) ở �  KBA � (AKB �  KAB � � FQB KAB cân ) mà MFA vuông cân Q Chu vi KPQ  KP  PQ  KQ Mà PK  FQ (PFQK hình chữ nhật) FQ  QB ( BFQ cân Q) � PKPQ  QB  QK  FK  KB  FK Mặt khác: AKB cân K � K điểm giữa cung AB FK �FO (quan hệ giữa đường vng góc đường xiên) � KB  FK �KB  FO Dấu "  " xảy � KB  FK  KB  FO � FK  FO � E điểm giữa cung AB � FO  R Áp dụng định lý Pi-ta-go FOB tính BK  R Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 � Chu vi KPQ nhỏ  R  R  R(  1) Câu Cho (O; R) điểm A nằm bên đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp 2 Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vng góc với OA OE.OA  R Trên cung nhỏ BC (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B C) Tiếp tuyến K  O; R  cắt AB, AC theo thứ tự P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự M, N Chứng minh PM  QN �MN Giải: Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp Xét tứ giác ABOC có: � ABO  90o (tính chất tiếp tuyến) � ACO  90o (tính chất tiếp tuyến) �� ABO  � ACO  90o  90o  180o Mà hai góc ở vị trí đới diện nên tứ giác ABOC nội tiếp AB  AC (tính chất tiếp tuyến cắt điểm) � ABC cân A � Mà AO tia phân giác BAC (t/c tiếp tuyến cắt điểm) nên AO đường cao ABC hay AO  BC Xét ABO vng ở B có BE đường cao, theo hệ thức lượng tam giác vuông � OB  OE.OA, mà OB = R � R  OE.OA PK = PB (tính chất tiếp tuyến cắt điểm) KQ = QC (tính chất tiếp tuyến cắt điểm) Xét chu vi APQ  AP  AQ  QP  AP  AQ  PK  KQ  AP  PK  AQ  QC  AB  AC Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10  2AB Mà (O) cố định, điểm A cố định nên AB không thay đổi MP OM MN OMP # QNO �  � MP.QN  ON OM  ON QN 4 � MN  4MP.QN MN  MP.QN �MP  NQ (Theo bất đẳng thức Cô-si) Hay MP  NQ �MN (đpcm) Câu Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường tròn (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt BE điểm F Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp Chứng minh DA.DE  DB.DC � � Chứng minh CFD  OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE C hứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O) � Cho biết DF = R, chứng minh tan AFB  Giải: Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp � ACE  � AEB  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Tứ giác FCDE có : �  FDE �  180o FCD Mà góc ở vị trí đới nên � Tứ giác FCDE tứ giác nội tiếp Chứng minh DA.DE  DB.DC Xét ACD BED có: � �  90o � ACD  BED � �ACD # BED ( g.g ) � � (đ đ ) � ADC  BDE AD BD �  � AD.ED  CD.BD CD ED (đpcm) � � * Chứng minh CFD  OCB Vì tứ giác FCDE tứ giác nội tiếp ( I ) nên �  CEA � CFD (góc nội tiếp ( I ) chắn cung CD ) Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 � � Mà CED  CBA (góc nội tiếp (O) chắn cung CA ) �  CBA � � CFD � � Lại có OCB cân O nên CBA  OCB �  OCB � � CFD  1 � � ICF cân I: CFD  ICF   �  OCB � � ICF Từ (1) (2) * Chứng minh IC tiếp tuyến (O) : � � � Ta có: ICF  ICB  90 (vì DIC góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) o �  BCI �  90o � OCB � OC  CI � IC tiếp tuyến (O) Ta có tam giác vng ICO # FEA  g.g  �  COE �  COI � CAE � � � (góc nội tiếp chắn CE ) � CIO  AFB �  CO  R  tan CIO R CI Mà �  � tan � AFB  tan CIO Câu Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Gọi d1 d hai tiếp tuyến đường tròn (O) hai điểm A B Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường tròn (O) (E khơng trùng với A B) Đường thẳng d qua E vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1 d lần lượt M, N Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp � � � Chứng minh ENI  EBI MIN  90 Chứng minh AM BN  AI BI Gọi F điểm giữa cung AB khơng chứa E đường tròn (O) Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R ba điểm E, I, F thẳng hàng Giải: o Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 Chứng minh AMEI nội tiếp Xét tứ giác AMEI có: �  MEI �  90� 90� 180� MAI mà góc ở vị trí đới � Tứ giác AMEI nội tiếp � � * Chứng minh ENI  EBI Xét tứ giác ENBI có: �  IBN �  90� 90� 180� IEN mà góc ở vị trí đới � Tứ giác ENBI nội tiếp �  EBI � � ENI � (2 góc nội tiếp chắn cung EI ) � * Chứng minh MIN  90� �  EAI � Tứ giác ENBI nội tiếp nên EMI (2 góc nội tiếp chắn cung EI ) � � � Lại có: AEB  90�� EAI  EBI  90� �  ENI �  90�� MNI � � EMI vuông I Vậy MIN  90� Chứng minh AM BN  AI BI �  NBI �  90� MAI AMI BNI Xét có: � � � AIM  BNI (cùng phụ với góc BIN ) � AMI # BIN ( g g ) � AM BI  � AM BN  AI BI AI BN Ta có hình vẽ � AEF  AF  45� sđ � Khi E , I , F thẳng hàng � AMI  � AEI  45� AI ) (hai góc nội tiếp chắn cung � � MAI vuông cân A R � AM  AI  � MI  AM  AI  R2 R2 R   4 (Định lí Pi-ta-go) Chứng minh tương tự: BIN vuông cân B Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học � BI  BN  S MIN  Ôn thi tuyển sinh vào 10 3R R R 3R � IN  BI  BN    16 16 1 R 3R 3R MI NI  � �  2 2 (đơn vị diện tích) Câu Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm bất kì cung nhỏ AC (M khác A C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp � � Chứng minh ACM  ACK Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C Gọi d tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa AP.MB  R mặt phẳng bờ AB MA Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK Giải: Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp: Xét tứ giác CBKH ta có: �  900 BKH �  90o HCB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) �  HCB �  180o � BKH Mà hai góc ở vị trí đới � Tứ giác CBKH nội tiếp � � Chứng minh ACM  ACK � � Tứ giác CBKH nội tiếp nên: HCK  HBK (2 góc nội tiếp chắn cung HK ) � � Tứ giác MCBA nội tiếp (O) nên: MCA  HKB (2 góc nội tiếp chắn cung MA ) �  MCA � � HCK Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 EB IB   EA IA Do �  BE  tan BAE AE Vậy � �  OA  OD OH  OA.tan OAH 3 vì vậy H trọng tâm Xét OHA vuông O, ta có tam giác DAB Do AK đường trung tuyến tam giác DAB Suy KB = KD Vì vậy OK  DB (quan hệ đường kính – dây cung) Câu 38 Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AD Điểm H thuộc đoạn OD Kẻ dây BC  AD H Lấy điểm M thuộc cung nhỏ AC, kẻ CK  AM K Đường thẳng BM cắt CK N Chứng minh AH AD  AB Chứng minh tam giác CAN cân A Giả sử H trung điểm OD Tính R theo thể tích hình nón có bán kính đáy HD, đường cao BH Tìm vị trí M để diện tích tam giác ABN lớn Giải: Tam giác ABD vuông B, BH  AD nên AH AD  AB Do AH  BC � HB  HC � ABC cân � � A ABC  ACB � � � � Mà ACB  AMB nên ABC  AMB � �� ABC  KMN (1) Tứ giác ABCM nội tiếp đường tròn (O; � � � R) nên ABC  KMC (cùng bù với AMC ) (2) � � Từ (1) (2) � KMN  KMC Lại có MK  CN (giả thiết) � MCN cân M � KC  KN Tam giác CAN có AK  CN KC = KN nên ACN cân A Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Khi OH = HD, tam giác BOD cân B � BO  BD , mà OB  OD  R nên tam giác R o � o � BH  OB.sin 60  � OBD đều � BOH  60 V   r h Thể tích hình nón Trong đó: r  HD  R R h  BH  2, R R  R3 V  � �  � 2 Vậy Hạ NE  AB Vì AB không đổi nên S ABN lớn NE lớn Ta có: AN = AC khơng đổi Mà NE �NA, dấu bằng xảy E �A Lấy I đối xứng với B qua O Khi E �A thì �  90o NAB NA qua I � Mặt khác AM phân giác NAC nên M điểm giữa cung nhỏ IC Vậy điểm M cần tìm điểm giữa cung nhỏ IC Câu 39 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường tròn  AC �AB  Dựng về phía ngồi ABC hình vng ACED Tia EA cắt nửa đường tròn F Nối BF cắt ED K Chứng minh rằng điểm B, C, D, K thuộc đường tròn Chứng minh AB  EK � Cho ABC  30 ; BC  10cm Tính diện tích hình viên phần giới hạn bởi dây AC cung nhỏ AC Tìm vị trí điểm A để chu vi tam giác ABC lớn Giải: o o � � ACED hình vuông � CAE  CDE  45 Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Tứ giác BCAF nội tiếp đường tròn �  CAE � (O) � FBC � (cùng bù với góc CAF ) �  CDE � � FBC �  CDK �  180o � FBC � BCDK tứ giác nội tiếp � � Có: BAC  90  CEK Mà tứ giác BCDK tứ giác nội tiếp o � �� � �� ABC  CKD ACB  ECK Lại có: AC  CE (cạnh hình vuông) Suy ABC  EKC (cạnh góc vng – góc nhọn) � AB  EK o � o � Vì ABC  30 nên AOC  60 , tam giác OAC tam giác đều Kẻ AH  BC , ta có AH  OA.sin 60o  R S  S quat AOC  S AOC Gọi diện tích hình viên phân S, ta có: 60o  R  OC AH o 360 2 � R 3R � 25(2  3)    R2 �   (cm ) � � � 12 �6 � S 2 Chu vi ABC lớn � AB  AC lớn Áp dụng BĐT 2( x  y ) �( x  y ) Ta có: ( AB  AC ) �2( AB  AC )  BC  8R � AB  AC �2 R Dấu ''  '' xảy AB  AC � A điểm giữa nửa đường tròn đường kính BC 2 2 Câu 40 Cho đường tròn (O;R) đường kính AC cớ định Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn A Lấy M thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn B (B khác A) Tiếp tuyến đường tròn C cắt AB D Nối OM cắt AB I, cắt cung nhỏ AB E Chứng minh OIDC tứ giác nội tiếp Chứng minh tích AB.AD không đổi M di chuyển Ax Tìm vị trí điểm M Ax để AOBE hình thoi Chứng minh OD  MC Giải: Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Có MA  MB; OA  OB  R nên OM trung trực AB nên OI  AB IA  IB o � � Lại có OC  CD nên OID  OCD  180 � OIDC tứ giác nội tiếp � Có ABC  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) o Mà ACD vuông C nên AB AD  AC không đổi AOBE hình thoi � AE  EB  BO  OA � AOE đều � � AOE  60o AOM vuông A nên AM  OA.tan 60o  R � � � AMO  BAC (cùng phụ với MAB ), �  OCD �  90o MAO AMO # CAD  g g  � Nên Mà OA  OC  R , suy AM AO  AC CD AM OC �  tan ODC �  � tan MCA AC CD �  ODC � � ODC �  MCD �  90o � MCA Do OD  MC  đường kính AB Câu 41 Cho đường tròn  điểm C thuộc đường tròn Gọi M N điểm giữa cung nhỏ AC BC Nối MN cắt AC I Hạ ND  AC Gọi E trung điểm BC Dựng hình bình hành ADEF O; R � Tính MIC Chứng minh DN tiếp tuyến đường tròn  O; R  Chứng minh rằng F thuộc đường tròn  O; R  o � Cho CAB  30 ; R  30cm Tính thể tích hình tạo thành cho ABC quay vòng quanh AB Giải: Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 �  ( sđ M �A  sđ CN � )  sđ � �IC  135o MIA AB  45o � M �  NB � � ON  BC NC E Có: � � Lại có: ACB  90 � DCE  90 Mà ND  CD ( gt ) � CEND hình chữ nhật � DN  ON N � DN tiếp tuyến (O) o o � � Theo tính chất hình chữ nhật ta có: EDC  NCD � � � � � � Mà EDC  F � F  DNC � F  ACN  180 ON // AC (cùng  CB) � N , E , O, F thẳng hàng Suy ACNF tứ giác nội tiếp � F �(O) o o � o � o � Hạ CK  AB Tam giác ABC có A  30 , C  90 nên B  60 � BK  KO  R R ; BC  R; CK  � 2 Do đó, OBC tam giác đều Khi quay ABC vòng quanh AB có hai hình nón tạo thành: hình nón đỉnh A, hình nón đỉnh B có tâm hình tròn đáy K , bán kính CK Gọi thể tích tạo thành V, ta có: 1 V   CK AK   CK BK   CK ( AK  BK ) 3 1 3R  R3   CK AB   � � 2R   500 (cm3 ) 3 Câu 42 Cho đường tròn  O; R  với dây AB cớ định Gọi I điểm giữa cung lớn AB Điểm M thuộc cung nhỏ IB Hạ AH  IM ; AH cắt BM C Chứng minh IAB MAC tam giác cân Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 Chứng minh C thuộc đường tròn cớ định M chuyển động cung nhỏ IB Tìm vị trí M để chu vi MAC lớn Giải: � � Vì IA  IB � IA  IB � IAB cân I � � Tứ giác ABMI nội tiếp � IAB  IMC (cùng bù với � IMB ) � � � � � � Ta có: IAB  IBA ; IBA  IMA; IAB  IMC �  IMC � � IMA Lại có: MH  AC � MAC cân M Từ chứng minh � MI đường trung trực AC � IC  IA không đổi � C thuộc đường tròn ( I ; IA) Chu vi MAC  MA  MC  AC  2( MA  AH ) o � �  IBA � Có HMA ( không đổi IBA  90 ) � � Đặt HMA  IAB   Ta có: AH  MA.sin  Vậy chu vi MAC  2MA(1  sin  ) Chu vi MAC lớn MA lớn � A, O, M thẳng hàng Câu 43 Cho đường tròn  O; R  đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên Ax K AK �R  lấy điểm  Qua K kẻ tiếp tuyến KM với đường tròn (O) Đường thẳng d  AB O, d cắt MB E Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Chứng minh KAOM tứ giác nội tiếp; OK cắt AM I Chứng minh OI.OK không đổi K chuyển động Ax; Chứng minh KAOE hình chữ nhật; Gọi H trực tâm KMA Chứng minh rằng K chuyển động Ax thì H thuộc đường tròn cớ định Giải: o � � KAO  KMO  90 � KAOM nội tiếp Theo tính chất tiếp tuyến: KA  KM KO phân giác � AKM � KO  AM I Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông vào tam giác vuông AOK ta có OI OK  OA2  R � � Có OK // BM (cùng  AM ) � KOA  EBO � � Mà OA  OB  R; KAO  EOB  90 o � AKO  OEB (c.g c) �  90o � AK  OE , mà AK // OE , KAO � AKEO hình chữ nhật H trực tâm KMA � AH  KM , MH  KA � AH // OM , MH // OA Do AOMH hình bình hành � AH  OM  R Vậy H thuộc đường tròn ( A; R) Câu 44 Cho đường tròn (O) đường kính AB  2R Gọi C trung điểm OA Dây MN  AB C Trên cung MB nhỏ lấy điểm K Nối AK cắt NM H Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp Chứng minh tích AH AK khơng đổi K chuyển động cung nhỏ MB Chứng minh BMN tam giác đều Tìm vị trí điểm K để tổng KM  KN  KB lớn Giải: o � o � o � � Có BKA  90 ; MCB  90 � HCB  HKB  180 nên tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 ACH # AKB( g g ) � AC AH  � AH AK  AB AC  R AK AB Vì OC  MN � CM  CN � BMN cân B MAB vuông M � AM  AC AB  R � AM  R Do � MA �  30o  � MAB MB �  sin MBA � � Mà MCB  NCB (tính chất tam giác cân) � MNB  60 o Do MNB tam giác đều Trên KN lấy E cho KE  KM o o � � Vì tam giác BMN đều nên MBN  60 � MKN  60 � KME đều � Do ME  MK KME  60 o o � � � Lại có: MB  MN KMB  EMN (cùng cộng với BME  60 ) � KMB  EMN (c.g c ) � KB  EN Từ KM  KB  KN � S  KM  KN  KB  2KN S lớn � KN lớn � K , O, N thẳng hàng Câu 45 Cho đường tròn  O; R  điểm A ở ngồi đường tròn Qua A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B C tiếp điểm) I điểm thuộc đoạn BC  IB  IC  Kẻ đường thẳng d  OI I Đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt E F Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Chứng minh OIBE OIFC tứ giác nội tiếp Chứng minh I trung điểm EF K điểm cung nhỏ BC Tiếp tuyến đường tròn (O) K cắt AB; AC M N Tính chu vi AMN OA  R Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AC P Q Tìm vị trí A để S APQ nhỏ Giải : Có OB  AB, OC  AC (tính chất tiếp tuyến) �  OBE �  90o � OIBE � OIE nội tiếp �  OCF �  180o � OIFC OIF nội tiếp Tứ giác OIBE nội tiếp �  OBI � � OEI Tương tự �  OCI � OFI Mà OB  OC  R �  OCI � � OEI �  OFI � � OBI � OEF cân O Mà OI  EF � IE  IF (Đpcm) Có MK  MB, NK  NC 2 Suy chu vi AMN  AC  AB  AC  AO  OC  3R  R � Có AO phân giác PAQ, PQ  AO � APQ cân A S APQ  AQ.OC mà OC  R khơng đổi, S APQ � S APQ  2S AOQ nhỏ � AQ nhỏ OAQ vuông O � AC.CQ  OC  R Mà AQ  AC  CQ �2 AC.CQ  R, dấu ''  '' xảy AC  CQ S APQ o � � AC  CQ � OQA vuông cân O � A  45 � OA  R Câu 46 Cho đường tròn  O  O ' cắt hai điểm A, B phân biệt Đường thẳng OA cắt  O  ;  O '  lần lượt điểm thứ hai C , D Đường thẳng O ' A cắt  O  ;  O '  lần lượt điểm thứ hai E , F Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Chứng minh đường thẳng AB, CE DF đồng quy điểm I Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn Cho PQ tiếp tuyến chung  O  O '  P � O  , Q � O '  Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng PQ Giải: � Ta có: ABC  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) o � ABF  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Nên B, C, F thẳng hàng Có AB; CE DF đường cao ACF nên chúng đồng quy � � Do IEF  IBF  90 suy BEIF nội tiếp đường tròn Gọi H giao điểm AB PQ Ta chứng minh o AHP # PHB � HP HA  � HP  HA.HB HB HP Tương tự, HQ  HA.HB Vậy HP  HQ hay H trung điểm PQ  O; R   O '; R ' với R  R ' cắt A B Kẻ tiếp tuyến D � O  E � O ' chung DE hai đường tròn với cho B gần tiếp tuyến so với A � � Chứng minh rằng DAB  BDE Câu 47 Cho hai đường tròn Tia AB cắt DE M Chứng minh M trung điểm DE Đường thẳng EB cắt DA P, đường thẳng DB cắt AE Q Chứng minh rằng PQ song song với AB Giải: Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 � � Ta có DAB = sđ DB (góc nội tiếp) � � BDE = sđ DB (góc giữa tiếp tuyến dây cung) � � Suy DAB  BDE Xét DMB AMD có: � DMA chung, � � DAM  BDM Nên DMB # AMD (g.g) MD MA   MB MD hay MD  MA.MB ME MA  Tương tự ta có: EMB # AME  MB ME hay ME  MA.MB Từ đó: MD = ME hay M trung điểm DE � � �  BEM � Ta có DAB  BDM , EAB � � � � � � � � � �  PAQ  PBQ = DAB  EAB  PBQ  BDM  BEM  DBE  180  Tứ giác APBQ nội tiếp  PQB  PAB � � �  BDM � Kết hợp với PAB suy PQB  BDM Hai góc ở vị trí so le nên PQ song song với AB Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 o 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10  đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm Câu 48 Cho đường  A, B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC , MD với đường tròn ( C , D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB ; O; R Chứng minh rằng điểm M , D, O, H nằm đường tròn Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh rằng I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt tia MC , MD thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M d cho diện tích tam giác MPQ bé Giải: o � Vì H trung điểm AB nên OH  AB hay OHM  90 � Theo tính chất tiếp tuyến ta lại có OD  DM hay ODM  90 Suy điểm M, D, O, H nằm đường tròn Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD  MCD cân M o �  MI đường phân giác CMD � 1 DCI � MCI � � � sđ DI = sđ CI Mặt khác I điểm giữa cung nhỏ CD nên = � MCD  CI phân giác Vậy I tâm đường tròn nội tiếp MCD Ta có MPQ cân ở M, có MO đường cao nên diện tích tính: S  2SOQM  .OD.QM  R (MD  DQ ) Từ S nhỏ  MD + DQ nhỏ Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 2 Mặt khác, theo hệ thức lượng tam giác vng OMQ ta có DM DQ  OD  R không đổi nên MD + DQ nhỏ  DM = DQ = R Khi OM = R hay M giao điểm d với đường tròn tâm O bán kính R O; R  Câu 49 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn  Ba đường cao AD; BE; CF cắt H Gọi I trung điểm BC , vẽ đường kính AK Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng Chứng minh DA.DH  DB.DC � Cho BAC  60 ; S ABC  20cm Tính S ABC Cho BC cớ định; A chuyển động cung lớn BC cho ABC có ba góc nhọn Chứng minh điểm H ln thuộc đường tròn cớ định Giải: Vì B C thuộc đường tròn đường kính � � AK: ABK  ACK  90 Do BH / / CK CH / / BK � BHCK hình bình hành Mà I trung điểm BC nên I trung điểm HK Suy H; I; K thẳng hàng o � � � Ta có HBD  DAC (cùng phụ với ACB ) nên DBH # DAC  g g  DB HD  � DB.DC  DA.DH Suy DA DC � AEB  � AFC  90o � AEB # AFC  g g  Vì AE AB �  ; BAC Suy AF AC chung � AEF # ABC  c.g.c  S AEF �AE � � � Do S ABC �AF � Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 AE �  cos60o   cosBAC Mà AB S AEF  � S ABC  S AEF  80cm Suy S ABC 4 Lấy O’ đối xứng với O qua I suy O’ cớ định Ta có IH  IK ; OK  OA  R nên OI đường trung bình KHA Do OI / / AH OI  AH Suy OO '/ / AH , OO '  AH nên OO ' HA hình bình hành Do O ' H  OA  R (khơng đổi) Vậy H thuộc đường tròn (O’;R) cớ định Câu 50 Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính vng góc AB CD Lấy K thuộc cung nhỏ AC, kẻ KH  AB H Nối AC cắt HK I, tia BC cắt HK E; nới AE cắt đường tròn (O;R) F Chứng minh BHFE tứ giác nội tiếp Chứng minh EC.EB = EF.EA Cho H trung điểm OA Tính theo R diện tích CEF Cho K di chuyển cung nhỏ AC Chứng minh đường thẳng FH qua điểm cố định Giải: Do F thuộc đường tròn đường kính AB nên � AFB  90o �  BHE �  90o � BHFE BFE Suy tứ giác nội tiếp o � � � Có ECA  EFB  90 ; AEC chung Nên ECA# EFB  g g  � EC EA  � EC EB  EA.EF EF EB Từ chứng minh suy AC, BF, EH đường cao EAB nên chúng cắt I EC EA  AEB chung nên ECF # EAB Do EF EB � (cạnh – góc – cạnh) Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 64 Các tập hình học Ôn thi tuyển sinh vào 10 S ECF �EC �  � �  1 S EAB �EA � o � Vì OB  OC  R nên OBC vuông cân O � OBC  45 Do HBE vng cân Mà AH  Tương tự H � EH  HB  3R � R R R 10 R R 10 AE  AH  HE    � AE  nên 4 BE  HB  HE  9R2 3R � BE  2 EC HO 1 R   � EC  EB  Lại có: OC / / EH (cùng  AB ) nên EB HB 1 3R �EC � � � � � S ECF  S EAB  � � EH � AB  5 10 �EA � � � � � � � Các tứ giác BEFH AHCE nội tiếp nên AEB  CHB; AEB  AHF � AHF  CHB � AHF  DHB Suy � � AHF  DHB Có HO  OC , OC  OD nên HCD cân H nên � � � � � � AHF  DHB Do � mà AHF  FHB  180 � DHB  FHB  180 Suy F; H; D thẳng hàng Suy FH qua D cố định o Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 0986082862 o ... Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 098 6082862 64 Các tập hình học �  I ; IE  Ôn thi tuyển sinh vào 10 tiếp xúc với AB F � AEB  90 �(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) �  90 � MEN � I ; IE  MEN mà... Giáo viên: Nguyễn Thị Mai Quỳnh – SĐT: 098 6082862 64 Các tập hình học Ơn thi tuyển sinh vào 10 Chứng minh AMEI nội tiếp Xét tứ giác AMEI có: �  MEI �  90 � 90 � 180� MAI mà góc ở vị trí đới... tiếp chắn cung EI ) � � � Lại có: AEB  90 �� EAI  EBI  90 � �  ENI �  90 �� MNI � � EMI vuông I Vậy MIN  90 � Chứng minh AM BN  AI BI �  NBI �  90 � MAI AMI BNI Xét có: � � � AIM 