Tích phân hàm lượng giác Tích phân hàm lượng giác Thầy giáo : Tuấn Điệp Cộng tác viên truongtructuyen.vn Tích phân hàm lượng giác Nội dung Dạng I = ∫sinm xcosn xdx ; m, n ∈ N Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx D¹ng Ι = ∫ a sin x + b cos x + c dx a1 sin x + b1 cos x + c1 Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫sinm xcosn xdx ; m, n ∈ N  Nếu m lẻ ta đặt t = cosx  Nếu n lẻ ta đặt t = sinx  Nếu m, n chẵn đặt t = tanx t = cotx dùng biến đổi lượng giác Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx  Nếu f(−sinx, cosx) = − f(sinx, cosx) đặt t = cosx  Nếu f(sinx, −cosx) = −f(sinx, cosx) đặt t = sinx  Nếu f(−sinx, −cosx) = f(sinx, cosx) đặt t = tanx t = cotx  Tổng quát đặt: t = tan x Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt) π Ví dụ 1: Tính Ι = ∫ sin7 x.cos2 xdx Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt) Ví dụ (tt) Lời giải  dt = −sin xdx  ÐỈt t = cosx ⇒  x = ⇒ t =  π x = ⇒ t =  Ι = −∫ ( t − t ) t td = ∫ ( − 3t + 3t + 3t − t ) t + dt  3  1 3 16 = ∫ ( t − 3t + 3t − t ) dt =  t − t + t − t ÷ = − + − =  315 3 16 VËy Ι = 315 Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt) π Ví dụ 2: Tính Ι = ∫ 16.sin4 2x.cos 2xdx Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt) Ví dụ (tt) Lời giải NhËn xét : 16sin 2x cos 2x = ( 2sin2xcos2x ) = sin 4x 1 + cos16x  ( − cos8x ) = 1 − 2cos8x +  4   1 = − cos8x + cos16x 8 = π π 1 3π 3  3  Ι = ∫  − cos8x + cos16x ÷ =  x − dx sin8x + sin16x ÷ = 8 16 128  8  32 0 V Ëy Ι = 3π 32 Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt) dx Tính Ι = ∫ Ví dụ 3: sin2 x − sinxcosx + 2sin2 x Tích phân hàm lượng giác Dạng I = ∫f(sinx, cosx)dx (tt) Ví dụ (tt) Lời giải dx d tan x cos2 x Ι=∫ =∫ tan2 x − tan x + ( tan x − 1) ( tan x − ) 1 tan x −   = ∫ − d tan x = ln +C tan x − tan x − ÷ tan x −   tan x − VËy Ι = +C tan x − Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) Lời giải Nhận xét: 3sin4x − 3sin2x − sin6x = 6cos3xsinx − 2cos3x.sin3x = 2cos3x (3sinx − sin3x) = cos3k.sin3x dx d ( sin3x )  1  = = − ∫ cos3x 24 ∫ − sin2 3x 48 ∫  + sin3x sin3x − ÷d ( sin3x )   1  + sin3x  ln + sin3x − ln sin3x −  + C = = ln  ÷+ C   48 48  − sin3x  Ι= V Ëy Ι =  + sin3x  ln +C 48  − sin3x ÷   Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) π π 0 2 2 Ví dụ 4: Tính Ι = ∫ cos x cos xdx vµ K = ∫ sin x cos xdx Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) Lời giải π XÐt Ι + K = ∫ cos2 2x ( cos2 x − sin2 x ) dx = π 2 ∫ ( − sin 2x ) d ( sin2x ) 20 π  1 =  sin 2x − sin 2x ÷ = 2 0 Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) π NhËn x Ðt Ι + K = ∫ cos2 xdx = π ∫ ( + cos4x ) dx 20 π  π Ι= Ι − K =  π   1  Ι + K =  x + sin 4x ÷ = ⇒  π⇒  2 0  Ι +K = K = π    π V Ëy Ι = K = Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ 5: TÝnh Ι = ∫ cos2 xdx 3cosx + sinx vµ K = ∫ sin2 xdx 3cosx + sinx Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) Lời giải XÐ t Ι − K = ∫ =∫ 3cos2 x − sin2 x ( 3cosx + sinx dx ) 3cosx − sinx dx = sin x + cosx + C dx π  3cosx + sinx cos  x − ÷ 6   π π   dsin  x − ÷ + sin  x − ÷÷ 1  6 6÷   = ∫ = ln  +C π  π÷   − sin2  x − ÷ − sin  x − ÷ ÷  6 6    XÐ t Ι + K = ∫ dx = 2∫ Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) 3Ι − K = 3cosx + sinx + C   π    + sin  x − ÷ ÷ ⇒  6÷  Ι + K = ln   π    − sin  x − ÷ ÷  6÷       π  + sin  x − ÷÷  6÷  VË y Ι = ln  + cosx + sinx + C 16  4  π − sin  − ÷ ÷  ÷  6   Chú ý b¹n có thĨ tính Ι, K m ét cách ®éc lËp nhê phép ®ỉi biÕn t = x − π Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ 6: TÝnh Ι = ∫ dx 2π  π   cos  x + cos  x + ÷ ÷ 3    Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) Lời giải  2π   π  sin  x + −  x + ÷ ÷     Ι= dx π∫ 2π  π   sin cos  x + cos  x + ÷ 3 ÷ 3    2π  π 2π  π     sin  x + cos  x + ÷− cos  x + cos  x + ÷ ÷ 3 ÷ 3  3      Ι= dx ∫ 2π  π   cos  x + cos  x + ÷ ÷ 3    Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) Ι= 3 Ι= 3  2π  π    sin  x + sin  x + ÷   ÷ 3   dx −  ∫ ∫  π  dx   cos  x + 2π  cos  x + ÷   ÷   3       2π  π   + ln cos  x + ÷  + C  − ln cos  x + ÷ 3     π  cos  x + ÷ 3  V Ëy Ι = ln +C 2π   cos  x + ÷   Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) 2π  π   HƯ qu¶: Tính K = ∫ tan  x + tan  x + ÷dx ÷ 3     2π  π    Ta có : K = ∫  tan  x + tan  x + ÷ + 1 dx − ∫ dx ÷ 3      =∫ cos π 2π  π   cos  x + cos  x + ÷ ÷ 3     3 cos  x + ÷  ÷   −x+C VËy K = ln 2π   cos  x + ÷   dx − ∫ dx = Ι − ∫ dx Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) π Ví dụ 7: TÝnh Ι = ∫ cos xdx + cos2 x Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) Lời giải π Ι=∫ d ( sinx ) − sin2 x x = ⇒ u = du  ÐỈt u = sinx ⇒  ⇒Ι=∫ π x = ⇒u =1 − u2    π π du = 2cos tdt π 4  2cos tdt π ÐỈt u = sin t ⇒ u = ⇒ t = ⇒ Ι = ∫ = ∫ dt = t = − sin2 t 0  π u = ⇒ t =  Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) π sin3x dx + cosx Ví dụ 8: TÝnh Ι = ∫ Tích phân hàm lượng giác Tích phân lượng giác nhờ biến đổi lượng giác phép biến đổi khác (tt) Ví dụ (tt) Lời giải π π ( ) sin2 x − d ( cosx ) sinx − sin3 x Ι=∫ dx = ∫ + cosx + cosx 0 π =∫ ( ) − cos x − + cosx π   d ( cosx ) = ∫  − 4cosx − dcosx + cosx ÷  0 π =  4x − sinx − 3ln ( + cosx )  = 2π − + 3ln2   VËy Ι = 2π − + 3ln