Hình học 10| HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LÝ THUYẾT I = =  Cho điểm M  x0 ; y0  đường thẳng  : Ax  By  C  = Ax0  By0  C +)I d  M ,    MH  0 2 A B +) Đặc biệt: d  M , Ox   y0 , d  M , Oy   x0  Khoảng cách hai đường thẳng +) Nếu 1  1 1   d  1 ,    +) Nếu 1 / /  d  1 , 2   d  M , 2  với M thuộc 1 c c 1 : ax  by  c1  +) Đặc biệt: Nếu  d  1 ;    a  b2  : ax  by  c2   Cho điểm A  xA , y A  , B  xB , yB  đường thẳng  : Ax  By  C  +) Nếu  AxA  ByA  C  AxB  ByB  C   A, B nằm phía so với đường thẳng  +) Nếu  AxA  ByA  C  AxB  ByB  C   A, B nằm khác phía so với đường thẳng   Cho hai đường thẳng 1 : A1 x  B1 y  C1  0, 2 : A2 x  B2 y  C2  Phương trình hai phân giác góc tạo 1 ,  có dạng:  A1 x  B1 y  C1 A x  B2 y  C2   d1   2 2 A  B A  B A1 x  B1 y  C1 A x  B2 y  C2 1 2   2 2  A x B y C A x B y C A1  B1 A2  B2  2   2 2  d2  A1  B1 A2  B2  BÀI TẬP TỰ LUẬN II = Loại = 1: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, hai đường thẳng =I song song có sử dụng cơng thức trực tiếp Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , tính khoảng cách từ điểm M  1;1 đến đường thẳng  : 3x  y   ? 1| STRONG TEAM TOÁN VD–VDC DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Lời giải Ta có d  M ;     1  4.1  3   4  2  Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , tính khoảng cách từ giao điểm hai đường thẳng x  y   x  y   đến đường thẳng  : 3x  y   Lời giải Gọi A  x; y  giao điểm hai đường thẳng x  y   x  y   Khi toạ độ điểm STRONG TEAM TỐN VD–VDC x  3y    x  1  A nghiệm hệ  2 x  y   y 1 Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  d  A;     1   1 2  10 Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d : x  y    : 4 x  y   Tính khoảng cách từ đường thẳng d đến đường thẳng  ? Lời giải 3 nên d //  Ta có M 1;1  d   4 5 Do d //  nên khoảng cách hai đường thẳng d  Ta có d d;   d  M ;   4.1  6.1   4   62  13 26 Ví dụ Ví Tìm tất giá trị tham số m để khoảng cách từ điểm A  1;  đến đường thẳng  : mx  y  m   Lời giải Ta có d  A;    m  1   m  m 1 2  m   m  m2  2 |2 Hình học 10|  m   m    m  3   m  1  4m  6m    m  2  m   Vậy với m  2 m  thoả yêu cầu tốn Ví dụ khoảng Lời giải Ta có:  qua P  2;5 nhận n   a; b  làm vectơ pháp tuyến (với a  b2  ) có phương trình tổng qt là:  : a( x  2)  b( y  5)   ax  by - 2a - 5b  5a  b  2a  5b d  Q,     3 a  b2  3a  4b  a  b b   24ab  7b    b  24 a  Với b  , chọn a  Phương trình đường thẳng  : x  24 Với b  a , chọn a  7, b  24 Phương trình đường thẳng  : x  24 y  134  Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , có đường thẳng song song với đường thẳng  : 3x  y   cách M 1;1 khoảng ? Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm d Do d //  nên phương trình đường thẳng d có dạng d : 3x  y  c  0, c  2 c  2 1  c    Loại trường hợp c  2 4 c  13 Vậy có đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu toán Ta có d ( M , d )   3.1  4.1  c 2 Ví dụ Ví x  1 t Trong mặt phẳng Oxy , cho  :  2 : x  y   , điểm P  1;3 Đường thẳng d  y   2t 3| STRONG TEAM TỐN VD–VDC Ví Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình đường thẳng qua P  2;5 cách Q  5;1 | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng qua P cắt 1 ,  A, B cho P trung điểm AB Tính khoảng cách từ M 1; 1 đến đường thẳng d ? Lời giải Ta có: + A 1  A 1  t;4  2t  + B 2 : x  y   B 3b  9; b  STRONG TEAM TOÁN VD–VDC + P  1;3 trung điểm AB 1  t  3b   1  t  3b  t      A 1;  , B  3;  2t  b  b    2t  b   x 1 y  Phương trình đường thẳng d qua hai điểm A, B d :   d : x  2y   3     1  10  2 Khoảng cách từ M đến đường thẳng d d  M ; d   12   2  Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng có phương trình 1 : x  y   0; 2 : x  y   ; 3 : x  y  Tìm tọa độ điểm M nằm  cho khoảng cách từ M đến 1 lần khoảng cách từ M đến  Lời giải Ta có: M  3  M  2t; t  Do khoảng cách từ M đến 1 lần khoảng cách từ M đến  nên ta có d  M ; 1   2d  M ;    2t  t  2 2t  t  2  3t    t   t  11    t 1 3t   2  t   Vậy có hai điểm thỏa mãn M1  22; 11 , M  2;1 III == =I BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Ví Trong mặt phẳng Oxy , tính khoảng cách từ điểm M 1;  đến đường thẳng  : x  y   ? Lời giải Ta có d  M ;     2.2  12   2   |4 Hình học 10| Bài Ví x  1 t Trong mặt phẳng Oxy , tính khoảng cách từ điểm A  3;  đến đường thẳng  :  ,t   y   2t Lời giải Đường thẳng  qua điểm M 1;3 có vectơ phương u   1; 2   vectơ pháp tuyến  n   2; 1 Phương trình tổng quát   x  1   y  3   x  y   Khoảng cách từ A đến  d  A;    2.3   22   1  Ví  x   3t Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d : x  y    :  ,t   y   2t khoảng cách từ đường thẳng d đến đường thẳng  ? Lời giải Lấy M  2;3    Tính Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n   2; 3 , đường thẳng  có vectơ phương u   3;  Ta có n.u  2.3   3  M  d nên d //  Khoảng cách hai đường thẳng d  d  d ;    d  M ; d   2.2  3.3  3 2  13 13 Bài Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d qua hai điểm A 1;1 B  3;  Tính khoảng cách từ điểm M  1;  đến đường thẳng d Lời giải d có vectơ phương AB   2;1  vectơ pháp tuyến d n   1;  Phương trình đường thẳng d 1  x  1   y  1    x  y   Khoảng cách từ M đến đường thẳng d d  M , d   1  1  2.2   1  22  Bài Ví x  1 t , t   : x  y   Tính Trong mặt phẳng Oxy , Cho hai đường thẳng d :   y   2t khoảng cách từ giao điểm hai đường thẳng d  đến đường thẳng 1 : x  y  11  ? 5| STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Bài | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Lời giải Gọi M giao điểm hai đường thẳng d  Khi toạ độ điểm M nghiệm hệ x  3y   x  1 t 4  Thay  vào x  y   ta  t    2t     t  x  1 t y   t   y   2t  Với t    11 13  M  ;  7 7 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 1 d  M ; 1   11 13   11 7 22   2   73 28 STRONG TEAM TỐN VD–VDC Bài Ví Trong khơng gian Oxy , tìm n để khoảng cách từ điểm I  2;3 đến đường thẳng d : x  ny   2n  Lời giải Ta có d  I , d     3n   2n 1 n    n   n2  n  Bài Ví Trong mặt phẳng Oxy , tìm toạ độ điểm A thuộc đường thẳng d : x  y   có khoảng cách đến đường thẳng d1 : x  y   Lời giải Do A  d nên A  y  1; y  Ta có d  A; d1    y 1  y  12  12 y    3y     y  2 Với y  : A  3; 2 , với y  2 : A  5; 2 Bài Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d1 : x  y   d2 : x  y   Tìm đường thẳng d3 : x  y  điểm N cho khoảng cách từ N đến đường thẳng d1 lần khoảng cách từ N đến đường thẳng d ? Lời giải Do N  d3 nên N  n; 2n  Ta có d  N , d1   2d  N , d   6n  2.2n  62  22  n  3.2n  12  32  2n   7n  |6 Hình học 10|   n  26  2n   28n   3 1 1 Vậy N  ;  N  ;     3  26 13   2n   28n  n   Bài Ví x  t Trong mặt phẳng Oxy , cho  :  2 : x  y   , hai điểm C  1;3 , G  0;3  y   2t Đường thẳng d cắt 1 ,  A, B cho G trọng tâm ABC Tính khoảng cách từ M 1; 1 đến đường thẳng d ? Lời giải + B  2 : x  y    B b; b   + G trọng tâm ABC t  b 1 0  t  b  t  1     A  1;  , B  2;   t  b   t  b  b     3  x 1 y  Phương trình đường thẳng d qua hai điểm A, B d :   d : 2x  3y   1  2.1   1   13 Khoảng cách từ M đến đường thẳng d d  M ; d   2     3 Loại Sử dụng khoảng cách để viết PTĐT tìm điểm mặt phẳng Loại 2.1: Sử dụng khoảng cách để viết phương trình đường thẳng BÀI TẬP TỰ LUẬN II = Ví dụ = Ví =I Trong mặt phẳng Oxy , lập phương trình đường thẳng d song song với  : 3x  y  12  d cách A  2;3 khoảng Lời giải Vì d //  : 3x  y  12  nên d có dạng: 3x  y  c  ( điều kiện: c  12 ) Vì d  A; d    3.2  4.3  c c  16  tm   c   10   c  4  tm  7| 2 STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Ta có: + A 1  A  t ;4  2t  | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng  d1 : 3x  y  16  Vậy có đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu toán   d : 3x  y   Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , lập phương trình đường thẳng d vng góc với đường thẳng x  y 3 cách hai điểm B  2;3 , C  4; 1 :  Lời giải x  y 3 Vì đường thẳng d   : nên đường thẳng d có dạng: x  y  c   2  4.3  c  4.1  c  Vì d cách hai điểm B  2;3 , C  4; 1  d  B; d   d  C; d   17 17 STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  c  10  c  c  5 Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là: x  y   Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , lập phương trình đường thẳng d qua điểm A 1;  cách hai điểm M  5;1 ; N  3; 1 Lời giải Gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng d là: n   a, b  Điều kiện: a  b2  Khi đường thẳng d qua A 1;  nhận vectơ pháp tuyến n có dạng: a  x  1  b  y     d : ax  by  a  2b  Vì đường thẳng d cách hai điểm M  5;1 ; N  3; 1  d  M; d   d  N; d   5a  b  a  2b a  b2  3a  b  a  2b a  b2  4a  b  2a  3b  2a  2b a  b  4a  b  2a  3b      4a  b  3b  2a 6a  4b 3a  2b a   d : x  y 1  Với a  b ta chọn  b  1 a   d : 2x  y   Với 3a  2b ta chọn  b  Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , lập phương trình đường thẳng d qua H  3;  cách K  1;1 khoảng Lời giải Gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng d là: n   a, b  Điều kiện: a  b2  |8 Hình học 10| Khi đường thẳng d qua H  3;  nhận vectơ pháp tuyến n có dạng: a  x  3  b  y     d : ax  by  3a  4b  Vì d  K ; d    a  b  3a  4b a  b2 4  4a  3b  a  b2 Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A  6; 3 , B  4;3 , C  9;2  Viết phương trình đường phân giác góc A Lời giải Phương trình đường thẳng AB : 3x  y  15  Phương trình đường thẳng AC : x  y   Gọi đường thẳng d đường phân giác góc A H  x; y  điểm thuộc đường thẳng d Khi đó: d  H ; AB   d  H , AC   3x  y  15 10  x  3y  10  3x  y  15  x  y  x  y    x  y   Thay tọa độ B, C vào phương trình đường thẳng x  y   ta được:  4   99   9   x  y   phương trình phân giác ngồi góc A Vậy phương trình đường phân giác góc A là: x  y   III == =I BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Ví Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , lập phương trình đường thẳng d vng góc với  : x  y   cách điểm M  2; 2  khoảng Lời giải Vì đường thẳng d   : x  y   nên d có dạng: x  y  c  9| STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  16a2  24ab  9b2  16a  16b2 b   7b2  24ab    7b  24a  Với b  chọn a   d : x   a  24 Với 7a  24b  chọn   d : 24 x  y 100  b  | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Vì d  M , d    24c c    c2 5  c  3  d1 : x  y   Vậy có đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu toán là:  d2 : x  y   Bài Ví Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , lập phương trình đường thẳng d đường thẳng song song cách hai đường thẳng 1 : 3x  y   0; 2 : 6 x  y   Lời giải STRONG TEAM TOÁN VD–VDC 1   1 Lấy điểm M  2;0   1; N  0;    ; Trung điểm MN giả sử : I  1;  4  2  Vì đường thẳng d song song cách hai đường thẳng 1 : 3x  y   0; 2 : 6 x  y   d : 3x  y  c  13 Do : c   I  d Vậy phương trình đường thẳng d : 3x  y  13 0 Bài Ví Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1;1 , B  2;  đường thẳng  : mx  y   Tìm tất giá trị tham số m để  cách hai điểm A , B Lời giải  cách hai điểm A , B m2 2m   d  A,    d  B,     m 1 m2   m   2m   m2  4m   4m2  4m  m   3m2      m  1 Bài Ví Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng  cách điểm I 1; 3 khoảng 5, biết đường thẳng vng góc với đường thẳng d  : x  y  2019  Lời giải Đường thẳng  vng góc với đường thẳng d : x  y  2019  nên phương trình  có dạng: x  y  c  c   5  11 c  5  Phương trình đường thẳng cần tìm là: 1 : x  y    ; 2 : x  y    Vì d  I ;     1  c Bài Ví | 10 Hình học 10| Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng kẻ từ điểm A 1;3 cách điểm I  3; 1 khoảng Lời giải Phương trình đường thẳng  qua A có vectơ pháp tuyến n   a; b  (với a  b2  ) có dạng a  x  1  b  y  3   ax  by  a  3b  3a  b  a  3b a b 2 2 2a  4b a  b2 2 b    2a  4b    a  b   12b  16ab   4b  3b  4a     b  a  + Với b  , chọn a  , phương trình  : x 1  4a + Với b  , chọn a  3; b  , phương trình  : 3x  y  15  Vậy có hai phương trình đường thẳng là: x   3x  y  15  2 2 Loại 2.2: Sử dụng khoảng cách để tìm điểm BÀI TẬP TỰ LUẬN II = Ví dụ = Ví =I Trong mặt phẳng Oxy , tìm điểm nằm đường thẳng d : x  y   có khoảng cách đến d  : 3x  y 10  Lời giải Lấy điểm M  x0 ;1  x0   d Ta có: 3x0  1  x0   10 d  M , d      x0   10  16   3  x0   y0    M  ;       16 37  16 37   M  ;   x0    y0  5  5   Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , tìm điểm M trục Ox cách hai đường thẳng: d1 : x  y   d2 : x  y   Lấy điểm M  m;0   Ox Ta có: 11 | Lời giải STRONG TEAM TOÁN VD–VDC d ( I ; )   | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng d  M , d1   d  M , d   m3  2m  m   m   2m    m   m    m      Vậy có hai điểm M1  4;0  , M   ;0    Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A  1;  hai đường thẳng d1 : x  y   d2 : x  y   Tìm đường thẳng d1 điểm M cho: d  M ; d2   AM STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Lời giải Lấy điểm M  t; t  1  d1 Ta có: d  M ; d   AM  t   t  1  1   t  1   t  3 2  3t   2t  4t  10   3t     2t  4t  10   9t  42t  49  10t  20t  50  t  22t   t  11  30  t  11  30  30  M  11   30  Với t  11  30  M 11  30; 12  30 Với t  11  30; 12  Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho A  2;  , B  5;1 đường thẳng  : x – y   Điểm C   C có hồnh độ dương cho diện tích tam giác ABC 17 Tìm tọa độ điểm C Lời giải Ta có: AB    2  1   2  10 Phương trình đường thẳng AB : x  y   Điểm C   C  2t  8; t  Ta có: SABC III == =I t  10 5t  16 1  17  AB.d  C; AB   17  10  17    C 12;10  t   18 2 10  BÀI TẬP TỰ LUYỆN | 12 Hình học 10| Bài Ví Tìm điểm M  d : x  y   mà khoảng cách đến d  : x  y 12  Lời giải Lấy điểm M  x0 ;  x   d Ta có: x0    x0   12 d  M , d      x0   15  16  x0  21  y0  19  M  21; 19    x0  9  y0  11  M  9;11 Ví Tìm tọa độ điểm M trục Ox cách hai đường thẳng: d1 : 3x  y   d : 3x  y   Lời giải Gọi M (m;0) Theo ta có d  M , d1   d  M , d   3m   3m   m  1   M  ;0  2  Bài Ví Cho điểm A  2;1 hai đường thẳng d1 : x  y   d : x  y   Tìm đường thẳng d1 điểm M cho: d  M ; d2   AM Lời giải Lấy điểm M  t  1; t   d1 Ta có: d  M ; d   AM   2t  1  3t  16    2t  1   t  1 2  5t   5t  6t   25t  10t   125t  150t  50  100t  140t  49  10  12  Với t   M  ;  10  10  t Bài Ví Cho hai điểm A 1;  B  4;6  Tìm tọa độ điểm M trục Oy cho diện tích tam giác 13 | STRONG TEAM TỐN VD–VDC Bài | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng MAB ? Lời giải Ta có: AB  , Gọi M  0; m   Oy Phương trình đường thẳng AB là: 4 x  y   Ta có: SABC  m 1 3m     AB.d  M , AB      3m     2 m   4 Vậy M1  0;  , M  0;0   3 Bài STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho ba đường thẳng: d1 : x  y   d2 : x  y   d3 : x  y  Tìm điểm M  d3 cho d  M , d1   2d  M , d2  Lời giải Ta có M  d3  M  2t; t  Mà d  M , d1   2d  M , d   2t  t  2 2t  t  3t   2t   3t   t    3t   2t  t  11  M  22; 11  t   M  2;1 Loại 3: Các toán sử dụng khoảng cách tam giác, tứ giác LÝ THUYẾT I = Định nghĩa – Tính chất – Phương pháp giải toán … = Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0  đến đường thẳng  : ax  by  c  = ax  by0  c d  M ,   I 2 tính theo cơng thức a b Cơng thức giải nhanh (nếu có) Cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh A  xA ; y A  , B  xB ; yB  , C  xC ; yC  Ta có AB  xB  xA ; y B  y A    x1; y1  , AC  xC  xA ; yC  y A    x2 ; y2  Diện tích tam giác SABC  II = = =I x1 y2  x2 y1 BÀI TẬP TỰ LUẬN | 14 Hình học 10| Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A  3;11 , hai đỉnh B C nằm đường thẳng  : 3x  y  2020  Tính độ dài đường cao AH tam giác ABC Lời giải Độ dài đường cao AH tam giác ABC khoảng cách từ điểm A  3;11 đến đường thẳng  : 3x  y  2020  , ta có: AH  d  A,     44  2020 32  42  397 Ví Cho hình tam giác ABC có diện tích 2020 Biết A 1;0  , B  0;  trung điểm I AC nằm đường thẳng y  2019 x  2020 Biết C  m; n  với m Tính m  n Lời giải x y Ta có AB  , phương trình đường thẳng AB :   hay x  y   I thuộc đường thẳng y  2019 x  2020 nên I  a; 2019a  2020 Khoảng cách từ I thuộc đường thẳng AB h  d  I , AB   SIAB  2021a  2022 2021a  2022 2020 2020 1 SABC  AB.h   2021a  2022  2020   2 2 a   a  2021   4078382   2017 4078382  Với a  I ; ;   C  (loại) 2021 2021   2021 2021   2021 Với a   I  2;2018  C  3;4036  m  3; n  4036 15 | STRONG TEAM TỐN VD–VDC Ví dụ | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Vậy m  n  4033 Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC , với A 1;1 , B  2;5 , đỉnh C nằm đường thẳng x   , trọng tâm G nằm đường thẳng x  y   Tính diện tích tam giác ABC Lời giải Ta có AB  3;   AB  phương trình đường thẳng AB : STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Đỉnh C nằm đường thẳng x   nên C  4, c  x 1 y 1 hay x  y    3 xA  xB  xC  1  xG  Theo tính chất trọng tâm,   y  y A  yB  yC  c   G 3 Do G nằm đường thẳng x  y   , nên   c      c   C  4;  Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB d  C , AB   Diện tích tam giác ABC S  4.4  3.2  3 1 15 AB.d  C , AB   5.3  2 Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A 1;0  , B  2;  , C 1;  , D  3;5 đường thẳng d : 3x  y –  Tìm điểm M d cho hai tam giác MAB , MCD có diện tích Lời giải Cách 1: Điểm M thuộc d : 3x  y –  hay y  3x – , ta có M  a,3a  5 x 1 y   4x  y   x 1 y    x  2y   CD  2;1  CD  phương trình đường thẳng CD : Mặt khác, AB 1;4   AB  17 phương trình đường thẳng AB : Diện tích tam giác MAB S1  4a   3a  5  a  1 AB.d  M , AB   17  2 17 a   3a  5  17 19  5a 1 Diện tích tam giác MCD S2  CD.d  M , CD    2 a  Hai tam giác có diện tích  a   19  5a   a  Vậy có hai điểm thỏa mãn : M1  3;4  , M  5;10  Cách 2: | 16 Hình học 10| Điểm M thuộc d : 3x  y –  hay y  3x – , ta có M  a,3a  5 Mặt khác: AB 1;4  , AM  a  1;3a  5 Diện tích tam giác MAB S1  1  3a  5   a  1  a  2 CD  2;1 , CM  a  1;3a   1  3a     a  1  5a  19 2 a  Hai tam giác có diện tích  a   5a  19   a  Diện tích tam giác MCD S2  Ví dụ Ví Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD , có diện tích 12 , tâm I giao điểm đường thẳng d1 : x  y   x  y   Trung điểm cạnh giao điểm d1 với trục Ox Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Lời giải  x   x  y    I9;3 Theo giả thiết, tọa độ tâm I nghiệm hệ     2 2 x  y   y   Gọi M giao d1 : x  y   với Ox suy M  3;0  Giả sử M trung điểm AD AD  d1 AD qua điểm M nên phương trình cạnh AD x  y    A  a;3  a  Ta có : AM  a  Diện tích hình chữ nhật ABCD S  AB AD  AM IM  2 a  17 |  12 a   12 STRONG TEAM TỐN VD–VDC Vậy có hai điểm thỏa mãn : M1  3;4  , M  5;10  | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng a   a  + Với a  , ta có A  4; 1 , điểm D đối xứng với A qua M  3;0  ; C đối xứng với A qua 9 3 9 3 I  ;  ; B đối xứng với D qua I  ;  nên ta tính tọa độ đỉnh D  2;1 ; C  5;  ; 2 2 2 2 B  7;2  + Với a  , ta có A  2;1 , điểm D đối xứng với A qua M  3;0  ; C đối xứng với A qua 9 3 9 3 I  ;  ; B đối xứng với D qua I  ;  nên ta tính tọa độ đỉnh D  4; 1 ; B  5;  ; 2 2 2 2 C  7;2  STRONG TEAM TỐN VD–VDC Tóm lại, tọa độ bốn đỉnh hình chữ nhật  4; 1 ,  2;1 ,  5;  ,  7;  Ví dụ Ví Trong mặt phẳng Oxy cho hình thoi ABCD ba đường thẳng d1 : x  y   ; d2 : x  y   ; d3 : x  y   Biết hình thoi có diện tích 15 , đỉnh A, C thuộc d , B thuộc d1 D thuộc d Lời giải ABCD hình thoi nên BD  AC Phương trình BD : x  y  m  m9  x  x  y  m    m  4m    B ; Tọa độ B nghiệm hệ      4 x  y    y   4m   m6  x  x  y  m    m  2m    D ;  Tọa độ D nghiệm hệ   3   2 x  y    y  2m    | 18 Hình học 10|  2m   Tâm I hình thoi trung điểm BD có tọa độ I  ;    2 2m  Do I trung điểm AC nên I thuộc d3 : x  y        m  3 2 1 5 Suy BD : x  y   , B  2;1 , D  1;  , I  ;  2 2 Diện tích hình thoi S  2SABD  BD.d  A, BD  Trong BD  , A  a, a    d3 nên d  A, BD   Suy S  2a  a  a  23  2a  a   15    a  2 Với a  2  A  2;0  , C  3;5 Ví dụ Ví Viết phương trình cạnh hình vng ABCD biết AB, CD qua điểm P  2;1 , Q  3;5 , BC, AD qua điểm R  0;1 S  3; 1 Lời giải Giả sử AB : ax  by  c  ; AD : bx  ay  c '  , điều kiện a  b2  P  2;1  AB  2a  b  c  1 S  3; 1  AD  3b  a  c '    Ta có d  R, AD   d  Q, AB   a  c ' a b 2  3a  5b  c a  b2  a  c '  3a  5b  c  2a  b  c  c  2a  b   Ta có hệ phương trình 3b  a  c '   c '  3b  a  a  c '  3a  5b  c  2a  3b  a  4b   19 |  *  3 STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Với a   A  3;5 , C  2;0  | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng  a  7b *  4a 12ab  9b  a  8ab  16b  3a  20ab  7b    a b  Với a  7b , chọn a  7, b  ta có c  15, c '  4 Phương trình cạnh hình vng 2 2 2 AB : x  y  15  , AD : x  y   , CD : x  y  26  , BC : x  y   Với a   b , chọn a  1, b  3 ta có c  1, c '  10 Phương trình cạnh hình vng AB : x  y   , AD : 3x  y  10  , CD : x  y  12  , BC : 3x  y   Ví dụ STRONG TEAM TỐN VD–VDC Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thanng ABCD có hai đáy AB CD , đỉnh A 1;1 trung điểm   BC M   ;0  Tìm tọa độ đỉnh D có hồnh độ dương thuộc đường thẳng   d : 5x  y   , biết diện tích hình thang ABCD 14 Lời giải Gọi E giao điểm AM CD , ta thấy S ADE  S ABCD  14 M trung điểm AE nên E  2; 1 AE  3; 2  , AE  13 phương trình đường thẳng AE : D  d : y  5x   D  d ;5d  1 với d  ; d  D, AE   x 1 y 1 hay x  y    3 2 2d   5d  1  13  13d  13 Dễ thấy : S ABCD  SADE S ADE 30  13d  d   ( L) 1   AE.d  D, AE   13  14  13d   28  13  2 13 d  Vậy D  2;11 | 20 Hình học 10| III == =I BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho ABC có A  6;  , B  3;1 , C  0;3 Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC Lời giải Ta có BC : 2.(6)  3.2  15 x  y 1    x  y   d  A,  BC    2 3 13 3 Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật có đỉnh A 1;3 phương trình hai cạnh x  y  x  y  15  Tính diện tích hình chữ nhật suy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD Lời giải Gọi hình chữ nhật ABCD Thế tọa độ điểm A vào hai phương trình cho ta thấy khơng thỏa  BC : x  y  CD : x  y  15  Ta có AB  d  A,  BC    S ABCD  AB AD   2.3  , AD  d  A,  CD    2.1   15  10 10  10 Ta có d  A, BD  BD  2S ABD  S ABCD  10 , BD  AB2  AD2   20   d  A, BD   Bài Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho ABC có tọa độ đỉnh A  0;1 phương trình đường cao BB : x  y   CC : x  y   Tính diện tích ABC Lời giải 21 | STRONG TEAM TOÁN VD–VDC Bài | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Phương trình AB : 3x  y   AC : x  y   STRONG TEAM TOÁN VD–VDC B  BB  AB  B  2; 5 C  CC  AC  C  4; 1 1 2.0  3.1  11 52  14 Phương trình BC : x  y 11  S ABC  d  A, BC  BC  2 13 Bài Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho ABC có tọa độ đỉnh A 1;3 , B  3; 1 Tìm tọa độ điểm C thuộc đường thẳng d : x  y   để S ABC  12 Lời giải C  d : x   y  C   2m; m  Có AB   4; 4   AB  Phương trình AB : x  y   Kẻ CH  AB , CH  d  C , AB   3m  Do S ABC  12  CH AB  24  3m   24  3m    3m   6  m  hay m  Vậy có hai điểm thỏa mãn toán : C1  3;5 , C2  5;1 Bài Ví Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; -3), B(3; -2), có diện tích trọng tâm | 22 Hình học 10| thuộc đường thẳng d: 3x – y – = Tìm tọa độ đỉnh C Lời giải 5 5 Ta có: AB  2, M  ;   , AB : x  y   2 2 3 SABC  d (C , AB) AB   d (C , AB)  2 Bài Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết A 1;0  , B  0;  giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng y  x Tìm tọa độ C D Lời giải Đường thẳng AB : x  y   Gọi I  d : y  x  I  t; t  , C  2t  1;2t  , D  2t;2t   S ABCD  6t  t 4  AB.CH   CH   d  C , AB   CH     5 t  )t  5 8 8 2  C  ; , D ;  ,  3  3 )t   C  1;0  , D  0; 2  Bài Ví Trong không gian Oxy , cho ABC vuông C Biết A  3;0  , đỉnh C thuộc trục tung có tung độ nhỏ , điểm B nằm đường thẳng  : x  y  12  Tìm tọa độ trọng tâm G 23 | STRONG TEAM TOÁN VD–VDC 1 Gọi G(t; 3t – 8) trọng tâm tam giác ABC d (G, AB)  d (C , AB)  t  (3t  8)  t   G(1; 5)  d (G, AB)    2 t   G(2; 2) mà: CM  3GM  C(-2; 10) C(1; -4) | Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng ABC biết tam giác có diện tích Lời giải Do C  Oy  C  0; c  ;c  1; B   B  3b;4  4b  ABC vuông C c2  1  4c  CA.CB   9b  c   4b  c    b    3c  12 Lại có S ABC  d  C ,   AB  10 S ABC   c  b     25  b  1  c  b  Do : c3  4c  7c  72  c4 Thay (1) vào (2) ta có :  c    4  c   c  1  4c c  4c  25c  STRONG TEAM TOÁN VD–VDC  4 Vậy C  O  0;0 , B 0;4 , G 1;   3 Bài Ví Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang ABCD có đay lớn CD  AB , C  3; 3 , trung điểm AD M  3;1 Tìm tọa độ đỉnh B biết SBCD  18 , AB  10 đỉnh D có hồnh độ dương Lời giải  Gọi n   A; B  VTPT CD A2  B    CD : A  x  3  B  y  3   Ax  By  A  3B  Ta có SBCD  S ACD  18  d  A; CD   2S ACD 36 10   CD 10  d  M , CD   A  B  A  3B 10 10   5 A2  B  A  4B  10 A2  B | 24 Hình học 10|  25  36 A2  48 AB  16B2   90  A2  B2  Với A   A   810 A2  1200 AB  310B2    A   B 31B 27 B :chọn B  3  A   CD : x  y    D  3d  6; d   D  6;0  d  2 Ta có : CD2  90   3d     d  3  90   d  3      d  6  D  12; 6  Vì D có hồnh độ dương nên nhận D  6;0   A  0;2  Ta có AB  DC   3; 1  B  3;1 31B  31d  12  Với chọn B  27  A  31  CD : 31x  27 y  12  A  D  d;  27 27   729  31d  93  (loại )  CD   d  3     90   d  3  169  27  Vậy B  3;1 25 | STRONG TEAM TOÁN VD–VDC ... 4.1  c 2 Ví dụ Ví x  1 t Trong mặt phẳng Oxy , cho  :  2 : x  y   , điểm P  1;3 Đường thẳng d  y   2t 3| STRONG TEAM TỐN VD–VDC Ví Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình đường... Ví Trong mặt phẳng Oxy , tính khoảng cách từ điểm M 1;  đến đường thẳng  : x  y   ? Lời giải Ta có d  M ;     2.2  12   2   |4 Hình học 10| Bài Ví x  1 t Trong mặt phẳng Oxy. .. m  Vậy có hai điểm thỏa mãn toán : C1  3;5 , C2  5;1 Bài Ví Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; -3 ), B(3; -2 ), có diện tích trọng tâm | 22 Hình học 10| thuộc đường thẳng d: