Đang tải... (xem toàn văn)
Mục đích của quá trình xếp hàng là để giải quyết các vấn đề tắc nghẽn, tối ưu hóa hiệu quả công việc; giảm thiểu thời gian chờ đợi hay bất tiện cho khách hàng; giúp tăng tốc độ sản xuất, và thậm chí là để tiết kiệm cuộc sống.
Khoa học tự nhiên MƠ HÌNH XẾP HÀNG Lưu Thị Thu Huyền, Bùi Thị Thu Dung Khoa Tốn – Cơng nghệ Trường Đại học Hùng Vương TĨM TẮT Mục đích trình xếp hàng để giải vấn đề tắc nghẽn, tối ưu hóa hiệu cơng việc; giảm thiểu thời gian chờ đợi hay bất tiện cho khách hàng; giúp tăng tốc độ sản xuất, chí để tiết kiệm sống Ở sử dụng lý thuyết xác suất vào nghiên cứu mơ hình xếp hàng M/M/s (với hai trường hợp s=1 s > 1), để tìm kỳ vọng - tiêu chuẩn để đánh giá đưa định tình cần lựa chọn chiến lược khác nhau, phương sai - đặc trưng cho mức độ rủi ro định Dựa vào tiêu chuẩn dự đoán mức độ rủi ro lựa chọn phương án tốt Từ khóa: Xếp hàng, mơ hình đặc trưng lý thuyết xếp hàng, hàng đợi M/M/1, hàng đợi M/M/s Mở đầu Trong mơ hình xếp hàng, khách hàng từ bên vào hệ thống sử dụng khoảng thời gian để nhận phục vụ hệ sau rời khỏi hệ Điển hình cho mơ hình trình lưu lại hệ thống, tức khách hàng đến mà tất trạm phục vụ bận khách hàng phải ngồi chờ trạm rỗi, tượng xảy gọi trình ngưng trệ hay trình chờ hàng Hiện tượng xếp hàng quan sát thực tế nơi mà vấn đề tắc nghẽn, tải tồn đọng, ngành kinh doanh, thông tin liên lạc, y tế, giao thông vận tải, Người mua sắm chờ đợi hàng kiểm tra quầy toán; khách hàng xếp hàng ngân hàng, rạp chiếu phim, quán cafe hay trạm y tế; mạch điện thoại xử lý gọi đến theo trật tự, Trong báo chúng tơi xét đến mơ hình mà hiệu làm việc trạm nhau, khách hàng chờ đợi hàng Các mơ hình xếp hàng thường đặc trưng bởi: *) Quá trình đến khách hàng: Giả sử khoảng thời gian hai lần đến liên tiếp đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Trong thực tế trình đến khách hàng tuân theo q trình Poisson Các khách hàng đến đến người đến theo nhóm *) Hành vi khách hàng: Khách hàng đến kiên nhẫn chờ đợi khoảng thời gian dài để phục vụ ngược lại rời sau khoảng thời gian chờ đợi *) Thời gian phục vụ: Giả sử khoảng thời gian phục vụ đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối Cũng có thời gian phục vụ phụ thuộc vào độ dài hàng đợi, chẳng hạn tốc độ xử lý công việc giảm mà khối lượng công việc chờ xử lý lớn *) Quy chế phục vụ: Khách hàng đến phục vụ người nhóm Có quy tắc sau: Đến trước phục vụ trước (FCFS: first come first server, FIFO: first in first out); đến sau phục vụ trước (LCFS: last come first server, LIFO: last in first out); thứ tự ngẫu nhiên; thứ tự ưu tiên; chia công việc để xử lý *) Khả xử lý: Hệ thống phục vụ người hay nhóm người *) Hàng đợi: Dung lượng hàng đợi hữu hạn hay vô hạn Các yếu tố cần quan tâm cho mơ hình xếp hàng là: - Phân phối thời gian chờ thời gian hệ thống Thời gian hệ thống tổng thời gian chờ hàng đợi thời gian phục vụ - Phân phối số lượng khách hàng hệ - Phân phối khoảng bận dịch vụ (máy chủ) Đó khoảng thời gian mà suốt khoảng máy chủ làm việc liên tục Đại học Hùng Vương - Khoa học Công nghệ 41 Khoa học tự nhiên Trong thực hành ta thường quan tâm đến trung bình đại lượng như: độ dài hàng đợi (số lượng trung bình khách hàng hệ thống), thời gian chờ, thời gian phục vụ Phương pháp nghiên cứu Chúng nghiên cứu tài liệu xác suất ứng dụng mơ hình xếp hàng, cụ thể hàng đợi M/M/1 hàng đợi M/M/s, dựa nghiên cứu khởi đầu lý thuyết xếp hàng nhà toán học người Đan Mạch Agner Krarup Erlang dựa cách xây dựng mơ hình xếp hàng tài liệu An Introduction to Stochastic processes and Their Applications tác giả Chin Long Chiang Nội dung 3.1 Phương trình cân mơ hình M/M/s Đây mơ hình có đặc trưng sau: Có s trạm phục vụ; khách hàng đến tuân theo trình Poisson với tham số λ ; thời gian dịch vụ có phân phối mũ với tham số µ ; quy trình thực hiện: đến trước phục vụ trước Khi s trạm hoạt động thời điểm t xác suất để trạm rỗi khoảng thời gian ( t , t + ∆ ) sµ∆ + 0(∆) Đặt X(t) số khách hàng hệ thời điểm t, bao gồm khách hàng chờ hàng, với X (0) = i Ta có xác suất chuyển: Pi ,k= (0, t ) Pr {= X (t ) k | = X (0) i}= k 0,1, thỏa mãn phương trình vi phân: d Pi ,0 (0, t ) = −λ Pi ,0 (0, t ) + µ Pi ,1 (0, t ) dt d Pi ,k (0, t ) = −(λ + k µ ) Pi ,k (0, t ) + λ Pi ,k −1 (0, t ) + (k + 1) µ Pi ,k +1 (0, t ), k = 1, , s − dt d Pi ,k (0, t ) = s, s + 1, −(λ + s µ ) Pi ,k (0, t ) + λ Pi ,k −1 (0, t ) + s µ Pi ,k +1 (0, t ), k = dt (1) Định lý: Nếu tất trạng thái q trình xếp hàng liên thơng với giới hạn xác suất lim Pi ,k (0, t ) = Π k ; i, k = 0,1, t →∞ tồn khơng phụ thuộc vào thời gian ban đầu trạng thái ban đầu i Tổng xác suất: ∑Π k k = 1; (2) X (∞) Pr { X = k} = Πk ; k = 0,1, 2, Khi t → ∞ Đặt X = Từ (1) ta suy ra: =−λΠ + µΠ1 =−(λ + k µ )Π k + λΠ k −1 + (k + 1) µΠ k +1 ; k =1, , s − =−(λ + s µ )Π k + λΠ k −1 + s µΠ k +1 ; k =s, s + 1, 3.2 Hàng đợi M/M/1 3.2.1 Phương trình cân Khi hệ thống có trạm phục vụ, từ (3) ta tìm được: 42 Đại học Hùng Vương - K hoa học Công nghệ (3) Khoa học tự nhiên λΠ = µΠ1 λ λ Π k +1 = Π k + Π k − Π k −1 µ µ (4) Giải hệ (4) phương pháp truy hồi sau kết hợp với (2) ta thu kết sau: Giá trị kỳ vọng: E [ X = ] ∞ ∞ ∑ k Π=k ∑kρ k = k 0= k Giá trị phương sai: D [ X ] = (1 − ρ= ) ρ 1− ρ ρ λ ; với ρ = cường độ vận tải hệ thống µ (1 − ρ ) 3.2.2 Độ dài hàng đợi Đặt Q = Q(∞) số lượng khách hàng hàng đợi trường hợp hữu hạn {qn } phân phối xác suất Q, tức là: = qn P= n} = n 0,1, r {Q = 0= Ta có: Pr {Q ρ2 } Pr {X= X =1} ⇔ q0 =(1 − ρ ) + ρ (1 − ρ ) =− qn = Π n +1 = ρ n +1 (1 − ρ ); n = 1, 2, Khi giá trị kỳ vọng phương sai là: ∞ = E [Q ] ∑ nq=n ∞ ∑ nρ n+1 (1 − ρ=) = n 0= n ρ2 ρ (1 + ρ − ρ ) ; D [Q = ] 1− ρ (1 − ρ ) 3.2.3 Thời gian phục vụ thời gian chờ Gọi t độ dài thời gian cần để đáp ứng dịch vụ cho khách hàng Giả định rằng, mơ hình t có phân phối mũ với hàm phân phối: = ht (τ ) µ e − µτ τ ≥0 Suy giá trị kỳ vọng phương sai: E (t ) = ∞ τµ e dτ ∫= − µτ ; D(t ) = µ µ2 Gọi Wn thời gian chờ người thứ n hàng chờ trước phục vụ *) Trong trường hợp µ khơng phụ thuộc vào thời gian f W= (τ ) h= µ e − µτ t (τ ) Ta có: Tổng thời gian chờ khách hàng thứ 2: W = W11 + W12 Và = {f W2 (τ )} {f W1 (τ )}*{f W1 (τ )} = ⇒ f W2 (τ ) Tổng quát: τ ∫ [µ e − µξ − µ (τ −ξ ) ][µ e= ]dξ µ 2τ e − µτ Wn= W11 + W12 + + W1n Phân phối Wn n-tích chập {f W1 (τ )} với {f Wn (τ )} = {f W1 (τ )}n* ⇒ f Wn (τ= ) µ nτ n −1 (n − 1)! e − µτ = n 1, 2, *) Trong trường hợp µ hàm theo thời gian: thay W11 W*11 ta có: Đại học Hùng Vương - Khoa học Công nghệ 43 Khoa học tự nhiên W= W*11 + W12 ; W= W*11 + W12 + + W1n n Đặt W độ dài thời gian để khách hàng đến chờ trước bắt đầu dịch vụ, W biến ngẫu nhiên liên tục Một khách hàng đến mà hệ thống khách hàng thì: Pr {W = 0}=Π = − ρ Nếu có n người hệ thống hàm mật độ W là: f W (τ = ) ∞ ∑ Π n f Wn (τ =) ∞ ∑ ρ n (1 − ρ ) = n 1= n µ nτ n −1 (n − 1)! e − µτ= ρ (1 − ρ ) µ e − (1− ρ ) µτ ; < τ < ∞ FW (τ ) =Pr {W ≤ τ } =Pr {W =0} + Pr {0 < W ≤ τ } =1 − ρ e − (1− ρ ) µτ Và Khi τ → ∞ FW (τ ) → Do đó: = E[W] ∞ τ dF (τ ) ∫= W ρ µ (1 − ρ ) ; D[W]= ρ (2 − ρ ) µ (1 − ρ ) Tổng thời gian T khách hàng hệ thống là: T = W + t với hàm mật độ gT (τ ) hàm phân phối GT (τ ) : GT (τ ) = τ ∫F W (ξ )h(τ − ξ )d ξ = − e − (1− ρ ) µτ ; ≤τ < ∞ gT (τ )= G 'T (τ )= (1 − ρ ) µ e − (1− ρ ) µτ Vậy T có phân phối mũ với kỳ vọng phương sai: 1 E[T ] = ; D[T]= (1 − ρ ) µ (1 − ρ ) µ 3.2.4 Khoảng thời gian đến cường độ vận tải Gọi Y khoảng thời gian đến hai khách hàng liên tiếp, cường độ khách hàng đến λ KY (τ ) hàm phân phối Y Trong mơ hình Poisson ta có: Pr {Y > τ } =1- KY (τ ) =e − λτ ⇒ KY (τ ) =1 − e − λτ Do khoảng thời gian đến có phân phối mũ với khoảng thời gian đến trung bình E[Y ] = λ Cường độ vận tải ρ định nghĩa tỷ số λ µ Ta định nghĩa ρ : thời gian dịch vụ trung λ µ ρ= = = khoảng thời gian đến trung µ λ Hay Pr{trạm phục vụ bận} = Pr{X≥1}=ρ 3.3 Hàng đợi M/M/s Ta xét trình xếp hàng với khách hàng đến tuân theo q trình Poisson, thời gian phục vụ có phân phối mũ, có s trạm phục vụ, s trạm có hiệu có thời gian dịch vụ Trong trường hợp này, xác suất giới hạn Π K thỏa mãn hệ phương trình vi phân: λΠ = µΠ1 (λ + k µ )Π k = λΠ k −1 + (k + 1) µΠ k +1 ; k = 1, , s − (λ + s µ )Π k = λΠ k −1 + s µΠ k +1 ; k = s, s + 1, 44 Đại học Hùng Vương - K hoa học Công nghệ (5) Khoa học tự nhiên Tương tự mơ hình M/M/1 ta tìm được: E[ X ] = s ρ + ρΠ s ρΠ s ρ Π 2s + + + − − ; D [X]= s (1 ) s (1 ) ρ ρ ρ (1 − ρ ) (1 − ρ ) (1 − ρ )3 ρ = λ cường độ vận tải khách hàng sµ 3.3.1 Độ dài hàng đợi Gọi Q = Q(∞) số lượng khách hàng hàng đợi trường hợp hữu hạn {qn } phân phối xác suất Q, với = qn P= n} = n 0,1, r {Q Tính tốn tương tự mơ hình M/M/1 ta tìm được: Giá trị kỳ vọng phương sai là: ∞ ∞ ∞ E= [Q ] nqn ∑= D[Q]= ρ ( ρ + 1)Π s ρ Π 2s ; − (1 − ρ )3 (1 − ρ ) n Π s ρ ∑ n ρ n −= Πs ∑ nρ = = n 0= n = n ρ Πs (1 − ρ ) (sρ )s Π0 s! = Πs 3.3.2 Thời gian dịch vụ thời gian chờ Độ dài thời gian t cần để phục vụ khách hàng thừa nhận tất s trạm phân phối mũ với hàm mật độ hàm phân phối: ht (τ ) = µ e − µτ ; H t (τ ) = − e − µτ Thời gian chờ khách hàng hàng đợi W1 Đặt t1 , t2 , , ts thời gian phục vụ s trạm Thời gian chờ W1 nhỏ t1 , t2 , , ts Ta xếp s thời gian phục vụ theo thứ tự tăng dần t1 ≤ t2 ≤ ≤ ts Khi đó: f W1 (τ ) = f1 (τ ) = s µ e − sµτ ; FW1 (τ ) = − e − sµτ Thời gian chờ người thứ n hàng đợi tổng n biến ngẫu nhiên Wn= W11 + W12 + + W1n f Wn (τ ) = ( s µ ) n Do đó: τ n −1 e − sµτ (n − 1)! Đặt W thời gian chờ khách hàng Nếu có s khách hàng hệ thống thì: s −1 ∞ Π Pr {W = 0}= ∑ Π k = − Π s + ∑ Π k = − s 1− ρ k= k = s +1 Nếu có (s+n-1) khách hàng hệ thống thời gian chờ Wn ∞ fW (τ ) = Π s s µ e − (1− ρ ) sµτ ∑ Π s +n−1 fWn (τ ) = n =1 FW (τ ) = Pr {W = 0} + Pr {0 < W < τ } =1- Π s − (1− ρ ) sµτ e 1− ρ Đại học Hùng Vương - Khoa học Công nghệ 45 Khoa học tự nhiên Kỳ vọng phương sai: ∞ τ f (τ )dτ ∫= E[W] = W Πs (1 − ρ ) s µ D[W]=E[W ]-[E[W]]2 = 2Π s Π 2s − (1 − ρ )3 ( s µ ) (1 − ρ ) ( s µ ) Tổng độ dài thời gian T khách hàng hệ thống T = W + t Ta tìm được: τ GT (τ ) =∫ FW (ξ )dH t (τ − ξ ) =1 − e − µτ − gT (τ= ) dGT (τ= ) µ e − µτ + Πs [e − µτ − e − (1− ρ ) sµτ ] (1 − ρ )[(1 − ρ )s-1] Πsµ [e − µτ − (1 − ρ ) se − (1− ρ ) sµτ ] (1 − ρ )[(1 − ρ )s-1] ∞ Πs 2Π s Π 2s 1 ; [T]= E[T ]= ∫ τ gT (τ )dτ = D + − + 2 (1 − ρ ) s µ µ (1 − ρ ) ( s µ ) (1 − ρ ) ( s µ ) µ Và E (T ) = E (W) + E (t ); D(T ) = D(W) + D(t ) Kết luận Với mơ hình xếp hàng M/M/1 M/M/s, kết tính tốn rằng: Tồn mối liên hệ mật thiết độ dài hàng đợi, cường độ vận tải hệ thống với thời gian phục vụ Từ có sở đưa phương án xếp hệ thống cách tối ưu: Khách hàng chờ thời gian ngắn mà rời trước phục vụ, số lượng máy chủ đủ để phục vụ khách hàng, độ dài hàng đợi hợp lý Và mơ hình xếp hàng thực s máy chủ hiệu thực máy chủ Tài liệu tham khảo Đào Hữu Hồ (2004), Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Đặng Hùng Thắng (2006), Mở đầu xác suất ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Chin Long Chiang (2003), An Introduction to Stochastic Processes and Their Applications, Professor of Biostatistics University of California, Berkeley SUMMARY QUEUING MODEL Luu Thi Thu Huyen, Bui Thi Thu Dung Faculty of Mathematics and Technology, Hung Vuong University The purpose of the process queuing is used to solve congestion problems, optimize work's efficiency, reduce waiting times or inconvenient for the customers, help to increase speed production, and even to saving in life Here we use probability theory to study M/M/s queuing model (with two case s = and s > ), to find expect - as a standard to evaluate and make decisions in situations where the choice of different strategies, and variance - typical of the level of risk decisions Based on the criteria and predict the level of risk we can choose the best option Key words: Queue, characteristic model of queuing theory, M/M/1 queue, M/M/s queue 46 Đại học Hùng Vương - K hoa học Công nghệ ... độ dài hàng đợi (số lượng trung bình khách hàng hệ thống), thời gian chờ, thời gian phục vụ Phương pháp nghiên cứu Chúng nghiên cứu tài liệu xác suất ứng dụng mơ hình xếp hàng, cụ thể hàng đợi... hàng, cụ thể hàng đợi M/M/1 hàng đợi M/M/s, dựa nghiên cứu khởi đầu lý thuyết xếp hàng nhà toán học người Đan Mạch Agner Krarup Erlang dựa cách xây dựng mơ hình xếp hàng tài liệu An Introduction... xếp hệ thống cách tối ưu: Khách hàng chờ thời gian ngắn mà rời trước phục vụ, số lượng máy chủ đủ để phục vụ khách hàng, độ dài hàng đợi hợp lý Và mơ hình xếp hàng thực s máy chủ hiệu thực máy